Statistikk Løsninger. Innhold. Statistikk Vg2P

Transkript

1 Statistikk Løsninger Innhold Modul 2: Presentasjon av tallmateriale... 2 Tabeller - Frekvens - Relativ frekvens - Kumulativ frekvens... 2 Søylediagram/stolpediagram... 4 Sektordiagram... 5 Linjediagram/kurvediagram... 9 Ulike dataframstillinger ulike inntrykk Modul 3: Sentralmål Modul 4: Spredningsmål Modul 5: Gruppert datamateriale Eksempeloppgaver fra Udir Oppgaver og løsninger Stein Aanensen og Olav Kristensen/NDLA 1

2 Modul 2: Presentasjon av tallmateriale Tabeller - Frekvens - Relativ frekvens - Kumulativ frekvens 2.1 Standpunktkarakterene i matematikk til elevene i en klasse er gitt i tabellen. Elev nummer Standpunktkarakter Sett opp en tabell som viser frekvens, kumulativ frekvens og relativ frekvens for de ulike karakterene. Lag tabellen både for hånd og i et regneark. Bruk 2 desimaler ved utregning av relativ frekvens. Vis hvilke formler du bruker i regnearket. For hånd. Standpunkt- Kumulativ Relativ Tellekolonne Frekvens karakter frekvens frekvens , , , , , ,07 15 Sum ,00 Excel. 2

3 2.2 Tabellen under viser når på året elevene i en klasse var født. Vinter Vår Sommer Høst Årstid desember feb. mars - mai juni - august september nov. Antall a) Hvor mange elever er det i klassen? Antall elever i klassen: b) Bruk regneark og sett opp en tabell som viser relativ frekvens, relativ frekvens i prosent, kumulativ frekvens, relativ kumulativ frekvens og relativ kumulativ frekvens i prosent for de ulike årstidene. c) Hvor stor del av elevene i klassen er født om vinteren eller om våren? Fant i oppgave b) at 57 % av elevene er født om vinteren eller våren. 2.3 a) Lag en oversikt i din egen klasse som viser hvilken måned elevene i klassen er født. Sett januar = 1, februar = 2, mars = 3, osv. b) Lag en tabell etter årstid slik som i oppgave b) ovenfor. 3

4 Søylediagram/stolpediagram 2.4 Olav fisker hummer. Tabellen viser hvor mange hummer Olav fikk på de første 15 trekkene. Trekk nummer Antall hummer a) Sett opp en tabell som viser frekvens, relativ frekvens og kumulativ frekvens for antall hummere per trekk. b) Lag et stolpediagram som gir en oversikt over hummerfangstene til Olav. 4

5 2.5 Lag et stolpediagram for hånd som viser fordelingen av gutter og jenter i klassen din. Sektordiagram 2.6 a) Fyll ut resten av tabellen. Avrund alle svar til nærmeste hele tall Næringsinnhold i 100 g Antall pepperkaker gram Prosent Grader Protein 5 5 % 18 Karbohydrater % 270 Fett % 58 Annet 4 4 % 14 Sum % 360 b) Lag et sektordiagram for hånd som viser næringsinnholdet i 100 g pepperkaker. Næringsinnhold Antall i 100 g pepperkaker gram; Annet; Antall 4; gram; 4 % Protein; Antall 5; 5 % gram; Fett; 16; 16 % Protein Karbohydrater Antall gram; Karbohydrater; 75; 75 % Fett Annet 5

6 2.7 a) Fyll ut resten av tabellen. Avrund alle svar til nærmeste hele tall Månedsutgift til en tilfeldig 17-åring I kroner Prosent Grader Mat inkludert snop % 79 Klær % 119 Fornøyelse % 61 Hygiene % 29 Annet % 72 Sum % 360 b) Lag et sektordiagram for hånd som viser månedsutgiftene til 17-åringen. Månedsutgifter Kroner; Annet; 505; 20 % Kroner; Mat inkludert snop; 550; 22 % Kroner; Hygiene; 190; 8 % Kroner; Fornøyelse; 430; 17 % Kroner; Klær; 825; 33 % 6

7 Frekvens Statistikk Vg2P 2.8 Tabellen viser karakterfordelingen i matematikk i en klasse i videregående skole. Karakter Antall elever a) Lag et stolpediagram som illustrerer karakterfordelingen. Karakterfordeling Karakter b) Lag et sektordiagram (kakediagram) som illustrerer karakterfordelingen. Karkterer; 5; 3; 12 % Karakterfordelig Karkterer; 6; 1; 4 % Karkterer; 1; 2; 8 % Karkterer; 2; 5; 20 % karater 4 Karkterer; 3; 8; 32 % 7

8 Frekvens Statistikk Vg2P 2.9 To elever undersøkte hvilke fritidsaktiviteter elevene i klassen likte best. De fikk følgende resultater: Fritidsaktivitet Håndball Fotball Volleyball Svømming Annet Antall a) Lag et søylediagram som illustrerer fritidsaktivitetene til elevene. Fritidsaktiviteter b) Lag et sektordiagram som illustrerer fritidsaktivitetene til elevene. Fritidsaktiviteter Frekvens; Annet; 6; 22 % Frekvens; Svømming; 2; 8 % Frekvens; Volleyball; 3; 11 % Frekvens; Håndball; 7; 26 % Frekvens; Fotball; 9; 33 % Håndball Fotball Volleyball Svømming Annet 8

9 Linjediagram/kurvediagram 2.10 Tabellen viser antall drepte i trafikken i Norge i perioden 2001 til År Antall drepte Lag et linjediagram som viser utviklingen av antall trafikkdrepte fra 2001 til Antall drepte

10 2.11 Tabellen viser utslipp av CO 2 til luft i perioden 1998 til År CO 2 i millioner tonn 41,2 42,0 41,6 43,0 42,0 43,3 43,9 42,9 43,3 45,0 44,2 a) Lag et kurvediagram som viser utviklingen av CO 2 fra 1998 til La andreaksen variere fra 0 til 50. Utslipp av CO2 i millioner tonn Utslipp av CO2 b) Lag samme kurvediagram som i a), men la andreaksen gå fra 39 til 46. Utslipp av CO2 Utslipp av CO2 i millioner tonn c) Forklar forskjellen mellom de to diagrammene. 10

11 2.12 Diagrammet viser antall felte elg per år i Norge fra 1986 til 2008 a) Fortell med egne ord hvordan utviklingen av felte elg har vært i denne perioden. I perioden fra 1986 til 1988 var det en svak nedgang i antall felte elg. Fra 1988 til 1993 steg antall felte elg fra ca elg i 1998 til ca elg i Mellom 1993 og 1995 falt antall felte elg til ca Fra 1995 til 2008 har antall felte elg ligget mellom ca og

12 Diagrammet nedenfor viser antall felte elg i Norge fra 1986 til 2008 fordelt på alder. b) Hvilke år ble det felt flere 1 ½-åringer enn kalver? I 1992 og 1993 ble det felt flere 1 ½-åringer enn kalver. c) Hvor mange elg ble det felt totalt i 2006? Det ble felt ca elg i Dette kan du finne ved å legge sammen antall felte elg i hver gruppe. I diagrammet ovenfor ser vi at antall felte kalver er ca , antall felte 1 ½-åringer er også ca og det resterende antallet er ca dyr. Til sammen blir det dyr. Dette kan du også se ut fra diagrammet i oppgave a) 12

13 Ulike dataframstillinger ulike inntrykk 2.13 Ved en skole har en gruppe elever kartlagt hvor mange gutter og hvor mange jenter ved skolen som røyker. De presenterer tallene i tabellen under. Jenter Gutter Sum Røyker Røyker ikke Sum a) Presenter resultatene i tabellen i et egnet diagram. Røyker ikke Røyker b) Presenter resultatene i tabellen som prosentandeler i et egnet diagram. Røyker ikke Røyker 13

14 Antall mål per kamp Statistikk Vg2P 2.14 a) Lag en tabell som viser antall scoringer per kamp i siste serierunde i tippeligaen. Løsningen viser antall mål per kamp i nest siste serierunde (runde 29) i tippeligaen Antall mål per kamp Antall kamper b) Presenter resultatet i et egnet diagram. Antall mål per kamp i tippeligaens runde 29 Antall kamper 14

15 Modul 3: Sentralmål 3.1 Tabellen viser antall drepte i trafikken i Norge i perioden 2001 til År Antall drepte a) Hvor mange er blitt drept i trafikken på disse 8 årene? Antall drepte i perioden 2001 til 2008 er personer. b) Finn gjennomsnittlig antall drepte i trafikken i perioden 2001 til Gjennomsnittlig antall drepte i trafikken er: personer 8 c) Finn medianen. Sorterer i stigende rekkefølge. Antall drepte Medianen blir Tabellen viser utslipp av CO 2 til luft i perioden 1998 til År CO 2 i millioner tonn 41,2 42,0 41,6 43,0 42,0 43,3 43,9 42,9 43,3 45,0 44,2 a) Hvilket år ble det sluppet ut mest CO 2 til luft? I 2007 ble det sluppet ut 45,0 millioner tonn. Dette var det største utslippet i denne perioden. b) Finn gjennomsnittlige utslipp av CO 2 i perioden 1998 til Gjennomsnittlige utslipp av CO 2 41,2 42,0 41,6 43,0 42,0 43,3 43,9 42,9 43,3 45,0 44,2 42,9 millioner tonn 11 c) Finn medianen. Sorterer i stigende rekkefølge. CO2 i millioner tonn 41,2 41,6 42,0 42,0 42,9 43,0 43,3 43,3 43,9 44,2 45,0 Medianen blir 43,0 15

16 3.3 Tabellen viser karakterfordelingen i matematikk i en klasse på videregående skole. a) Hva er typetallet? Typetallet er 3. Karakter Antall elever b) Finn medianen. Antall elever i klassen er 25. Finner mediannummer: Av tabellen ser vi at karakter nummer 13 må være en 3-er når karakterene er sortert i stigende rekkefølge. Medianen er 3. Karakter Frekvens Kumulativ frekvens c) Finn gjennomsnittet. Gjennomsnittskarakteren er: ,24 3, d) Finn relativ frekvens for de ulike karakterene. Karakter Frekvens Kumulativ frekvens Relativ frekvens Relativ frekvens multiplisert med karakter ,08 0,08 1 0, ,20 0,20 2 0, ,32 0,32 3 0, ,24 0,24 4 0, ,12 0,12 5 0, ,04 0,04 6 0,24 Sum 25 1,00 3,24 e) Multipliser den relative frekvensen for en karakter med tilhørende karakter. Se tabellen ovenfor. f) Legg sammen svarene du fikk i oppgave e). Hva oppdager du? Relativ frekvens multiplisert med karakter gir gjennomsnittskarakteren. 16

17 Modul 4: Spredningsmål 4.1 Standpunktkarakterene i matematikk til elevene i en klasse er gitt i tabellen. Elev nummer Standpunktkarakter a) Finn typetall, median og gjennomsnitt. Sorterer karakterene i en tabell. Typetallet er karakteren 2 og karakteren 5. Medianen finner vi på plass nummer Når elevene er sortert i stigende rekkefølge, vil elev nummer 8 ha karakteren Karakter Frekvens Kumulativ frekvens Sum 15 Medianen er 3. Gjennomsnittskarakteren er ,5 15 b) Foreta en vurdering av sentralmålene du fant i oppgave a). Hvilket av sentralmålene synes du sier mest om karakterene i klassen? Argumenter for svaret ditt. Typetallet forteller hva de fleste elevene i klassen fikk i standpunktkarakter. Dette sentralmålet forteller best hva den enkelte elev fikk i karakter. Medianen og gjennomsnittsverdien viser mer hvilket nivå klassen som helhet ligger på. c) Finn variasjonsbredde og kvartilsbredden i karakterfordelingen ovenfor. Variasjonsbredden er Nedre kvartil er karakteren 2 og øvre kvartil er karakteren Kvartilsbredden er d) Bruk digitalt hjelpemiddel og finn standardavviket. Legger karakterene i en liste i GeoGebra, og bruker kommandoen standardavvik Standardavviket er 1,54 17

18 4.2 Olav fisker hummer. Tabellen viser hvor mange hummer Olav fikk på de første 15 trekkene. Trekk nummer Antall hummer a) Hvor mange hummer fikk Olav på de 15 første trekkene? Olav fikk 30 hummer til sammen på disse 15 trekkene. b) Finn median, typetall og gjennomsnitt. Systematiserer hummerfangsten i en tabell. Typetallet er 1. Medianen finner vi på plass nummer Antall hummer Frekvens Kumulativ frekvens Sum Ved å bruke kumulativ frekvens ser vi at plass nummer 8 gir medianen 2. Gjennomsnittsfangst per trekk er 2 hummer c) Finn varians og standardavvik for hånd. Se tabellen. Antall hummer Frekvens x f x f x x 2 f Sum Gjennomsnitt: 30 x 2 15 Varians: 20 1,33 15 Standardavvik 1,33 18

19 d) Finn varians og standardavvik ved å bruke et digitalt hjelpemiddel. Legger hummerfangstene i en liste i GeoGebra og bruker kommandoen standardavvik og varians. Finner at variansen er 1,33 og standardavviket er 1,15. 19

20 Modul 5: Gruppert datamateriale 5.1 Ved en skole ble høyden til alle elevene på VG2 målt. Resultatet er presentert i tabellen. Høyde til elevene Høyde i cm Frekvens 150, , , , , , , ,200 8 Du skal tegne et histogram som viser resultatene. a) Finn søylehøyden i hvert intervall. Sum 323 Høyde til elevene Histogramhøyde Høyde i cm Frekvens Klassebredde frekvens klassebredde 150, ,6 160, ,2 165, , ,6 175, ,8 180, ,4 185, ,8 190, ,8 Sum 323 b) Presenter resultatet i et histogram. 20

21 5.2 Tabellen viser aldersfordelingen i Norge i Alder Antall personer i tusen 0, , , , , , Kilde: Statistisk sentralbyrå a) Hvor mange personer bodde det i Norge i 2009? Antall personer i tusen: Det bodde ca 4,8 millioner i Norge i

22 b) Presenter aldersfordelingen i Norge i et histogram. Finner søylehøydene og tegner histogrammet. Alder Antall personer i tusen Klassebredde Histogramhøyde frekvens klassebredde 0, , , , , ,

23 5.3 Statens Veivesen var interessert i å finne ut hvilken fart bilistene holdt på en ny veistrekning. Høyeste tillatte fart på strekningen var 100 km/t. Hastigheten ble målt på 20 biler. Målingen viste følgende resultater. Farten er gitt i km/t a) Lag en frekvenstabell der du grupperer resultatene i følgende grupper: 80,100, 100,105, 105,110, 110,120, 120,135 Fart i km/t Histogramhøyde Tellekolonne Frekvens Klassebredde frekvens klassebredde 80, ,25 100, ,4 105, ,6 110, ,3 120, ,13 b) Presenter resultatene i tabellen i et egnet diagram. Velger å presentere resultatene i et histogram. 23

24 c) Finn medianen ved å bruke enkeltmålingene av farten. Setter opp resultatene i stigende rekkefølge ,2 95,5 99, Medianen er km/t km/t km/t 104,0 km/t 2 d) Finn medianen ved å bruke det klassedelte materialet. Fart i km/t Frekvens Kumulativ frekvens 80, , , , , Medianen er den midterste observasjonsverdien når alle observasjonsverdiene er sortert i stigende rekkefølge. I denne oppgaven har vi 20 fartsmålinger. Medianen er gjennomsnittet av farten til bilist nummer 10 og bilist nummer 11. Legger til en kolonne med kumulativ frekvens i tabellen. Ser da at både nr 10 og nr 11må ligge i intervallet 100, 105 Bilist nr 10,5 ligger 10,5 5 5,5 plasser fra venstre klassegrense. Medianen blir: ,5 km/t 103,9 km/t 7 e) Forklar hvorfor medianverdiene i oppgave c) og d) er ulike. I oppgave c) bruker vi enkeltmålingene til å finne medianen. I oppgave d) finner vi i hvilken gruppe medianen ligger. Vi beregner så hvor i gruppen medianen omtrent må ligge. Ved denne beregningen forutsetter vi at målingene i gruppen fordeler seg jevnt. Dette blir ikke helt nøyaktig og svarene vil i de fleste tilfeller være ulike. 24

25 5.4 a) Bruk fartsmålingene i forrige oppgave og finn gjennomsnittsfarten. Summerer alle fartsobservasjonene og deler på antall observasjoner. 2118,6 km/t Gjennomsnittsfart 105,9 km/t 20 b) Finn gjennomsnittsfarten i det klassedelte materialet i forrige oppgave. Nedre klassegrense Øvre klassegrense Klassemidtpunkt x Frekvens f x f , , , , , Sum Gjennomsnittsfart 104,5 Gjennomsnittsfarten er 104,5 km/t c) Forklar hvorfor svarene i a) og b) er ulike. I oppgave a) finner vi den nøyaktige gjennomsnittsfarten av de 20 målingene. I oppgave b) bruker vi klassemidtpunktet og beregner gjennomsnittsfarten ut fra dette. Vi antar dermed at målingene i hver klasse fordeler seg jevnt, noe som gir en viss unøyaktighet. 25

26 5.5 Tabellen viser aldersfordelingen i Norge i Alder Antall personer i tusen 0, , , , , , Kilde: Statistisk sentralbyrå a) Finn medianen Legger til en kolonne med kumulativ frekvens i tabellen. Medianplass: Ser at medianen må ligge i intervallet 35,45 Median nr 2405 ligger plasser fra venstre klassegrense. Medianen blir: år 38,4 år 722 Alder Antall personer i tusen Kumulativ frekvens 0, , , , , , b) Finn gjennomsnittsalderen Nedre Øvre Klassemidtpunkt Frekvens x f klassegrense klassegrense x f , , Sum Gjennomsnittsalder 39,7 Gjennomsnittsalderen er 39,7 år. c) I følge Statistisk sentralbyrå) er gjennomsnittsalder i den norske befolkningen 39 år per 1. januar Gi en forklaring på at gjennomsnittsalderen du fant i b) er noe høyere. I oppgave b) regner vi ut gjennomsnittsalder på grunnlag av klassemidtpunkt. I de øverste gruppene vil nok klassemidtpunkt gi et galt bilde av den reelle situasjonen. Her vil midtpunktet i klassen ligge nærmere nedre klassegrense enn øvre hvorfor? 26

27 Hyppighet Statistikk Vg2P Eksempeloppgaver fra Udir Eksempeloppgave 2P, april 2007 En oversikt over årslønnen til de ansatte i en bedrift viste følgende: Årslønn (i tusen kroner) Hyppighet a) Lag et diagram som gir en god framstilling av tallmaterialet ovenfor. Klassebredden er lik. Et søylediagram vil dermed gi en god framstilling av tallmaterialet. Årslønn i tusen Årslønn b) Omtrent hvor stor er gjennomsnittslønnen i denne bedriften? Nedre Øvre Klassemidtpunkt Frekvens x f klassegrense klassegrense x f , , , , , , , ,5 Sum Gjennomsnittslønn 257,50 Gjennomsnittslønnen i bedriften er omtrent kr. 27

28 c) Kommenter om du synes at gjennomsnittslønnen er et godt mål for lønnsforholdene i bedriften. Gjennomsnittslønnen er ikke et veldig godt mål for lønnsforholdene i bedriften. Noen få personer i bedriften har en mye høyere lønn enn de andre. Lønnen til disse personene trekker gjennomsnittslønnen opp. d) Foreslå et annet sentralmål som egner seg godt i dette tilfellet. Bruk tabellen til å finne verdien til dette sentralmålet. Medianen vil egne seg godt i dette tilfellet. Medianplass: ,5 2 Velger å bruke plass nummer 20. Ser da at medianen må ligge i intervallet Median nr 20 ligger plasser fra venstre klassegrense. Medianen blir: ,5 12 Årslønn Kumulativ Hyppighet (i tusen kroner) frekvens Medianverdien blir kr. Denne verdien gir et mer realistisk bilde av gjennomsnittslønnen i bedriften. 28

29 Antall biler Antall biler Statistikk Vg2P Eksempeloppgave 2P, desember 2007 Noen skoleelever i Steinkjer ville undersøke hvor mange personer det er i hver bil i trafikken inn til sentrum om morgenen. De telte antall personer i hver av 30 biler og fikk følgende resultat: 2, 1, 4, 3, 3, 1, 1, 2, 5, 1, 3, 1, 2, 2, 1, 4, 5, 1, 1, 4, 4, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 4, 4 a) Finn medianen og gjennomsnittet av datamengden. Systematiserer dataene i en tabell. Medianen finner vi på plass nummer Antall personer Frekvens Kumulativ frekvens , Ved å bruke kumulativ frekvens ser vi at plass nummer 15 gir medianen 2. Gjennomsnittlig antall personer i bilene er , Sum 30 b) Framstill dataene i et søylediagram. Hvordan kan du ved å forandre på søylediagrammet gi ulike inntrykk av hvor stor del av bilene som har passasjerer? Antall personer i hver bil Antall personer i bilen Diagrammet viser hvor mange biler som har passasjerer. Passasjeroversikt Bil uten passasjer Bil med passasjer 29

30 c) Hvor stor del av bilene har mer enn 1 passasjer? 11 biler har mer enn 1 passasjer. Det tilsvarer ca % 37% av bilene 30 Skoleelever i en annen by gjennomførte en tilsvarende undersøkelse. De fikk følgende resultat: 1, 5, 1, 3, 2, 4, 1, 1, 3, 2, 2, 4, 3, 5, 3, 2, 1, 2, 4, 1, 2, 4, 4, 3, 2, 1, 5, 2, 3, 1 d) Finn standardavviket både for denne datamengden og for den fra Steinkjer. Det ene standardavviket er større enn det andre. Kunne du på forhånd ha gjettet hvilket som var størst bare ved å se på resultatene av undersøkelsen? Kommenter. Legger inn dataene i liste i GeoGebra og bruker kommandoen standardavvik. Standardavvik til skolen i Steinkjer er 1,35. Standardavvik til skolen i den andre byen er 1,31. Systematiserer dataen i den andre byen i en tabell for å få en oversikt. Antall personer Frekvens Kumulativ frekvens Sum 30 Standardavvikene i de to undersøkelsene er nesten like. Antall personer i bilene i den andre byen sprer seg litt jevnere enn personene i bilene i Steinkjer. Ut fra denne betraktningen kunne enn ha gjettet at standardavviket (mål for spredning) var større i undersøkelsen som ble foretatt i Steinkjer enn undersøkelsen i den andre byen. 30