Eksamen 1T våren 2015 løsning

Transkript

1 Eksamen T våren 05 løsning Tid: 3 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave ( poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform 5 7,5 0 0,003 7, ,5 0, Oppgave ( poeng) Løs likningssystemet 6y 4y 6 Vi bruker innsettingsmetoden. 6y 4y 6 6y 6y 4y 6 6y y 4y 6 6y 8y 8 6 y 5 y Eksamen MAT03 Matematikk T Våren 05 Side av 4

2 Oppgave 3 ( poeng) Løs ulikheten Vi faktoriserer først uttrykket ved hjelp av nullpunktmedtoden Vi har dermed at Vi bruker fortegnsskjema og finner når Vi finner at for 5 Oppgave 4 (4 poeng) Regn ut og skriv svaret så enkelt som mulig a) b) Eksamen MAT03 Matematikk T Våren 05 Side av 4

3 Oppgave 5 ( poeng) Løs likningen lg( 0,9) 0 0 lg 0,9 0,9 0, Oppgave 6 ( poeng) Bestem b slik at uttrykket blir et fullstendig kvadrat. b 6 Vi bruker. kvadratsetning b 6 blir et fullstendig kvadrat. b I vår oppgave ser vi at y b. Det betyr at y. Vi har da at uttrykket Det betyr at y y y for å bestemme b slik at uttrykket b 6 kan skrives som b b 6. b b 6 b 6 4 b 64 b 8 Oppgave 7 ( poeng) Skriv så enkelt som mulig ( ) ( )( ) Eksamen MAT03 Matematikk T Våren 05 Side 3 av 4

4 Oppgave 8 ( poeng) Skriv så enkelt som mulig Oppgave 9 ( poeng) En rett linje går gjennom punktene (, ) og (3, 4). Bestem likningen for den rette linjen ved regning. Vi bruker ettpunksformelen y y a Vi bruker punktet, y 3, 4 der 4 a 3 4 Likningen for den rette linjen blir dermed y 4 3 y y Eksamen MAT03 Matematikk T Våren 05 Side 4 av 4

5 Oppgave 0 (5 poeng) ABC og DEF er gitt nedenfor. C F A B D E a) Bestem eksakte verdier for AB og DF. AB DF AB DF AB 3 3 DF b) Skriv av tabellen nedenfor. Bruk ABC og DEF, gjør beregninger og fyll ut det som mangler i tabellen. Bruk eksakte verdier. For å finne tallene som mangler i tabellen bruker vi sammenhengene motstående katet sinu hypotenus og motstående katet tanu hosliggende katet hosliggende katet cosu hypotenus u sinu cosu tanu Eksamen MAT03 Matematikk T Våren 05 Side 5 av 4

6 Oppgave (5 poeng) Tenk deg at du har ni flasker med smoothie i kjøleskapet, to «Surf», tre «Jump» og fire «Catch». Du tar tilfeldig to flasker. a) Bestem sannsynligheten for at du ikke tar en «Jump»-smoothie Sannsynlighet for ingen «Jump»-smoothie. P JJ b) Bestem sannsynligheten for at du tar én «Surf»- og én «Catch»-smoothie. Det to mulige måter for å ta én «Surf»- og én «Catch»-smoothie. Enten kan du først ta en «Surf», så en «Catch» eller først en «Catch», så en «Surf». Sannsynligheten for å trekke en av hver blir dermed P SC P CS c) Bestem sannsynligheten for at du tar to like flasker. Sannsynligheten for to like flasker blir P SS P JJ P CC Eksamen MAT03 Matematikk T Våren 05 Side 6 av 4

7 Oppgave (6 poeng) Funksjonen f er gitt ved f( ) 4 6 a) Bestem skjæringspunktene mellom grafen til f og koordinataksene ved regning. Skjæring med aksen Grafen til f skjærer aksen i og i 3. Skjæring med y aksen f Grafen til f skjærer y aksen i y 6. b) Tegn grafen til f for,4 Grafen til f er en parabel med toppunkt. Vi kan finne verdien til toppunktet ved å bruke b symmetrilinjen. Grafen til f har dermed et toppunkt i, f, 8 a, f, 0 og 4, f 4 4, 0. Vi finner også koordinatene Nedenfor har vi markert punktene i et koordinatsystem. Vi tegner en glatt kurve gjennom punktene. Husk at grafen til f skal tegnes i for, 4. Eksamen MAT03 Matematikk T Våren 05 Side 7 av 4

8 Funksjonen g er gitt ved g( ) c) Løs likningen f( ) g( ) grafisk. Vi tegner grafen til g i samme koordinatsystem som grafen til f. verdiene til skjæringspunktene mellom grafene likningen f g. f og g er dermed løsningen på Vi ser at grafen til g er lineær og skjærer y aksen i y med stigningstall. I koordinatsystemet ovenfor ser vi at f g Det betyr at f g for disse to verdiene. når og når. Oppgave 3 ( poeng) Tenk deg at jorda har form som en kule, og at det er plassert et tau rundt ekvator. Tauet er strammet. Tenk deg så at du forlenger tauet med 0 m og plasserer det slik at det danner en sirkel med sentrum i jordas sentrum. Vil du da kunne gå under tauet? Vi har at omkretsen til jorden er gitt ved og tauets omkrets er gitt ved, er jordens radius og r T er tauets radius. Vi vet at tauets omkrets er 0 m lengre enn jordens omkrets. Vi kan dermed sette: r r 0 m r r 0 m T r r 0 m T r T J T J 0 m rj J r J r T der rj Vi finner at det er omtrent 3, m mellom jorden og tauet. Du vil fint gå under tauet. Eksamen MAT03 Matematikk T Våren 05 Side 8 av 4

9 Tid: timer Hjelpemidler: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Oppgave (5 poeng) Silje driver butikk. I slutten av mars opprettet hun en side på Facebook. I slutten av april fant Silje ut at antall personer som hadde klikket «liker» på siden hennes dager etter 3. mars, tilnærmet var gitt ved funksjonen f ( ) 80,045 Her svarer 0 til 3. mars, = til. april, = til. april, og så videre. Anta at denne funksjonen også vil gjelde for mai. a) Hvor mange personer hadde klikket «liker» på Siljes side før. april? Hvor mange prosent øker antall «liker» med per dag? Vi har fått oppgitt at 0 tilsvarer 3. mars. Det betyr at antall personer som hadde klikket 0 «liker» på Siljes side før. april er gitt ved f Vi ser at vekstfaktoren er,045. Det betyr at antall «liker» øker med 4,5% per dag. b) Vil antall «liker» passere 000 innen utgangen av mai? Vi bruker CAS og løser likningen f 000. Vi ser at går 58 dager fra. mars før antall «liker» passerer 000. Det betyr at Siljes side vil passere 000 «like» før utgangen av mai. c) Bestem f (6) og f (6). Hva forteller disse verdiene om antall «liker» på Siljes side? Vi finner at f 6 6. Det betyr at antall «liker» per dag er omtrent 6 den 6. mars. f 6 7,. Det betyr at antall I linje 4 finner vi at «liker» øker med litt mer enn 7 hver dag etter 6 dager. Eksamen MAT03 Matematikk T Våren 05 Side 9 av 4

10 Oppgave (5 poeng) Gitt ABCD ovenfor. Lengden av diagonalen BD 8. Bruk CAS til å bestemme lengdene av sidene i firkanten eksakt. Vi ser at BCD er rettvinklet. Vi bruker da definisjonen til sinus og cosinus for å finne sidene BC og DC, se linje og ovenfor. For å finne sidene AD og AB bruker vi sinussetningen, se linje 3 og 4. I linje 4 har vi brukt at ADB Eksamen MAT03 Matematikk T Våren 05 Side 0 av 4

11 Oppgave 3 (9 poeng) Funksjonen f er gitt ved f 3 ( ) a) Bruk graftegner til å tegne grafen til f, bestemme nullpunktene til f og eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til f. Vi tegner grafen til f i GeoGebra. Vi finner nullpunktene til f ved å bruke kommandoen «Nullpunkt[<Polynom>]». Nedenfor ser nullpunktene A, B og C til f Vi bruker kommandoen «Ekstremalpunkt[<Polynom>]» for å bestemme eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til f. Nedenfor ser vi at grafen til f har et toppunkt i D 0.7, 8.39 bunnpunkt i E 3.73,.39. og et Eksamen MAT03 Matematikk T Våren 05 Side av 4

12 b) Bruk CAS til å bestemme eksakte verdier for nullpunktene til f og for eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til f. I linje har vi definert funksjonen til f I linje har vi funnet de eksakte verdiene til nullpunktene. I linje 3 finner verdiene til topp- og bunnpunktet på grafen til f. I linje 4 og 5 finner vi de eksakte koordinatene til henholdsvis topp- og bunnpunktet. Grafen til f har to tangenter med stigningstall lik 3. c) Bestem likningene for de to tangentene. Vi bruker CAS og løser likningen f 0. Vi finner at grafen til f har stigningstall lik 3 for 0 og for 4, se linje 6. I linje 7 og 8 bruker vi kommandoen «Tangent[<Punkt>, <Funksjon>]» og finner likningene for tangentene til f med stigningstall lik 3. Eksamen MAT03 Matematikk T Våren 05 Side av 4

13 d) Tegn de to tangentene i samme koordinatsystem som grafen til f. Oppgave 4 ( poeng) Ida selger små og store kuleis. En liten kuleis koster 4 kroner og har to iskremkuler. En stor kuleis koster 3 kroner og har tre iskremkuler. En liter iskrem gir i alt iskremkuler. En dag solgte Ida kuleis for 75 kroner. Hun hadde da brukt 0 L iskrem. Hvor mange store kuleis solgte Ida denne dagen? Vi setter opp to likninger og løser i CAS. Vi lar S være stor kuleis med tre iskremkuler og L være liten kuleis med to iskremkuler. En dag solgte Ida kuleis for 75 kroner og det gikk med 0 L is som gir 0 40 iskremkuler. Det gir likningene 4L 3S 75 og L 3S 40 Ida solgte 7 små kuleis og 3 store kuleis denne dagen. Eksamen MAT03 Matematikk T Våren 05 Side 3 av 4

14 Oppgave 5 (3 poeng) Punktene B og C på figuren ovenfor deler diameteren AD i tre like store deler. Alle buene i figuren er sirkelbuer. Sett AD a og bestem forholdet mellom arealet av sirkelen og arealet av det svarte området. a Vi har at halvsirklene AC og BD har radius lik. Videre har halvsirklene AB og CD 3 a radius lik. 6 I linje har vi satt opp uttrykket for arealet av det svarte området. Dette arealet finner vi ved å ta arealet av de to store halvsirklene AC og BD minus arealet av de to små halvsirklene AB og CD I linje finner vi at arealet av det svarte området. I linje 3 og 4 har vi funnet arealet av hele sirkelen. I linje 5 og 6 har vi funnet arealet mellom det svarte området og hele sirkelen. Vi finner at det svarte området utgjør 3 av hele sirkelen. Kilder Oppgavetekst med grafiske framstillinger: Utdanningsdirektoratet Eksamen MAT03 Matematikk T Våren 05 Side 4 av 4