S2, Funksjoner Quiz. Test, 2 Funksjoner

Transkript

1 Test, Funksjoner Innhold. Derivasjon Funksjonsdrøfting Økonomiske optimeringsproblemer Modellering Bestemte integraler og arealer under kurver... 1 Grete Larsen. Derivasjon 1) 3 f f ) f f

2 3) f y f f( ) lim lim 0 0 4) I koordinatsystemet nedenfor har vi tegnet grafen til funksjonen f. ( ) Vi har også tegnet tangenten til grafen i punktet (3, ). Vi kan se av figuren at f (3) f (3) f (3) 1 5) Dersom f(4) og (4) 3 stigningstall. f, vet vi at grafen til f har en tangent i punktet f (4, 4 ) med

3 6) I koordinatsystemet nedenfor har vi tegnet grafen til funksjonen f. ( ) Vi har også tegnet tangenten til grafen i punktet (3, ). Likningen for tangenten er y 3 y y5 7) f f ) f e f e e 1 e 3

4 9) f ln f 1 ln 1 10) f f ln 1 ln 11 11) f ln f ln 1 ln 1 1) f f e e e 1 e 1 4

5 13) f f e e 4 e 3 e ) f f ) 3 f f 3 ln 1 3ln 3 ln 3 5

6 .3 Funksjonsdrøfting 1) Når f er positiv, må f også være positiv. ) Nedenfor har vi tegnet fortegnsskjema for f. Ut fra skjemaet ser vi at f har et toppunkt når f har et bunnpunkt når f har et terassepunkt når 3) Nedenfor har vi tegnet fortegnsskjema for f. Ut fra skjemaet ser vi at f har et toppunkt når 3 og et bunnpunkt når 3 f har et bunnpunkt når 3og et toppunkt når 3 f har et terassepunkt når 3og et bunnpunkt 3 4) Nedenfor har vi tegnet fortegnsskjema for f. Ut fra skjemaet ser vi at f har et toppunkt for f har et bunnpunkt for f har et terrassepunkt for 6

7 5) Nedenfor har vi tegnet fortegnsskjema for f. Ut fra skjemaet ser vi at f har et toppunkt for f har et bunnpunkt for f har et vendepunkt for ) Vi har en tredjegradsfunksjon f. Nedenfor finner du grafen til den deriverte til funksjonen. Ut fra denne grafen vet vi at punktet 1, f 1 på grafen til f er et toppunkt bunnpunkt nullpunkt 7

8 7) Vi har en tredjegradsfunksjon f. Nedenfor finner du grafen til den deriverte til funksjonen. Ut fra denne grafen vet vi at punktet, f på grafen til f er et toppunkt bunnpunkt vendepunkt 8) Vi har en tredjegradsfunksjon f. Nedenfor finner du grafen til den deriverte til funksjonen. Ut fra denne grafen vet vi at punktet 3, f 3 på grafen til f er et toppunkt bunnpunkt nullpunkt 8

9 9) Nedenfor finner du grafen til en funksjon f og en vendetangent til f. Likningen til vendetangenten er y 9 y 5 y 5 10) Nedenfor finner du grafen til en funksjon f og en vendetangent til f. f 5 0 9

10 11) Nedenfor finner du grafen til en funksjon deriverte et f og en vendetangent til f. I punktet,5 har den vendepunkt bunnpunkt nullpunkt 1) Gitt funksjonen f ln 4 0,,,,. Df 13) Gitt funksjonen f ln 4,0 og,0,0 og,0 5,0 og 5,0. f har nullpunktene 10

11 14) Petter plantet et morelltre i Vi bruker funksjonen h som en modell for å beregne treets høyde de neste 0 årene. er antall år etter planting og h gir treets høyde i meter. Figuren under viser grafen til grafene vet vi at h (blå), grafen til h (rød)og grafen til h (grønn). Ut fra disse treet nådde sin største høyde etter 10 år treet vokste fortest etter 10 år etter 10 år vokste treet 0 m/år 11

12 15) Petter plantet et morelltre i Vi bruker funksjonen h som en modell for å beregne treets høyde de neste 0 årene. er antall år etter planting og under viser grafen til grafene vet vi at h (blå), grafen til h h gir treets høyde i meter. Figuren (rød)og grafen til h (grønn). Ut fra disse etter 10 år var treet 7 meter høyt etter 10 år var treet 0,9 meter høyt etter 10 år vokste treet 7 cm/år 1

13 .4 Økonomiske optimeringsproblemer 1) Grensekostnaden er kostnaden ved å produsere én ekstra enhet av en vare. ) Ved regning kan vi finne grensekostnaden ved å derivere kostnadsfunksjonen. 3) Grenseinntekten viser hvor stor inntekt én ekstra produsert enhet gir. 4) Ved regning kan vi finne grenseinntekten ved å derivere inntektsfunksjonen. 5) En bedrift selger en vare til 950 kroner per enhet. Da kan inntekten beskrives med inntektsfunksjonen I ) Overskuddet i en bedrift er differensen mellom kostnader og inntekter 7) Overskuddet i en bedrift er lik null når inntektene og kostnadene er like store 13

14 8) Overskuddet er størst der overskuddsfunksjonen har et toppunkt 9) Når overskuddet er størst, er O 0 10) Overskuddet er størst når grenseinntekten er større enn grensekostnaden 11) Gitt en inntektsfunksjon p p 500 p I 500. Da er prisen per enhet 1) Siden prisen er en funksjon av antall enheter, er motsatt antall enheter en funksjon av prisen 13) Gitt at prisen på en vare er gitt ved funksjonen p 500 der er antall produserte og solgte enheter. Vi regner med at alle enhetene blir solgt. Da er etterspørselen som funksjon av prisen 500 p p 500 e p e p 500 ep p 14) Vi finner kostnadene ved å produsere én enhet ved å dividere totalkostnadene på antall enheter som produseres 15) Den minste verdien for enhetskostnadene finner vi der enhetskostnadene er lik grensekostnadene 14

15 .5 Modellering 1) Modellen under viser verdien av en leilighet i millioner kroner år etter 003. Modellen kan skrives på formen f 1,10 f,16 f 1,08 ) Modellen under viser verdien av en leilighet i millioner kroner år etter 003. I følge denne modellen er verdien av leiligheten i 008 ca 3,7 millioner,9 millioner 3,1 millioner 15

16 3) Modellen under viser verdien av en leilighet i millioner kroner år etter 003. I følge denne modellen passerer verdien på leiligheten 3 millioner i ) Modellen under viser verdien av en leilighet i millioner kroner år etter 003. Ifølge denne modellen var verdien på leiligheten i 003 millioner,16 millioner 3 millioner 16

17 5) Modellen under viser verdien av en leilighet i millioner kroner år etter 003. I følge denne modellen er den årlige verdiøkningen,16 % 8% 16 % 6) Tor setter kroner i banken og lar pengene stå urørt i 5 år. Renten er 4,5 % per år. Hvilket uttrykk kan vi bruke som modell for hvor mye han har i banken etter 5 år? f f , , f ,045 7) En bil koster kroner. Anta at bilens verdi avtar med 18 % per år. Hvilket uttrykk kan vi bruke som modell for bilens verdi etter fire år? 4 f ,18 4 f ,18 4 f ,8 8) Erik har penger i banken. Han påstår at han kan bruke funksjonen f ( ) ,05 som modell for hvor mye penger han har i banken etter år. Hvilken rentefot regner han med? 1,05%,5% 5,5% 17

18 9) En eksponentialfunksjon er gitt på formen f a b. I funksjonsuttrykket til f er a b a og b 10) Punktene i koordinatsystemet viser verdien til en bil år etter at den var ny. Hvilken modell passer best til å beskriveutviklingen til verdien til bilen? f ,001 f , f 18

19 11) Punktene i grafen angir befolkningen i Norge fra 1900 til 010 i millioner. Grafen viser en modell av denne utviklingen basert på befolkningstallene. Hvilket uttrykk kan være funksjonsuttrykket til grafen? f, 1,007 3, f,, 0,0 40 f 0, ,0, 1) Funksjonen f 3,01,08 er en modell for utviklingen av verdien på en leilighet i millioner år etter 008. Hva var verdien på leiligheten i 009 ifølge modellen? 3,0 millioner 3,4 millioner 4,0 millioner 13) Funksjonen f 3,01,08 er en modell for utviklingen av verdien på en leilighet i millioner år etter 008. Hva var verdien på leiligheten i 008 ifølge modellen? 3,0 millioner 3,4 millioner 4,0 millioner 19

20 14) Når vi har logistisk vekst, vil vekstkurven stige mer og mer når øker flate ut når øker synke når øker 15) Tabellen nedenfor viser data fra tellinger av ørretbestanden i et vann i perioden Årstall Antall år etter 1998, Antall ørret i tusen, N 4,0 6,7 10,9 17,4 1,5 4,5 6,0 Dataene i tabellen tyder på at veksten kan være logistisk fordi antall ørret stiger i hele perioden antall ørret er størst på slutten veksten i ørretbestanden øker først for så å avta 0

21 .6 Bestemte integraler og arealer under kurver 1) Figuren viser grafen til f rektanglene? og fire rektangler under kurven. Hva er summen av arealene av

22 ) Figuren til venstre viser grafen til f og et areal under grafen. Figuren til høyre viser samme graf med fire rektangler under. Hva er differensen mellom arealet på figuren til venstre og summen av arealene av rektanglene på figuren til høyre? 5,5 3) Figuren viser grafen til f summen av arealene? og fire rektangler under kurven. Hvilket uttrykk er riktig for 4 3 A f 0 1 f 1 1 f 1 f 3 1 f A f 1 1 f 1 f 3 1 f 5 1 f A f 1 1 f 1 f 3 1 f 4 1 f 1 1 1

23 4) Figuren viser grafen til f og et areal under grafen. Hvor stort er dette arealet? ,5 5) Figuren viser grafen til g arealene av rektanglene? 1 og tre rektangler under grafen. Hva er summen av 6 7,5 8 3

24 6) Figuren viser grafen til g for summen av arealene? 1 og tre rektangler under kurven. Hvilket uttrykk er riktig 3 3 A f 0 1 f 1 1 f 1 f A f 1 1 f 1 f 3 1 f A f 0 1 f 1 1 f 1 f og et areal under grafen. Figuren til høyre viser samme graf med tre rektangler under. Hva er differensen mellom arealet på figuren til venstre og summen av arealene av rektanglene på figuren til høyre? 7) Figuren til venstre viser grafen til g 0,75 1 1,5 4

25 8) Figuren viser grafen til f og et areal under grafen. Hvor stort er dette arealet? 7,5 8 8,5 9) Figuren viser grafen til h og to rektangler under kurven. Hva er summen av rektanglene? 3,8 4,75 5 5

26 10) Figuren til venstre viser grafen til h og to rektangler under grafen. Figuren til høyre viser samme graf med tre rektangler. Hva er differensen mellom summen av rektanglene på figuren til høyre og summen av rektanglene på figuren til venstre? ,5 11) Figuren viser grafen til h og tre rektangler. Hva er summen av rektanglene? 1, ,5 6

27 1) Figuren til venstre viser summen av 0 rektangler under grafen til en eksponentialfunksjon. Figuren til høyre viser tilsvarende 0 rektangler over den samme grafen. Hva er den beste tilnærmingsverdien for arealet under grafen fra 0 til 0? ) Figuren til venstre viser summen av 0 rektangler under grafen til en eksponentialfunksjon. Figuren til høyre viser summen av 10 rektangler under den samme grafen. Hva er den beste tilnærmingsverdien for arealet under grafen fra 0 til 0? ) For å bestemme arealet under en graf i Geogebra, bruker vi kommandoen Sum Under[ <Funksjon>, <Startverdi for >, <Sluttverdi for >, <Antall rektangler> ] Sum Over[ <Funksjon>, <Startverdi for >, <Sluttverdi for >, <Antall rektangler> ] Integral[ <Funksjon>, <Startverdi for >, <Sluttverdi for > ] 7

28 15) Figuren viser grafen til eksponentialfunksjonen f, og ti rektangler under kurven. Hvilket uttrykk er riktig for summen av arealene? 10 0 A f 0 1 f 1 1 f 0 1 f 1 A10 f 0 f f A f 0 f 1 f 18 f 0 0 8