Eksamen S2 va ren 2015 løsning

Transkript

1 Eksamen S va ren 05 løsning Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler. Oppgave (5 poeng) Deriver funksjonene. a) x f x e x f x e e x b) gx x x x x x x x x x g x x x x c) hx 3x e x x x x hx 3e 3x e e 33x e 3x 4 Eksamen REA308 Matematikk S våren 05 Side

2 Oppgave (3 poeng) På figuren har vi tegnet grafen til en funksjon f gitt ved 3 f x x x kx k D., f a) Faktoriser fx med lineære faktorer. fx har nullpunktene x 3, x og x 3. Det betyr at f x x 3 x x 3 b) Bestem verdien for k ved regning. Vi vet at f 3 0. Det betyr at 3 k k k k 0 4k 36 k 9. Eksamen REA308 Matematikk S våren 05 Side

3 Oppgave 3 (3 poeng) a) Forklar hva det vil si at en rekke a a a3 an er aritmetisk. En rekke er aritmetisk hvis differansen mellom to påfølgende ledd alltid er den samme. Det må altså finnes et tall d slik at anan d for alle verdier av n. b) En murer skal lage en vegg slik figuren viser. Bruk teori om rekker til å bestemme hvor mange murstein mureren trenger, når han vet at det er totalt 0 rader med murstein. I den øverste raden er det murstein. I den neste er det. Antall murstein i hver rad nedover øker med. Antall murstein til sammen er derfor lik summen av en aritmetisk rekke med a, d og n 0. a an For aritmetiske rekker gjelder at an a n d og Sn n. a a0 0 I vår rekke er a0 0 0 og S Mureren trenger 0 murstein. Eksamen REA308 Matematikk S våren 05 Side 3

4 Oppgave 4 (4 poeng) Tallet x 0,555 består av uendelig mange 5-tall etter komma. a) Forklar at vi kan se på dette tallet som summen av den uendelige geometriske rekken Bruk dette til å skrive x som en brøk. Tallet x kan skrives som x 0,555 0,5 0,05 0, Tallet x kan altså skrives som en uendelig konvergent geometrisk rekke med a, k og 0 0 med sum Det betyr at 5 x S b) Tallet y 0,333 kan skrives som en uendelig geometrisk rekke. Bruk dette til å skrive y som en brøk. y 0,333 0,3 0,003 0, y Eksamen REA308 Matematikk S våren 05 Side 4

5 Oppgave 5 (8 poeng) Funksjonen f er gitt ved 3 f x x 6x 9x 4, Df. a) Vis at x er et nullpunkt til f. Bestem eventuelt andre nullpunkter. 3 Siden f , er x et nullpunkt til f. Jeg foretar polynomdivisjonen Jeg setter så x 3 x x 3 x 6x 9x 4 : x x 5x 4 5x 9x4 5x 5x 4x 4 4x 4 5x 4 0. Det gir to andre nullpunkter x 53 x x x 4 b) Bestem eventuelle topp- eller bunnpunkter på grafen til f. I eventuelle topp- og bunnpunkter er den deriverte lik null. f x 0 3x x x 3 x x x x Det betyr at f x x x 3 Jeg tar stikkprøver for å finne fortegnet til den deriverte i aktuelle intervall. Eksamen REA308 Matematikk S våren 05 Side 5

6 f positivt f 3 negativt f positivt Jeg lager fortegnslinje Grafen stiger når x 3, grafen synker for 3 x og grafen stiger for x. 3 3 Grafen har toppunkt i f 3, 3 3, ,4. Grafen har bunnpunkt i f c) Bestem eventuelle vendepunkter på grafen til f. I vendepunktet er den dobbeltderiverte lik null. x,, 6 9 4,0. f x 3x x 9 f x 6x f 0 6x 0 6x x Vendepunktet har koordinater 3 f,, 6 9 4, ,. d) Lag en skisse av grafen til f. Eksamen REA308 Matematikk S våren 05 Side 6

7 Oppgave 6 (5 poeng) En stokastisk variabel X har følgende sannsynlighetsfordeling: x 0 P X x a b c Vi får oppgitt at forventningsverdien E X og variansen a) Vis at disse opplysningene gir oss likningssystemet a b c b c a b 9c Samlet sannsynlighet er lik. Det betyr at abc. E X 0a bc bc Var X 0 a b c 9 a b c a b 9c b) Bestem ved regning verdien av a, b og c. abc b ac Det gir a c 9c a a a c 9c 8c c 8 b b a Vi får løsningene a b c Var X. Eksamen REA308 Matematikk S våren 05 Side 7

8 Oppgave 7 (4 poeng) I denne oppgaven kan du få bruk for tabellen over standard normalfordeling i vedlegg. Vekten X av voksne hjortebukker i en kommune er normalfordelt med forventningsverdi og med standardavvik 0 kg. a) Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig valgt hjortebukk veier mindre enn 90 kg PX 90 PZ PZ 0,5 0, ,85%. 0 b) Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig valgt hjortebukk veier mellom 90 og 0 kg. P 90 X 0 P X 90 0,3085 0,670 0, ,30%. Alternativt: P X P Z P Z 0 0 P Z 0,5 0,5 0,695 0,3085 0, ,30% ,5 0,5 PZ 00 kg Eksamen REA308 Matematikk S våren 05 Side 8

9 Oppgave 8 (4 poeng) På figuren ovenfor er det tegnet fire grafer. Avgjør hvilken graf som hører til funksjonen f og hvilken graf som hører til funksjonen g når f x 00 e Begrunn svaret ditt. x 5 00 og gx x 5 e 00 gx nærmer seg verdien x 5 e 0 05 e 5 e grafen som nærmer seg 00 når x blir stor. veldig nærme. Det betyr at graf hører til når x blir stor. Allerede når x 0, er nevneren g x siden dette er den eneste 00 fx 5 nærmer seg verdien x e 0 når x blir stor f og f e 5 5 e e Det betyr at graf 4 hører til fx siden dette er den eneste grafen som oppfyller alle tre kravene. Eksamen REA308 Matematikk S våren 05 Side 9

10 Tid: 3 timer Hjelpemidler: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Oppgave (6 poeng) De daglige kostnadene i kroner til en bedrift som produserer x enheter av en vare per dag er gitt i tabellen nedenfor. x Kx a) Bruk regresjon til å bestemme et andregradsuttrykk for Kx. Jeg la verdiene fra tabellen inn i regnearket i GeoGebra, og valgte regresjonsanalyse med polynomgrad som regresjonsmodell. Jeg fikk modellen K x,x 96,8x 586. Eksamen REA308 Matematikk S våren 05 Side 0

11 Inntektene I kroner ved salg av x enheter per dag er gitt ved Ix p x, der p er prisen på varen og x 40,00 b) Hva må p være dersom overskuddet skal bli størst når det produseres og selges 75 enheter per dag. Hvor stort blir overskuddet da? Overskuddet er lik inntekt minus kostnad. Jeg definerer kostnads-, inntekts- og overskuddsfunksjonen i CAS i GeoGebra. Jeg finner videre at O75 0 for p 33. Linje 6 i CAS viser at grafen til Ox vender sin hule side ned og derfor har et toppunkt for x 75 når p 33. En pris per enhet på kroner 33 gir maksimalt overskudd når det produseres og selges 75 enheter per dag. Overskuddet er da på kroner per dag. Eksamen REA308 Matematikk S våren 05 Side

12 Bedriften har gjort en markedsanalyse. Sammenhengen mellom antall solgte enheter x og prisen p viser seg å være x00,p c) Bestem hvilken pris som vil gi det største overskuddet per dag. Jeg definerer funksjonene ovenfor i CAS som funksjoner av p hvor jeg erstatter x med 00,p. Regningen i CAS viser at en pris på 30 kroner per enhet gir størst overskudd per dag. Eksamen REA308 Matematikk S våren 05 Side

13 Oppgave (6 poeng) I lungene blir oksygen bundet til hemoglobin og transportert rundt i kroppen av blodet. Hemoglobinet er mettet når det ikke er i stand til å ta opp mer oksygen. Den engelske fysiologen A.V. Hill oppdaget i 90 en sammenheng mellom deltrykket til oksygenet i lungene, og metningsgraden g. Han fant ut at under visse forhold er 3 x gx, x 0 3 x 5000 Her er deltrykket x målt i mmhg (millimeter kvikksølv). a) Bruk graftegner til å tegne grafen til g. b) Bestem grafisk hva deltrykket x må være for at metningsgraden gx skal være større enn 0,8. Jeg tegner grafen til linjen y 0,8 sammen med grafen til g. Kommandoen «Skjæring mellom to objekt» gir skjæringspunktet mellom grafene. Se punkt A. Vi ser grafisk at deltrykket må være større enn 46,4 mmhg for at metningsgraden skal bli større enn 0,8. c) Bruk derivasjon til å vise at metningsgraden øker dersom deltrykket øker. Forklar. Jeg deriverer uttrykket for gx i CAS og faktoriserer svaret. Vi ser at både teller og nevner i uttrykket for den deriverte alltid er positive. Siden så vil g' x alltid er positiv, gx, metningsgraden, alltid øke når deltrykket x øker. Eksamen REA308 Matematikk S våren 05 Side 3

14 Oppgave 3 (3 poeng) For at en bestemt type hamburgere skal kunne bli merket med «grønt nøkkelhull», må de inneholde høyst 0 g fett. I en kontroll viste det seg at fettinnholdet (i gram) i 0 tilfeldig valgte hamburgere var, 0,,, 9, 0,,, 0, Vi antar at fettinnholdet er normalfordelt med forventningsverdi 3 g. 0 g og med standardavvik Bedriften oppgir at fettinnholdet er 0 g. En forbrukergruppe påstår at fettinnholdet er for stort til at hamburgerne kan bli merket med grønt nøkkelhull. Bruk hypotesetesting til å vurdere påstanden. Bruk et signifikansnivå på 5 %. Nullhypotesen: H : 0. 0 Alternativ hypotese: H : 0. Jeg antar H 0 Siden fettinnholdet i én hamburger er normalfordelt med forventningsverdi 0 g og med standardavvik 3 g, så er fettinnholdet i 0 hamburgere ifølge Sentralgrensesetningen normalfordelt med forventningsverdi 0 0 g og med standardavvik 3 0 g. Jeg finner sannsynligheten for at vi rent tilfeldig kan få så mye fett i 0 hamburgere som vi her får. Vi får en p-verdi på 3.03 %. Det er altså 3.03 % sannsynlig at vi får så høye fettverdier samtidig som nullhypotesen gjelder. Dette er langt over signifikansnivået på 5 %. Det er ikke grunn til å si at fettinnholdet er for stort til at hamburgerne kan bli merket med grønt nøkkelhull. Eksamen REA308 Matematikk S våren 05 Side 4

15 Oppgave 4 (4 poeng) Kristin bestemmer seg for å spare penger til hun blir pensjonist. Hun ønsker å ha millioner kroner på konto den dagen hun fyller 60 år. For å oppnå dette, vil hun sette inn et fast årlig beløp, første gang når hun fyller 5 år og siste gang når hun fyller 59 år. Hun regner med en årlig rente på 5 % i hele perioden. a) Vis at hun må sette inn omtrent 000 kroner hvert år. Jeg lager et skjema for å få oversikt over situasjonen. Jeg kaller det faste årlige beløpet for x. Kristins sparebeholdning ved 60 år utgjør en geometrisk rekke med sum lik millioner. Jeg løser likningen i CAS Kristin må sette inn omtrent kroner 000 hvert år. Eksamen REA308 Matematikk S våren 05 Side 5

16 Den dagen Kristin fyller 60 år, vil hun ta ut kroner. Det samme vil hun gjøre på hver av de fire neste fødselsdagene. b) Hvor stort beløp har Kristin på kontoen den dagen hun fyller 65 år? Jeg lager et skjema for å få oversikt over situasjonen. Kristins samlede uttak utgjorde på 65-årsdagen en geometrisk rekke med sum Samtidig hadde Kristins beholdning fra hun var 60 år forrentet seg i fem år Kristin har da igjen Kristins kontobeholdning når hun fyller 65 år er på 39 8 kroner. Eksamen REA308 Matematikk S våren 05 Side 6

17 Oppgave 5 (5 poeng) Grafen til en logistisk funksjon a fx er skissert nedenfor. kx be a) Grafen skjærer y-aksen i punktet P. Bestem y-koordinaten til P uttrykt ved a og b. a a a Punktet P har koordinater 0, f 0 hvor f 0 k 0 be b b. b) Bruk CAS og derivasjon til å vise at vendepunktet V har y-koordinat lik a. Jeg definerer y-koordinaten til V. fx i CAS, finner x-koordinaten til V ved å løse likningen f x 0 og finner så Dette viser at vendepunktet V har y-koordinat lik a. ak c) Bruk CAS til å vise at tangenten i V har stigningstall lik. 4 Tangenten i V har stigningstall lik den deriverte til f x i V Eksamen REA308 Matematikk S våren 05 Side 7

18 Kilder: Oppgavetekst med grafiske framstillinger: Utdanningsdirektoratet. Eksamen REA308 Matematikk S våren 05 Side 8