Sentralmål og spredningsmål

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Sentralmål og spredningsmål"

Transkript

1 Sentralmål og spredningsmål 3.1 Læreplanmål Gjennomsnitt og typetall Median Variasjonsbredde og kvartilbredde Varians og standardavvik Digitale sentralmål og spredningsmål Histogram Sentralmål i et gruppert materiale Gruppert materiale digitalt Spørreundersøkelser Symboler, formler og eksempler 49 Læreplanmål for 2P-Y Planlegge, gjennomføre og vurdere statistiske undersøkelser Beregne og drøfte sentralmål og spredningsmål Gruppere data og beregne sentralmål for et gruppert datamateriale Bruke regneark i statistiske beregninger og presentasjoner

2 3.1 Gjennomsnitt og typetall Oppgave 3.10 I oktober et år spilte håndballspilleren Marit Løke 12 kamper. Antallet mål hun skåret var: 5, 2, 3, 0, 4, 1, 6, 2, 7, 2, 0, 2 a) Finn typetallet. Typetallet er det tallet som forekommer flest ganger. Vi ordner tallene: 0, 0, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 4, 5, 6, 7 og ser at tallet 2 forekommer flest ganger. Typetallet er 2. b) Finn gjennomsnittet. For å finne gjennomsnittet legger vi sammen alle målene som Marit Løke skåret og deler på antall kamper = 34 = 2, Oppgave 3.11 På en prøve fikk elevene disse karakterene: 3, 5, 4, 1, 3, 4, 2, 3, 1, 4, 3, 6, 3, 3, 2, 4, 5, 2, 4, 3, 4, 3, 2, 5, 2, 4, 5 a) Finn typetallet. Typetallet er det tallet som forekommer flest ganger. Vi ordner tallene: 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6 Typetallet er 3 fordi tallet forkommer flest ganger. b) Finn gjennomsnittet. For å finne gjennomsnittet legger vi sammen alle karakterene til klassen og deler på antall karakterer (elever) = 90 = 3,

3 Oppgave 3.12 På et tidspunkt var fraværet i gruppe 2P-Y-1 slik: Fravær (timer) Frekvens a) Finn typetallet. Vi ser i tabellen at fravær 0 timer har frekvensen 8. Det betyr at det er 8 elever som har 0 timer fravær. Ingen av de andre timer med fravær har en høyere frekvens. Typetallet er 0. b) Finn gjennomsnittsfraværet. For å finne gjennomsnittet av fraværet vil den mest oversiktlige metoden være å utvide tabellen. I den nye kolonnen multipliserer vi Fravær (timer) med Frekvens og får da en summen (S) som er det samlede fraværet til elevene (N). Fravær (timer) x Frekvens f f x N = 27 S = 51 Gjennomsnittsfraværet = Summen av fravær Antall elever = S N = 51 1,

4 Oppgave 3.13 To håndballspillere noterer hvor mange mål de skårer i hver kamp, og setter opp tallene i en frekvenstabell. Mål Kamper Heidi Marit a) Finn typetallet for hver av dem. Typetallet for Heidi er 3 fordi hun i 11 av kampene skåret 3 mål. Typetallet for Marit er 2 fordi hun i 12 av kampene skåret 2 mål. b) Finn gjennomsnittet for hver av dem. Vi utvider tabellen med to nye kolonner med f x for Heidi og Marit og en rad under med N for antall kamper og S for summen av antall mål. Mål Kamper Heidi Marit Heidi Marit x f f f x f x N = 48 N = 48 S = 157 S = 106 Vi kan nå regne ut gjennomsnittet av skårede mål til de to håndballspillerne: Heidi, gjennomsnittlig skårede mål = Marit, gjennomsnittlig skårede mål = Summen av antall mål (f x) Summen av antall kamper = S N = 157 3, Summen av antall mål (f x) Summen av antall kamper = S N = 106 2,

5 Oppgave 3.14 Gruppene 2P-Y-2 og 2P-Y-3 hadde den samme prøven som 2P-Y-1. Tabellen viser karakterene i de to gruppene. Karakter 2P-Y-2 2P-Y Finn typetallet og gjennomsnittskarakterene for hver av de to gruppene. Typetallet for 2P-Y-2 er 4 fordi dette forekommer flest ganger (7 ganger). Typetallet for 2P-Y-3 er 4 fordi dette forekommer flest ganger (10 ganger). Vi utvider tabellen med to nye kolonner med f x for 2P-Y-2 og 2P-Y-3 og en rad under med N for antall elever og S for summen av karakterene. Karakter Antall elever 2P-Y-2 2P-Y-3 2P-Y-2 2P-Y-3 x f f f x f x N = 27 N = 27 S = 92 S = 96 2P Y 2 sitt gjennomsnitt = 2P Y 3 sitt gjennomsnitt = Summen av karakterer (f x) Summen av antall elever Summen av karakterer (f x) Summen av antall elever = S N = 92 3, = S N = 96 3,

6 3.2 Median Oppgave 3.20 Håndballspilleren Marit Løke spilte 12 kamper. Tallet på mål hun skåret, var : 5, 2, 3, 0, 4, 1, 6, 2, 7, 2, 0, 2 Finn medianen. Først ordner vi serien i stigende rekkefølge: 0, 0, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 4, 5, 6, Medianen er den midtre verdien i serien. I dette tilfellet har vi en tallserie på 12 tall. Da er medianen mellom det 6. og det 7. tallet. Vi beregner medianen: Det 6. tallet + Det 7. tallet 2 = = 2 Oppgave 3.21 På en prøve fikk elevene disse karakterene: 3, 5, 4, 1, 3, 4, 2, 3, 1, 4, 3, 6, 3, 3, 2, 4, 5, 2, 4, 3, 4, 3, 2, 5, 2, 4, 5 Finn medianen. Medianen er den midtre verdien når vi har ordnet tallserien. Her har vi en tallserie på 27 tall. Da er den midtre verdien det 14. tallet. Vi ordner serien: 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6 Medianen er 3. Vi kan også beregne mediantallet slik: N+1 = 27+1 = 14 Der N er antall observasjoner

7 Oppgave 3.22 Fraværet i gruppe 2P-Y-1 er gitt i denne tabellen: Fravær (timer) Frekvens Finn medianen. I stedet for å skrive opp alle tallene etter hverandre slik som i oppgave 3.20 og 3.21 utvider vi tabellen med Kumulative frekvens. Fravær (timer) Frekvens Kumulativ frekvens Som vi ser har vi da 27 observasjoner (elever). Vi beregner mediantallet: N+1 = 27+1 = 14 Der N er antall observasjoner (elever). 2 2 Elev fra og med nummer 14 og til og med nummer 19 har 2 timer fravær. Medianen er elev nummer 14 og medianen (fraværet) er da 2. 7

8 Oppgave 3.23 Tabellen viser antallet mål for håndballspillerne Heidi og Marit. Mål Kamper Heidi Marit Finn medianen for hver av dem. Vi utvider tabellen med Kumulativ frekvens for både Heidi og Marit. Mål Kamper Kumulativ frekvens Heidi Marit Heidi Marit Som vi ser har vi da 48 observasjoner (skårede mål). Vi beregner mediantallet: N+1 = 48+1 = 24,5 Det betyr mellom 24 og 25 skårede mål. 2 2 For Heidi ser vi at 24,5 ligger i intervallet som er 3 skårede mål og som gir oss median = 3. For Marit ser vi at 24,5 ligger i intervallet som er 2 skårede mål og som gir oss median = 2. 8

9 Oppgave 3.24 Tabellen viser karakterene for gruppene 2P-Y-2 og 2P-Y-3. Karakter 2P-Y-2 2P-Y Finn medianen for hver av de to gruppene. Vi utvider tabellen med Kumulativ frekvens for både 2P-Y-2 og 2P-Y-3. Kumulativ frekvens Karakter 2P-Y-2 2P-Y-3 2P-Y-2 2P-Y Som vi ser har vi da 27 observasjoner (elever). Vi beregner mediantallet: N+1 = 27+1 = 14 Det betyr at karakter nummer 14 er medianen. 2 2 For 2P-Y-2 ser vi at 14 ligger i intervallet som er karakteren 4 og som gir oss median = For 2P-Y-3 ser vi at 14 ligger i intervallet som er karakteren 4 og som gir oss median =

10 3.3 Variasjonsbredde og kvartilbredde Oppgave 3.30 Vi måler høyden til sju jenter. Høydene er: 177 cm, 164 cm, 170 cm, 168 cm, 172 cm, 161 cm, 169 cm a) Finn medianen, nedre kvartil og øvre kvartil. Vi ordner observasjonene i stigende rekkefølge: 161, 164, 168, 169, 170, 172, 177 Vet at median er tallet i midten av observasjonene, tallet er 169 cm. Nedre kvartil er tallet i midten av nedre halvdel av alle observasjonene, tallet er 164 cm. Øvre kvartil er tallet i midten av øvre halvdel av alle observasjonene, tallet er 172 cm. Det vil ofte være lettere å finne median (Q 2 ), nedre kvartil (Q 1 ) og øvre kvartil (Q 3 ) når vi lager en tabell eller tegning slik som her: NEDRE HALVDEL ØVRE HALVDEL 161 cm 164 cm 168 cm 169 cm 170 cm 172 cm 177 cm nedre kvartil median øvre kvartil Q 1 Q 2 Q 3 b) Finn variasjonsbredden og kvartilbredden. Variasjonsbredden er differansen (forskjellen) mellom den høyeste og laveste observasjonsverdien. Variasjonsbredden = 177 cm 161 cm = 16 cm Kvartilbredden er differansen (forskjellen) mellom øvre kvartil og nedre kvartil. Kvartilbredden = øvre kvartil (Q 3 ) nedre kvartil (Q 1 ) = 172cm 164cm = 8 cm Oppgave 3.31 Vi veier 11 rekrutter og får disse vektene i kilogram: 73, 85, 71, 75, 74, 79, 86, 70, 74, 62, 69 a) Finn medianen, nedre kvartil og øvre kvartil. Vi ordner observasjonene i stigende rekkefølge: 62, 69, 70, 71, 73, 74, 74, 75, 79, 85, 86 Vet at median er tallet i midten av observasjonene og som vi ser er dette 74 kg. Nedre kvartil er tallet i midten av nedre halvdel av alle observasjonene, tallet er 70 kg. Øvre kvartil er tallet i midten av øvre halvdel av alle observasjonene, tallet er 79 kg. 10

11 Det vil ofte være lettere å finne median, nedre kvartil og øvre kvartil når vi lager en tabell eller tegning slik som her: NEDRE HALVDEL ØVRE HALVDEL nedre kvartil median øvre kvartil Q 1 Q 2 Q 3 b) Finn variasjonsbredden og kvartilbredden. Variasjonsbredden er differansen (forskjellen) mellom den høyeste og laveste verdien. Variasjonsbredden = 86 kg 62 kg = 24 kg Kvartilbredden er differansen (forskjellen) mellom øvre kvartil og nedre kvartil. Kvartilbredden = øvre kvartil (Q 3 ) nedre kvartil (Q 1 ) = 79 kg 70 kg = 9 kg Oppgave 3.32 På en prøve fikk elevene disse karakterene: 3, 5, 4, 1, 3, 4, 2, 3, 1, 4, 3, 6, 3, 3, 2, 4, 5, 2, 4, 3, 4, 3, 2, 5, 2, 4, 5 a) Finn medianen, nedre kvartil og øvre kvartil. Løsningsforslag når vi ordner tallmaterialet i stigende rekkefølge: Q 1 Q 2 Q 3 Nedre kvartil (Q 1 ) = 2 Median (Q 2 ) = 3 Øvre kvartil (Q 3 ) = 4 11

12 Løsningsforslag når vi lager en frekvenstabell: Karakter Frekvens Kumulativ frekvens Median(Q 2 ) = Nedre kvartil (Q 1 ) = = ligger i intervallet 8 til 15 som gir oss karakter = 3. = 7 7 ligger i intervallet 3 til 7 som gir oss karakter = 2. Øvre kvartil (Q 3 ) = = ligger i intervallet 16 til 22 som gir oss karakter = 4. b) Finn variasjonsbredden og kvartilbredden. Variasjonsbredden = Høyeste karakter Laveste karakter = 6 1 = 5 Kvartilbredden = Øvre kvartil (Q 3 ) Nedre kvartil (Q 1 ) = 4 2 = 2 Oppgave 3.33 Tabellen viser hvor mange mobiltelefoner elevene i en klasse har hatt. Telefoner Elever a) Finn medianen, nedre kvartil og øvre kvartil. Løsningsforslag når vi ordner tallmaterialet i stigende rekkefølge: Q 1 Q 2 Q 3 Nedre kvartil (Q 1 ) = 1 Median (Q 2 ) = 2 Øvre kvartil (Q 3 ) = 4 12

13 Løsningsforslag når vi lager en frekvenstabell: Telefoner Elever Kumulativ frekvens Median(Q 2 ) = Nedre kvartil (Q 1 ) = = ligger i intervallet 8 til 14 som gir oss antall = 2. = 7 7 ligger i intervallet 2 til 7 som gir oss antall = 1. Øvre kvartil (Q 3 ) = = ligger i intervallet 20 til 23 som gir oss antall = 4. b) Finn variasjonsbredden og kvartilbredden. Variasjonsbredden = Høyeste antall Laveste antall = 6 0 = 6 Kvartilbredden = Øvre kvartil (Q 3 ) Nedre kvartil (Q 1 ) = 4 1 = 3 Oppgave 3.34 En klasse har gjennomført en undersøkelse om søvn blant elevene i klassen. Tabellen viser hvor mange dager i løpet av ei uke elevene la seg til å sove etter midnatt. Dager Elever

14 a) Finn medianen, nedre kvartil og øvre kvartil. Løsningsforslag når vi ordner tallmaterialet i stigende rekkefølge: Q 1 Q 2 Q 3 Nedre kvartil (Q 1 ) = 2 Median (Q 2 ) = 2 Øvre kvartil (Q 3 ) = 3 Løsningsforslag når vi lager en frekvenstabell: Dager Elever Kumulativ frekvens Median(Q 2 ) = Nedre kvartil (Q 1 ) = = ligger i intervallet 6 til 15 som gir oss antall = 2. = 7 7 ligger i intervallet 6 til 15 som gir oss antall = 2. Øvre kvartil (Q 3 ) = = ligger i intervallet 16 til 22 som gir oss antall = 3. b) Finn variasjonsbredden og kvartilbredden. Variasjonsbredden = Høyeste antall Laveste antall = 7 0 = 7 Kvartilbredden = Øvre kvartil (Q 3 ) Nedre kvartil (Q 1 ) = 3 2 = 1 14

15 3.4 Varians og standardavvik Oppgave 3.40 Vi ser igjen på høyden til de sju jentene i oppgave Høydene var: 177 cm, 164 cm, 170 cm, 168 cm, 172 cm, 161 cm, 169 cm a) Finn variansen. Finner først gjennomsnittet (g): , 7 cm Høyde x Kvadratisk avvik (x g) ( ,7) 2 = ( 8,3) 2 068,9 164 ( ,7) 2 = ( 4,7) 2 022,1 170 ( ,7) 2 = ( 1,3) 2 001,7 168 ( ,7) 2 = ( 0,7) 2 000,5 172 ( ,7) 2 = ( 3,3) 2 010,9 161 ( ,7) 2 = ( 7,7) 2 059,3 169 ( ,7) 2 = ( 0,3) 2 000,1 A 163,5 Vi finner da at summen av de kvadratiske avvikene (A) er 163,5 cm 2 Variansen = A N = 163,5 cm2 7 23, 4 cm 2 A er summen av de kvadratiske avvikene N er antall observasjoner b) Finn standardavviket. standardavviket = variansen = A N 163,5 cm2 = 7 4, 8 cm 15

16 Oppgave 3.41 De 11 rekruttene i oppgave 3.31 hadde disse vektene i kilogram: 73, 85, 71, 75, 74, 79, 86, 70, 74, 62, 69 a) Finn variansen. Finner først gjennomsnittet (g): , 4 kg Vekt x Kvadratisk avvik (x g) 2 73 (73 74,4) 2 = ( 01,4) 2 001,96 85 (85 74,4) 2 = ( 10,6) 2 112,36 71 (71 74,4) 2 = ( 03,4) 2 011,56 75 (75 74,4) 2 = ( 00,6) 2 000,36 74 (74 74,4) 2 = ( 00,4) 2 000,16 79 (79 74,4) 2 = ( 04,6) 2 021,16 86 (86 74,4) 2 = ( 11,6) 2 134,56 70 (70 74,4) 2 = ( 04,4) 2 019,36 74 (74 74,4) 2 = ( 00,4) 2 000,16 62 (62 74,4) 2 = ( 12,4) 2 153,76 69 (69 74,4) 2 = ( 05,4) 2 029,16 A 484,56 Vi finner da at summen av kvadratene av avvikene (A) er 484,56 kg 2 Variansen = A N = 484,56 kg , 05 kg 2 A er summen av de kvadratiske avvikene N er antall observasjoner b) Finn standardavviket. standardavviket = variansen = A N 484,56 kg2 = 11 6, 64 kg 16

17 Oppgave 3.42 I en undersøkelse om matvanene i en klasse ble elevene spurt om hvor mange dager alle i familien hadde spist middag sammen i løpet av den siste uka. Her er resultatet: Ganger Elever Finn gjennomsnittet, variansen og standardavviket. Vi utvider og får en frekvenstabell: Ganger x Elever f f x N = 27 S = 117 Gjennomsnittet (g): Summen av antall middager som ble spist Antall elever = S N = , 33 ganger Ganger x Elever f. f (x g) (0 4,33) 2 037, (1 4,33) 2 = 000, (2 4,33) 2 027, (3 4,33) 2 001, (4 4,33) 2 000, (5 4,33) 2 002, (6 4,33) 2 019, (7 4,33) 2 021,39 N = 27 A 110,00 17

18 Vi finner da at summen av kvadratene av avvikene (A) er 110,00 Variansen = A N = 110, , 07 A er summen av de kvadratiske avvikene N er antall observasjoner standardavviket = variansen = A N = 110, , 02 Oppgave 3.43 I en undersøkelse om matvanene ble elevene på vg3 spurt hvor mange typer frukt og grønt de hadde spist det siste døgnet. Her er resultatet: Antall typer frukt/grønt Frekvensen (elever) Finn gjennomsnittet, variansen og standardavviket. Vi utvider og får en frekvenstabell: Typer x Elever f f x N = 133 S = 398 Gjennomsnittet (g): Summen av antall frukt og grønt elevene hadde spist Antall elever = S = 398 2, 99 ganger N

19 Typer x Elever f. f (x g) (0 2,99) 2 044, (1 2,99) 2 047, (2 2,99) 2 027, (3 2,99) 2 000, (4 2,99) 2 032, (5 2,99) 2 032, (6 2,99) 2 054,36 N = 133 A 238,98 Vi finner da at summen av kvadratene av avvikene (A) er 239 Variansen = A = 239 1, 80 A er summen av de kvadratiske avvikene N 133 N er antall observasjoner standardavviket = variansen = A N = , 34 Oppgave 3.44 Karakterene for begge 2P-Y gruppene på en skole finner vi i denne tabellen: Karakter Frekvens Finn gjennomsnittet, variansen og standardavviket. 19

20 Vi utvider og får en frekvenstabell: Karakter x Elever f f x N = 52 S = 161 Gjennomsnittet (g): Summen av karakterene elevene fikk Antall elever = S N = , 10 Karakter x Elever f. f (x g) (1 3,10) 2 22, (2 3,10) 2 14, (3 3,10) 2 00, (4 3,10) 2 07, (5 3,10) 2 21, (6 3,10) 2 16,82 N = 52 A 82,52 Vi finner da at summen av kvadratene av avvikene (A) er 82,52 Variansen = A N = 82, , 59 A er summen av de kvadratiske avvikene N er antall observasjoner standardavviket = variansen = A N = 82, , 26 20

21 3.5 Digitale sentralmål og spredningsmål Oppgave 3.50 a) Lag et regneark som du kan bruke til å finne gjennomsnittet og standardavviket for karakterene til gruppen 2P-Y-2 i oppgave Finne gjennomsnittet: Henter verdiene fra oppgave 3.24 og legger til x, f og f x For å finne gjennomsnittet må vi også summere f og f x og setter inn en rad til. Karakter x 2P-Y-2 f. f x N = 27 S = 92 Gjennomsnittet (g): Summen av karakterene elevene fikk Antall elever = S = 92 3, 41 N 27 I ett regneark vil det kunne se slik ut:.feltene SOM ER GULE. inneholder disse formlene: C3 C8 B9 C9 C11 =SUMMER(A3*B3) =SUMMER(A8*B8) =SUMMER(B3:B8) =SUMMER(C3:C8) =SUMMER(C9/B9) 21

22 Finne standardavviket: Vi fortsetter på regnearket vi laget i Excel fordi vi har celleverdier som vi trenger for å kunne beregne standardavviket og så slipper vi å lage ett nytt regneark..feltene SOM ER GULE. inneholder disse formlene: C3 C8 D3 D8 B9 C9 D9 C11 C12 C13 =SUMMER(A3*B3) =SUMMER(A8*B8) =SUMMER(B3*(A3-$C$11)^2) =SUMMER(B8*(A8-$C$11)^2) =SUMMER(B3:B8) =SUMMER(C3:C8) =SUMMER(D3:D8) =SUMMER(C9/B9) =SUMMER(D9/B9) =ROT(C12) For å vise celleformlene i Excel kan vi bruke hurtigkommandoen Ctrl + J Her ser du ett lite utsnitt av regnearket når vi har brukt hurtigkommandoen Ctrl + J 22

23 b) Bruk regnearket i oppgave a til å finne gjennomsnittet og standardavviket for karakterene til gruppen 2P-Y-3 i oppgave Finne gjennomsnittet: Henter verdiene fra oppgave 3.24 og legger til x, f og f x For å finne gjennomsnittet må vi også summere f og f x og setter inn en rad til. Karakter x 2P-Y-3 f. f x N = 27 S = 96 Gjennomsnittet (g): Summen av karakterene elevene fikk Antall elever = S = 96 3, 56 N 27 I ett regneark vil det kunne se slik ut:.feltene SOM ER GULE. inneholder disse formlene: C3 C8 B9 C9 C11 =SUMMER(A3*B3) =SUMMER(A8*B8) =SUMMER(B3:B8) =SUMMER(C3:C8) =SUMMER(C9/B9) 23

24 Finne standardavviket: Vi fortsetter på regnearket vi laget i Excel fordi vi har celleverdier som vi trenger for å kunne beregne standardavviket og så slipper vi å lage ett nytt regneark..feltene SOM ER GULE. inneholder disse formlene: C3 C8 D3 D8 B9 C9 D9 C11 C12 C13 =SUMMER(A3*B3) =SUMMER(A8*B8) =SUMMER(B3*(A3-$C$11)^2) =SUMMER(B8*(A8-$C$11)^2) =SUMMER(B3:B8) =SUMMER(C3:C8) =SUMMER(D3:D8) =SUMMER(C9/B9) =SUMMER(D9/B9) =ROT(C12) For å vise celleformlene i Excel kan vi bruke hurtigkommandoen Ctrl + J Her ser vi ett lite utsnitt av regnearket når vi har brukt hurtigkommandoen Ctrl + J 24

25 Oppgave 3.51 a) Lag et regneark som du kan bruke til å finne gjennomsnittet og standardavviket for målene til håndballspilleren Heidi i oppgave Finne gjennomsnittet: Henter verdiene fra oppgave 3.23 og legger til x, f og f x. For å finne gjennomsnittet må vi også summere kolonnene f og f x og setter inn en rad til. Mål Kamper Heidi x f f x N = 48 S = 157 Gjennomsnittet (g): Summen av skårede mål Antall kamper = S N = , 27 Finne standardavviket: I ett regneark vil det kunne se slik ut: 25

26 For å kunne se hvilke formler som er lagt inn i den enkelte celle bruke vi hurtigkommandoen Ctrl + J b) Bruk regnearket i oppgave a til å finne gjennomsnittet og standardavviket for målene til Marit i oppgave Finne gjennomsnittet og standardavviket: I oppgaven står det at vi skal bruke det samme regnearket som i oppgave a). Vi slipper da å lage hele regnearket på nytt og bytter bare ut de verdiene for skårede mål (f). Gjennomsnittet er som vi ser av regnearket over: 2,21 skårede mål per kamp Standardavviket er : 1,65 26

27 Oppgave 3.52 a) Bruk regnearket «Mål i frekvenstabeller» til å finne typetallet, medianen, gjennomsnittet, variasjonsbredden, kvartilbredden og standardavviket for målene til håndballspilleren Heidi i oppgave Vi skriver inn verdiene for Heidi i regnearket, og leser av: Sentralmål Spredningsmål Typetall: 3 Variasjonsbredde: 8 Median: 3 Kvartilbredde: 2,5 Gjennomsnitt: 3,27 Standardavvik: 1,76 b) Bruk regnearket til å finne typetallet, medianen, gjennomsnittet, variasjonsbredden, kvartilbredden og standardavviket for målene til håndballspilleren Marit i oppgave Vi skriver inn verdiene for Marit i regnearket, og leser av: Sentralmål Spredningsmål Typetall: 2 Variasjonsbredde: 6 Median: 2 Kvartilbredde: 2 Gjennomsnitt: 2,21 Standardavvik: 1,65 c) Hvilket sentralmål og hvilket spredningsmål syns du er det beste her? Et sentralmål forteller hvor midten i et tallmateriale er ulike typer sentralmål er: Ulike typer er: Typetall, Gjennomsnitt og Median Gjennomsnitt er det sentralmålet som for oss mennesker er den beste beskrivelsen av ett tallmateriale da det er lett å sammenligne dette tallet med andre tall i datamaterialet. Spredningsmål beskriver spredningen i ett tallmateriale: Ulike typer er: Variasjonsbredde, Kvartilbredde, Varians og Standardavvik. Standardavvik er ett spredningsmål som tar hensyn til alle tallene i et datamateriale og vil være det spredningsmålet som er best. 27

28 Oppgave 3.53 Tabellen gir en oversikt over antallet barn under 18 år i norske barnefamilier 1. januar Barn Familier a) Bruk regnearket «Mål i frekvenstabeller» til å finne typetallet, medianen, gjennomsnittet, variasjonsbredden, kvartilbredden og standardavviket. Vi skriver inn verdiene i regnearket, og leser av: Sentralmål Spredningsmål Typetall: 2 Variasjonsbredde: 5 Median: 2 Kvartilbredde: 1 Gjennomsnitt: 1,90 Standardavvik: 0,87 b) Hvilket sentralmål og hvilket spredningsmål syns du er det beste her? Et sentralmål forteller hvor midten i et tallmateriale er ulike typer sentralmål er: Ulike typer sentralmål er: Typetall, Gjennomsnitt og Median Gjennomsnitt er det sentralmålet som for oss mennesker er den beste beskrivelsen av ett tallmateriale da det er lett å sammenligne dette tallet med andre tall i datamaterialet. Vi kan også tenke at typetallet er det vanligste og at dette er det beste spredningsmålet. Spredningsmål beskriver spredningen i ett tallmateriale: Ulike typer spredningsmål er: Variasjonsbredde, Kvartilbredde, Varians og Standardavvik. Standardavvik er ett spredningsmål som tar hensyn til alle tallene i et datamateriale og vil være det spredningsmålet som gir den beste informasjonen om datamaterialet. Vi kan også tenke at 0,87 er omtrent 1 og at gjennomsnittet er omtrent 2 som gir oss at 2 barn ± 1 er det vanligste. Altså fra 1 til 3 barn. 28

29 3.6 Histogram Oppgave 3.60 Vi veier elevene på en skole og får resultatene i tabellen nedenfor. Lag et histogram som viser fordelingen. Vekt (kg) Frekvens [40, [50, [55, [60, [65, [70, [80, [90, 120] 8 N = 218 Et diagram der vi korrigerer (tar hensyn til) intervallbredden kaller vi et histogram. Intervallbredden til [40, 50 er 10 fordi = 10 Vi tar hensyn til søylehøyde og intervallbredden ved å bruke denne formelen: søylehøyden = frekvensen intervallbredden Utvider tabellen med Intervallbredde og Søylehøyde. Intervall (Vekt) [a, b Frekvens f Intervallbredde b a Søylehøyde f b a [40, ,8 [50, ,6 [55, ,6 [60, ,2 [65, ,0 [70, ,9 [80, ,1 [90, 120] ,3 N = 218 Her er det ferdige histogrammet som vi har tegnet manuelt:

30 Histogram i GeoGebra Utgangspunktet er en tabell med Intervallbredde og Søylehøyde: Dette skriver vi inn i Regneark i GeoGebra Intervall (Vekt) [a, b Frekvens f Intervallbredde b a Søylehøyde f b a [40, ,8 [50, ,6 [55, ,6 [60, ,2 [65, ,0 [70, ,9 [80, ,1 [90, 120] ,3 N = 218 NB! Husk at GeoGebra ikke vil ha komma (, ) i Regneark, men punkt (. ) Merk intervaller (A2 til A10) i GeoGebra, høyreklikk og velg Lag Liste Merk intervaller (B2 til B9)i GeoGebra, høyreklikk og velg Lag Liste Vi har nå laget to lister, Liste1 og Liste2. Nederst i kommandofeltet skriver vi inn: Histogram[Liste1, Liste2] Vi får da dette resultatet: NB! GeoGebra viser at noe som betyr at N = 219 (antall observasjoner). Vi vet at N = 218, men fordi søylehøyden er avrundet til 0,3 for intervallet [90, 120] og ikke oppgitt til 0, som er den eksakte verdien får vi denne unøyaktigheten. 30

31 Oppgave 3.61 Denne tabellen viser folketallet i Norge fordelt etter alder. Alder (år) Folketall i tusen [0, [6, [16, [20, [30, [40, [50, [67, 100] 673 a) Finn folketallet i Norge b) Lag et histogram som viser aldersfordelingen. Vi utvider tabellen for å løse oppgave a) og b). Summerer folketallet N = 5051 som da gir oss Intervall (Alder) [a, b Frekvens (Folketall i tusen) Intervallbredde b a Søylehøyde f b a [0, ,50 [6, ,70 [16, ,75 [20, ,00 [30, ,10 [40, ,60 [50, ,94 [67, 100] ,39 N =

32 Oppgave 3.62 Denne tabellen viser folketallet i Botswana fordelt etter alder. Alder (år) Folketall i tusen [0, [5, [15, [20, [30, [40, [50, [65, 100] 77 a) Finn folketallet i Botswana b) Lag et histogram som viser aldersfordelingen. Vi utvider tabellen for å løse oppgave a) og b). Summerer folketallet N = 2024 som da gir oss Intervall (Alder) [a, b Frekvens (Folketall i tusen) Intervallbredde b a Søylehøyde f b a [0, ,80 [5, ,70 [15, ,00 [20, ,20 [30, ,10 [40, ,50 [50, ,53 [65, 100] ,20 N =

33 c) Sammenlign histogrammene i oppgave 3.61 og Hvordan vil du beskrive forskjellen i alderssammensetningen mellom Norge og Botswana? 0 ÅR NORGE BOTSWANA 100 ÅR Her har vi lagt de to histogrammene av aldersfordelingen i de to landene oppå hverandre. Vi ser at befolkningen i Botswana reduseres kraftig med økt alder mens befolkningen i Norge holder seg stabil over en lang periode. Befolkningen i Norge har en vesentlig høyere gjennomsnittlig levealder. 33

34 3.7 Sentralmål i et gruppert materiale Oppgave 3.70 Vi måler høyden til elevene i en gruppe. Høydene i centimeter er : 172, 180, 160, 183, 177, 175, 180, 185, 158, 162, 179, 180, 172, 164, 162, 191, 177, 159, 178, 175, 168, 162, 188, 181, 170 a) Finn den nøyaktige verdien for medianen. Vi har 25 observasjoner, medianen (midten) i datamaterialet er da observasjon nummer 25+1 = 13 Vi sortere datamaterialet og leser av medianen som er 175 cm b) Lag en gruppert frekvenstabell der bredden i alle intervallene er 5 cm. La intervallene være [155, 160, [160, 165, osv. 2 Intervall (Alder) Frekvens (f) Kumulativ frekvens [155, [160, [165, [170, [175, [180, [185, [190, 195] 1 25 N = 25 c) Bruk gruppert materiale til å finne medianen. Vi har 25 observasjoner, medianen i datamaterialet er da observasjon nummer 25+1 = Over har vi gruppert datamaterialet i intervaller slik som i den grupperte frekvenstabellen fra oppgave b). Vi ser at medianen fra oppgave a) ligger i intervallet [175, 180 og som nummer 2 av i alt 6 observasjoner i dette intervallet. Husk at når vi nå ser på observasjonene matematisk fordeler observasjonene seg jevnt i intervallet [175, 180. Ved regning vil da den gjennomsnittlige observasjon i intervallet være: ( 2 5 ) = 176, cm

35 176,66 En alternativ måte å finne medianen på er ved grafisk løsning. Grafisk løsning får vi ved å bruke et tegneprogram eller GeoGebra. Her er det brukt OpenOffice Draw. Vi bruker frekvenstabellen fra oppgave b)... Intervall (Høyde) Frekvens (f) Kumulativ frekvens [155, [160, [165, [170, [175, [180, [185, [190, 195] 1 25 N = 25 - og lager en grafisk løsning (linjediagram) der vi har den kumulative frekvensen på y-aksen og høyden på x-aksen. y x Fra oppgave a) vet vi at det er observasjon nummer 13 som er medianen. Vi trekker en horisontal linje fra der y-aksen har verdien 13 og bort til den røde linjen og så vertikalt til linjen treffer x-aksen. Vi kan nå lese av verdien på x-aksen som skal er 176,66 hvis vi har vært nøyaktige. 35

36 d) Hvorfor får du ikke helt den samme verdien som i oppgave a)? Eksempel på løsning: Vi utvider tabellen slik at vi kan lage et histogram. Intervall (Høyde) [a, b Frekvens (f) (Elever) Intervallbredde b a Søylehøyde f b a [155, ,4 [160, ,0 [165, ,2 [170, ,6 [175, ,2 [180, ,0 [185, ,4 [190, 195] 1 5 0,2 N = 25 1,4 1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0, Her har vi det ferdige histogrammet. Antallet observasjoner for hvert av intervallene er den direkte årsaken til søylehøyden. Hadde alle søylene vært like høye ville også medianen vært lik for de to presentasjonene i oppgave a) og b) (sortert datamateriale og gruppert frekvenstabell). Når søylehøyden er ulik vil da også midtpunktene på den enkelte søyle variere og dermed medianen for datamaterialet. 36

37 Oppgave 3.71 Finn medianen i oppgave 3.60 grafisk og ved regning. Finne medianen ved regning: Lager en kumulativ frekvenstabell for datamaterialet. Intervall (Vekt) [a, b Frekvens f Kumulativ frekvens Relativ kumulativ frekvens [40, ,0826 [50, ,2569 [55, ,4083 [60, ,6193 [65, ,7798 [70, ,9128 [80, ,9633 [90, 120] ,0000 Vi har 218 observasjoner, medianen i datamaterialet er da observasjon nummer = 109,5 Observasjon nummer 109,5 ligger i intervallet [60, 65 som har kumulativ frekvens = I dette intervallet har vi da 46 observasjoner (fra og med 90 og til og med 135). Observasjon nummer 109,5 89 = 20,5 i intervallet [60, 65 blir da «medianeleven». Medianelevens vekt = 60 kg + 20, ,2283 kg 5 fordi intervallet har bredde = 5 Finne medianen grafisk: Vi bruker GeoGebra som verktøy når vi skal lage/finne en grafisk løsning. 1: Kopier den kumulative frekvensen og lim denne inn vertikalt i Regneark. Før inn 40 og 0 i linje 1. 2: Høyreklikk i det avmerkede området i Regneark og velg: Lag Polylinje 3: 4: Lag ved å velge og så og klikk i skjæringen. J = (62.173, 0.5) sier oss at når vi er midt i tallmaterialet (0.5) så er den grafiske medianen 62,173 kg. 37

38 Oppgave 3.72 Finn medianen for alderen i Norge grafisk og ved regning. Se oppgave Intervall (Alder) [a, b Frekvens f Kumulativ frekvens Relativ kumulativ frekvens [0, ,0742 [6, ,1964 [16, ,2485 [20, ,3811 [30, ,5159 [40, ,6616 [50, ,8668 [67, 100] ,0000 Vi har 5051 observasjoner, medianen i datamaterialet er da observasjon nummer = 2526 Observasjon nummer 2526 ligger i intervallet [30, 40 som har kumulativ frekvens = I dette intervallet har vi da 681 observasjoner (fra og med 1926 og til og med 2606). Observasjon nummer = 601 i intervallet [30, 40 blir da «medianlevealder». "Medianlevealder" = 30 år ,8253 år 10 fordi intervallet har bredde = 10 Finne medianen grafisk: Vi bruker GeoGebra som verktøy når vi skal lage/finne en grafisk løsning. Se oppgave 3.71 for mer informasjon... sier oss at når vi er midt i tallmaterialet (0.5) så er den grafiske medianen 38,8205 år. 38

39 Oppgave 3.73 Finn medianen for alderen i Botswana grafisk og ved regning. Se oppgave Intervall (Alder) [a, b Frekvens f Kumulativ frekvens Relativ kumulativ frekvens [0, ,1131 [5, ,3439 [15, ,4575 [20, ,6709 [30, ,8098 [40, ,8913 [50, ,9620 [65, 100] ,0000 Vi har 2024 observasjoner, medianen i datamaterialet er da observasjon nummer = 1012,5 Observasjon nummer 1012,5 ligger i intervallet [20, 30 som har kumulativ frekvens = I dette intervallet har vi da 432 observasjoner (fra og med 927 og til og med 1358). Observasjon nummer 1012,5 926 = 86,5 i intervallet [20, 30 blir da «medianlevealder». "Medianlevealder" = 20 år + 86, ,0023 år 10 fordi intervallet har bredde = 10 Finne medianen grafisk: Vi bruker GeoGebra som verktøy når vi skal lage/finne en grafisk løsning. Se oppgave 3.71 for mer informasjon... sier oss at når vi er midt i tallmaterialet (0.5) så er den grafiske medianen 21,9916 år. I tegningen over har vi ikke endret farger og størrelser i GeoGebra slik som i oppgave 3.71 og

40 Oppgave 3.74 a) Finn det nøyaktige gjennomsnittet av høydene i oppgave Høydene er: 172, 180, 160, 183, 177, 175, 180, 185, 158, 162, 179, 180, 172, 164, 162, 191, 177, 159, 178, 175, 168, 162, 188, 181, 170 Summerer alle høydene og deler dette på antallet observasjoner: b) Bruk det grupperte materialet i oppgave 3.70 til å finne gjennomsnittet. = 173,52 cm Her bruker vi gjennomsnittet i hvert av intervallene (x m ) for å finne gjennomsnittshøyden. Intervall (Høyde) Frekvens (f) Midtpunkt Sum (S) x m f x m [155, ,5 0315,0 [160, ,5 0812,5 [165, ,5 0167,5 [170, ,5 0517,5 [175, ,5 1065,0 [180, ,5 0912,5 [185, ,5 0375,0 [190, 195] 1 192,5 0192,5 N = 25 S = 4357,5 Gjennomsnittshøyde = 4357,5 25 = 174,3 cm c) Forklar hvorfor det ikke blir samme svar i oppgave a) og b). Det er ikke like mange observasjoner i de ulike intervallene (observasjonen fordeler seg ulikt). 40

41 Oppgave 3.75 Finn gjennomsnittsvekten i oppgave Vekt (kg) Frekvens [40, [50, [55, [60, [65, [70, [80, [90, 120] 8 N = 218 Bruker det grupperte materialet som vist over i oppgave 3.60 til å finne gjennomsnittet. Intervall (Vekt) Frekvens (f) Midtpunkt Sum (S) x m f x m [40, ,0 [50, ,5 199,5 [55, ,5 1897,5 [60, ,5 2875,0 [65, ,5 2362,5 [70, ,0 [80, ,0 [90, 120] ,0 N = 218 S = ,5 Gjennomsnittsvekt = ,5 218 = 55,4793 kg 41

42 Oppgave 3.76 Finn gjennomsnittsalderen i Norge og i Botswana. Se oppgave 3.61 og Alder (år) Folketall i tusen [0, [6, [16, [20, [30, [40, [50, [67, 100] 673 OPPGAVE 3.61 (NORGE) Alder (år) Folketall i tusen [0, [5, [15, [20, [30, [40, [50, [65, 100] 77 OPPGAVE 3.62 (BOTSWANA) Bruker det grupperte materialet fra oppgave 3.61 til å finne gjennomsnittet i Norge. Intervall (Alder) Frekvens (f) Midtpunkt Sum (S) x m f x m [0, ,0 [6, ,0 [16, ,0 [20, ,0 [30, ,0 [40, ,0 [50, , ,0 [67, 100] , ,5 N = 5051 S = ,5 Gjennomsnittsalder = , = 40,2203 år Bruker det grupperte materialet fra oppgave 3.62 til å finne gjennomsnittet i Botswana. Intervall (Alder) Frekvens (f) Midtpunkt Sum (S) x m f x m [0, ,5 572,5 [5, ,0 [15, ,5 4025,0 [20, ,0 [30, ,0 [40, ,0 [50, ,5 8222,5 [65, 100] 77 82,5 6352,5 N = 2024 S = ,5 Gjennomsnittsalder = , = 25,6435 år 42

43 3.8 Gruppert materiale digitalt Oppgave 3.80 Lag et regneark som finner gjennomsnittsvekten i oppgave Vekt (kg) Frekvens [40, [50, [55, [60, [65, [70, [80, [90, 120] 8 N = 218 OPPGAVE 3.60 Alle celler i..gult.. inneholder formler Ctrl + J og formlene i regnearket vises. 43

44 Oppgave 3.81 Lag et regneark som finner gjennomsnittsalderen i Norge. Se oppgave Alder (år) Folketall i tusen [0, [6, [16, [20, [30, [40, [50, [67, 100] 673 OPPGAVE 3.61 Alle celler i..gult.. inneholder formler Ctrl + J og formlene i regnearket vises. 44

45 Oppgave 3.82 Lag et regneark som finner gjennomsnittsalderen i Botswana. Se oppgave Alder (år) Folketall i tusen [0, [5, [15, [20, [30, [40, [50, [65, 100] 77 OPPGAVE 3.62 Alle celler i..gult.. inneholder formler Ctrl + J og formlene i regnearket vises. 45

46 Oppgave 3.83 Bruk et regneark til å finne gjennomsnittshøyden ut fra denne tabellen: Høyde (cm) Frekvens [150, [160, [170, [180, Alle celler i..gult.. inneholder formler Ctrl + J og formlene i regnearket vises. 46

47 Oppgave 3.84 Bruk det ferdige regnearket til å finne medianen og gjennomsnittsalderen i Norge. Se oppgave Oppgave 3.85 Bruk det ferdige regnearket til å finne medianen og gjennomsnittsalderen i Botswana. Se oppgave

48 3.9 Spørreundersøkelser Oppgave 3.90 Meningsmålingsinstituttet «Norske meninger» bruker bare fasttelefon når de intervjuer. Hva tror du det betyr eller betydde for representativiteten i dag, i 1980 og i 1950? Vi kan gå ut ifra at det menes at man ringer til de som har fasttelefon og ikke at den som ringer benytter seg av fasttelefon. Her får du hjelp av en omtrentlig historisk oversikt. Alle tall i 1000 Antall i Fasttelefonabonnenter Befolkning i Norge Prosentvis antall som har fasttelefon 8,9 12,7 18,3 27,3 48,9 54,6 33,9 10,5 Kilder: ssb.no - cappelendamm.no - snl.no - wikipedia.no - telenor.no Oppgave 3.91 Planlegg og gjennomfør sammen med noen andre elever en spørreundersøkelse på skolen. Velg selv en problemstilling. Bruk noe av det du har lært i kapittel 2 og 3 når du legger frem resultatet av undersøkelsen. Du kan godt gjennomføre en egen undersøkelse, altså ikke nødvendigvis samarbeide med andre. Vi har til disposisjon 90 minutter til å tenke ut spørsmål, gjennomføre utspørringen og presentere dataene i en eller annen form slik vi har lært å presentere data i kapittel 3. Vi holder oss derfor innenfor klasserommet og vi bruker de andre eleven i klassen som respondenter til undersøkelsen. Ikke lag for mange eller for personlige spørsmål. Eksempler på spørsmål: Har du katt? Hvor mange kjæledyr har du. Hva er din favorittfarge? Hvilken dag er din favorittdag? På hvilken ukedag er du født? Nevn så mange land som mulig som begynner på bokstaven N. Nevn så mange land som mulig som kun har fargene rødt, hvitt og blått i nasjonalflagget. 48

49 Symboler, formler og eksempler Sentralmål Typetall Gjennomsnitt Median Forteller hvor midten i et tallmateriale er (Typetall, gjennomsnitt og median ulike typer sentralmål) Det tall som forekommer flest ganger (Den observasjonsverdien som har høyest frekvens) Summen av alle observasjoner delt på antall observasjoner Tallet i midten, eller de to tallene i midten og disse to tallenes gjennomsnitt (g) (Tallmaterialet må være sortert etter observasjonsverdiene) Tallmateriale med oddetall: N+1 Eks: vi har 27 observasjoner = 14 Observasjon nummer 14 er i midten. Tallmateriale med partall: N+1 2 Eks: vi har 28 observasjoner = 14,5 2 Gjennomsnittet av observasjon 14 og 15 er da midten i tallmaterialet. Spredningsmål Variasjonsbredde Tall som beskriver spredningen i ett materiale. Den enkleste form for spredningsmål Variasjonsbredde = Høyeste verdi Laveste verdi Nedre kvartil (Q 1 ) Median (Q 2 ) Øvre kvartil (Q 3 ) Første kvartil. Midten (median) til den nedre halvdelen av tallmaterialet. Andre kvartil. Tredje kvartil. Midten (median) til den øvre halvdelen av tallmaterialet. Kvartilbredden Q 3 Q 1 Kvartilbredden er halvdelen av alle data. Kvartilbredde er ett bedre spredningsmål enn variasjonsbredden. Varians Ett spredningsmål som tar hensyn til alle tallene i et materiale. Kvadrere (opphøyer i andre) avvikene til alle observasjonene før de summeres: (observasjonen gjennomsnittet) 2 kvadratet av alle avvik legges sammen og får summen (A) Varians = Summen av alle kvadrerte avvik Antall observasjoner = A N 49

50 Standardavvik Standardavvik = variansen = A N Hvis vi har svært mange observasjoner vil disse observasjonene være det vi kaller normalfordelt. 68% av observasjonene vil da avvike mindre enn verdien av standardavviket fra gjennomsnittet (g). Symboler: [ Fra og med ] Til og med Ned mot Inntil [10, 20 Fra og med 10 og inntil 20 (10 er nedre grense og 20 er øvre grense) [10,20] Fra og med 10 og til og med 20 Excel kommandoer: =MEDIAN(A1:K1) Sorterer rekken av tall (11 stk) og returnerer det 6. tallet i rekken. GeoGebra kommandoer: x=[tall] y=[tall] Histogram[Liste1, Liste2] Tegner en vertikal linje Tegner en horisontal linje Lager et histogram med utgangspunkt i to lister 50

MATEMATIKK (MAT1005) Sentralmål / Spredningsmål

MATEMATIKK (MAT1005) Sentralmål / Spredningsmål ??.??.???? MATEMATIKK (MAT1005) Sentralmål / Spredningsmål DEL 1 (UTEN HJELPEMIDLER) 30 minutter DEL 2 (MED HJELPEMIDLER) 60 minutter (Del 1 må leveres inn før hjelpemidlene kan benyttes) Total poengsum:

Detaljer

MATEMATIKK (MAT1005) Sentralmål / Spredningsmål

MATEMATIKK (MAT1005) Sentralmål / Spredningsmål ??.??.???? MATEMATIKK (MAT1005) Sentralmål / Spredningsmål DEL 1 (UTEN HJELPEMIDLER) 30 minutter DEL 2 (MED HJELPEMIDLER) 60 minutter (Del 1 leveres inn etter nøyaktig 30 minutter og før hjelpemidlene

Detaljer

Statistikk. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne. planlegge, gjennomføre og vurdere statistiske undersøkelser

Statistikk. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne. planlegge, gjennomføre og vurdere statistiske undersøkelser 48 3 Statistikk Mål for opplæringen er at eleven skal kunne planlegge, gjennomføre og vurdere statistiske undersøkelser beregne kumulativ hyppighet, finne og drøfte sentralmål og spredningsmål representere

Detaljer

Statistikk. Forkurs 2018

Statistikk. Forkurs 2018 Statistikk Forkurs 2018 Hva er statistikk? Undersøke Registrere Lage oversikt Presentasjon av informasjon Formidle Arbeidet med statistikk kan vi dele inn i to hovedområder: Samle inn og ordne opplysninger

Detaljer

Statistikk. Forkurs 2017

Statistikk. Forkurs 2017 Statistikk Forkurs 2017 Hva er statistikk? Undersøke Registrere Lage oversikt Presentasjon av informasjon Formidle Arbeidet med statistikk kan vi dele inn i to hovedområder: Samle inn og ordne opplysninger

Detaljer

Når du har arbeidet deg gjennom dette kapittelet, er målet at du skal kunne

Når du har arbeidet deg gjennom dette kapittelet, er målet at du skal kunne 2 Statistikk Innhold Kompetansemål Statistikk, Vg2P... 1 Modul 1: Statistisk undersøkelse... 2 Modul 2: Presentasjon av tallmateriale... 4 Modul 3: Sentralmål... 12 Modul 4: Spredningsmål... 15 Modul 5:

Detaljer

Statistikk Løsninger. Innhold. Statistikk Vg2P

Statistikk Løsninger. Innhold. Statistikk Vg2P Statistikk Løsninger Innhold Modul 2: Presentasjon av tallmateriale... 2 Tabeller - Frekvens - Relativ frekvens - Kumulativ frekvens... 2 Søylediagram/stolpediagram... 4 Sektordiagram... 5 Linjediagram/kurvediagram...

Detaljer

2P, Statistikk Quiz. Test, 2 Statistikk

2P, Statistikk Quiz. Test, 2 Statistikk Test, 2 Statistikk Innhold 1.1 Statistisk undersøkelse... 2 2.2 Presentasjon av tallmateriale... 2 2.3 Sentralmål... 8 2.4 Spredningsmål... 11 2.5 Gruppert datamateriale... 14 Grete Larsen 1 1.1 Statistisk

Detaljer

Potenser / Prosenter / Tabeller / Diagrammer / Sentralmål / Spredningsmål

Potenser / Prosenter / Tabeller / Diagrammer / Sentralmål / Spredningsmål 04.01.2017 MATEMATIKK (MAT1005) Potenser / Prosenter / Tabeller / Diagrammer / Sentralmål / Spredningsmål DEL 1 (UTEN HJELPEMIDLER) 2 timer DEL 2 (MED HJELPEMIDLER) 3 timer (Del 1 må leveres inn før hjelpemidlene

Detaljer

Tabeller og diagrammer

Tabeller og diagrammer Tabeller og diagrammer 2.1 Læreplanmål for 2P-Y 1 2.1 Frekvenstabeller 2 2.2 Kumulative frekvenstabeller 6 2.3 Digitale tabeller 9 2.4 Kurvediagram (Linjediagram) 15 2.5 Søylediagram (Stolpediagram) 20

Detaljer

Statistikk Oppgaver. Innhold. Statistikk Vg2P

Statistikk Oppgaver. Innhold. Statistikk Vg2P Statistikk Oppgaver Innhold Modul 2: Presentasjon av tallmateriale... 2 Tabeller- Frekvens - Relativ frekvens - Kumulativ frekvens... 2 Søylediagram/stolpediagram... 3 Sektordiagram... 3 Linjediagram/kurvediagram...

Detaljer

ØVINGER 2017 Løsninger til oppgaver. Øving 1

ØVINGER 2017 Løsninger til oppgaver. Øving 1 ØVINGER 017 Løsninger til oppgaver Øving 1.1. Frekvenstabell For å lage en frekvenstabell må vi telle antall observasjoner av hvert antall henvendelser. Siden antall henvendelser på en gitt dag alltid

Detaljer

Statistikk 2P, Prøve 1 løsning

Statistikk 2P, Prøve 1 løsning Statistikk 2P, Prøve 1 løsning Del 1 Tid: 60 min Hjelpemidler: Skrivesaker Oppgave 1 I denne oppgaven finner du tre tabeller. Dine oppgaver er å presentere resultatene fra de tre tabellene i tre ulike

Detaljer

2P kapittel 3 Statistikk Utvalgte løsninger oppgavesamlingen

2P kapittel 3 Statistikk Utvalgte løsninger oppgavesamlingen P kapittel 3 Statistikk Utvalgte løsninger oppgavesamlingen 303 a For eksempel finner vi at den relative frekvensen for jenter med høyde 155 159 cm er 0,067 6,7 % 30 = =. Høyde i cm Antall Relativ (frekvens)

Detaljer

2P-Y eksamen våren 2018 løsningsforslag

2P-Y eksamen våren 2018 løsningsforslag 2P-Y eksamen våren 2018 løsningsforslag DEL 1 Uten hjelpemidler Tid: Del 1 skal leveres inn etter 2 timer. Hjelpemidler: Del 1 Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler. Oppgave

Detaljer

INNHOLD. Matematikk for ungdomstrinnet

INNHOLD. Matematikk for ungdomstrinnet INNHOLD STATISTIKK... 2 FREKVENS... 2 RELATIV FREKVENS... 2 FREKVENSTABELL... 2 KLASSEDELING... 3 SØYLEDIAGRAM (STOLPEDIAGRAM)... 3 LINJEDIAGRAM... 4 SEKTORDIAGRAM... 4 HISTOGRAM... 4 FRAMSTILLING AV DATA...

Detaljer

2P eksamen våren 2018 løsningsforslag

2P eksamen våren 2018 løsningsforslag 2P eksamen våren 2018 løsningsforslag DEL 1 Uten hjelpemidler Tid: Del 1 skal leveres inn etter 2 timer. Hjelpemidler: Del 1 Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler. Oppgave

Detaljer

Statistikk 2P, Prøve 2 løsning

Statistikk 2P, Prøve 2 løsning Statistikk 2P, Prøve 2 løsning Del 1 Tid: 60 min Hjelpemidler: Skrivesaker Oppgave 1 Tallmaterialet under viser alderen i år på skolebarna som kjører med en bestemt skolebuss. Mandag var alle elevene med

Detaljer

Basisoppgaver til 2P kap. 3 Statistikk

Basisoppgaver til 2P kap. 3 Statistikk Basisoppgaver til 2P kap. 3 Statistikk 3.1 Frekvenstabell og histogram 3.2 Kumulativ frekvens 3.3 Median 3.4 Gjennomsnitt 3.5 Spredningsmål 3.6 Diagrammer (Det er ikke basisoppgaver til 3.7 Statistiske

Detaljer

2P kapittel 4 Statistikk Løsninger til oppgavene i læreboka

2P kapittel 4 Statistikk Løsninger til oppgavene i læreboka P kapittel 4 Statistikk Løsninger til oppgavene i læreoka 4.1 a Det er 5 + 8 = 13 elever som ruker inntil 119 minutter på sosiale medier. Da er det 5 13 = 1 elever som ruker 10 179 minutter på sosiale

Detaljer

Bruk SUMMER-funksjonen i formelen i G9. Oppgave 14. H. Aschehoug & Co Side 1

Bruk SUMMER-funksjonen i formelen i G9. Oppgave 14. H. Aschehoug & Co  Side 1 Repetisjon fra kapittel 2: Summere mange tall, funksjonen SUMMER() Regnearket inneholder en mengde innebygde funksjoner. Vi skal her se på en av de funksjonene vi oftest bruker. Funksjonen SUMMER() legger

Detaljer

Eksamen våren 2016 Løsninger

Eksamen våren 2016 Løsninger DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler Oppgave 1 Variasjonsbredde = 6 C ( 6 C) = 1 C Gjennomsnitt: + 0 + ( 4) + ( 6) + + 6 0 x = = =

Detaljer

Eksamen 2P MAT1015 Høsten 2012 Løsning

Eksamen 2P MAT1015 Høsten 2012 Løsning Eksamen 2P MAT1015 Høsten 2012 Oppgave 1 (4 poeng) Alle som går tur til Pollfjell, skriver navnet sitt i boka som ligger i postkassen på toppen av fjellet. Nedenfor ser du hvor mange som har skrevet seg

Detaljer

Grunnleggende kurs i Excel. Langnes skole

Grunnleggende kurs i Excel. Langnes skole Grunnleggende kurs i Excel Langnes skole Noen viktige begreper Kolonne Celler - Alle cellene har egne navn, f.eks A1 Kolonner Rader Arkfaner rad - start hver oppgave i en ny fane - kan velge så ark du

Detaljer

Statistikk 2. Tabellen nedenfor viser oljeproduksjonen i et OPEC-land i perioden 1990 til 2005. Produksjonen er i 1000 tonn.

Statistikk 2. Tabellen nedenfor viser oljeproduksjonen i et OPEC-land i perioden 1990 til 2005. Produksjonen er i 1000 tonn. Statistikk Innledning Begrepet statistikk skriver seg fra tiden da en stat samlet inn opplysninger som myndighetene hadde bruk for. Opplysningene eller dataene som ble samlet inn, dreide seg for det meste

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 2P. Microsoft Excel

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 2P. Microsoft Excel Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Microsoft Excel Innhold 1 Om Excel 4 2 Regning 4 2.1 Tallregning................................... 4 2.2

Detaljer

Kapittel 5. Statistikk

Kapittel 5. Statistikk Kapittel 5. Statistikk Dette kapitlet handler blant annet om: Beregne gjennomsnitt og andre sentralmål. Framstille data i frekvenstabeller. Beregne standardavvik og andre spredningsmål. Framstille data

Detaljer

ting å gjøre å prøve å oppsummere informasjonen i Hva som er hensiktsmessig måter å beskrive dataene på en hensiktsmessig måte.

ting å gjøre å prøve å oppsummere informasjonen i Hva som er hensiktsmessig måter å beskrive dataene på en hensiktsmessig måte. Kapittel : Beskrivende statistikk Etter at vi har samlet inn data er en naturlig første ting å gjøre å prøve å oppsummere informasjonen i dataene på en hensiktsmessig måte. Hva som er hensiktsmessig måter

Detaljer

Lær å bruke GeoGebra 4.0

Lær å bruke GeoGebra 4.0 Lær å bruke GeoGebra 4.0 av Sigbjørn Hals Innhold: Generelt om GeoGebra... 2 Innstillinger... 2 Statistikkberegninger i regnearket... 5 Nye muligheter for funksjonsanalyse... 8 Nullpunkt og ekstremalpunkt...

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 2P. Microsoft Excel

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 2P. Microsoft Excel Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Microsoft Excel Innhold 1 Om Excel 4 2 Regning 4 2.1 Tallregning................................... 4 2.2

Detaljer

ST0103 Brukerkurs i statistikk Høst 2014

ST0103 Brukerkurs i statistikk Høst 2014 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag ST0103 Brukerkurs i statistikk Høst 2014 Løsningsforslag Øving 1 2.1 Frekvenstabell For å lage en frekvenstabell må vi telle

Detaljer

Påbygging kapittel 3 Statistikk Løsninger til oppgavene i boka

Påbygging kapittel 3 Statistikk Løsninger til oppgavene i boka Påygging kapittel 3 Statistikk Løsninger til oppgavene i oka 3.1 a Det er 5 + 8 = 13 elever som ruker inntil 119 minutter på sosiale medier. Da er det 5 13 = 1 elever som ruker 10 179 minutter på sosiale

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (3 poeng) Lotte har spurt ti medelever om hvor mange ganger de handler i kantina i løpet av en uke. Resultatene ser du nedenfor. 1 5 1 3 3 1 4 2 4 0 Bestem medianen, gjennomsnittet,

Detaljer

Eksamen våren 2015 Løsninger

Eksamen våren 2015 Løsninger DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler Oppgave 1 For et utvalg der antall observasjoner er et partall, slik som her, er medianen gjennomsnittet

Detaljer

2P kapittel 3 Statistikk Løsninger til innlæringsoppgavene

2P kapittel 3 Statistikk Løsninger til innlæringsoppgavene 2P kapittel 3 Statistikk Løsninger til innlæringsoppgavene 3.1 a 25 5 8 12 Det var 12 elever som rukte 40 59 minutter til skolen. For eksempel finner vi at den relative frekvensen for elever med reisetid

Detaljer

Kapittel 4. Statistikk

Kapittel 4. Statistikk Kapittel 4. Statistikk Dette kapitlet handler blant annet om: Beregne gjennomsnitt og andre sentralmål. Framstille data i frekvenstabeller. Beregne standardavvik og andre spredningsmål. Framstille data

Detaljer

2P-Y eksamen våren 2016 løsningsforslag

2P-Y eksamen våren 2016 løsningsforslag 2P-Y eksamen våren 2016 løsningsforslag Tid: 2 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (3 poeng) Dato Temperatur 01.03 2 C 02.03 0 C 03.03

Detaljer

Statistisk beskrivelse av enkeltvariabler. SOS1120 Kvantitativ metode. Disposisjon. Datamatrisen. Forelesningsnotater 6. forelesning høsten 2005

Statistisk beskrivelse av enkeltvariabler. SOS1120 Kvantitativ metode. Disposisjon. Datamatrisen. Forelesningsnotater 6. forelesning høsten 2005 SOS110 Kvantitativ metode Forelesningsnotater 6 forelesning høsten 005 Statistisk beskrivelse av enkeltvariabler (Univariat analyse) Per Arne Tufte Disposisjon Datamatrisen Variabler Datamatrisen Frekvensfordelinger

Detaljer

Eksamen MAT 1015 Matematikk 2P Høsten 2015

Eksamen MAT 1015 Matematikk 2P Høsten 2015 Eksamen MAT 1015 Matematikk P Høsten 015 Tid: timer Hjelpemiddel: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler. Oppgave 1 (1 poeng) Prisen på en vare er satt ned med 30 %. I dag

Detaljer

Sannsynlighetsregning og Statistikk.

Sannsynlighetsregning og Statistikk. Sannsynlighetsregning og Statistikk. Leksjon Velkommen til dette kurset i sannsynlighetsregning og statistikk! Vi vil som lærebok benytte Gunnar G. Løvås:Statistikk for universiteter og høyskoler. I den

Detaljer

Kapittel 4. Statistikk

Kapittel 4. Statistikk Kapittel 4. Statistikk Dette kapitlet handler blant annet om: Beregne gjennomsnitt og andre sentralmål. Framstille data i frekvenstabeller. Beregne standardavvik og andre spredningsmål. Framstille data

Detaljer

13.03.2013 Manual til Excel. For ungdomstrinnet ELEKTRONISK UNDERVISNINGSFORLAG AS

13.03.2013 Manual til Excel. For ungdomstrinnet ELEKTRONISK UNDERVISNINGSFORLAG AS 13.03.2013 Manual til Excel 2010 For ungdomstrinnet ELEKTRONISK UNDERVISNINGSFORLAG AS Innholdsfortegnelse Huskeliste... 3 Lage en formel... 3 Når du får noe uønsket som f.eks. en dato i en celle... 3

Detaljer

2P eksamen våren 2016 løsningsforslag

2P eksamen våren 2016 løsningsforslag 2P eksamen våren 2016 løsningsforslag Tid: 2 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (3 poeng) Dato Temperatur 01.03 2 C 02.03 0 C 03.03 --4

Detaljer

( ) 3. DEL 1 Uten hjelpemidler. Oppgave 1. Oppgave 2. Oppgave I gjennomsnitt har hver elev 1,25 søsken.

( ) 3. DEL 1 Uten hjelpemidler. Oppgave 1. Oppgave 2. Oppgave I gjennomsnitt har hver elev 1,25 søsken. DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler Oppgave 1 Antall søsken i klassen er: 0 5+ 1 6+ 2 2+ 3 2+ 4 1= 0+ 6+ 4+ 6+ 4= 20 20 5 = = 1, 25

Detaljer

Sentralmål og spredningsmål

Sentralmål og spredningsmål Sentralmål og spredningsmål av Peer Andersen Peer Andersen 2014 Sentralmål og spredningsmål i statistikk I dette notatet skal vi se på de viktigste momentene om sentralmål og spredningsmål slik de blir

Detaljer

2P kapittel 3 Statistikk Løsninger til innlæringsoppgavene

2P kapittel 3 Statistikk Løsninger til innlæringsoppgavene P kapittel 3 Statistikk Løsninger til innlæringsoppgavene 3. Frekvensen av hybelboere er 15 % av 10 elever, altså 10 0,15 = 18 elever. 3.3 Sier vi at det er N elever i Arams klasse, har vi fra opplysningene

Detaljer

Potenser / Prosenter / Tabeller / Diagrammer / Sentralmål / Spredningsmål

Potenser / Prosenter / Tabeller / Diagrammer / Sentralmål / Spredningsmål 04.01.2017 MATEMATIKK (MAT1005) Potenser / Prosenter / Tabeller / Diagrammer / Sentralmål / Spredningsmål DEL 1 (UTEN HJELPEMIDLER) 2 timer DEL 2 (MED HJELPEMIDLER) 3 timer (Del 1 leveres inn etter nøyaktig

Detaljer

ECON Statistikk 1 Forelesning 2: Innledning

ECON Statistikk 1 Forelesning 2: Innledning ECON2130 - Statistikk 1 Forelesning 2: Innledning Data, beskrivende statistikk, visualisering Jo Thori Lind j.t.lind@econ.uio.no 1. Beskrivende statistikk Typer variable Nominelle: Gjensidig utelukkende

Detaljer

Karakter 2: 12p Karakter 3: 19p Karakter 4: 27p Karakter 5: 35p Karakter 6: 42p

Karakter 2: 12p Karakter 3: 19p Karakter 4: 27p Karakter 5: 35p Karakter 6: 42p 03.05.2017 MATEMATIKK (MAT1005) Potenser, Prosent, Mønster, Tid, Tabeller, Diagrammer, Sentralmål, Spredningsmål, Rette linjer, Lineære funksjoner, Funksjoner og vekst, Sannsynlighetsregning DEL 1 (UTEN

Detaljer

2P eksamen høsten 2017 Løsningsforslag

2P eksamen høsten 2017 Løsningsforslag 2P eksamen høsten 2017 Løsningsforslag Tid: 2 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (5 poeng) Tabellen nedenfor viser karakterfordelingen

Detaljer

Løsningsforslag for 2P våren 2015

Løsningsforslag for 2P våren 2015 Del 1 Oppgave 1 Sortert i stigende rekkefølge blir det: 4 5 6? 10 12 Medianen, som er 7, skal ligge midt mellom de to midterste tallene 6 og det ukjente tallet, som derfor må være 8. Oppgave 2 Opprinnelig

Detaljer

Lær å bruke GeoGebra 4.0

Lær å bruke GeoGebra 4.0 Lær å bruke GeoGebra 4.0 av Sigbjørn Hals Innhold: Generelt om GeoGebra... 2 Innstillinger... 2 Likninger og ulikheter... 5 Implisitte likninger... 5 Ulikheter... 9 Statistikkberegninger i regnearket...

Detaljer

Kapittel 6. Statistikk

Kapittel 6. Statistikk Kapittel 6. Statistikk Dette kapitlet handler blant annet om: Beregne gjennomsnitt og andre sentralmål. Framstille data i frekvenstabeller. Beregne standardavvik og andre spredningsmål. Framstille data

Detaljer

Eksamen 2P MAT1015 Vår 2012 Løsning

Eksamen 2P MAT1015 Vår 2012 Løsning Eksamen 2P MAT1015 Vår 2012 Oppgave 1 (14 poeng) a) 20 elever blir spurt om hvor mange datamaskiner de har hjemme. Se tabellen ovenfor. Finn variasjonsbredden, typetallet, medianen og gjennomsnittet. Variasjonsbredden

Detaljer

Eksamen Matematikk 2P-Y Høsten 2015

Eksamen Matematikk 2P-Y Høsten 2015 Eksamen Matematikk 2P-Y Høsten 2015 Tid: 2 timer Hjelpemiddel: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler. Oppgave 1 (1 poeng) Prisen på en vare er satt ned med 30 %. I dag koster

Detaljer

Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Høsten 2013

Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Høsten 2013 Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Høsten 2013 DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (2 poeng) I en klasse er det 20 elever. Nedenfor ser du hvor mange dager hver av elevene var borte fra skolen i løpet av et

Detaljer

Forkurs i kvantitative metoder ILP 2019

Forkurs i kvantitative metoder ILP 2019 Forkurs i kvantitative metoder ILP 2019 Dag 2. Forkurs som arbeidskrav for kvantitativ deler av PED-3055 Gregor Maxwell og Bent-Cato Hustad Førsteamanuensis i spesialpedagogikk Hva lærte vi i går? Hva

Detaljer

Hjelpehefte til eksamen

Hjelpehefte til eksamen Hjelpehefte til eksamen side 1 Innhold Formler som forventes kjent Vg1P-Y:... 3 Formler som forventes kjent: 1P... 4 Formler som forventes kjent: 2P... 5 Formler som forventes kjent: 2P-Y... 6 Formler

Detaljer

Sentralmål og spredningsmål

Sentralmål og spredningsmål Sentralmål og spredningsmål av Peer Andersen Peer Andersen 2014 Sentralmål og spredningsmål i statistikk I dette notatet skal vi se på de viktigste momentene om sentralmål og spredningsmål slik de blir

Detaljer

Karakter 2: 12p Karakter 3: 19p Karakter 4: 27p Karakter 5: 35p Karakter 6: 42p

Karakter 2: 12p Karakter 3: 19p Karakter 4: 27p Karakter 5: 35p Karakter 6: 42p 03.05.2017 MATEMATIKK (MAT1005) Potenser, Prosent, Mønster, Tid, Tabeller, Diagrammer, Sentralmål, Spredningsmål, Rette linjer, Lineære funksjoner, Funksjoner og vekst, Sannsynlighetsregning DEL 1 (UTEN

Detaljer

Funksjoner, likningssett og regning i CAS

Funksjoner, likningssett og regning i CAS Funksjoner, likningssett og regning i CAS MKH, TUS 2014, GeoGebra 4.4 Innholdsfortegnelse Funksjoner og likningssett i GeoGebra... 2 Introduksjon til lineære funksjoner... 2 Oppgave om mobilabonnement...

Detaljer

Eksamen MAT1015 Matematikk 2P Va ren 2014

Eksamen MAT1015 Matematikk 2P Va ren 2014 Eksamen MAT1015 Matematikk 2P Va ren 2014 Oppgave 1 (3 poeng) Nedenfor ser du hvor mange snegler Astrid har plukket i hagen hver kveld de ti siste kveldene. 10 5 22 28 2 8 50 15 40 10 Bestem gjennomsnittet,

Detaljer

Løsning eksamen 2P våren 2008

Løsning eksamen 2P våren 2008 Løsning eksamen 2P våren 2008 Del 2. Oppgaver løst med pc og enkel lommeregner. Noen gode grunner til å lære å utnytte pc-en effektivt på eksamen: I eksamensinformasjonen står det: Der oppgaveteksten ikke

Detaljer

3 Statistikk KATEGORI 1. 3.1 Søylediagrammer. Oppgave 3.111 Tabellen viser karakterstatistikken for en prøve i en matematikkgruppe 2P.

3 Statistikk KATEGORI 1. 3.1 Søylediagrammer. Oppgave 3.111 Tabellen viser karakterstatistikken for en prøve i en matematikkgruppe 2P. 3 Statistikk KATEGORI 1 3.1 Søylediagrammer Oppgave 3.110 I en klasse ble elevene spurt om hvor mange søsken de hadde. Tabellen viser resultatet. søsken elever 0 6 1 12 2 6 3 2 4 1 Oppgave 3.111 Tabellen

Detaljer

Karakter 2: 10p Karakter 3: 17p Karakter 4: 23p Karakter 5: 30p Karakter 6: 36p

Karakter 2: 10p Karakter 3: 17p Karakter 4: 23p Karakter 5: 30p Karakter 6: 36p 04.11.2016 MATEMATIKK (MAT1005) Tabeller / Diagrammer DEL 1 (UTEN HJELPEMIDLER) 45 minutter DEL 2 (MED HJELPEMIDLER) 45 minutter (Del 1 leveres inn etter nøyaktig 45 minutter og før hjelpemidlene kan benyttes)

Detaljer

Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Va ren 2015

Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Va ren 2015 Eksamen MAT1005 Matematikk P-Y Va ren 015 Oppgave 1 ( poeng) Dag Temperatur Mandag 4 C Tirsdag 10 C Onsdag 1 C Torsdag 5 C Fredag 6 C Lørdag Tabellen ovenfor viser hvordan temperaturen har variert i løpet

Detaljer

Nyttige tilleggsverktøy i GeoGebra

Nyttige tilleggsverktøy i GeoGebra Nyttige tilleggsverktøy i GeoGebra Her er en omtale av noen GeoGebra-verktøy som kan være nyttige og arbeidssparende. Ei vanlig GeoGebra-fil har etternavnet ggb, mens et GeoGebraverktøy har etternavnet

Detaljer

Vet du hva vi kan bruke et regneark på pc-en til?

Vet du hva vi kan bruke et regneark på pc-en til? Vet du hva vi kan bruke et regneark på pc-en til? 14 Vi starter med blanke regneark! Regneark MÅL I dette kapitlet skal du lære om hva et regneark er budsjett og regnskap hvordan du kan gjøre enkle utregninger

Detaljer

Skriv teksten «Ukelønn» i celle A1 (kolonne A, rad 1) og 60 i celle B1 (kolonne B, rad 1). Løsning

Skriv teksten «Ukelønn» i celle A1 (kolonne A, rad 1) og 60 i celle B1 (kolonne B, rad 1). Løsning Hva er et regneark? Vi bruker regneark til å sortere data, gjøre beregninger og lage diagrammer. I denne manualen finner du veiledning til hvordan du kan bruke regneark. Et regneark består av celler som

Detaljer

2P-Y eksamen høsten 2017 Løsning

2P-Y eksamen høsten 2017 Løsning 2P-Y eksamen høsten 2017 Løsning Tid: 2 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (5 poeng) Tabellen nedenfor viser karakterfordelingen ved

Detaljer

2P-Y eksamen våren 2016

2P-Y eksamen våren 2016 2P-Y eksamen våren 2016 Tid: 2 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (3 poeng) Dato Temperatur 01.03 2 C 02.03 0 C 03.03 --4 C 04.03 --6

Detaljer

Eksamen MAT1015 Matematikk 2P Va ren 2015

Eksamen MAT1015 Matematikk 2P Va ren 2015 Eksamen MAT1015 Matematikk P Va ren 015 Oppgave 1 ( poeng) Dag Temperatur Mandag 4 C Tirsdag 10 C Onsdag 1 C Torsdag 5 C Fredag 6 C Lørdag Tabellen ovenfor viser hvordan temperaturen har variert i løpet

Detaljer

STK1000 Uke 36, Studentene forventes å lese Ch 1.4 ( ) i læreboka (MMC). Tetthetskurver. Eksempel: Drivstofforbruk hos 32 biler

STK1000 Uke 36, Studentene forventes å lese Ch 1.4 ( ) i læreboka (MMC). Tetthetskurver. Eksempel: Drivstofforbruk hos 32 biler STK1000 Uke 36, 2016. Studentene forventes å lese Ch 1.4 (+ 3.1-3.3 + 3.5) i læreboka (MMC). Tetthetskurver Eksempel: Drivstofforbruk hos 32 biler Fra histogram til tetthetskurver Anta at vi har kontinuerlige

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler Oppgave 1 Variasjonsredden: 6 C ( 6 C) = 6 C+ 6 C= 12 C Gjennomsnittet: 2 C+ 0 C + ( 4 C) + (

Detaljer

( ) 3. DEL 1 Uten hjelpemidler. Oppgave 1 Antall søsken i klassen er: = = 20

( ) 3. DEL 1 Uten hjelpemidler. Oppgave 1 Antall søsken i klassen er: = = 20 DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler Oppgave 1 Antall søsken i klassen er: 0 5 + 1 6 + 2 2 + 3 2 + 4 1 = 0 + 6 + 4 + 6 + 4 = 20 20

Detaljer

Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Va ren 2014

Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Va ren 2014 Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Va ren 2014 Oppgave 1 (2 poeng) Nedenfor ser du hvor mange snegler Astrid har plukket i hagen hver kveld de ti siste kveldene. 10 5 22 28 2 8 50 15 40 10 Bestem gjennomsnittet

Detaljer

Eksamen høsten 2017 Løsninger

Eksamen høsten 2017 Løsninger DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vanlige skrivesaker, passer, linjal med entimetermål og vinkelmåler Oppgave 1 a Antall elever i klassen: 3 + 12 + 25 + 12 + 6 + 2 = 60 3 + 12 15 = = 0, 25 = 25 % 60

Detaljer

Et lite notat om og rundt normalfordelingen.

Et lite notat om og rundt normalfordelingen. Et lite notat om og rundt normalfordelingen. Anta at vi har kontinuerlige data. Hva er likt og ulikt for histogrammer og fordelingskurver? Observasjoner Histogram Viser fordelingen av faktiske observerte

Detaljer

Rette linjer og lineære funksjoner

Rette linjer og lineære funksjoner Rette linjer og lineære funksjoner 3.1 Læreplanmål 1 4.1 Lineære funksjoner 4. Matematiske modeller i dagliglivet 10 4.3 Lineære modeller 14 4.4 Digital graftegning 18 4.5 Lineær regresjon 4 4.6 Tall og

Detaljer

SIGBJØRN HALS TORE OLDERVOLL. GeoGebra 6 for Sinus 2P

SIGBJØRN HALS TORE OLDERVOLL. GeoGebra 6 for Sinus 2P SIGBJØRN HALS TORE OLDERVOLL GeoGebra 6 for Sinus 2P Sinus 2P ble skrevet med utgangspunkt i GeoGebra 5. I boka er det også lagt opp til at elevene har en enkel lommeregner i tillegg til datamaskin. I

Detaljer

Excel. Excel. Legge inn tall eller tekst i en celle. Merke enkeltceller

Excel. Excel. Legge inn tall eller tekst i en celle. Merke enkeltceller Excel Hva er et regneark? Vi bruker regneark til å sortere data, gjøre beregninger og lage diagrammer. I denne manualen finner du veiledning til hvordan du kan bruke regneark. Et regneark består av celler

Detaljer

Fagstoff til eksamen. Matematikk Vg2P

Fagstoff til eksamen. Matematikk Vg2P Matematikk Vg2P Fagstoff til eksamen Innhold på ndla.no er nå tilgjengelig i PDF- eller epub-format som hjelpemidler til eksamen. Disse filene kan lagres på egen datamaskin og leses i digitalt format,

Detaljer

Et lite notat om og rundt normalfordelingen.

Et lite notat om og rundt normalfordelingen. Et lite notat om og rundt normalfordelingen. Anta at vi har kontinuerlige data. Hva er likt og ulikt for histogrammer og fordelingskurver? Observasjoner Histogram Viser fordelingen av faktiske observerte

Detaljer

Tenk deg at du skal lage figurer av blå og hvite ruter som vist ovenfor.

Tenk deg at du skal lage figurer av blå og hvite ruter som vist ovenfor. Tall og figurer Eksamensoppgaver Våren 016 OPPGAVE 4 (MED HJELPEMIDLER) Figur 1 Figur Figur 3 Tenk deg at du skal lage figurer av blå og hvite ruter som vist ovenfor. a) Skriv av tabellen nedenfor, og

Detaljer

7. TRINN MATEMATIKK PERIODEPLAN 1 - Uke 34-44

7. TRINN MATEMATIKK PERIODEPLAN 1 - Uke 34-44 1 7. TRINN MATEMATIKK PERIODEPLAN 1 - Uke 34-44 KOMPETANSEMÅL Tall og algebra Mål for opplæringa er at eleven skal kunne: beskrive plassverdisystemet for desimaltal, rekne med positive og negative heile

Detaljer

Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Høsten 2014

Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Høsten 2014 Eksamen MAT1005 Matematikk P-Y Høsten 014 Oppgave 1 (1 poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform 0,0003 500000000 0,00,0 10,0 4 8 3,0 10 5,0 10 3,0 5,0 4 8 ( 3) 7 3 10 7,5 10 Oppgave (1 poeng) Prisen

Detaljer

18.07.2013 Manual til Excel. For mellomtrinnet. Inger Nygjelten Bakke ELEKTRONISK UNDERVISNINGSFORLAG AS

18.07.2013 Manual til Excel. For mellomtrinnet. Inger Nygjelten Bakke ELEKTRONISK UNDERVISNINGSFORLAG AS 18.07.2013 Manual til Excel 2010 For mellomtrinnet Inger Nygjelten Bakke ELEKTRONISK UNDERVISNINGSFORLAG AS Innhold Husk... 2 1. Det kan bare være tall i cellene som skal brukes i formelen.... 2 2. En

Detaljer

Et lite notat om og rundt normalfordelingen. Anta at vi har kontinuerlige data. Hva er likt og ulikt for histogrammer og fordelingskurver?

Et lite notat om og rundt normalfordelingen. Anta at vi har kontinuerlige data. Hva er likt og ulikt for histogrammer og fordelingskurver? Et lite notat om og rundt normalfordelingen. Anta at vi har kontinuerlige data. Hva er likt og ulikt for histogrammer og fordelingskurver? Boka (Ch 1.4) motiverer dette ved å gå fra histogrammer til tetthetskurver.

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (3 poeng) Dato Temperatur 01.03 2 02.03 0 03.03 4 04.03 6 05.03 2 06.03 6 Guro målte temperaturen utenfor hytta de seks første dagene i mars. Se tabellen ovenfor. Bestem

Detaljer

Hjelpemidler på Del 2 Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Hjelpemidler på Del 2 Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Detaljer

7. TRINN MATEMATIKK PERIODEPLAN 1

7. TRINN MATEMATIKK PERIODEPLAN 1 1 7. TRINN MATEMATIKK PERIODEPLAN 1 KOMPETANSEMÅL Tall og algebra Mål for opplæringa er at eleven skal kunne: beskrive plassverdisystemet for desimaltal, rekne med positive og negative heile tal, desimaltal,

Detaljer

Gruppeoppgave 5.-7.trinn:

Gruppeoppgave 5.-7.trinn: Måling og statistikk Høyde på elever og voksne ved Gaupen skole 214-15 Oppgave utført av 5.-7.trinn under Matematikk-uka. Kompetansemål fra K6: * Planleggje og samle inn data i samband med observasjonar,

Detaljer

Kapittel 1: Data og fordelinger

Kapittel 1: Data og fordelinger STK Innføring i anvendt statistikk Mandag 8. august 8 Ingrid K. lad I løpet av dette kurset skal dere bli fortrolig med statistisk tenkemåte forstå teori og metoder som ligger bak knappene/menyene i vanlige

Detaljer

MATEMATIKK (MAT1005) Tabeller / Diagrammer

MATEMATIKK (MAT1005) Tabeller / Diagrammer 04.11.2016 MATEMATIKK (MAT1005) Tabeller / Diagrammer DEL 1 (UTEN HJELPEMIDLER) 45 minutter DEL 2 (MED HJELPEMIDLER) 45 minutter (Del 1 må leveres inn før hjelpemidlene kan benyttes) Total poengsum: 40

Detaljer

2P eksamen våren 2016

2P eksamen våren 2016 2P eksamen våren 2016 Tid: 2 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (3 poeng) Dato Temperatur 01.03 2 C 02.03 0 C 03.03 --4 C 04.03 --6 C

Detaljer

Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Detaljer

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 2: Beskrivende analyse og presentasjon av data for én variabel Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag http://wiki.math.ntnu.no/st0202/2012h/start 2 Grafisk

Detaljer

Stolpediagragram og histogram med regneark

Stolpediagragram og histogram med regneark Stolpediagragram og histogram med regneark I underkapittel 4C i læreboka for Matematikk 2P forklarer vi hvordan du går fram når du skal tegne stolpediagram og histogram. Her viser vi hvordan du kan bruke

Detaljer

Sannsynlighet og statistikk

Sannsynlighet og statistikk Sannsynlighet og statistikk Innhold Kompetansemål Sannsynlighet og statistikk, S... 3. Stokastiske variabler og sannsynlighetsfordelinger... 3 Stokastisk forsøk... 3 Definisjon av sannsynlighet og sannsynlighetsmodell...

Detaljer