Utvalgte løsninger oppgavesamlingen

Transkript

1 P kapittel Modellering Utvalgte løsninger oppgavesamlingen 01 a Snitthøyden i 1910 lir 170,0 171, 4 170,7. I 1970 lir den 177,1 179, 4 178,3. Med som antall år etter 1900 og y som snitthøyden i entimeter gir en lineær regresjon uttrykket y 0, , 6. Korrelasjonskoeffisienten lir r 0,994. Stigningstallet etegner den årlige endringen i snitthøyden til norske rekrutter. d Setter vi inn 50, får vi y 0, ,6 175,5. Med 150 lir høyden y 0, ,6 187,. Den første verdien er mest pålitelig, ettersom den ligger innenfor dataområdet. Den andre er ganske langt utenfor, og en gjennomsnittshøyde på nesten 190 m er nok ikke så veldig sannsynlig. 06 a Høyden på hver stolpe angir totalt antall driftsenheter et gitt år. Dermed kan vi lese verdiene direkte og få følgende taell: Antall år etter Antall enheter (tusen) Lager vi en lineær regresjon på grunnlag av denne taellen, får vi uttrykket y, , der y er antall tusen enheter og er antall år etter Korrelasjonskoeffisienten lir r 0,999. Selv om det totale antallet gårder avtar, ser vi at antallet store gårder øker. Det totale jordruksarealet urde være tilnærmet konstant. Vi setter inn 51 i uttrykket og får y, ,8, altså a gårder. d For å finne ut når modellen sier det ikke er flere gårder igjen, setter vi y 0 og løser 153 for : 55,8, det vil si i løpet av 04.,74 10 a Ved en lineær regresjon av de to datasettene får vi følgende modell: y 0,944 1, 41 Korrelasjonskoeffisienten lir r 0,975. Hvis dommerne var helt enige, ville datasettene være identiske, dvs. at modellen ville være y. Korrelasjonskoeffisienten ville være r 1. Ashehoug Undervisning Side 1 av 6

2 19 a Vi setter inn 1 i modellen fra oppgaveteksten: 0,4 h( ) 0,8 1 0,8. 0,4 Med 6 får vi h( ) 0,8 6 1,64. For veksten det sjette året trenger vi å vite plantens høyde ved inngangen til det året, 0,4 altså setter vi også inn for 5 : y 0,8 5 1,5. Plantens vekst det sjette året lir altså 1,64 1,5 0,1. Plott av funksjonen h( ) 0,8 0,04 : 3 a Lines saldo kan eskrives med en eksponentialfunksjon. Vi kan ruke punktene (0,1500) og (4,171,8) i en eksponentiell regresjon. Da får vi funksjonsuttrykket , 035. Vekstfaktoren er 1,035, så Lines rentesats er 3,5 %. Ashehoug Undervisning Side av 6

3 4 a Vi kan igjen ruke to punkter til regresjonen, denne gangen punktene (0, 3,00) og (1,, 35). Regresjonen gir uttrykket y 3, 00 0,980. Vi løser likningen 3, 00 0,980 0,80 grafisk og får 65, 4. Medisinen fortsetter altså å virke a. én time og fem minutter etter injeksjonen. 30 a På grunnlag av taellen lager vi en eksponentiell regresjon. Den gir uttrykket y,3 1,37. Korrelasjonskoeffisienten er r 0,998. Vi setter y,3 og får likningen,3,3 1,37, som vi forenkler til 1,37. Vi løser likningen grafisk og får, 0. Dolingstiden er, år ifølge modellen. 33 a Vi ruker lineær regresjon på tallene i taellen, med pris p som uavhengig variael og etterspørsel E som avhengig variael. Uttrykket lir E 0,91p 836. Inntekten er gitt ved antall solgte enheter ganger prisen per enhet. Hvis vi antar at edriften produserer nok enheter til å dekke etterspørselen, kan vi si at inntekten er gitt ved pris ganger etterspørsel. Da får vi følgende modell: I 1, 096E 917 E, der I er inntekten i kroner og E er etterspørselen i antall vareenheter. 34 a Vi ruker kvadratisk regresjon på tallene i taellen. Andregradsuttrykket lir y 0,860 97, Vi antar, som oppgaven sier, at edriften selger alle enheter den produserer. Dermed er antall solgte enheter lik antall produserte enheter. De får prisen p 50 kr for hver vare. Videre har vi at overskuddet er lik forskjellen mellom inntekter og kostnader, eller O I K. Ashehoug Undervisning Side 3 av 6

4 Inntektene er gitt ved pris per enhet ganger antall enheter solgt, altså I p 50. Kostnadene er gitt ved andregradsuttrykket i oppgave a. Setter vi dette sammen, får vi O I K 50 0,860 97, , Kurven for overskuddet har maksimum ved 89, altså ør de produsere 89 enheter for å oppnå størst mulig overskudd. 35 a Vi ruker lineær regresjon på tallene i taellen, med pris p som uavhengig variael og etterspørsel E som avhengig variael. Uttrykket lir E 0,093p 136. Inntekten er gitt ved antall solgte enheter ganger prisen per enhet. Hvis vi antar at edriften produserer nok enheter til å dekke etterspørselen, kan vi si at inntekten er gitt ved pris ganger etterspørsel. Da får vi følgende modell: I 10,8E 146 E, der I er inntekten i kroner og E er etterspørselen i antall vareenheter. Med en kvadratisk regresjon får vi uttrykket som funksjon av produksjonsmengden. K 3, 49 75, for kostnadene d Overskuddet er gitt ved O I K 10, , 49 75, , e Funksjonen for overskuddet har maksimum ved 48. Bedriften ør altså produsere 48 enheter for å oppnå størst mulig overskudd. Vi setter inn E 48 i uttrykket E 0,093p 136 fra oppgave a og løser likningen: 48 0, 093p 136 0, 093p 88 p 946, 4 Salgsprisen ør være 94 kr ifølge modellen. 38 a Det ser ut til at en potensregresjon gir det este resultatet. Vi forsøker det, og får 0,377 uttrykket y 1,60. For får vi 0,377 y 1, Ashehoug Undervisning Side 4 av 6

5 48 a Vi lager en lineær regresjon på grunnlag av dataene. Vi får y 39,93 45,55, og korrelasjonskoeffisienten lir r 0,990. Her er antall år etter 1950 og y antall tusen personiler. Veksten i de fem første radene ser ut til å være eksponentiell, altså prøver vi med en eksponentiell regresjon. Det gir y 65,8 1,13, med en korrelasjonskoeffisient r 0, Setter vi inn for = 50, altså verdien for år 000, får vi y 65,8 1, Det vil si nesten 30 millioner personiler! Dette er grunnen til at eksponentiell vekst i ilantallet ikke er mulig over lang tid den når asurde verdier, og veksten stopper aldri. 5 a Hvis vi skriver om dataene i venstre kolonne til antall år (altså 0, 1,, ), kan vi lage en modell av tidsforløpet til ilens verdi. En eksponentiell modell vil være est egnet, siden den synker jevnt og mot null. Vi prøver en eksponentiell regresjon med antall år som avhengig variael (y) og ilens verdi som uavhengig variael (), angitt i tusen kroner. Resultatet lir y 310 0,880, og vi får en korrelasjonsskoeffisient r 0,967. Vi setter inn for = 10 og får 10 y(10) 310 0,880 86, 7, altså er ilen verdt kr etter ti år. Når ilen er ny, er den verdt y (0). Etter ett år har verdien sunket til y(1). Forskjellen i verdi er altså y(0) y(1), og vi er interessert i denne forskjellen oppgitt i prosent av Ashehoug Undervisning Side 5 av 6

6 y(1) y(0). Dermed må vi finne % y(0). Dette lir 1 a 1 100% (0,880 1) 1 % 0 a Bilens verdi synker med 1 % hvert år. (Vi kunne egentlig lest dette direkte av grunntallet til.) 57 a Vi lager en eksponentiell regresjon (på formen y a ) med tid og fart som henholdsvis uavhengig og avhengig variael. Vi får y 4,6 0,507. Korrelasjonskoeffisienten lir r 0,967, så det ser ut til å være rimelig god overensstemmelse mellom data og modell. Fartsverdiene i taellen er målt i forhold til et nullnivå på 0 m s. Hvis vi skriver dem om slik at nullnivået ligger på 1 m s, urde en ny regresjon gi et edre resultat. Omskrivingen gjør vi ved å trekke 1 m s fra alle fartsverdiene, slik at de lir 4,00, 3,0, 1,90, 1,06, 1,01 En ny regresjon gir nå y 7,51 0,0797. Korrelasjonskoeffisienten lir r 0,98, altså har vi edre overensstemmelse enn i deloppgave a. Ashehoug Undervisning Side 6 av 6