Eksamen REA3022 R1, Våren 2010

Transkript

1 Eksamen REA0 R1, Våren 010 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 a) Deriver funksjonene 1) ln f 1 f ) g ln ln ln 1 4e 4 4 g e e P b) Vi har polynomfunksjonen 1) Regn ut P. Bruk polynomdivisjon til å faktorisere uttrykket P i førstegradsfaktorer. P Siden P 0, vet vi at en faktor i uttrykket Vi utfører polynomdivisjonen : Da er Eksamen REA0 Matematikk R1, Våren 010 Side 1

2 Vi faktoriserer så andregradspolynomet Vi har da at ) Løs ulikheten P 0 4 P Av det faktoriserte uttrykket ser vi at P 0, for, og 4. Det er bare for disse verdiene av at P kan skifte fortegn. Vi undersøker hvilket fortegn P har i hvert av de fire intervallene,,,,,4 og 4,. Vi bruker det faktoriserte uttrykket. For 10 får vi For 0 får vi For får vi For får vi Eksamen REA0 Matematikk R1, Våren 010 Side

3 For å få en oversikt setter vi opp et fortegnsskjema. - verdier P P 0 for,,4 c) Nedenfor er gitt to utsagn. Skriv av utsagnene i besvarelsen. I boksen mellom utsagnene skal du sette inn ett av symbolene, eller. Per er fra Bergen Per er fra Norge Forklar hvordan du har tenkt. Hvis Per er fra Bergen, må Per være fra Norge, men selv om Per er fra Norge, trenger han ikke være fra Bergen. Vi har derfor implikasjon, men ikke ekvivalens mellom de to utsagnene. d) Vi har vektoren a,5. 1) En vektor b er dobbelt så lang som a og har motsatt retning av a. Skriv b på koordinatform. b a,5 6, 10 ) Finn koordinatene til en vektor c som står normalt på a.,55, c 5, Eksamen REA0 Matematikk R1, Våren 010 Side

4 e) Løs likningen f) I en sirkel med radius r er det innskrevet en trekant ABC. Lengden til radien er gitt til høyre. Siden AB i trekanten er r, og 45 ABC. Konstruer trekanten. Forklar konstruksjonen. Eksamen REA0 Matematikk R1, Våren 010 Side 4

5 1) Jeg avsatte linjestykket AB r. ) Jeg opprettet en normal i B, og halverte vinkelen på 90 for å få ABC 45. ) Jeg opprettet midtnormalen til AB. Sentrum i den omskrevne sirkelen ligger på denne midtnormalen, med avstand r fra A og fra B. 4) Punktet C ligger i avstand r fra sentrum i sirkelen. Jeg finner C og trekker til slutt linjestykket AC. Eksamen REA0 Matematikk R1, Våren 010 Side 5

6 Oppgave Den deriverte til en polynomfunksjon f er gitt ved 1 f a) Bruk uttrykket over til å finne ut hvor funksjonen vokser, og hvor den avtar. Bestem også førstekoordinatene til topp- og bunnpunktet på grafen til f. Av det faktoriserte uttrykket, ser vi at nullpunktene til den deriverte er 1 og. Det er bare for disse verdiene av at den deriverte kan skifte fortegn. Vi undersøker hvilket fortegn f har i hvert av de tre intervallene, 1, 1, og, f 1 0 f f Vi kan da sette opp fortegnslinjen til f - verdier 1 f 0 0 f Av fortegnslinjen ser vi at f vokser for, 1, f avtar for 1, Førstekoordinaten til toppunktet er 1 Førstekoordinaten til bunnpunktet er Eksamen REA0 Matematikk R1, Våren 010 Side 6

7 b) Bestem f. Bruk f 1 f f 4 6 f f 4 4 til å finne førstekoordinaten til vendepunktet på grafen til f. For å finne førstekoordinaten til vendepunktet, setter vi den dobbeltderiverte lik null. f Den deriverte til en polynomfunksjon g er gitt ved g a b c der konstantene a, b og c alle er positive. Vi antar at b c. Førstekoordinatene til topp- og bunnpunktet på grafen til g er maks og min. c) Forklar hvorfor grafen til g bare kan ha ett vendepunkt. Vis at førstekoordinaten til dette vendepunktet ligger midt mellom maks og min. I vendepunkt er g 0 Siden den deriverte er en andregradsfunksjon må den dobbelderiverte være en førstegradsfunksjon. En førstegradsfunksjon kan bare ha ett nullpunkt. Derfor kan funksjonen bare ha ett vendepunkt. Vi finner førstekoordinaten til vendepunktet ved å løse likningen g 0 g a b c g a c b bc g a ac ab abc g a ac ab Eksamen REA0 Matematikk R1, Våren 010 Side 7

8 g 0 a ac ab 0 a ac ab ac ab a ac b a c b Førstekoordinaten til vendepunktet er c b Siden a 0, er grafen til den deriverte en parabel med bunnpunkt. Av det faktoriserte uttrykket ser vi også at den deriverte har nullpunkter b og c 1. Vi har også at b ckan da sette opp fortegnslinjen til g b c - verdier g 0 0 g Vi ser at maks b og min c. Førstekoordinaten til vendepunktet c b ligger da midt mellom maks og min. Eksamen REA0 Matematikk R1, Våren 010 Side 8

9 Del Tid: timer Hjelpemidler: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Oppgave På en tippekupong er det 1 fotballkamper. Når man tipper en enkeltrekke, skal man tippe resultatet i hver av de 1 fotballkampene. Utfallet i en kamp er enten hjemmeseier (H), uavgjort(u) eller borteseier(b). En ivrig tipper la merke til at det i en viss periode ofte var 5 hjemmeseire (H) blant de 1 kampene på tippekupongen. a) Hvor mange ulike utvalg på 5 kamper kan velges ut blant 1 kamper? Antall ulike utvalg på 5 kamper blant 1 kamper er b) Vi har fylt ut 5 kamper som vi tror ender med hjemmeseier. På hvor mange måter kan vi fylle ut de 7 resterende kampene når hver av dem skal fylles ut med enten uavgjort (U) eller borteseier (B)? Antall måter vi kan fylle ut de 7 resterende på er 7 18 Eksamen REA0 Matematikk R1, Våren 010 Side 9

10 c) Hvor stor er sannsynligheten for at en tilfeldig utfylt tipperekke skal inneholde nøyaktig 5 hjemmeseire? Vi kan bruker resultatene fra a) og b) og tenker at vi har 79 ulike utvalg med 5 kamper og 18 måter å ikke få hjemmeseier på de resterende 7 kampene. Det betyr at det er ulike måter å få akkurat 5 hjemmeseire på. Totalt kan vi fylle ut tippekupongen på 1 ulike måter. Vi 7918 får da at sannsynligheten for nøyaktig 5 hjemmeseire er 1 0,191 Oppgave 4 Posisjonsvektoren til en partikkel er gitt ved t r t t, t 1 det vil si yt1 a) Tegn grafen til r når t,. b) Bestem fartsvektoren vt og akselerasjonsvektoren r t t, t 1 v t r t t, 1 v 1, 1 at. Marker v 1 og a1 på kurven til r. 6, 0 a t v t t a 1 6, 0 Eksamen REA0 Matematikk R1, Våren 010 Side 10

11 c) Finn ved regning det punktet på kurven der vt er parallell med y-aksen. vt y aksen vt aksen t, 11,0 0 t, 1 1,0 0 t 0 t 0 r 0, 1 y v t er parallell med -aksen i punktet, 1. Eksamen REA0 Matematikk R1, Våren 010 Side 11

12 Oppgave 5 Du skal svare på enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene teller like mye ved vurderingen. (Dersom besvarelsen din inneholder deler av begge alternativene, vil bare det du har skrevet på alternativ I, bli vurdert.) Alternativ I På figuren ser du en skisse av grafen til funksjonen P 1,1. På skissen har grafene ulik målestokk. f og tangenten T 1 til grafen i punktet a) Vis ved regning at likningen til tangenten T 1 er y Vi finner den deriverte i tangeringspunktet og bruker ettpunktsformelen for å finne likningen til tangenten f = f 1 = y -y f y-1-1 y - Eksamen REA0 Matematikk R1, Våren 010 Side 1

13 Punktet Q på figuren er et annet fellespunkt mellom grafen til f og T 1. b) Forklar at førstekoordinaten til Q må være en løsning av likningen - += 0 Førstekoordinaten må være løsning av den likningen vi får når vi setter f y 0 f Bruk polynomdivisjon og løs denne likningen ved regning. Finn koordinatene til Q. Vi vet at tangenten og grafen til f har et fellespunkt for 1. Da er på venstre side i likningen i b) er delelig med 1. Polynomdivisjon : 1 0 Vi bruker så abc - formelen til å finne de andre nullpunktene y og polynomet 1 1 Vi ser at det ene nullpunktet faller sammen med tangeringspunktet. Koordinatene til Q er-, f - = -, -8 Eksamen REA0 Matematikk R1, Våren 010 Side 1

14 En annen tangent T til grafen er parallell med tangenten T 1. c) Finn tangeringspunktet R mellom grafen til f og T ved regning. Tangentene T og T 1 må ha samme stigningstall. Da må den deriverte i R være lik. f Koordinatene til R er da 1, f 1 1,-1 Oppgave 5 Alternativ II En ledning er 10 meter lang. Ledningen skal kuttes i to deler. Den ene delen skal formes til sidene i et kvadrat. Den andre delen skal formes til sidene i en likesidet trekant. Den delen som brukes til å forme trekanten er meter lang. 5 8 a) Forklar at arealet av kvadratet målt i kvadratmeter kan skrives som 1 F Den delen som brukes til å forme kvadratet er 10. Da blir hver side i kvadratet 10 - og 4 arealet av kvadratet blir 1 1 F Eksamen REA0 Matematikk R1, Våren 010 Side 14

15 b) Forklar at arealet av den likesidete trekanten målt i kvadratmeter kan skrives som F 6 Siden i den likesidete trekanten har lengden. 1 h 6 6 Vi kan bruke Pytagoras setning for å finne høyden i den likesidede trekanten h Arealet blir da 1 F 6 6 c) Undersøk hvordan ledningen må kuttes for at summen F F F 1 skal få sin minste verdi. Eksamen REA0 Matematikk R1, Våren 010 Side 15

16 Vi finner et uttrykk for F 1 F F1 F Vi tegner så grafen til Ekstremalpunkt[f]. F i GeoGebra og finner bunnpunktet ved å bruke kommandoen Vi må bruke 5,7 meter til å forme trekanten for å få minst areal. (Se koordinatsystemet ovenfor.) Eksamen REA0 Matematikk R1, Våren 010 Side 16

17 Oppgave 6 På figuren over setter vi SAD og y BSC. Du skal vise at det er en sammenheng mellom og y når AD r. a) Forklar at ASD. AD SD r ASD er likebeint og ASD SAD b) Vis at SDC SCD. Vinkelsummen i ASD er 180. ADS 180SAD ASD 180 Punktene A, D og C ligger på en rett linje. SDC 180ADS DS CS r DSC er likebeint og SCD SDC c) Vis at y. Vinkelsummen i DSC er 180. DSC 180SDC SCD Eksamen REA0 Matematikk R1, Våren 010 Side 17

18 Punktene A, S og B ligger på en rett linje. y 180ASD DSC DS CS r DSC er likebeint og SCD SDC Oppgave 7 Vi vil undersøke om tallet 4 n 1 er delelig med når n er et naturlig tall. a) Kontroller at n er delelig med når n 1, n, n og n 4. Tallene blir, 15, 6 og 55 som alle er delelig på. b) Vis at 4 n 1 n 1 n 1. Vi omformer den første potensen og bruker tredje kvadratsetning n n n n c) Forklar at n 1, n og n 1 er tre hele tall som ligger etter hverandre på tallinjen. Det andre tallet er én større enn det første og det tredje er én større enn det andre. Altså er dette tre hele tall som ligger etter hverandre på tallinjen. Forklar at ett av disse tallene er delelig med. Hvilket av tallene kan ikke være delelig med? Siden hvert tredje hele tall på tallinjen er delelig med, må ett av disse tallene være delelig med. Tallet n kan ikke være delelig med. d) Bruk b) og c) over til å bevise at 4 n 1 er delelig med for alle naturlige tall n. n n n n n n Eksamen REA0 Matematikk R1, Våren 010 Side 18

19 Da er både n n 1 og 1 faktorer i 4 n 1 med. Altså må 4 n 1 være delelig med.. Fra c) vet vi at én av disse faktorene er delelig Bildeliste Tippekupong Foto: Roger Hardy/Samfoto/Scanpi Eksamen REA0 Matematikk R1, Våren 010 Side 19