Eksamen våren 2015 Løsninger

Transkript

1 DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler Oppgave 1 For et utvalg der antall observasjoner er et partall, slik som her, er medianen gjennomsnittet av de to midterste verdiene. For at medianen skal bli 7 C, må tallet vi er ute etter, være større enn 6, men mindre enn 10, som er det nest høyeste tallet. 6 + x = x = 14 x = 14 6 x = 8 Temperaturen på lørdag er 8 C. Oppgave 2 20 Vi bruker vekstfaktor og setter opp en likning. Vekstfaktoren blir 1 = 1 0, 20 = 0, x 0,80 = x = 0, x = 8 x = 300 Varen kostet 300 kr. Oppgave 3 ( 6 ) a b a b = ab 9 a b a b = 9 4 = 4ab ( ) 2 2 Oppgave 4 Vi løser denne oppgaven uten tilbakelegging. Det vil si at hver banan bare kan velges én gang. a Sannsynligheten for ikke å ta en brun banan: P (ikke brun) = = = Aschehoug Side 1 av 16

2 b c Sannsynligheten for å trekke en gul og en grønn banan kan skje på to måter: enten først en grønn og så en gul, eller først en gul og så en grønn. Vi regner ut begge muligheter og adderer svarene P (en gul og en grønn) = + = + = = Sannsynligheten for to bananer av lik farge vil si enten to gule, to grønne eller to brune. Vi regner ut alle tre muligheter og adderer svarene P (to av samme farge) = + + = + + = = Oppgave 5 a Vi lager først en tabell over datamaterialet: Alder i år Midtpunkt x m Frekvens f xm f 20, 30 30, 40 40, , Sum n = Vi finner nå gjennomsnittet ved formelen datamaterialet x = = Lærernes gjennomsnittalder blir 47 år. ( x f ) sum x = m, der n er antallet på dataverdier i n b Vi finner søylehøyden ved å regne ut frekvensen delt på klassebredde. Alder Frekvens Klassebredde Høyde = = = = Aschehoug Side 2 av 16

3 Illustrert som histogram: c Det er totalt 100 lærere på skolen. Vi finner relativ frekvens ved å dele frekvensen på det totale antallet lærere. Vi finner kumulativ frekvens ved å addere frekvensene. Alder Frekvens Relativ frekvens Kumulativ frekvens ,1 100 = = 0, = 0, = 0, Oppgave 6 a t 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 h(t) 15 18, , ,75 0 Aschehoug Side 3 av 16

4 b Vi får denne grafen: c Karl kaster ballen ved t = 0. h (0) = 15 betyr at ballen er 15 meter over bakken idet Karl kaster den. h (3) = 0 betyr at det tar 3 sekunder før ballen treffer bakken. Aschehoug Side 4 av 16

5 Oppgave 7 Vi får funksjonsuttrykket At ( ) = 30 12t, der t er antall timer Sigurd sykler, mens A er avstanden fra hjemmet. Tallet 30, som er avstanden fra hjemmet ved oppstart, blir konstantleddet. Tallet 12 er farten i kilometer per time. Siden avstanden minker, blir dermed stigningstallet 12. Da Sigurd er kommet hjem, er avstanden til hjemmet 0 km. Sigurd kommer hjem etter 2,5 timer. Aschehoug Side 5 av 16

6 DEL 2 Med hjelpemidler Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Oppgave 1 Vi bruker GeoGebra og åpner regnearket. Her plotter vi inn de ulike frukttypene, og vi lager en kolonne for «Frekvens», en kolonne for «Relativ frekvens» og en kolonne for «Gradtall». Frekvensen finner vi i tabellen i oppgaven. Vi summerer alle frekvensene til slutt for å finne det totale antallet frukt. Relativ frekvens regner vi ut ved å dele frekvensen på det totale antallet frukt. Den relative frekvensen gir oss også hvor stor andel frukttypen utgjør i prosent av den totale mengden frukt. Gradtallet finner vi ved å gange den relative frekvensen med 360, siden det er 360 grader i en sirkel. Dette gir oss følgende tabell: Vi bruker nå verktøyet «Sirkel definert ved sentrum og periferipunkt» i Grafikkfeltet. Vi tegner en sirkel av vilkårlig størrelse. Det er viktig å huske å fjerne aksene og rutenett fra figuren. Dette gjøres ved å høyreklikke i grafikkfeltet og huke vekk akser og rutenett. Vi bruker så verktøyet «Sirkelsektor med sentrum mellom to punkt» for å tegne inn de ulike kakestykkene. Vi taster inn gradtallene til alle frukttypene er tatt med. Til slutt fjerner vi alle navn på figuren vi ikke trenger, vi bytter farge på de ulike sektorene, og vi setter inn tekst og skriver inn frukttype og prosentandel for hver sektor. Dette gir oss et slikt sektordiagram: Aschehoug Side 6 av 16

7 Oppgave 2 a Vi setter observasjonene inn i regnearket i GeoGebra og analyserer tallene ved hjelp av verktøyet Analyse av en variabel. Vi velger Vis statistikk og får opp følgende verdier: Vi ser at gjennomsnittet blir 19,9 C og standardavviket blir 1, 71 C. b Det er vanskelig å gi et entydig råd. Det er forventet varmere vær i by B, men her vil variasjonen (standardavviket) også være langt større. Det vil si at du kan være veldig heldig med været i denne byen, men risikoen for dårligere vær er også større. Det tryggeste valget vil være å gå for by A. Her er det litt mindre sjanse for knallvær, men det er mindre risiko, og vi kan være litt tryggere på at det blir ganske godt vær. Aschehoug Side 7 av 16

8 Oppgave 3 a Først taster vi inn tallene i regnearket i GeoGebra. I kolonne A legger vi inn tallene som viser antall år etter år I kolonne B legger vi inn det tilhørende antallet kvinnelige studenter for hvert år. Vi får følgende tabell: Vi klikker på Analyser og velger Lineær i rullegardinmenyen under Regresjonsmodell. Vi får dette skjermbildet: b Vi runder av tallene noe og får modellen f( x) = 1482,9x ,6. Gjennomsnittelig økning i kvinnelige studenter per år i perioden tilsvarer funksjonens stigningstall, altså ca studenter per år. Oppgave 4 a Vi lager en krysstabell: Føler seg mer opplagt Føler seg ikke mer Totalt opplagt Får tablett med vitaminer Får tablett uten vitaminer Totalt Aschehoug Side 8 av 16

9 b P (føler seg mer opplagt fått tablett med vitaminer) = = c P (fått tablett med vitaminer føler seg mer opplagt) = = Oppgave 5 a Vi skal finne antall linjestykker i F 4. Det er 18 linjestykker F 3. Disse fordeler seg på 6 trekanter med 3 linjestykker i hver (grå, lyseblå og mørkeblå på figuren). I F 4 vil vi få alle disse 6 trekantene, pluss at vi vil få 4 nye trekanter i tillegg (brune på figuren). F 4 Vi får dermed 10 trekanter med 3 linjestykker i hver. Til sammen vil det være 10 3 = 30 linjestykker i F 4. b Vi finner antall linjestykker i neste figur i rekka ved å ta antallet linjestykker i figuren foran og addere den aktuelle figurens nummer i rekka ganget med 3. Vi får en formel som er slik: Fn = Fn n I regnearket taster vi inn følgende formel i celle B2: = B1 + 3 A2. Deretter trekker vi denne formelen ned gjennom hele regnearket, og tallene som viser antall linjestykker, kommer fram. Aschehoug Side 9 av 16

10 Aschehoug Side 10 av 16

11 c Vi markerer tallene over i regnearket i GeoGebra og bruker verktøyet regresjonsanalyse. Deretter velger vi Polynom og grad 2. Det gir oss dette resultatet: Vi får andregradsuttrykket 2 Fn = 1, 5n + 1, 5n. d Her vil x være 20, og vi legger inn 20 i feltet x = F 20 inneholder 630 linjestykker. Oppgave 6 a Vi har uttrykket F( x) = ( P 2000) 0,9 x, som er en modell over utbetalingen. Beløpet vi tar utgangspunktet i, er ( P 2000). Dette grunnbeløpet kommer av sykkelens verdi P, minus de 2000 kronene vi må betale i egenandel. Vi ganger dette grunnbeløpet med 0,9 x fordi erstatningen minker med 10 % hvert år. Dette gir 10 oss en vekstfaktor på 1 = 1 0,1 = 0,9. Vi opphøyer vekstfaktoren i antallet år x vi har eid 100 sykkelen, siden nedgangen på 10 % er årlig. Kommentar Det vanligste er nok at egenandelen er konstant, i dette tilfelle 2000 kr. Da ville modellen være F( x) = P 0,9 x b Vi skal finne verdien etter 7 år og setter x = 7 inn i uttrykket: Dette regner vi ut i CAS. 7 F (7) = ( ) 0,9 Aschehoug Side 11 av 16

12 Vi får utbetalt ca kr. c Vi skal finne et uttrykk for hvor mye du sitter igjen med. Vi tar da utbetalingen F( x ) og trekker fra det du har betalt inn, som er 150 kr. Vi antar at forsikringen betales med en gang, altså når sykkelen kjøpes. Vi får da følgende uttrykk: S( x) = F( x) 150( x+ 1) x S( x) = ( ) 0,9 150( x+ 1) x S( x) = ,9 150( x+ 1) d Vi tegner grafen til S og finner når utbetalt sum blir mindre enn totalt innbetalt premie. For å finne skjæringspunktet mellom grafen og x-aksen brukte vi kommandoen Skjæring mellom to objekt. Vi ser at utbetalt sum blir mindre enn totalt innbetalt premie etter 13 år. Det er nok dette som er bakgrunnen for Ronnys utsagn. Men utbetalingen vil fortsatt i mange år være større enn den årlige forsikringspremien, så dette er ikke god nok grunn til å si opp forsikringen. Aschehoug Side 12 av 16

13 Oppgave 7 a f x x x x x 3 2 ( ) = 0, , 001 0, , Aschehoug Side 13 av 16

14 b Vi bruker kommandoen Ekstremalpunkt[f]. Den største forskjellen i temperatur blir 16,9 C 3, 6 C = 13,3 C. c Vi taster f (100) inn i innstastingsfeltet på GeoGebra. Vi får da verdien 8,5. Det vil si at temperaturen i vannet er 8,5 C etter 100 dager. Vi legger inn punktet P = (100, f(100)) og bruker vektøyknappen Tangenter til å tegne tangenten i punktet P. I algebrafeltet ser vi at stigningstallet til tangen er 0,091. Det vil si at temperaturen i vannet øker med 0,091 C per dag etter 100 dager. Aschehoug Side 14 av 16

15 Oppgave 8 a Volumet av boksen finner vi ved å multiplisere grunnflaten med høyden. Vi vet at høyden er h, men vi trenger et uttrykk for grunnflaten. Grunnflaten er satt sammen av et rektangel og to halvsirkler som til sammen blir en hel sirkel. 2 x x Radien i sirkelen blir. Arelaet av sirkelen blir dermed π 2 2. Arealet av rektanglet blir x y. x Grunnflaten blir G = π + x y. 2 Vi får dermed volumet 2 x V = π + x y h 2 b Summen av lengden og bredden er 10. x+ y = 10 y = 10 x Summen av bredden og høyden er 5. x+ h= 5 h= 5 x Vi bytter ut y og h i uttrykket for V. 2 x V( x) = π + x 10 x 5 x 2 2 ( ) ( ) Aschehoug Side 15 av 16

16 c Vi tegner grafen til V i GeoGebra. Vi bruker kommandoen Ekstremalpunkt[ <Polynom> ] og setter Polynom som V for å finne toppunktet. Vi ser at toppunktet blir (2,43, 59,19). Det vil si at boksen må være 2,43 cm bred for at volumet skal bli størst mulig. 3 Volumet blir da 59,19 cm. Aschehoug Side 16 av 16