Eksamen R2 høsten 2014 løsning

Transkript

1 Eksamen R høsten 04 løsning Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (3 poeng) Deriver funksjonene a) f x cos3x Vi bruker kjerneregelen på cos3x, og setter Vi får da guu sinu3 f x 3sin3x 6sin3x b) gx 5e x sinx g u cos u og u 3x Vi bruker produktregelen for derivasjon. uv u v uv der u 5 e x og v sinx x x x gx 5e sinx 5e cosx 5e sinx cosx Oppgave (3 poeng) Bestem integralene 3 a) x x dx x dx xdx x x C b) e x lnx dx Vi bruker delvis integrasjon og finner først det ubestemte integralet. x x x x x x ln x dx ln x dx ln x x dx ln x x C ln x C x e e x e e e e ln ln ln ln x x dx x e e Eksamen REA304 Matematikk R høsten 04 Side av 8

2 Oppgave 3 (4 poeng) a) Løs differensiallikningen 5 yy 3 når y 0 Likningen ovenfor er en lineær, førsteordens differensiallikning på formen y pxy qx. Vi velger å bruke metoden med integrerende faktor for å løse likningen. Den integrerende faktor er gitt ved px e. I dette tilfellet blir integrerende faktor x e. Gitt x x x y y 3 e e y e y 3e 5 y 0 e y 3e x x x x e y 3e dx 3 e y e C e 3 x y C e x x x x 5 3 Ce 5 3 C C 4 0 Dermed er y4e x 3 5 b) Bestem likningen til tangenten i punktet 0, Vi finner stigningstallet a til tangenten i x 0. x 0 som gir Vi har y 4 e x 8e a y 0 8e 8 på grafen til y. Videre bruker vi ettpunktsformelen for å finne likningen til tangenten. y 5 8 x 0 5 y8x Eksamen REA304 Matematikk R høsten 04 Side av 8

3 Oppgave 4 (4 poeng) Punktene A 0, 6,6, B 0, 0, 7 og 6, 0, 5 a) Bestem likningen til. C ligger i planet. Jeg finner en normalvektor til ved å finne vektorproduktet AB AC. 0, 6, AC 6, 6, AB ex ey ez AB AC , , 6, 36 6,, 6 Vi setter punktet B og normalvektoren inn i likningen for et plan og finner likningen for planet. x y z : x y 6z 4 0 Et punkt P ligger på linjen gjennom punktene O0, 0, 0 og A 0, 6, 6. b) Bestem mulige koordinater til P slik at volumet av tetraederet ABCP blir 4. Vi lar P være et vilkårlig punkt på linjen gjennom punktene O0, 0, 0 og A 0, 6, 6. Linjen går gjennom origo og har dermed posisjonsvektor OP t OA t 0, 6, 6 0,6 t, 6t Punktet P har da koordinatene P0, 6 t, 6 t.. Volumet av tetraederet er gitt ved, 6, 36 0, 6 t 6, 6 t 6 4 6,, 6 0, 6 6, t t t t t 4 4 V AB AC AP 6 der AP 0, 6t 6, 6t 6 t t t 84 4t 4 4 t t 0 Punktet P kan da ha koordinatene P0,, eller P 0, 0, 0 Eksamen REA304 Matematikk R høsten 04 Side 3 av 8

4 Oppgave 5 (4 poeng) Figuren viser grafen til en funksjon f x, der x 0, 9. La t, der 0, 9 g t f x dx t 0 a) Bestem g største verdien til. Forklar at den gt er 0. Vi ser av grafen ovenfor at det bestemte integralet til f fra t0 til t er det samme som arealet avgrenset av grafen til f og x-aksen. Arealet av dette området er 8. 0 g f x dx 4 8 Samlet arealet avgrenset av grafen til f som ligger over x-aksen utgjør et trapes med areal.vi har at f 3 0. Det betyr at over x-aksen og 0 gt kan ha er derfor lik 0. gt for t 3 siden vi da får mindre areal gt for t 3 siden vi da får negativt integral i tillegg. Den største verdien b) Bestem nullpunktet til g. Avgjør hvilke verdier av t som gjør gt negativ. Nullpunktet til g får vi for den t-verdien der arealet over og under x-aksen er like stort. Vi ser av grafen at arealet er like stort når t 6. For t-verdier fra 6 til 9 så er arealet under x-aksen større enn arealet over. Det betyr at gt er negativt i dette området. Eksamen REA304 Matematikk R høsten 04 Side 4 av 8

5 Oppgave 6 (4 poeng) Figuren viser grafen en funksjon f x Asin cx d. a) Bestem A, c, d og ved hjelp av grafen og de punktene som er markert på grafen. Skriv opp funksjonsuttrykket til fx. Likevektslinja d : fmaks fmin Amplituden er: fmaks fmin 73, dvs. utslag fra likevektslinja. Vi velger å finner perioden til denne grafen ved å lese av avstanden mellom toppunktene. Denne avstanden er 3,4 altså tilnærmet. Koeffisienten c er gitt ved c periode Grafen til funksjonen skjærer likevektslinja og er voksende for x,4. Faseforskyvningen er altså,4. Faseforskyvning:,4,4,8 c Funksjonsuttrykket blir f x x sin,8 5 b) Grafen ovenfor kan også være grafen til Skriv opp funksjonsuttrykket til gx. Det eneste som endrer seg i funksjonsutrykket til g x Acos cx d. gx sammenliknet med faseforskyvningen. Toppunktet lengst til venstre på grafen ovenfor har x 0,35. Faseforskyvning: 0,35 0,35 0,7 k Funksjonsuttrykket blir gx x sin 0,7 5 Vi kunne også ha funnet dette ved å bruke sinx cos x. x x x sin,8 5 cos,8,57 cos 0,7 fx er Eksamen REA304 Matematikk R høsten 04 Side 5 av 8

6 Oppgave 7 ( poeng) Bruk induksjon til å bevise påstanden Pn:, n 3 4 n n n Trinn, Induksjonsgrunnlaget Vi skal vise at formelen gjelder for n. Bevis Venstre side: Høyre side: Formelen gjelder for n. Trinn, Induksjonstrinnet Vi antar at formelen gjelder for n t. Det betyr at 3 4 t t t Vi må vise at formelen gjelder for nt. Vi må altså vise at 3 4 t t t t Bevis. Vi viser at venstre side i likningen ovenfor blir lik høyre side av likningen ovenfor. t t t t t t t t t t t t Vi har dermed vist at formelen gjelder for nt. I følge induksjonsprinsippet gjelder formelen da for alle verdier av n Eksamen REA304 Matematikk R høsten 04 Side 6 av 8

7 Tid: 3 timer Hjelpemidler: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Oppgave (8 poeng) a) Vi har en uendelig geometrisk rekke a a a3 som er konvergent. Vis at summen S av rekken kan skrives a S a a a a a a a Summen er gitt ved S k a a a a a a a Figuren nedenfor viser en rettvinklet og likebeint ABC der katetene har lengde. Inne i trekanten har vi en rekke kvadrater (markert med blått på figuren). Det største kvadratet har side 6, det nest største har side 3, slik at sidene til kvadratene blir halvert i det uendelige. b) Forklar at summen S av arealene til kvadratene kan skrives som en uendelig geometrisk rekke. Bruk formelen i oppgave a) til å bestemme S Sidelengdene halveres for hvert kvadrat, dermed vil arealet av det neste kvadratet bli 4 av arealet det foregående. Arealet av det største kvadratet er 36, arealet av det neste er 9 osv. Dette betyr at kvotienten k ligger i intervallet k,. Vi har dermed en uendelig geometrisk rekke med a 36 og k. 4 Eksamen REA304 Matematikk R høsten 04 Side 7 av 8

8 Vi bruker formelen fra a) og finner: 36 9 S c) ABC inneholder også uendelig mange rettvinklete og likebeinte trekanter (markert med grønt på figuren) der sidene også halveres fra gang til gang. Skriv summen av arealene til disse trekantene som en uendelig geometrisk rekke. Bestem denne summen. 66 Arealet av den største trekanten er a Arealet av de neste trekantene blir: a 4, a3 osv Vi har altså en uendelig geometrisk rekke med a 8 og k a S 4 k d) Forklar hvordan du kunne ha funnet de to summene i oppgave b) og oppgave c) ved hjelp av et geometrisk resonnement. Vi har en rettvinklet likebeint trekant med sidekant lik. Arealet av trekanten er 7. Dette er det samme som arealet av kvadratene som utgjør 3 av figuren og arealet av trekantene som utgjør resten. Eksamen REA304 Matematikk R høsten 04 Side 8 av 8

9 Oppgave (8 poeng) En differensiallikning er gitt ved 4y 4y 5y 0 a) Sett opp den karakteristiske likningen, løs denne og bruk løsningen til å bestemme et generelt uttrykk for y. 5 Vi deler først alle leddene i differensiallikningen på 4 og får y y y 0 4 Den karakteristiske likningen blir 5 r r 0 4 Vi bruker kommandoen «Cløs» i CAS og finner løsningene til den karakteristiske likningen. Likningen har løsningene r i r i Ax Et generelt uttrykk for y er gitt ved y e C sinbx DcosBx Det gir y e C sin x D cos x x der A og B b) Finn integrasjonskonstantene når du får vite at y Vi setter y f x og bruker CAS og y 0. 4 Med initialbetingelsene 3 y0 3 og y 0 får vi integrasjonskonstantene CD 3 4 x 0, 3. Tegner grafen i GeoGebra med kommandoen «Funksjon[<Funksjon>, <Start>, <Slutt>]» c) Tegn grafen til y f x for Eksamen REA304 Matematikk R høsten 04 Side 9 av 8

10 d) Bestem eventuelle nullpunkter til f og koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til f når x 0, 3. Vi bruker kommandoen «NullpunktIntervall[<Funksjon>, <Start>, <Slutt>]» for å finne eventuelle nullpunktene og kommandoen «Ekstremalpunkt[<Funksjon>, <Start>, <Slutt>]» for å finne eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til f. Vi finner at f har nullpunktene.36, 0, 5.5, 0 og 8.64, 0, toppunktene 0.3, 3.3 og 6.6, 0.4 og bunnpunktene 3.46, Eksamen REA304 Matematikk R høsten 04 Side 0 av 8

11 Oppgave 3 (8 poeng) En pyramide ABCDT er gitt på figuren ovenfor. Pyramiden settes inn i et tredimensjonalt koordinatsystem slik at koordinatene til A, B og T er gitt ved A0, 0, 0, B4, 0, 0 og T 0, 0, 4. Punktene C og D ligger i xy planet. a) Vi setter BAD 35 og AD 4. Vis at D har koordinatene 4, 4, 0. Vi vet at punktet C og D ligger i xy planet. Linjen gjennom AD halverer vinkelen mellom «negativ» xakse og y akse. Linjen gjennom AD sammen med koordinataksene x og y danner en rettvinklet trekant. Vi kan finne koordinatene til D ved å bruke Pytagoras setning. katet katet katet 3 katet 4 6 katet 4 Vi legger merke til at x koordinaten blir 4, se figur. Koordinatene til punktet D er dermed D 4, 4, 0 Eksamen REA304 Matematikk R høsten 04 Side av 8

12 b) Punktet C er slik at BC AB AD. BC AB AD BC 4, 0, 0 4, 4, 0 BC,0, 0 4, 4, 0 BC,4, 0, 4, 0. Vis at C har koordinatene Vi finner koordinatene til C ved å bruke posisjonsvektoren OC. OC OB BC OC OC 4, 0, 0, 4, 0, 4, 0 Koordinatene til punktet C er dermed C, 4, 0 Punktene B, D og T ligger i et plan. c) Vis at likningen for er x y z 4 0 Vi bruker kommandoen «Plan[<Punkt>, <Punkt>, <Punkt>] i CAS og finner likningen for planet gjennom punktene B, D og T Vi finner at likningen for planet er : x y z 4 Eksamen REA304 Matematikk R høsten 04 Side av 8

13 Volumet av pyramiden ABDT kalles V og volumet av pyramiden CBDT kalles V. V d) Bestem forholdet. V ABAD AT Volumet av pyramiden (tetraederet) ABDT er gitt ved V 6 BC BDBT volumet av pyramiden (tetraederet) CBDT er gitt ved V. 6 V Vi bruker CAS og finner. V og V I linje 6 i CAS har vi regnet ut at forholdet V 3 Eksamen REA304 Matematikk R høsten 04 Side 3 av 8

14 Oppgave 4 (6 poeng) Et fotballmål har lengde CD 7,3 m. En fotballspiller løper med ballen langs linjestykket AB, slik figuren nedenfor viser. Punktet B ligger 8,0 m fra punktet C. Han vil skyte på mål når er størst mulig. avhenger av lengden x AB. DAC Vi setter DAB u og CAB v og lar f x tan tanu v tanu tanv tanu tanv a) Bruk formelen tanuv til å vise at fx BD 7,3 8,0 5,3 BC 8 Vi har at tan u og tan v. AB x x AB x Jeg bruker CAS, formelen gitt i a) og finner x 7,3x,4 Vi finner at fx 7,3x x,4 Eksamen REA304 Matematikk R høsten 04 Side 4 av 8

15 b) Bestem den største verdien for fx og tilhørende verdi for x. Vi tegner grafen til f i GeoGebra og finner ekstremalpunktet på grafen. Vi finner den største verdien for fx når x,06. Verdien er da f.06 0,33 Vi vet at har sin største verdi når tan har sin største verdi. c) Bestem maks. Vi har f x tan tanu v. Fra oppgave b) har vi at største verdien for Vi bruker CAS og finner. fx er 0,33. Vi får at maks 8,6 Eksamen REA304 Matematikk R høsten 04 Side 5 av 8

16 Oppgave 5 (6 poeng) Et plan er gitt ved likningen x y z 3 0 a) Bestem likningen for den kuleflaten som har sentrum i punktet S,, 6 og som har som tangentplan. Avstanden fra sentrum til planet, altså radius i kulen, er gitt ved avstandsformelen ax by cz d q a b c der x, y, z,, 6 og normalvektoren a, b, c,,. Vi finner at radius er 3. Likningen for kulen blir x y z x y z b) Bestem koordinatene til tangeringspunktet mellom kuleflaten og planet. Vi finner en parameterframstilling for linjen gjennom sentrum og tangeringspunktet til. En retningsvektor for denne linjen vil være normalvektoren til planet og vi har x t y t z 6t Vi finner så den t verdien som er slik at vi får tangeringspunktet mellom kuleflaten og planet. Vi setter inn i parameterframstillingen og finner tangeringspunktet x y z Tangeringspunktet mellom kuleflaten og planet er,, Nedenfor er planet og kulen tegnet i GeoGebra 3D. Vi fant mellom planet og kulen ved å bruke verktøyet «skjæring mellom to skjæringspunktet overflater». Eksamen REA304 Matematikk R høsten 04 Side 6 av 8

17 Symbol i 3D Et plan er gitt ved x y z 0 Dette planet skjærer kuleflaten langs en sirkel. c) Bestem radien i denne sirkelen. Vi ser at planet har samme normalvektor som planet. Avstanden fra sentrum til planet blir, se utregning nedenfor. I oppgave a) fant vi at radien i kulen var 3. Radien i sirkel, avstanden fra sentrum til planet og radien i kula vil danne en rettvinklet trekant. Radien i sirkelen vil være den ene kateten, avstanden fra sentrum av kulen til planet den andre kateten og radien i kulen er hypotenusen, se figurene nedenfor. x 3 x x x 5 Radien i sirkelen er 5 Eksamen REA304 Matematikk R høsten 04 Side 7 av 8

18 Kilder Oppgavetekst med grafiske framstillinger: Utdanningsdirektoratet Eksamen REA304 Matematikk R høsten 04 Side 8 av 8