Eksamen høsten 2016 Løsninger

Transkript

1 DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler Oppgave 1 6,3 millioner 6, ,3 10, , ,5 10 1, , Oppgave 8 8 3,5 10 3,5 10 7,0 10 0,5 10 7,0 0, ,5 10 3,5 10 3,5 10 3, , (5 + 6) Oppgave ,54 54 % av elevene er jenter. Aschehoug Side 1 av 18

2 Oppgave 4 Vi setter prisen i butikkene til å være en tilfeldig verdi x. I butikk A blir den nye prisen ( x 1,10) 0,90 x 1,10 0,90 I butikk B blir den nye prisen ( x 0,90) 1,10 x 0,90 1,10 Siden faktorenes orden er likegyldig, blir dette samme verdi. Påstand 3 er korrekt. Merk: Vi kan her bruke en verdi i stedet for x, for eksempel verdien 100, og vise at man ender opp med samme pris. Oppgave 5 Vi setter opp en tabell som viser resultatet når vi multipliserer to faktorer. Multiplikasjon Partall Oddetall Partall Partall partall partall Partall oddetall partall Oddetall Partall oddetall partall Oddetall oddetall oddetall Eneste mulighet for at produktet skal bli et oddetall, er hvis begge terningene viser et oddetall. Vi setter opp sannsynligheten for å få oddetall på begge kastene Sannsynligheten for at produktet av antallet øyne er et oddetall, er 5 %. Oppgave 6 a Vi tegner en rett linje som passer best til linjediagrammet. Vi velger to punkter på linja (1, 8000) og (3, 7000), markert med piler, og regner ut funksjonsuttrykket. y y1 a x x Vi kan lese av konstantleddet fra linjediagrammet, eller ved regning som vist her. y 500x+ b b b b 8500 Den lineære funksjonen som beskriver utviklingen, er gitt ved y 500x Aschehoug Side av 18

3 b Siden år 010 tilsvarer x 0, vil år 018 tilsvare x 8. Vi setter dette inn i funksjonsuttrykket fra oppgave a. y I 018 vil det være 4500 dyr igjen i området. c Vi setter antall dyr lik null og løser likningen. y 0 500x x x 500 x 17 I 07 vil det ikke være flere dyr igjen i området ifølge funksjonen. Aschehoug Side 3 av 18

4 Oppgave 7 a Vi regner i følgende rekkefølge, se tabell for utregning: 1) Kumulativ frekvens for intervallet 100,150 ) Frekvens for intervallet 150, 00 3) Frekvensen for intervallet 0,50 4) Kumulativ frekvens for intervallet 0,50 er lik frekvensen for samme intervall. 5) Frekvensen for intervallet 50, 100 6) Alle de resterende relative frekvensene Antall kunder Frekvens Relativ frekvens Kumulativ frekvens [0,50 0 0,05 1 0,05 1 [50, , [100, , [150, , b En av verdiene som er skjult, må være i intervallet 0,50 siden vi skal ha én verdi i dette intervallet og ingen av de synlige verdiene er i dette intervallet. De to andre verdiene som er skjult, må være i intervallet 150, 00 siden vi skal ha 6 verdier i dette intervallet og bare 4 av de synlige verdiene er i dette intervallet. Mulige verdier som er skjult, kan da for eksempel være (47,153,184). Oppgave 8 a Tallet forteller oss verdien av bilen da Siri kjøpte den. Tallet 0,9 forteller oss at bilen vil avta i verdi med 10 % for hvert år som går. Vi viser dette ved bruk av vekstfaktor. p 0, p 0, p 0,1 100 p 10 Negativ p-verdi forteller oss at verdien avtar med 10 % per år. b Etter ett år er verdien på bilen redusert med 10 % , Bilens verdi etter ett år er kr. 0 Aschehoug Side 4 av 18

5 Oppgave 9 a klassemidtpunkt frekvens Gjennomsnitt sum frekvens, , , ,5 0 +, ,5 Gjennomsnittet for det klassedelte materialet er 10,5 poeng. b Medianen vil ligge der den kumulative frekvensen passerer 15. Dette er i intervallet 5,10. Siden 10 poeng er i neste intervall, så kan Per bruke dette argumentet til å begrunne påstanden sin. Oppgave 10 Situasjon 1: Her passer graf D best. Eline vil i starten øke tempoet, og graf D blir brattere de første sekundene. Hun holder så samme tempo (samme stigning på grafen) før hun snur og løper tilbake med en konstant fart. Situasjon : Eline starter med å løpe hjemmefra. Da må grafen være bratt i begynnelsen. Så venter hun på bussen. Da vil grafen være flat siden hun ikke endrer avstanden hjemmefra. Så vil hun gå hjem igjen. Da vil grafen være slakere med negativt stigningstall. Dette tilsvarer graf B. Situasjon 3: Eline starter med å gå opp en bakke. Da er stigningstallet positivt, og avstanden hjemmefra øker sakte. Hun tar så en pause. Da er grafen flat siden hun ikke endre avstanden hjemmefra. Så løper hun ned bakken og hjemover. Da vil grafen være brattere med negativt stigningstall. Dette svarer til graf A. Situasjon 4: Her padler Eline hele tiden lenger vekk hjemmefra. Til begynne med så går det sakte, svak stigning. Deretter går det raskere når vinden avtar, som tilsvarer raskere stigning. Dette svarer til graf C. Aschehoug Side 5 av 18

6 DEL Med hjelpemidler Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Oppgave 1 Vi skriver oversikten over tidsbruken inn i Excel. Vi velger så Sektordiagram fra Sett inn-menyen. Minutter brukt på massemedier per dag Internett TV Radio Papiraviser Bøker Ukeblader 107 Aschehoug Side 6 av 18

7 Oppgave a b Vi setter opp de to mulighetene for å trekke et rødt kort. P(rødt kort) P(bunke 1) P(rødt fra bunke 1) + P(bunke ) P(rødt fra bunke ) ,53 Sannsynligheten for at du trekker et rødt kort, er 53 %. Oppgave 3 a Vi plotter inn tabellen i regnearket i GeoGebra. Vi trykker på knappen for regresjonsanalyse. Aschehoug Side 7 av 18

8 Vi ser at funksjonen f( x) ,85 x er en god modell for utviklingen. b c Vi kan løse på flere måter. Vi viser først grafisk løsning. Aschehoug Side 8 av 18

9 Vi skriver inn «x 45» og bruker deretter «Skjæring mellom to objekt». Dette kan også løses ved å skrive uttrykket inn i CAS, og regner ut for x 45. Begge løsningene gir at når prisen er 45 kr, er antall solgte enheter lik 63. d Dette kan løses på flere måter. Vi viser først grafisk løsning. Aschehoug Side 9 av 18

10 Vi skriver inn «y 100» og bruker deretter «Skjæring mellom to objekt». Dette kan også løses ved å skrive f( x ) 100 inn i CAS, og trykker Løs. Begge løsningene gir at når antall solgte enheter er lik 100, er prisen per vare ca. 6 kr. e Vi finner vekstfarten ved å finne skjæring med grafen for «x 0», markere punktet og velger «linje mellom to punkter». Vi drar likningen for den rette linja ut i grafikkfeltet som vist under. Aschehoug Side 10 av 18

11 Linja gjennom punktene har stigningstall,5. Den gjennomsnittlige vekstfarten er derfor,5 enheter/krone. For hver krone prisen øker i dette intervallet, synker antall solgte enheter i gjennomsnitt med,5. Oppgave 4 a Vi skriver alle tallene inn i et Excel-ark og bruker kommandoene gjennomsnitt og median. b Vi tar for oss påstandene hver for seg. Påstand 1: Aschehoug Side 11 av 18

12 7 Median 1 0 0,93 18, Påstand 1 er korrekt. Gjennomsnittet er 7 % lavere enn medianen. Påstand : 7,5 Gjennomsnitt , 6 1, , Påstand er korrekt innenfor en rimelig avrunding. c Vi bruker kommandoen stdav i Excel og regner ut standardavviket. Standardavviket er på 8,6 poeng. d Klasse B har samme gjennomsnitt som klasse A, men har et mye lavere standardavvik. I klasse A er det større forskjell mellom resultatene på prøven, men i klasse B har elevene fått mindre spredning på poengsummene. Oppgave 5 a Vi skriver tabellen inn i regnearket i GeoGebra. Vi markerer så tallene og trykker på regresjonsanalyseknappen. Aschehoug Side 1 av 18

13 En eksponentiell modell for konsentrasjonen av virkestoffet i blodet etter x timer er f( x ) 0,553 0,905 x b Vi bruker regresjonsanalysen i GeoGebra og skriver inn x 10, se figur under. Konsentrasjonen av virkestoffet etter 10 timer er på 0, mikrogram per milliliter. c Pasienten tar en tablett hver 1. time. Den første tabletten pasienten tok, virker i 30 timer. Den neste pillen tar pasienten 1 timer seinere, og den virker da i timer. Neste pille blir tatt 1 timer seinere og virker i timer. Vi regner ut disse mengdene hver for seg og legger dem så sammen. Aschehoug Side 13 av 18

14 Summen av disse konsentrasjonene er 0,417. Pasienten har etter 30 timer en mengde på 0,4 mikrogram per milliliter i kroppen. Oppgave 6 Aschehoug Side 14 av 18

15 Oppgave 7 a På figur F 1 er det ingen bokser i hjørnene ( 0), men det er 1 bokser i midten. På figur F er det 1 bokser i hjørnene og 3 bokser i midten. På figur F 3 er det 4 bokser i hjørnene og 3 4 bokser i midten. På figur F 4 må antall bokser i hjørnene være 9, og boksene i midten må være 4 5. På figur F 5 blir det 16 bokser i hjørnene og 5 6 bokser i midten. Nummer Utregning av antall bokser Totalt antall bokser F1 0 + (1 ) F 1 + ( 3) 8 F3 4 + (3 4) 0 F4 9 + (4 5) 38 F (5 6) 6 b Vi kan løse denne oppgaven ved regresjon. Vi viser dette først, deretter en alternativ måte å løse på. Vi skriver inn nummeret i kolonne A og antall bokser i kolonne B. Aschehoug Side 15 av 18

16 Vi trykker på regresjonsanalyse og velger polynom av grad. Vi får da at uttrykket er F n n n Alternativt kan vi skrive om utregningene i tabellen over noe. Nummer Utregning av antall bokser Totalt antall bokser F1 0 + (1 ) F 1 + ( 3) 8 F3 + (3 4) 0 F4 3 + (4 5) 38 F5 4 + (5 6) 6 F ( n 1) + nn ( + 1) n Vi trekker uttrykket sammen. Aschehoug Side 16 av 18

17 4 Fn n n+ + n + n 3 3 n n+ c Vi kan løse oppgaven på flere måter. Vi viser først grafisk løsning. Vi skriver inn uttrykket over inn i GeoGebra, tegner linja «y 1000» og finner skjæringspunktet. Vi ser at man kan lage figur nummer 18 med 1000 klosser. Vi regner så ut hvor mange klosser Snorre har til overs. F Etter å ha bygd figur nummer 18 har Snorre 80 klosser til overs. Vi kan også skrive uttrykket inn i CAS, og setter det lik 1000 for å finne hvilken figur Snorre kan klare å lage. Aschehoug Side 17 av 18

18 Vi ser at man kan lage figur nummer 18 med 1000 klosser. Vi regner så ut hvor mange klosser Snorre har til overs. Etter å ha bygd figur nummer 18 har Snorre 80 klosser til overs. Aschehoug Side 18 av 18