( ) DEL 1 Uten hjelpemidler. Oppgave 1. Oppgave 2. Px ( ) er altså delelig med ( x 2) hvis og bare hvis k = 8. f x x x. hx ( x 1) ( 1) ( 1) ( 1)

Transkript

1 DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler Oppgave 1 a f x x x f ( x) = 6x+ 6 ( ) = c 3 gx ( ) = 5ln( x x) 1 3 g ( x) = 5 3 ( x x ) x x 1 = x x 15x 5 = 3 x x ( x ) 1 ( ) = x hx x + 1 ( x 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( ) x+ x x+ h x = ( x + 1) 1 ( x+ 1) ( x 1) 1 = ( x + 1) = ( x + 1) Oppgave a ( ) Px er delelig med ( x ) P() = k = 0 8+ k = 0 k = 8 Px ( ) er altså delelig med ( x ) hvis og are hvis k = 8. Aschehoug Side 1 av 1

2 Divisjonen Px ( ) : ( x ) vil, etter det vi vet fra oppgave a, gå opp. x x + x x = x x+ 3 x x 5x + 1x 8 5x + 10x x 8 x 8 3 ( 7 1 8) : ( ) 5 0 Vi faktoriserer kvotienten videre ved hjelp av nullpunktmetoden. x 5x+ = 0 Det gir at ± x = 1 5± 9 x = 5± 3 x = x= 1 x= ( 5) ( 5) 1 x 5x+ = ( x 1)( x ). Altså får vi ( ) = ( 1)( )( ) Px x x x. c Px ( ) 0 ( x 1)( x )( x ) 0 Fortegnslinja for Px ( ) gir L =,1] [, ] Oppgave 3 a 1 x f( x) = x e f ( x) = x e + x e (produktregelen) 1 x 1 x ( ) ( ) = x + x x 1 x 1 x e e ( ) (kjerneregelen) = x e x e 1 x 3 1 x 1 x e (1 ) = x x = x(1 x )e 1 x Vi finner eventuelle ekstremalpunkter ved å løse likningen f ( x ) = 0. 1 x x(1 x )e = 0 x(1 x)(1 + x) = 0 x= 0 x= 1 x= 1 Vi lager fortegnslinje for f ( x ): Aschehoug Side av 1

3 Vi ser at 1 og 1 er maksimalpunkter, og at 0 er et minimalpunkt. 1, f ( 1) ( 1,1) 1, f (1) = (1,1). Toppunktene på grafen til f er derfor ( ) = og ( ) Bunnpunktet på grafen til f er ( 0, f (0)) = (0, 0). c Nøyaktig tegning kreves ikke, men grafen må være glatt og stemme med det vi fant i oppgave. d Vendepunkter er punkter på grafen der den hule siden skifter fra å vende opp til å vende ned, eller omvendt. Som vi ser av skissen, er det fire vendepunkter på grafen til f. Oppgave a Siden trekanten ABC er likesidet, vil høyden fra C dele AB i to like lange deler. Altså er HB = 3 cm. Trekanten CHB er rettvinklet, og vi ruker derfor pytagorassetningen til å finne CH. CH + HB = BC CH + 3 = 6 CH = 7 CH = 7 = 3 3 Trekanten CBE er også rettvinklet, og vi ruker derfor pytagorassetningen til å finne CE. CB + BE = CE = CE CE = 7 CE = 7 = 6 Aschehoug Side 3 av 1

4 Siden CE og CF egge er radier i samme sirkelue, er CF = CE = 6. Videre er trekanten CHF også rettvinklet, så vi ruker også nå pytagorassetningen til å finne HF. CH + HF = CF ( 7 ) + HF = ( 7 ) HF = 7 7 HF = 5 = 3 5 Altså er CH = 3 3 cm, CF = 6 cm og HF = 3 5 cm. ( + ) ( + ) AF AH + HF cm = = = = = ϕ AB AB 6 cm 6 Oppgave 5 a AB = [5 1, 1] = [, 1] AC = [3 1,5 1] = [,] Punktene ligger på en rett linje hvis AB C AC, dvs. hvis det fins et tall k slik at AB = k AC. [,1] = k [, ] = k 1= k 1 k = k = Siden det ikke fins et tall k slik at AB = k AC, ligger ikke punktene på en rett linje. DC = [3, 5 t] DA = [1,1 t] CDA = 90 hvis DC DA, dvs. hvis skalarproduktet av vektorene er lik null. [3,5 t] [1,1 t] = (5 t)(1 t) = t t+ t = 0 t 6t+ 8= 0 c ± t = 1 6± t = t = t = CDA = 90 for t = og for t =. ( 6) ( 6) 1 8 ABCD er et trapes hvis AB C DC eller hvis BC C AD, dvs. hvis det fins et tall k slik at AB = k DC, eller hvis det fins et tall l slik at BC = l AD. Aschehoug Side av 1

5 [,1] = k [3,5 t] = 3k 1 = k(5 t) k = 1 = (5 t) t = t = 5 = 3 17 [,3] = l [ 1, t 1] = l 3 = lt ( 1) l = 3 = ( t 1) = t 1 3 t = 1+ = 3 5 ABCD er et trapes for 17 t = og for 5 t =. Oppgave 6 a Vi kan se på dette som en valgprosess med to trinn. Først velger Camilla to av de fem realfagene. 5 5! Det kan hun gjøre på ( ) = = = = 10 måter. 3!! 131 Så velger Camilla to av de åtte fagene fra andre programområder. 8 8! Det kan hun gjøre på ( ) = = = = 8 måter. 6!! Camilla har derfor 10 8 = 80 fagkominasjoner å velge mellom. I tillegg til de 80 fagkominasjonene vi fant i oppgave a, kan hun velge A tre realfag + ett fag fra et annet programområde B fire realfag ( ) ( ) A kan gjøres på 5 8 = 10 8 = 80 måter B kan gjøres på ( ) 8 ( ) = 51 = 5måter. 0 Camilla har totalt = 365 fagkominasjoner å velge mellom. Aschehoug Side 5 av 1

6 Oppgave 7 a 1) Vi avsetter punktene (0, 1) og (, 8). ) Vi finner midtpunktet mellom de to punktene ved å konstruere en midtnormal på linjestykket mellom dem, og kan så konstruere sirkelen med de to punktene som diameter. 3) Vi leser av skjæringspunktene mellom sirkelen og x-aksen. Nullpunktene til f er og. Sentrum S i sirkelen er midtpunktet på linjestykket AB. x + x y 0 ( ) 1 1, + y + p, + q p q, + S = A B A B = = Radien er halvparten av lengden av linjestykket AB p + ( q 1) r = AB = [ p, q 1] = ( p) + ( q 1) = c Likningen for en sirkel med sentrum i ( x0, y 0) og radius r er ( x x0) + ( y y0) = r. Med sentrum og radius som vist i oppgave lir likningen i dette tilfellet p q+ 1 p + ( q 1) x+ + y = Sirkelen skjærer x-aksen når y = 0. Det gir Aschehoug Side 6 av 1

7 p q+ 1 p + ( q 1) x = p p + ( q 1) ( q+ 1) x + = p p + ( q 1) ( q+ 1) x + = p p + ( q 1) ( q+ 1) x + = p p q x + = x + =± p p q p p q x = ± p± p q x = Og disse x-verdiene er ifølge ac-formelen nullpunktene til funksjonen f gitt ved f ( x)= x + px + q. Aschehoug Side 7 av 1

8 DEL Med hjelpemidler Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Oppgave 1 a g 1 PF ( ) = = m 1 1 PF ( ) = 1 PF ( ) = 1 = 5 5 PR ( F) = = PR ( F) = = Setningen om total sannsynlighet gir PR ( ) = PF ( ) PR ( F) + PF ( ) PR ( F ) = = c Bayes setning gir PF ( ) PR ( F) PF ( R) = PR ( ) 1 5 PF ( R) = PF ( R) = 7 Oppgave a Aschehoug Side 8 av 1

9 Arealet av et rektangel er lengde multiplisert med redde. T ( x) = OA AB = x f( x) = x 5e x c Vi tegner grafen til T. Kommandoen Ekstremalpunkt[ T, 0, ] gir toppunktet (, 3,68). Det største arealet rektanglet kan få, er 3,68. Det skjer for x-verdien (Den eksakte verdien for det største arealet er T () = 5e =.) e Oppgave 3 a Vi definerer punktene A, B og C i GeoGera, og ruker kommandoen Linje[ B, C ] i Skriv inn-feltet. Vi høyreklikker på likningen for linja i algerafeltet og velger «Parametrisk form». x= + t Det gir l : y = 5t Definerer punktet P Definerer vektoren fra A til P Vi ser at AP = [3 + t, t]. Aschehoug Side 9 av 1

10 c Definerer vektoren fra A til B Løser likningen AB AP = 0 Regner ut koordinatene til P Vi ser at P må ha koordinatene 11 15, for at AB AP. d Definisjonen av skalarproduktet gir en likning t må oppfylle. Regner ut koordinatene til P for hver av de to mulige t-verdiene Vi ser at P kan ha koordinatene ( 1, 15) eller 3,3 5 når BAP = 5. Aschehoug Side 10 av 1

11 Oppgave a Definerer funksjonen f Definerer punktene A, B og C Definerer linja m gjennom B og C Definerer den rette linja som går gjennom A og står normalt på m ved en funksjon g Sjekker at funksjonsuttrykket for g er likt det oppgitte funksjonsuttrykket for l 1 Vi kan eventuelt omforme funksjonsuttrykket på rad 6 på denne måten: r st + 1 r st g( x) = + stx = + + stx = stx rst + = st( x r) + r r r r r. 1 Likningen for l 1 er derfor y = st( x r) + r. Aschehoug Side 11 av 1

12 Definerer l ved en funksjon h Finner x-koordinaten til P Finner y-koordinaten til P Sjekker at P ligger på grafen til f Vi ser at for alle verdier av r, s og t, er skjæringspunktet P mellom linjene et punkt på grafen til f. Alternativt kunne vi gjort det slik ved å ruke skjæringskommandoen: Aschehoug Side 1 av 1