Eksamen 1T, Våren 2010

Transkript

1 Eksamen 1T, Våren 010 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (0 poeng) a) Funksjonen f er gitt ved f x x 3 Tegn grafen til f og finn nullpunktet for f. f x 0 x 3 0 x 3 3 x x 1,5 Funksjonen har nullpunkt x 1,5 1

2 b) Løs likningen x 8x 15 x x 8x 15 8x x 8 x x 5 x 1 3 c) Regn ut d) Skriv så enkelt som mulig 4a a a a a 4 1 a a a 1 6 a

3 e) Funksjonen f er gitt ved 3 f x x 8x 4 Finn likningen for tangenten til f i punktet 3 f x x 8x 4 f f x 6x 8 f , f 1. y y a x x 1 1 y10 x1 y x 10 yx8 Likningen for tangenten er yx 8 f) Faktoriser teller og nevner og forkort brøken x 9 x 6x 9 x 9 ( x 3)( x 3) x 3 x 6x 9 ( x 3)( x 3) x 3 3

4 g) Løs likningen lg x 4 3lg lg x 4 3lg lg x 4 lg x x 8 4 x 4 x h) Figuren ovenfor viser et lykkehjul. 1) Lise snurrer hjulet én gang. Hva er sannsynligheten for at pilen peker på enten blått eller grønt felt når hjulet stopper? 3 5 P(Blått eller grønt felt) ) Lotte snurrer hjulet to ganger. Hva er sannsynligheten for at pilen peker én gang på gult felt og én gang på grønt felt? P(Én gang på gult felt og én gang på grønt felt)

5 i) Du får vite dette om en trekant ABC : A 90 AB 4cm sinb cos B Forklar hvordan denne trekanten må se ut, og lag en figur. AB cosb 4 BC BC AC sinb BC Dette må være en rettvinklet, likebeint trekant der AC AB 4cm. 5

6 Oppgave (4 poeng) I koordinatsystemet har vi tegnet grafen til en andregradsfunksjon g. a) Tegn en fortegnslinje for gx og en fortegnslinje for ' g x. x - verdier 0 gx gx b) Finn funksjonsuttrykket for funksjonen g. Siden g har nullpunkt I tillegg vet vi at Dette gir at a x g a a 4 4a a 1 g x 1 x 4 x 4 x og x, må gx ax x ax 4 6

7 Del Tid: 3 timer Hjelpemidler: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Oppgave 3 (6 poeng) Gitt firkanten ABCD. a) Regn ut hvor langt er det fra A til C. Vi bruker Pytagoras setning og regner i wxmaxima. Det er ca. 5,8 m fra Atil C. b) Regn ut hvor langt det er fra B til D. Vi bruker cosinussetningen og setter opp en likning som vi løser i wxmaxima. Siden BD er en lengde, ser vi bort fra den negative løsningen. Det er ca. 8,7 m fra Btil D. 7

8 Tommy vil regne ut arealet av firkanten ved å legge sammen arealene av de to trekantene ABC og ACD. Ove mener det er enklere å finne arealet av trekant ABD og trekant BCD. c) Finn arealet av firkant ABCD 1) ved å bruke Ove sin framgangsmåte Vi bruker arealsetningen for å regne ut arealet av hver av de to trekantene. Arealet er ca. m. ) ved å bruke Tommy sin framgangsmåte Vi finner først ACB. tan ACD 3,0 5,0 ACD 31,0 ACB 10ACD 10 31,0 89,0 Vi bruker formelen gh A for å finne arealet av ACD og arealsetningen for å finne arealet av ABC. Arealet er ca. m. 8

9 Oppgave 4 (6 poeng) Arne er ute og sykler. Først sykler han en halv time med en jevn fart på 1 km/t. Så sykler han en halv time med en jevn fart på 18 km/t. a) Hvor langt har Arne syklet etter 45 minutter? Han har syklet 10,5 km. b) Tegn en graf som viser hvor mange km, y, Arne har syklet etter x minutter. 9

10 For å beskrive den grafiske framstillingen i b) trengs det to funksjonsuttrykk. c) Finn disse to funksjonsuttrykkene. Husk å oppgi i hvilket tidsintervall hvert av dem gjelder. y 0,x for x 0,30 y 0,3x ,3x 96 0,3x 3 for x 30,60 y 0,3x 3 for x 30,60 10

11 Oppgave 5 (6 poeng) En undersøkelse fra Norges Optikerforbund viser at i aldersgruppen 15-9 år er det 14,3 % som bare bruker briller 7, % som bare bruker kontaktlinser 9,7 % som bruker både kontaktlinser og briller a) Lag en systematisk oppstilling (diagram eller tabell) for å illustrere opplysningene i teksten ovenfor. Vi setter opp et venndiagram U 100 Kontaktlinser Briller 7, 9,7 14,3 68,8 b) Finn sannsynligheten for at en tilfeldig valgt person i gruppen ikke bruker briller. Sannsynligheten for at en tilfeldig valgt person i gruppen ikke bruker briller er 76 %. c) En tilfeldig valgt person i gruppen bruker briller. Finn sannsynligheten for at denne personen også bruker kontaktlinser. Sannsynligheten for at personen også bruker kontaktlinser er ca. 40 %. 11

12 Oppgave 6 (8 poeng) Funksjonen f er gitt ved f x 0,5x x a) Tegn grafen til f for x -verdier mellom 3 og 7. b) Finn nullpunktene for f og bunnpunktet for grafen til f ved regning. Vi definerer funksjonen i wxmaxima. Så løser vi likningen fx 0 Nullpunkt x 0 x 4 1

13 For å finne bunnpunktet, deriverer vi og setter den deriverte lik null. Vi finner så andrekoordinaten til bunnpunktet Bunnpunkt, c) Finn stigningstallet for tangenten til grafen i punktet 1, 1 Tangenten har stigningstall 1. Se koordinatsystemet ovenfor. f. d) Grafen til f har en tangent med stigningstall 1. Finn en likning for denne tangenten. På grunn av symmetrien, vil tangenten i punktet x 3 ha stigningstall 1. Likningen for denne tangenten er yx 4,5. Se koordinatsystemet ovenfor. 13

14 Oppgave 7 (8 poeng) I denne oppgaven skal du velge enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene teller like mye ved sensuren. Alternativ I Gitt likningssystemet y x x a yx3 a) Sett a 6 og løs likningssystemet 1) ved regning Vi bruker wxmaxima og løser to likninger med to ukjente. Løsning x 6 y 15 x 0 y 3 14

15 ) grafisk Vi skriver de to likningene inn i GeoGebra, og får opp den grafiske løsningen. Se koordinatsystemet nedenfor. Løsning x 6 y 15 x 0 y 3 b) Hva må a være for at x 1 og y 5 skal være en løsning av likningssystemet? Vi bruker den første likningen, og finner at hvis 51 1 a a 11 x 1 og y 5, er 15

16 c) Finn ut for hvilke verdier av a likningssystemet har én løsning to løsninger ingen løsning y x x a yx3 Fra den andre likningen får vi y3x Vi setter inn for y i den første likningen 3 x x x a 6 4x x x a 0 x 6x 6 a 0 a x a x a x Denne likningen har én løsning når determinanten 60 4a a 0 4a 60 a 15 Likningen har én løsning når 60 4a 0, dvs. når a 15. Likningen har to løsninger når 60 4a 0, dvs. når a 15. Likningen har ingen løsning når 60 4a 0, dvs. når a

17 Alternativ II Et hus har form som figuren ovenfor. Alle mål er gitt i meter. a) Forklar at arealet av huset er gitt ved uttrykket 30a a. Regn ut arealet når a 5. Grunnflaten i huset består av et kvadrat og et rektangel. Vi regner i wxmaxima. Først får vi Vi velger så «Utvid» og får Når a 5 får vi Arealet er 100 m. 17

18 b) For hvilke verdier av a er arealet av huset 11 m? Vi tegner grafen til uttrykket 30a a i GeoGebra sammen med den rette linja y 11 og finner skjæringspunktene ved å bruke kommandoen «Skjæring mellom to objekt». Arealet av huset er 11 m når a7 og når a 8. c) Hva er det største arealet huset kan ha? Vi finner at toppunktet på grafen er 7,5, 11,5 ved å bruke kommandoen «Ekstremalpunkt» i GeoGebra. Se koordinatsystemet ovenfor. Det største arealet er 11,5 m. d) For hvilke verdier av a er arealet av huset større enn 7 m? Vi tegner inn den rette linja y 7 i samme koordinatsystem som vi brukte i b) og finner skjæringspunktene med grafen til uttrykket 30a a ved å bruke kommandoen «Skjæring mellom to objekt». Se koordinatsystemet ovenfor. Arealet er større enn 7 m for a 3,1. 18

19 Bildeliste Arne sykler Foto: Utdanningsdirektoratet Briller og kontaktlinser Foto: Utdanningsdirektoratet 19