2P kapittel 2 Modellering Utvalgte løsninger oppgavesamlingen

Transkript

1 P kapittel Modellering Utvalgte løsninger oppgavesamlingen 01 a Av tabellen ser vi at y minker like mye hver gang x øker med 1. Tallene passer derfor med en lineær funksjon. b Hver gang x øker med 1, minker y med 3. Stigningstallet er derfor a = 3. Grafen går gjennom punktet (0,1), dvs. den skjærer y-aksen i dette punktet. Dermed er konstantleddet b = 1. Funksjonsuttrykket er f ( x) = 3x a Vi plotter punktene (5, 8) og (11,17) i et koordinatsystem, og trekker en rett linje gjennom punktene. b Når x øker med 8, øker y med 1. økning i y 1 a = = = 1, 50 økning i x 8 Linja skjærer y-aksen i ( 0, 0,50). Det betyr at b = 0,50. Linja har funksjonsuttrykket f( x) = 1,50x+ 0, 50. c Stigningstallet forteller oss at samtaleprisen er 1,50 kr per minutt. d Konstantleddet forteller oss at startprisen for en samtale er 0,50 kr. Aschehoug Side 1 av 7

2 09 a Linja går gjennom punktene ( 0,,19,5) og (5,3, 5,0). Stigningstallet er dermed økning i y 5,0 19,5 5,5 a = = = = 1,08 økning i x 5,3 0, 5,1 Linja skjærer y-aksen i ( 0,19,3). Det betyr at b = 19,3. Linja har funksjonsuttrykket f( x) = 1,08x+ 19,3. b År 00 svarer til x = 19. f (19) = 1, ,3 = 39,8 40 Ifølge modellen vil det bli slaktet ca. 40 millioner fjærfe i a Aschehoug Side av 7

3 b Linja går gjennom punktene ( 0,,17) og (7,7, 10). Stigningstallet er dermed økning i y a = = = = 11,1 økning i x 7,7 0, 7,5 Linja skjærer y-aksen i ( 0,15). Det betyr at b = 15. Linja har funksjonsuttrykket f( x) = 11,1x+ 15. c Stigningstallet viser hvor raskt helseutgiftene endrer seg. Helseutgiftene øker med ca. 11,1 milliarder kr per år. 14 a Vi bruker regresjon til å finne den lineære funksjonen som passer best til punktene. Det gir f( x) = 0,107x+ 45,8. b Stigningstallet viser hvor raskt rekordtiden endrer seg. Rekorden blir forbedret med ca. 0,107 sekunder per år. c Vi løser likningen f( x ) = 30. 0,107x + 45, 8 = 30 0,107x = 15,8 15,8 x = = 147, , = 050 Ifølge modellen vil rekorden komme ned i 30 sekunder rundt år 050. Aschehoug Side 3 av 7

4 1 Når vi plotter punktene i et koordinatsystem, ser vi at en andregradsfunksjon vil passe bra med punktene. Regresjon med andregradsfunksjoner gir ht ( ) = 4,9t 0, 073t+ 0, 049 4,9t 0,1t 3 a Vi bruker kvadratisk regresjon på tallene i tabellen. Andregradsuttrykket blir K( x) = 0,860x + 97,1x b Vi antar, som oppgaven sier, at bedriften selger alle enheter den produserer. Dermed er antall solgte enheter lik antall produserte enheter. Prisen er p = 50 kr for hver vare. Overskuddet er lik forskjellen mellom inntekter og kostnader, Ox ( ) = Ix ( ) Kx ( ). Inntektene er gitt ved pris per enhet ganger antall solgte enheter, altså I( x) = px = 50x. Kostnadene er gitt ved andregradsuttrykket i oppgave a. Setter vi dette sammen, får vi Ox ( ) = Ix ( ) Kx ( ) = 50x 0,860x 97,1x 4575 = 0,860x + 15,9x 4575 c Vi tegner grafen til Ox ( ). Vi ser at grafen har et toppunkt ved x = 89. Bedriften bør altså produsere 89 enheter for at overskuddet skal bli størst mulig. 5 a Vi lar x år være bilens alder og bruker regresjon til å finne den eksponentialfunksjonen som passer best til tallene. Det gir f( x ) = ,880 x. b Vi setter x = 10 inn i funksjonsuttrykket. 10 f (10) = ,880 = Bilens verdi etter 10 år er ifølge modellen kr. c Vekstfaktoren er 0,880 = 88,0 %. Det årlige verditapet for bilen er da 100 % 88,0 % = 1,0 %. Aschehoug Side 4 av 7

5 6 a Beløpet vokser med en fast prosent hvert år. Utviklingen kan derfor beskrives med en eksponentialfunksjon. b Vi bruker eksponentiell regresjon med punktene ( 0,1500) og (4,171,8). Det gir funksjonsuttrykket f( x ) = ,035 x. c Vekstfaktoren er 1,035, som svarer til en økning på 3,5 %. Line fikk 3,5 % rente på pengene sine. 7 a Vi lar x være tiden i minutter, og f ( x ) medisinkonsentrasjonen i mg/ml. Eksponentiell regresjon med punktene (0, 3,00) og (1,,35) gir funksjonsuttrykket f( x ) = 3,00 0,980 x. b Vi tegner grafen til funksjonen f ( x ), og løser likningen f( x ) = 0,80 grafisk. f( x ) = 0,80 når x = 65,4. Medisinen vil være virksom i ca. 65 minutter. 8 a Vi lar x være antall år etter 1970, og bruker regresjon til å finne den eksponentialfunksjonen som passer best til tallene. Det gir ( ) 1,91 1,39 x f x =. b Vi vil undersøke hvordan antallet transistorer endrer seg i løpet av to år, og sammenlikner derfor f () med f (0). f () 1,91 1,39 = = 1, 39 = 1,94 0 f (0) 1,91 1,39 I løpet av to år øker antallet transistorer med en faktor 1,94, altså nesten en dobling. Moores lov stemmer derfor tilnærmet. 0,4 9 a Vi setter x = 1 inn i uttrykket for hx ( ) og får h (1) = 0,8 1 = 0,8. Etter ett år var prydbusken 80 cm høy. 0,4 b Vi setter x = 6 inn i uttrykket for hx ( ) og får h (6) = 0,8 6 = 1, 638 1, 64. Etter seks år var prydbusken 1,64 m høy. Veksten det sjette året er gitt ved h(6) h(5). 0,4 h (5) = 0,8 5 = 1,53 h(6) h(5) = 1, 638 1, 53 = 0,115 0,1 Det sjette året vokste prydbusken 1 cm. Aschehoug Side 5 av 7

6 c 34 a Vi prøver regresjon med forskjellige funksjonstyper og finner da at en eksponentialfunksjon passer best til tallene. Regresjonen gir funksjonsuttrykket f( x ) = 0,418 3,18 x. b Veksten i antall Facebook-brukere er eksponentiell. Vekstfaktoren er 3,18. p 1+ = 3, p = 100,18 = 18 Den årlige veksten er på 18 %. c Eksponentialfunksjonen i oppgave a vokser svært raskt, og veksten kan derfor ikke fortsette særlig lenge. Prognoser fra modellen passerer jordas befolkning om få år. For eksempel finner vi at f (9) = Ifølge modellen skal altså antall Facebookbrukere i 013 være 13,9 milliarder! 37 a Vi bruker regresjon til å finne den eksponentialfunksjonen f ( x ) og andregradsfunksjonen gx ( ) som passer best til tallene. Det gir f( x ) = ,975 x gx ( ) = 0,0987x 18,8x+ 985 b 010 svarer til x = f (60) = ,975 = 3 g(60) = 0, , = 1 I virkeligheten var antall innbyggere per lege 34 i 010. Dette stemmer brukbart med de to modellene. Best samsvar er det for eksponentialfunksjonen. Aschehoug Side 6 av 7

7 c 1850 svarer til x = f ( 100) = ,975 = Utvalgte løsninger oppgavesamlingen g( 100) = 0,0987 ( 100) 18,8 ( 100) = 385 Begge modellene stemmer dårlig med det virkelige antallet, som er 519. Spesielt dårlig samsvar er det for eksponentialfunksjonen. d I diagrammet ser det ut som om antallet innbyggere per lege går raskt ned i starten, og så flater ut. Men det skyldes bare at årstallene i diagrammet er svært ujevnt fordelt. Hvis vi i stedet plotter dataene med en "riktig" tidsakse, ser vi at nedgangen er ganske jevn. e Når vi tegner grafen til de to funksjonene for store verdier av x, altså langt fram i tid, ser vi at eksponentialfunksjonen nærmer seg null, mens andregradsfunksjonen etter hvert begynner å øke. Begge deler er urealistisk. Modellene kan derfor ikke brukes til å lage prognoser på lang sikt. Aschehoug Side 7 av 7