GeoGebra-opplæring i Matematikk S2

Transkript

1 GeoGebra-opplæring i Matematikk S Emne Underkapittel Faktorisering.1 Grafisk løsning av likningssett I.3 Størst mulig overskudd 3. Vendepunkter 3.4 Den naturlige eksponentialfunksjonen Den naturlige logaritmen Logistisk vekstmodell 3.6 Kostnadsoptimal produksjonsmengde 4.1 Grensekostnad 4.1 Grensekostnad og enhetskostnad 4.1 Vinningsoptimal produksjonsmengde 4. Logistisk regresjon 4.4 Eksponential- og potensregresjon 4.4 Areal under grafer 4.5 Fakultet. Binomialkoeffisient i regneark 5.1 Binomiske sannsynligheter 5.1 Kumulative binomiske sannsynligheter 5.1 Binomisk / kumulativ binomisk i regneark 5.1 Normalfordeling 5.4 Invers normalfordeling 5.4 Aschehoug

2 Faktorisering med GeoGebra NB! Du må alltid bruke x som navn på den bokstaven som inngår i uttrykket. Du skal faktorisere x 3x. Skriv Faktoriser[x +3x] i inntastingsfeltet og trykk Enter. Da får du bildet nedenfor. Svaret blir altså ( x 3) x. Du skal faktorisere x 3x 10. Skriv Faktoriser[x -3x-10] i inntastingsfeltet og trykk Enter. Da får du bildet nedenfor. Svaret blir altså ( x 5)( x ). Du skal faktorisere x 4x 4. Skriv Faktoriser[x +4x+4] i inntastingsfeltet og trykk Enter. Da får du bildet nedenfor. Svaret blir altså. x Du skal faktorisere 3x 1. Skriv Faktoriser[3x -1] i inntastingsfeltet og trykk Enter. Da får du bildet nedenfor. Svaret blir altså 3( x )( x ).

3 0BGrafisk løsning av likningssett I med GeoGebra Du skal løse likningssettet x+ y = 1 (1) 3x y = 3 () Skriv x+y=1 i inntastingsfeltet og trykk Enter. Klikk på Sett inn tekst (, knapp nr. fra høyre), og detter et sted i Grafikkfeltet. Skriv a i tekstboksen som dukker opp og klikk på OK. Klikk på F-pila og flytt teksten bort til grafen. Da får du dette bildet: (Hvis du høyreklikker på likningen i Algebrafeltet og klikker på Likning y = ax + b, får du dette bildet: Du ser at GeoGebra kan omforme uttrykket til formen y = x+ 1.) Skriv -x+y=-4 i inntastingsfeltet og trykk Enter. Gjør det samme som du gjorde for likning (1) ovenfor. Klikk på knappen Skjæring mellom to objekter og deretter på de to grafene. Skjæringspunktet A dukker nå opp i Grafikkfeltet og i Algebrafeltet. Høyreklikk på punktet og velg Verdi under Egenskaper / Vis navn. Da får du dette bildet: Skjæringspunktet mellom grafene til likningene har koordinatene (1,, 1,4). Likningssettet har løsningen x = 1, og y = 1,4.

4 Størst mulig overskudd med GeoGebra Overskuddet ved produksjon og salg av en vare er gitt ved f( x) 1,5x 60x 400 x 5, 35 Her er f(x) overskuddet i hundre kroner ved produksjon og salg av x enheter av varen. Du skal finne hvor mange enheter det må produseres og selges for at overskuddet skal bli størst mulig. Finne størst overskudd ved å lese av på grafen til f Skriv Funksjon[-1.5x +60x-400,5,35] i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Skriv Ekstremalpunkt[f] i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Du får toppunktet A. Høyreklikk på A og klikk på Egenskaper. Velg Verdi under Vis navn. Klikk på Lukk. Da får du dette bildet: Toppunktet på grafen til f har koordinatene (0, 00). Overskuddet er størst ved produksjon og salg av 0 enheter. Overskuddet er da kroner. Finne størst overskudd ved bruk av den deriverte til f Skriv f (x) i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Algebrafeltet viser da uttrykket for den deriverte, f (x) = 3x Grafen for den deriverte funksjonen f blir automatisk tegnet i Grafikkfeltet. Skriv Nullpunkt[f ] i Inntastingsfeltet. Trykk Enter. Du får nullpunktet B for f. Høyreklikk på B og klikk på Egenskaper. Velg Verdi under Vis navn. Klikk på Lukk. Da får du dette bildet: Av figuren ser du at f ( x) er positiv til venstre for nullpunktet 0 og negativ til høyre. f har altså sin største verdi for x = 0. Overskuddet er størst ved produksjon og salg av 0 enheter. Overskuddet er da kroner.

5 Å finne vendepunkter med GeoGebra 3 Du har gitt funksjonen f ( x) x 3x x 1. Du skal finne eventuelle vendepunkter på grafen til f ved å bruke GeoGebra. Å finne vendepunktet ved å lese av på grafen til f Skriv x 3 +3x -x+1 i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Skriv Vendepunkt[f] i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Du får vendepunktet A på grafen. Høyreklikk på A og klikk på Egenskaper. Velg Verdi under Vis navn. Klikk på Lukk. Da får du dette bildet: Vendepunktet på grafen til f har koordinatene (1, ). Å finne vendepunktet ved bruk av den andrederiverte til f Skriv f (x) i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Algebrafeltet viser da uttrykket for den andrederiverte, f (x) = 6x + 6. Grafen for den andrederiverte funksjonen f blir automatisk tegnet i Grafikkfeltet. Skriv Nullpunkt[f ] i Inntastingsfeltet. Trykk Enter. Du får nullpunktet B for f. Høyreklikk på B og klikk på Egenskaper. Velg Verdi under Vis navn. Klikk på Lukk. Da får du dette bildet: Av figuren ser du at f ( x) er positiv til venstre for nullpunktet 1 og negativ til høyre. f ( x) skifter altså fortegn for x 1. Da er (1, f(1)) et vendepunkt på grafen til f. Vendepunktet er (1, ).

6 Den naturlige eksponentialfunksjonen med GeoGebra Du har gitt funksjonen f( x) e x. Du skal tegne grafen til f. Å tegne grafen til f Skriv e^(x) i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Legg inn 1 som enhet på begge aksene. Da får du dette bildet: Bildet viser grafen til funksjonen f( x) e x. Legg merke til at det i Algebrafeltet står f(x) =.7^x..7 er e avrundet til to desimaler. Å finne den deriverte til f Skriv f (x) i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Algebrafeltet viser da uttrykket for den deriverte, f (x) =.7^xln(.7). Legg merke til at ln(.7) er tilnærmet ln e, der e er avrundet til to desimaler. ln(.7) blir derfor ikke eksakt lik 1. Den deriverte til f( x) e x er f ( x) e x. Grafen for den deriverte funksjonen f blir automatisk tegnet i Grafikkfeltet. Da får du dette bildet: Av figuren ser du at grafen til f faller sammen med grafen til f. Dette er i samsvar med at f ( x) f( x) e x.

7 Den naturlige logaritmen med GeoGebra Du har gitt funksjonen f ( x) lnx. Du skal tegne grafen til f. Å tegne grafen til f Skriv ln(x) i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Legg inn 1 som enhet på begge aksene. Da får du dette bildet: Bildet viser grafen til funksjonen f ( x) ln x. Å finne den deriverte til f Skriv f (x) i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Algebrafeltet viser da uttrykket for den deriverte, f (x) = 1/x. 1 Den deriverte til f ( x) ln x er f ( x). x Grafen for den deriverte funksjonen f blir automatisk tegnet i Grafikkfeltet. Da får du dette bildet: Legg merke til at grafen til f ligger over x-aksen i hele definisjonsområdet for f. Den deriverte er altså positiv for alle verdier av x.

8 Logistisk vekstmodell med GeoGebra En harepopulasjon følger en logistisk vekstmodell f(x) i et avgrenset område. 500 f( x) 0,05x 1 4e x er antall år. f(x) er antall harer. Du skal tegne grafen til f. Å tegne grafen til f Skriv 500/(1+4e^(-0.05x)) i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Legg inn 10 som enhet på x-aksen og 100 på y-aksen. Da får du dette bildet: 500 Bildet viser grafen til funksjonen f( x) 0,05x 1 4e. Legg merke til at det på figuren ser ut til at f(x) nærmer seg 500 når x øker. Å finne den deriverte i et punkt på grafen Skriv f (0) i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Algebrafeltet viser da verdien a for f (0). Du ser at a f (0) 6,0. Om 0 år vil harebestanden øke med ca. 6 harer per år.

9 Kostnadsoptimal produksjonsmengde med GeoGebra En kostnadsfunksjon er gitt ved K( x) = 1, x + 10x x [ 0, 10] K(x) står for samlet kostnad per dag når det produseres x enheter per dag. Skriv Funksjon[1.x +10x+4000,0,10] i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Grafen til funksjonen blir tegnet. Endre navnet på funksjonen fra f til K. Du skal finne enhetskostnaden når det produseres 50 enheter per dag. Du skal også finne kostnadsoptimal produksjonsmengde med tilsvarende enhetskostnad. Enhetskostnad Skriv A=(50,K(50)) i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Av figuren ser du at enhetskostnaden er kr = 60 kr. 50 Kostnadsoptimal produksjonsmengde Klikk på ikon nr. fra venstre og klikk på Nytt punkt. Klikk et sted på grafen til K. Du får punktet A på grafen. Klikk på ikon nr. 4 fra venstre og klikk på Tangenter. Klikk på grafen til K og deretter på punkt A. Tangenten til grafen i punkt A blir tegnet. Aschehoug Side 1 av

10 Dra i punktet A. Av figuren ser du at kostnadsoptimal produksjonsmengde er 58 enheter per dag. Den minste enhetskostnaden er ,83 kr = 59 kr. 57,98 Den minste enhetskostnaden kan du også finne slik: Klikk på ikon nr. 4 fra høyre og klikk på Stigning. Klikk på tangenten. Stigningstallet for tangenten m = 59,14 dukker opp både i Grafikkfeltet og i Algebrafeltet. Stigningstallet for tangenten til grafen, som går gjennom origo, er lik den minste enhetskostnaden, altså 59 kr. Aschehoug Side av

11 Grensekostnad med GeoGebra En kostnadsfunksjon er gitt ved K( x) = 1, x + 10x x [ 0, 10] K(x) står for samlet kostnad per dag når det produseres x enheter per dag. Skriv Funksjon[1.x +10x+4000,0,10] i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Grafen til funksjonen blir tegnet. Endre navnet på funksjonen fra f til K. Grensekostnad Du skal finne grensekostnaden når det produseres 80 enheter per dag. Skriv A=(80,K(80)) i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Klikk på ikon nr. 4 fra venstre og klikk på Tangenter. Klikk på grafen til K og deretter på punkt A. Tangenten til grafen i punkt A blir tegnet. Klikk på ikon nr. 4 fra høyre og klikk på Stigning. Klikk på tangenten. Stigningstallet for tangenten m = 31 dukker opp både i Grafikkfeltet og i Algebrafeltet. Stigningstallet for tangenten til grafen i punktet A = (80, 1 80) er 31. Grensekostnaden når det produseres 80 enheter per dag er 31 kroner.

12 Grensekostnad og enhetskostnad med GeoGebra En kostnadsfunksjon er gitt ved K( x) = 1, x + 10x x [ 0, 10] K(x) står for samlet kostnad per dag når det produseres x enheter per dag. Skriv Funksjon[1.x +10x+4000,0,10] i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Grafen til funksjonen blir tegnet. Endre navnet på funksjonen fra f til K. Enhetskostnadsfunksjonen Skriv Funksjon[K(x)/x,0,10] i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Grafen til enhetskostnadsfunksjonen blir tegnet. Endre navnet på funksjonen fra f til G. Grensekostnadsfunksjonen Skriv Funksjon[K (x),0,10] i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Grafen til grensekostnadsfunksjonen blir tegnet. Endre navnet på funksjonen fra f til K. Klikk på ikon nr. fra venstre og klikk på Skjæring mellom to objekter. Klikk på den ene grafen og deretter på den andre. Aschehoug Side 1 av

13 I punktet A = (57,74, 58,56) er enhetskostnaden G lik grensekostnaden K. Den minste enhetskostnaden er 59 kr, når det produseres 58 enheter per dag. Aschehoug Side av

14 Vinningsoptimal produksjonsmengde med GeoGebra En kostnadsfunksjon er gitt ved K( x) = x + 300x K(x) står for samlet kostnad når det produseres x enheter. Inntekten av produksjonen er gitt ved I( x) = 0,5x x Du skal finne vinningsoptimal produksjonsmengde og det største overskuddet. Skriv inn K(x)=x +300x i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Skriv deretter inn I(x)=-0.5x +1500x og trykk Enter. Klikk i sirklene foran I(x) og K(x) i Algebrafeltet. Grafene til I og K vises nå ikke i Grafikkfeltet. Metode 1 Skriv inn O(x)=I(x)-K(x) i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Ved å tilpasse aksene vil du få dette bildet: Skriv Ekstremalpunkt[O] i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Både i Algebrafeltet og i Grafikkfeltet ser du at koordinatene for toppunktet på grafen til O er (400, ). Det betyr at vinningsoptimal produksjonsmengde er 400 enheter og at det største overskuddet er kr. Aschehoug Side 1 av

15 Metode Skriv inn Derivert[I(x)] i Inntastingsfeltet og trykk Enter. I Algebrafeltet dukker uttrykket f(x) = 1500 x for I ( x) opp. Endre navnet fra f til I. Skriv inn Derivert[K(x)] i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Endre navnet fra f til K Ved å tilpasse aksene vil du få dette bildet: Figuren viser grafene til I og K. Klikk på ikon nr. fra venstre og klikk på Skjæring mellom to objekter. Klikk på grafene. Du finner skjæringspunktet A = (400, 1100) mellom grafene. Vinningsoptimal produksjonsmengde er 400 enheter. Skriv I(400)-K(400) i Inntastingsfeltet og trykk Enter. I Algebrafeltet dukker a = opp. Det største overskuddet er kr. Aschehoug Side av

16 Logistisk regresjon med GeoGebra Du skal bruke logistisk regresjon til å finne en modell for høyden av en solsikke. Se eksempel 3 side 148 i læreboka Matematikk S. Du kan legge dagene og høydene inn i regnearket. Klikk på Vis og velg Regneark. Skriv inn punktene i regnearket. Klikk på F-pila (, knapp nr. 1 fra venstre) og marker det området i regnearket som inneholder punktene. Høyreklikk på det markerte området og velg Lag liste med punkter. Høyreklikk på liste 1 i Algebrafeltet og velg Gi nytt navn. Skriv L i stedet for liste 1. Trykk OK. (I stedet for å legge punktene inn i regnearket, kan du lage liste direkte i Inntastingsfeltet. Skriv L={(0,9),(7,1),(14,15),...,(70,75),(77,77)} i Inntastingsfeltet og trykk ENTER.) Nå kan du skrive reglogist[l] i Inntastingsfeltet. I Algebrafeltet ser du at det gir denne modellen for høyden: 85,3 f( x) = 0,068x , 3 e

17 Eksponential- og potensregresjon med GeoGebra Eksponentialregresjon Du skal bruke eksponentialregresjon til å finne den eksponentialfunksjonen som passer best til punktene A = (1, 0,5), B = (,,0) og C = (3, 4,5) Metode 1 Lag en liste med punktene A, B og C. Skriv inn i Inntastingsfeltet: L = {(1,0.5), (,.0), (3,4.5)} Trykk ENTER. Klikk på ringen foran L i Algebrafeltet. Skriv regeksp[l] i Inntastingsfeltet og trykk ENTER. I Algebrafeltet ser du at uttrykket for eksponentialfunksjonen er 1,1 f( x) 0,18 e x Dette uttrykket kan omformes til 1,1 x ( ) 0,18 e 0,18, ,1 x x 0,18 3, 00 f x NB! Hvis punktene A, B og C er lagt inn i Algebrafeltet, kan du lage lista slik: L = {A, B, C} Aschehoug Side 1 av

18 Metode Du kan legge punktene inn i regnearket. Klikk på Vis og velg Regneark. Skriv inn punktene i regnearket. Klikk på F-pila ( inneholder punktene., knapp nr. 1 fra venstre) og marker det området i regnearket som Høyreklikk på det markerte området og velg Lag liste med punkter ( venstre)., knapp nr. 4 fra Høyreklikk på liste 1 i Algebrafeltet og velg Gi nytt navn. Skriv L i stedet for liste 1. Trykk OK. Nå kan du skrive regeksp[l] i Inntastingsfeltet. I Algebrafeltet ser du at uttrykket for eksponentialfunksjonen er 1,1 f( x) 0,18 e x Dette uttrykket kan omformes til 1,1 x ( ) 0,18 e 0,18,7183 1,1 x x 0,18 3,00 f x Potensregresjon Samme framgangsmåte som for eksponentialregresjon. Du skriver regpot[l] i inntastingsfeltet i stedet for regeksp[l]. Med punktene ovenfor får du da funksjonen f ( x) 0,5x Aschehoug Side av

19 Areal under grafer med GeoGebra Areal over x-aksen Du skal finne arealet avgrenset av grafen til f( x) = 0,1x + 1, x-aksen og linjene x = 0 og x = 6. Skriv inn 0.1x +1 i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Skriv inn Integral[f,0,6] i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Da får du dette bildet: Området under grafen mellom x = 0 og x = 6 er fargelagt. Både i Algebrafeltet og i Grafikkfeltet dukker a = 13. opp. Størrelsen a = 13., kalles integral, og over x-aksen er integral og areal det samme. Det betyr at arealet er regnet ut til å være 13,. Areal under x-aksen Du skal finne arealet avgrenset av grafen til f( x) = 0,1x 1, x-aksen og linjene x = 0 og x = 6. Skriv inn -0.1x -1 i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Skriv inn Integral[f,0,6] i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Da får du dette bildet. Området over grafen mellom x = 0 og x = 6 er fargelagt. Både i Algebrafeltet og i Grafikkfeltet dukker a = -13. opp. Størrelsen a = -13., kalles integral, og under x-aksen har integral og areal motsatte fortegn. Det betyr at arealet er 13,.

20 GeoGebra: Fakultet. Binomialkoeffisient i regneark Fakultet Skriv 5! i Inntastingsfeltet. Trykk Enter. I Algebrafeltet står det nå a = 10. Det betyr at 5! = 10. Binomialkoeffisient Skriv BinomialKoeffisient[10,5] i Inntastingsfeltet. Trykk Enter. 10 I Algebrafeltet står det nå b = 5. Det betyr at 5. 5 Binomialkoeffisient i regnearket Klikk på Vis og velg Regneark. Skriv n i rute A1, r i rute B1 og BinomialKoeffisient[n,r] i rute C1. Skriv 10 i rute A og 1 i rute B. Skriv B+1 i rute B3. Klikk på markøren nederst til høyre i rute B3 og dra nedover til og med rute B11. Da står tallene 1,,..., 10 i rutene B B11. Skriv BinomialKoeffisient[$A$,B] i rute C. Dra markøren i ruta nedover til og med rute C11. I rutene C C11 står verdiene for ,,...,, slik figuren nedenfor viser (Legg merke til symmetrien.)

21 Binomiske sannsynligheter med GeoGebra Vi sår 0 frø og ser om de spirer. Et bestemt frø spirer med 70 % sannsynlighet. Vi vil finne sannsynligheten for at 16 av de 0 frøene spirer. Skriv n = 0 i Inntastingsfeltet. Trykk Enter. Klikk i sirkelen til venstre for n = 0 i Algebrafeltet. Glideren for n dukker opp i Grafikkfeltet. Høyreklikk på glideren og klikk på Egenskaper. Velg: Min: 1 Maks: 50 Animasjonstrinn: 1 Bredde: 00 Klikk på Lukk. Skriv r = 16 i Inntastingsfeltet. Trykk Enter. Klikk i sirkelen til venstre for r = 16 i Algebrafeltet. Glideren for r dukker opp i Grafikkfeltet. Høyreklikk på glideren og klikk på Egenskaper. Velg: Min: 0 Maks: 50 Animasjonstrinn: 1 Bredde: 00 Klikk på Lukk. Skriv p = 0.70 i Inntastingsfeltet. Trykk Enter. Klikk i sirkelen til venstre for p = 0.70 i Algebrafeltet. Glideren for p dukker opp i Grafikkfeltet. Høyreklikk på glideren og klikk på Egenskaper. Velg: Min: 0 Maks: 1 Animasjonstrinn: 0.01 Bredde: 00 Klikk på Lukk. Skriv BinomialKoeffisient[n,r] i Inntastingsfeltet. Trykk Enter.! 0" I Algebrafeltet står a = Det betyr at # $ = % 16 & Skriv a*p^r*(1-p)^(n-r) i Inntastingsfeltet. Trykk Enter. Da får du dette bildet: I Algebrafeltet står b = Det betyr at P(16 av 0 frø vil spire) = 0,13. For å finne andre binomiske sannsynligheter kan du nå endre gliderverdiene for n, r og p.

22 Kumulative binomiske sannsynligheter med GeoGebra Vi sår 0 frø og ser om de spirer. Et bestemt frø spirer med 70 % sannsynlighet. Vi vil finne sannsynligheten for at minst 1 av de 0 frøene spirer. Skriv n = 0 i Inntastingsfeltet. Trykk Enter. Klikk i sirkelen til venstre for n = 0 i Algebrafeltet. Glideren for n dukker opp i Grafikkfeltet. Høyreklikk på glideren og klikk på Egenskaper. Velg: Min: 1 Maks: 50 Animasjonstrinn: 1 Bredde: 00 Klikk på Lukk. Skriv p = 0.70 i Inntastingsfeltet. Trykk Enter. Klikk i sirkelen til venstre for p = 0.70 i Algebrafeltet. Glideren for p dukker opp i Grafikkfeltet. Høyreklikk på glideren og klikk på Egenskaper. Velg: Min: 0 Maks: 1 Animasjonstrinn: 0.01 Bredde: 00 Klikk på Lukk. Skriv a = 1 i Inntastingsfeltet. Trykk Enter. Klikk i sirkelen til venstre for a = 1 i Algebrafeltet. Glideren for a dukker opp i Grafikkfeltet. Høyreklikk på glideren og klikk på Egenskaper. Velg: Min: 0 Maks: 50 Animasjonstrinn: 1 Bredde: 00 Klikk på Lukk. Skriv b = 0 i Inntastingsfeltet. Trykk Enter. Klikk i sirkelen til venstre for b = 0 i Algebrafeltet. Glideren for b dukker opp i Grafikkfeltet. Høyreklikk på glideren og klikk på Egenskaper. Velg: Min: 0 Maks: 50 Animasjonstrinn: 1 Bredde: 00 Klikk på Lukk. Skriv Sum[Følge[BinomialKoeffisient[n,r]*p^r*(1-p)^(n-r),r,a,b]] i Inntastingsfeltet. Trykk Enter. Da får du dette bildet: I Algebrafeltet står c = Det betyr at P(minst 1 av 0 frø vil spire) = 0,887. For å finne andre kumulative binomiske sannsynligheter kan du nå endre gliderverdiene for n, p, a og b.

23 GeoGebra: Binomiske sannsynligheter og kumulative binomiske sannsynligheter i regneark En bestemt type frø spirer med 70 % sannsynlighet. Vi sår 10 frø og ser om de spirer. Binomiske sannsynligheter Vi går ut fra at dette er et binomisk forsøk og bruker formelen n r n r Pr ( frø spirer) p 1 p r Her er n 10 og p 0,70. Vi vil bruke regnearket i GeoGebra til å finne sannsynligheten for at r frø spirer for ulike verdier av r. Klikk på Vis og velg Regneark. Skriv n i rute A1, p i rute B1, r i rute C1, BinomialKoeffisient[n,r] i rute D1 og P(r frø spirer) i rute E1. Skriv 10 i rute A, 0.70 i rute B, 0 i rute C. Skriv C +1 i rute C3. Klikk på markøren nederst til høyre i rute C3 og dra nedover til og med rute C1. Da står tallene 0, 1,,..., 10 i rutene C C1. Skriv BinomialKoeffisient[$A$,C] i rute D. Dra markøren i ruta nedover til og med rute D1. I rutene D D1 står verdiene for ,,..., Skriv D*$B$^C*(1-$B$)^($A$-C) i rute E. (Du kan i stedet for de to gangetegnene * taste mellomrom.) Dra markøren i ruta nedover til og med rute E1. Da får du bildet nedenfor. Du ser for eksempel at P(7 frø spirer) 0,67. Aschehoug Side 1 av

24 Kumulative binomiske sannsynligheter Skriv E i rute F. Skriv F + E3 i rute F3. Dra markøren i rute F3 nedover til og med rute F1. Da får du dette bildet: For eksempel ser du at det står 0,617 i rute F9. Det betyr at P(høyst 7 frø spirer) = 0,617. Aschehoug Side av

25 Normalfordeling med GeoGebra Vi antar at vekten av en nyfødt gutt er normalfordelt med forventningsverdi 3,6 kg og standardavvik 0,50 kg. Oppgave 1 Du skal bruke GeoGebra til å finne sannsynligheten for at en nyfødt gutt vil veie mindre enn 3,5 kg. Skriv Normalfordeling[3.6,0.50,3.5] i inntastingsfeltet og trykk Enter. Da får du dette bildet: I Algebrafeltet står det a = 0,405. Det viser at det er 40,5 % sannsynlig at en nyfødt gutt veier mindre enn 3,5 kg. Oppgave Du skal bruke GeoGebra til å finne sannsynligheten for at en nyfødt gutt vil veie mellom,5 kg og 3,5 kg. I oppgave 1 fant du at det er 0,405 sannsynlig at en nyfødt gutt veier mindre enn 3,5 kg. Skriv Normalfordeling[3.6,0.50,.5] i inntastingsfeltet og trykk Enter. Da får du dette bildet: I Algebrafeltet står det a = 0,015. Det viser at det er 0,015 sannsynlig at en nyfødt gutt veier mindre enn,5 kg. P(en nyfødt gutt veier mellom,5 kg og 3,5 kg) = 0,405 0,015 = 0,397 Det er 39,3 % sannsynlig at en nyfødt gutt vil veie mellom,5 kg og 3,5 kg.

26 Invers normalfordeling med GeoGebra Vi antar at vekten av en nyfødt gutt er normalfordelt med forventningsverdi 3,6 kg og standardavvik 0,50 kg. La X stå for vekten av en tilfeldig valgt nyfødt gutt. Du skal bestemme tallet x som er slik at omtrent 60 % veier mindre enn x kg. Det betyr at du skal bestemme x slik at PX ( < x) 0, 60. Skriv InversNormalfordeling[3.6,0.50,0.60] i inntastingsfeltet og trykk Enter. Da får du dette bildet: I Algebrafeltet står det a = 3,75. Det viser at 60 % av de nyfødte guttene veier mindre enn 3,75 kg.