Hjelpehefte til eksamen

Transkript

1 Hjelpehefte til eksamen side 1

2 Innhold Formler som forventes kjent Vg1P-Y:... 3 Formler som forventes kjent: 1P... 4 Formler som forventes kjent: 2P... 5 Formler som forventes kjent: 2P-Y... 6 Formler som forventes kjent: 1T... 7 Føring: Tegne funksjon, finne ekstremalpunkt og gjennomsnittlig vekstfart... 9 Føring regresjon: Alternativ måte å gjennomføre regresjon på hvis regresjonsverktøyet henger Eksempel på digitale oppgaver med regneark og Geogebra Svar oppgave: Excel og Geogebra Oppgave funksjoner Svar oppgave funksjoner: CAS: Nyttige kommandoer side 2

3 Formler som forventes kjent Vg1P-Y: side 3

4 Formler som forventes kjent: 1P side 4

5 Formler som forventes kjent: 2P side 5

6 Formler som forventes kjent: 2P-Y side 6

7 Formler som forventes kjent: 1T side 7

8 side 8

9 Føring: Tegne funksjon, finne ekstremalpunkt og gjennomsnittlig vekstfart Eksempel på føring av en oppgave løst i Geogebra og ført i Word. Oppgave 1 (Tegne funksjon og finne ekstremalpunkt) Brukte kommandoen funksjon funksjon start slutt. For å finne ekstremalpunkt, brukte jeg kommandoen ekstremalpunkt polynom. Fikk bildet under: Ekstremalpunktet A forteller at når vi produserer 30 enheter får vi kr i overskudd. (Fikk bilde under ved hjelp av utklippsverktøy) b) (Gjennomsnittlig veksthastighet) Gjennomsnittlig vekstfart mellom 10 og 20 enheter produsert: side 9

10 Satte av punkt på funksjonen i x=10 og x=20. Lagde en linje mellom disse to punktene. Fikk funksjonsuttrykket for linjen på formen f(x)=ax+b. a er gjennomsnittlig vekstfart for funksjonen. Av funksjonsuttrykket til linjen h ser jeg av stigningstallet at gjennomsnittlig veksthastighet mellom 10 og 20 produserte enheter er 30. Gjennomsnittlig veksthastighet mellom 20 og 45 enheter er: Lagde en linje mellom x=20 og x=45. Fikk følgende funksjon: Av funksjonsuttrykket til linjen i ser jeg at stigningstallet er -5. Dette tilsvarer gjennomsnittlig veksthastighet mellom 20 og 45 produserte enheter. side 10

11 Føring regresjon: Oppgave 5.35 a) (OBS les alltid oppgaven nøye når det står årstall) Åpnet regneark i Geogebra. La inn antall år etter 1992 som x- verdier og avfall i kg som tilsvarende y verdi. Markerte tabell og brukte regresjonsverktøyet. I dette valgte jeg modell: Eksponentiell Fikk bildet under: Fikk følgende modell: A(t)=236,9*1,04 x side 11

12 b) Ser av funksjonsuttrykket at avfall i 1992 var 236,9 kg. Vekstfaktoren 1,04 i uttrykket forteller meg at det var en årlig vekst på 4 % per innbygger. c) 2012 er 20 år etter Tastet dette inn for x i regresjonsverktøyet og fikk 509,533 som svar. Bildet over viser at modellen har en større vekst i avfall over tid enn realiteten er. I 2012 ble det kastet 430kg avfall per innbygger. 509 kg er et stykke unna. Grunnen kan være at vi ekstrapolerer (leser av utenfor datapunkt oppgitt) noe som gjør modellen mer og mer usikker jo lengre bort fra data vi kommer. 20 år etter 1992, passer modellen mindre godt til data. side 12

13 Visuelt alternativ: Overførte regresjonen til grafikkfeltet. Satte navn og enhet p grafene og overførte funksjonsuttrykket. Fikk punkt B ved å skrive (20,430). B er antall kg kastet i virkeligheten. Den røde grafen viser modellens utvikling. Ut fra dette ser vi at det er signifikant avstand mellom modellen og B. Alternativ måte å gjennomføre regresjon på hvis regresjonsverktøyet henger side 13

14 a) Starter med å legge inn data i tabellen over inn i Geogebra sitt regneark. Velger å sette år 2002 som år er da ett år etter 2002 osv. Velger verktøy nr 3: Lag liste med punkt. Går så over til grafikkfeltet og bruker kommandoen: Reglin liste med punkt. Deretter velger jeg: Regeksp liste med punkt. Da kommer det opp to grafer i samme koordinatsystem. Satte navn på aksene og fikk bildet under: Den lineære modellen er: f(x)= 54,3x+ 1879,26 Den eksponentielle modellen er g(x)= 1889,88* 1,03 x b) Antall personbiler som øker per år ifølge lineær modell er det samme som stigningstallet i funksjonsuttrykket (tallet foran x). Det vil si at antall personbiler øker med 54,3 54 biler per år. c) I følge eksponential modellen er vekstfaktoren lik 1,03. Det vil si at det er 3% økning per år. side 14

15 Eksempel på digitale oppgaver med regneark og Geogebra Oppgave Excel og Geogebra Bruk Excel eller Geogebra. NB! Husk alle detaljer rundt føring av digitale oppgaver. Skal leveres i Word. Bruker du excel, husk at du også må vise formelutskrift. På målestasjonene i Bergen og Harstad er det registrert følgende maksimumstemperaturer i antall grader celsius for april måned i perioden 2005 til Bergen 16,3 20,5 17,0 13,6 25,5 19,4 16,5 18,8 19,0 20,7 14,6 Harstad 7,9 8,8 15,1 12,2 9,3 10,0 15,7 14,0 8,3 6,4 9,5 a) Bruk digitale hjelpemidler til å lage et passende diagram over maksimumstemperaturene. b) Bestem gjennomsnitt og standardavvik for Bergenstemperaturene c) Bruk Geogebra til å lage et boksplott. d) Skriv hva boksplottene i c forteller deg om temperaturene i disse to byene. Svar oppgave: Excel og Geogebra a) Vi bruker excel regneark og fyller inn data. Vi velger linjediagram her med ulik farge for de to byene. b) Vi fyller inn Bergenstemperaturene i regneark i Geogebra, og bruker «analyse av en variabel» til å finne gjennomsnitt og standardavvik. side 15

16 Gjennomsnittet er 18,4 ºC. Standardavviket er 3,30. Eller vi kan bruke Excel: side 16

17 Når jeg bruker Excel må jeg huske formelutskrift også: c) Kopierte tabellen fra Excel til Geogebra. Markerte først tallene for Bergen. Valgte analyse av en variabel. Valgte boksplott og fikk dette: side 17

18 Gjorde akkurat det samme for data Harstad. Fikk følgende bilde: Disse boksplottene forteller meg følgende: Variasjonsbredden er større i Bergen enn i Harstad. Det betyr at det er større spredning i datamaterialet fra Bergen. Dvs i dette tilfellet at det er noen verdier som avviker mer i Bergen. I Harstad er det jevnere temperatur (om enn lav), det er mindre store avvik, men kvartilbredden i Harstad er større en kvartilbredden i Bergen. Det betyr at det er mindre spredning rundt median i Bergen. Medianen er lavere i Harstad enn i Bergen. Medianen ligger rundt den nedre delen av boksen i Harstad, mens i Bergen ligger medianen litt mer midt i. Nærmere en normalfordeling i Bergen. Laveste temperatur i Harstad er 6,4 grader mens den er 13,6 i Bergen. Høyeste temperatur i Harstad er 16 grader mens den er 25,5 i Bergen. side 18

19 Oppgave funksjoner Meteorolog Fjellheim kunne fortelle at snødybden i Harelia x dager ut i mars var ( ) f x centimeter, der f x x x 2 ( ) 0, når x er mellom 0 og 20. Meteorolog Skogheim kunne fortelle at snødybden i Revefaret x dager ut i mars var g( x) centimeter, der g x x x 2 ( ) 0,16 1,45 40 når x er mellom 0 og 20. a) Bruk graftegner og tegn grafen til f og g i det samme koordinatsystemet. b) Finn når snødybden i Harelia var på det laveste. c) Hva er gjennomsnittlig vekstfart fra 3. mars til 10. mars i Revefaret? Hva forteller svaret? d) Finn momentan vekstfart i Harelia den 18.mars. Hva forteller svaret? e) På hvilket tidspunkt var forskjellen på snødybden minst mulig på de to stedene? Hvor stor var forskjellen da? Svar oppgave funksjoner: a) Åpnet Geogebra og skrev inn i komandofeltet: f(x):= funksjon funksjon start slutt og skrev inn funksjonsuttrykket til f(x). Gjorde deretter det samme for g(x). Se figur under: b) Snødybden i Harelia er på det laveste når vi bruker kommandoen ekstremalpunkt og finner grafens bunnpunkt. Skrev ekstremalpunkt polynom f og fikk følgende figur: side 19

20 Punkt A forteller oss at snødybden var på det laveste den 15. dagen i mars og da var snødybden 60 cm. c) Satte inn to punkter på g(x) hvor x= 3 og x= 10. Valgte å trekke en linje mellom disse to punktene. Ved å se på stigningstallet og ved å bruke verktøyet for stigning i Geogebra fant jeg gjennomsnittlig stigning. Se under: Stigningstallet til linjen h= - 0,63. Det vil si at snødybden avtar med ca 0,63 cm i gjennomsnitt per dag i denne perioden. d) Momentan vekstfart finner jeg ved å bruke kommando tangent x- verdi funksjon og fikk følgende bilde: side 20

21 Vi ser av stigningstallet til tangenten (i) og ved hjelp av stigningsverktøyet at den 18 dagen var stigningen 2,4. Det vil si at snødybden økte med 2,4 cm denne dagen. e) Her tolker jeg oppgaven slik at avstanden mellom de to grafene skal være minst mulig. Jeg skrev da x= 1 i kommandofeltet. Valgte så skjæring objekt objekt og fikk et punkt på grafen f og ett punkt på grafen g. Valgte så måleverktøy for avstand og fikk opp avstand mellom punktene. Deretter flyttet jeg på linjen til jeg fikk så liten avstand som mulig. Se figur under: Ut fra dette ser vi at den 12 dagen i mars var forskjellen i snødybden minst. Det vil si at det var 29, 24 cm som skilte de to stedene. Alternativ løsning: a) Vi kan skrive inn f(x)-g(x) som er forskjellen på de to funksjonene. I bunnpunktet er forskjellen minst mulig. Vi bruker «ekstremalpunkt». side 21

22 side 22 Punktet C (12,29.2) er bunnpunkt. Forskjellen i snødybde var minst etter 12 dager. Da var forskjellen 29,2 centimeter.

23 CAS: Løsning: side 23

24 Nyttige kommandoer For å sette navn på akser, høyreklikk i grafikkfeltet, trykk på sirkel og trekant, velg x- akse, skriv inn og deretter velg y- akse og skriv inn. For å få funksjonsuttrykket over i grafikkfeltet, hold musepeker over, trykk ned venstre musetast og dra over til feltet. Hvis likningen til en linje ser rar ut, høyreklikk på funksjonsuttrykket, velg, y = ax + b og du får uttrykket på algebraisk form. Tegne funksjon med avgrensning: Funksjon[funksjon, start, slutt] eller Dersom[vilkår, så] Tegne delt funksjon: Dersom[vilkår, så, ellers] alternativt f_1:=funksjon[funksjon, start, slutt], f_2:= osv Skjæring mellom objekt: Skjæring[objekt, objekt] Finne topp og bunnpunkt (ekstremalpunkt): Ekstremalpunkt[polynom] Finne nullpunkt: Nullpunkt[funksjon] eller Nullpunkt[funksjon, start, slutt] eller Nullpunkt[poynom] Finne gjennomsnittlig veksthastighet: Lag først de to punktene du skal finne gjennomsnittlig veksthastighet igjennom. Bruk verktøyet linje gjennom to punkt. Se på stigningstallet til linjen eller bruk måleverktøy for stigning. Finne momentan veksthastighet: Tangent[punkt, funksjon] eller Tangent[x-verdi, funksjon] Regresjon: Legg alltid inn x og tilsvarende y verdier inn i regneark Metode 1: Bruk regresjonsverktøy Metode 2: Velg lag liste med punkt. Bruk kommandoen Reglin for lineær modell, RegEksp for eksponentiell modell, RegPot for potensmodell, RegPoly og velg grad for 2. grads, 3. grads osv. CAS: Husk forskjell mellom Nløs (numerisk løsning av likning), løs (eksakt løsning av likning), = (regn ut eksakt) og (regn ut numerisk) Husk at på funksjoner skal du alltid ha funksjonsuttrykket i grafikkfeltet samt navn og enhet på aksene. Husk at pilene på aksene skal være med i bildet. side 24