LØSNING: Oppgavesett nr. 1

Transkript

1 LØSNING: Oppgavesett nr. MAT0 Statistikk, 208 (Versjon 0) Oppgave : ( fordeling, gjennomsnitt, varians og standardavvik ) a) Plotter fordelingen til x i : antall personer x i Figur : Antall observasjoner og de tilhørende antall overtidsdager.

2 b) Plotter høyden x i sfa. person nr. i: x i x i Figur 2: Høyden x i sfa. person nr. i. c) Gjennomsnittshøyden x: x n x i () cm (2) 69.2 cm (3) 2

3 d) Emirisk varians: ( n 2 ) S 2 x n (x i x) 2 (4) ( )2 + ( ) ( ) 2 2 cm 2 (5) 74.2 cm 2 (6) e) Empirisk standardavvik: ( n 2 ) S x S 2 x 74.2 cm cm (7) 3

4 Oppgave 2: ( lokaliseringsmål og spredningsmål ) a) Eksempler på statistiske størrelser som beskriver sentrum, altså lokalisering, av observasjoner: Gjennomsnitt: x n x i (8) hvor n er antall observasjoner og x i er verdien til observasjon nr. i. Median: median midtre observasjonen, n odde gjennomsnitt av to midterste observasjonene, n like (9) Typetall: typetall den verdien som forekommer hyppigst (0) 4

5 b) Eksempler på statistiske størrelser som beskriver spredningen i observasjoner: Modalprosent: modalprosent %-vis andel av observasjonene som har verdi lik typetallet () Variasjonsbredde: variasjonsbredde differansen mellom største og minste verdi (2) Empirisk varians: S 2 x n ( xi x ) 2 (3) hvor x er gjennomsnittet, n er antall observasjoner og x i er verdien til observasjon nr. i. Empirisk standardavvik: hvor S 2 x er varians. S x S 2 x (4) 5

6 c) i) Empirisk kovarians: S xy n ( xi x )( y i y ) (5) hvor x og y er gjennomsnitt, n er antall observasjoner, x i er verdien til x-observasjon nr. i og tilsvarende for y. Korrelasjonskoeffisient: R xy S xy S x S y (6) hvor S xy er empirisk kovarians, S x standardavvik for x-obervasjonene og S y er standardavvik for y-observasjonene. ii) S xy kan ha alle mulige reelle verdier, S xy,. iii) R xy er normalisert og ligger mellom og, R xy [, ]. iv) R xy er et mål på lineær korrelasjon mellom observasjonene x i og y i. v) R xy er enhetsuavhengig, dvs. ingen enhet. Dette betyr at R xy har samme verdi uansett hva slags enhet man bruker for å regne ut S xy, S x og S y. 6

7 vi) R xy : sterk negativ korrelasjon, dvs. store x hører sammen med små y. lineær 2 sammenheng mellom x og y, med negativt stigningstall R xy : sterk positiv korrelasjon, dvs. store x hører sammen med store y. lineær sammenheng mellom x og y, med positivt stigningstall R xy 0: ingen korrelasjon ukorrelert 2 Lineær sammenhenger mellom x og y betyr at de kan skrives på formen: y ax + b, (a og b er konstanter). Lineær er altså det samme som en rett linje. 7

8 Oppgave 3: ( kovarians ) a) For å regne ut standardavviket S x trenger vi gjennomsnittet x: x n x i (7) Standardavviket S x er da: S x S 2 x n (8) (x i x) 2 (9) (7 42)2 + (47 42) 2 + (23 42) 2 + (27 42) (20) For å regne ut standardavviket S y trenger vi gjennomsnittet ȳ: ȳ n y i (2) Standardavviket S y er da: S y S 2 y (22) n (y i ȳ) 2 (23) (58 6)2 + (06 6) 2 + (54 6) 2 + (46 6) (24) 8

9 Kovariansen er: S xy (x i x)(y i ȳ) (25) n [ (7 42)(58 6) + (47 42)(06 6) 4 ] +(23 42)(54 6) + (27 42)(46 6) (26) 968 (27) Vi kjenner nå S xy, S x og S y. Dermed kan vi regne ut korrelasjonskoeffisienten R xy : R xy S xy S x S y (28) (29) 9

10 b) Siden R xy er det en linær sammenheng mellom pris og etterspørsel. (Jfr. oppgave c vi i denne øvingen). Dermed kan vi velge to (vilkårlige) punkt x x, y y og x x 2, y y 2 fra tabellen i oppgavesettet, f.eks. x 7, y 58 og x 2 47, y Dette innsatt i topunktformelen gir: y y y 2 y x 2 x ( x x ) y ( x 7 ) (30) (3) y 2x (32) c) Fra oppgave 3b vet vi at det er en lineær sammenheng mellom pris og etterspørsel. Derfor er det figur A (33) som potensielt kan beskrive sammenhengen mellom pris og etterspørsel for dataene i tabellen. 0

11 Oppgave 4: ( korrelasjonskoeffisient - et mål på lineær sammenheng ) B R AB 0.95 C R AC A A D R AD A Figur 3: Sammenhenger mellom aksjene.

12 Oppgave 5: ( aksjeanalyse ) a) Gjennomsnittet ā og b: ā n b n a i b i NOK 07.6 NOK (34) NOK 49.8 NOK (35) b) Plott av a i og b i : ( i, 2, 3, 4, 5 ) a, b ( aksjekurser, NOK ) b i 30 0 a i ( måned nr. ) i Figur 4: Plott av a i og b i. c) Av figuren ser vi at aksjekursene til selskapet BETA (blå kurve) varierer mest. Derfor er BETA mest usikker. 2

13 d) i) Varians: S 2 a n (a i ā) 2 (0 07.6)2 + ( ) 2 + ( ) 2 + ( ) 2 + (4 07.6) NOK 2 NOK 2 S 2 b n (b i b) 2 ( )2 + ( ) 2 + ( ) 2 + ( ) 2 + ( ) NOK 2 NOK 2 ii) Siden S 2 b > S2 a så ser vi at dette stemmer med den grafiske konklusjonen fra oppgave 5c. e) i) Kovarians: S ab (a i ā)(b i n b) (36) [ (0 07.6)( ) + ( )( ) 5 + ( )( ) + ( )( ) ] + (4 07.6)( ) NOK 2 (37) 39.4 NOK 2 (38) 3

14 ii) Dermed blir korrelasjonskoeffisienten R ab : R ab S ab S a S b 39.4 NOK NOK NOK (39) iii) Korrelasjonskoeffisienten har ingen enhet. Den er enhetsløs. Lign.(39) er et eksempel som illustrerer dette. iv) Siden R ab er positiv, dvs. R ab > 0, så er det positiv korrelasjon. Med R ab 0.62 så hører store a til en viss grad sammen med store b. Dvs., til en viss grad, er det en positiv lineær sammenheng mellom a og b. 4