Eksamen 2P MAT1015 Vår 2012 Løsning

Transkript

1 Eksamen 2P MAT1015 Vår 2012 Oppgave 1 (14 poeng) a) 20 elever blir spurt om hvor mange datamaskiner de har hjemme. Se tabellen ovenfor. Finn variasjonsbredden, typetallet, medianen og gjennomsnittet. Variasjonsbredden er differansen mellom største og minste verdi. I vår oppgave blir variasjonsbredden Typetallet er den verdien (antall datamaskiner) som forekommer flest ganger. Typetallet er 4 Vi finner medianen ved å sortere antall datamaskiner i stigende rekkefølge. Medianen er den midterste verdien. I dette tilfellet er den midterste plassen mellom plass nummer 10 og Vi finner medianen ved å ta gjennomsnittet av verdien som ligger på plass 10 og 11. Median er 3 4 3,5 2 Gjennomsnittet er , b) Regn ut og skriv svaret på standardform 5,0 10 6, ,5 10 2,5 30, , Eksamen MAT1015 Matematikk 2P Våren 2012 Side 1 av 14

2 c) En bil koster kroner. Bilens verdi avtar med 15 % per år. Forklar hvilket av regnestykkene nedenfor som kan brukes for å finne hvor mye bilen er verd etter 10 år. 1) ) ,15 3) , p 15 Vekstfaktoren er gitt ved 1. Vi får da en vekstfaktor på 1 0, Bilens verdi er kroner i starten og avtar med 15 % per år. Etter 1 år finner vi bilens verdi slik, ,85. Etter 10 år er bilens verdi gitt ved regnestykket ,85 Regnestykket nr. 3) er dermed det riktige. 10 d) I Norge er det ca. 5 millioner innbyggere. Det norske oljefondet er på ca milliarder kroner. Tenk deg at oljefondet ble delt likt mellom innbyggerne i Norge. Omtrent hvor mye ville hver innbygger fått? Skriv svaret på standardform. Hver innbygger ville ha fått: , dvs kr e) Nedenfor ser du hvor mange tekstmeldinger hver av de 20 elevene i en 2P-gruppe sendte i løpet av en uke: ) Grupper datamaterialet i klasser med bredde 20. La den første klassen starte med 0. Antall meldinger. Klassebredde Antall sendte tekstmeldinger per elev I hvilken klasse ligger medianen? Medianen blir gjennomsnittet av antall meldinger på plass nummer 10 og 11. Fra tabellen kan vi lese at plass nummer 10 og 11 ligger i klassen ) Finn gjennomsnittet i det klassedelte materialet Gjennomsnittet: Eksamen MAT1015 Matematikk 2P Våren 2012 Side 2 av 14

3 Oppgave 2 (4 poeng) I rammen til venstre ovenfor har vi skrevet fire tall i titallsystemet. I rammen til høyre har vi skrevet de samme tallene i plassverdisystemer med grunntall 2, 3, 4 eller 5. Tegn av rammene og kobl sammen tallene som har samme verdi. Forklar hvordan du kommer fram til svarene. 120 i firetallsystemet gir: 100 i totallsystemet gir: 131 i femtallsystemet gir: 1011 i tretallsystemet gir: i titallsystemet i titallsystemet i titallsystemet i titallsystemet Eksamen MAT1015 Matematikk 2P Våren 2012 Side 3 av 14

4 Oppgave 3 (6 poeng) Ovenfor har tre elever beskrevet tre ulike situasjoner. Ta for deg hver av de tre situasjonene. a) Svar på elevens spørsmål. Stian: Fortjeneste ved salg av 5 armbånd blir: 50 kroner kroner Sondre: Halvparten av dropsene er 75 stk. Sondre spiser 5 drops per dag. 75 Han bruker 15 dager på halvdelen av dropsene. 5 Sebastian: Lengden av et tøystykke med en bredde på 3,0 cm er 5,0 cm. Arealet av tøystykket blir dermed 3,0 cm 5,0 cm 15,0 cm b) Foreslå en matematisk modell. Stian: Inntekten I x ved salg av x antall armbånd er I x 2 50 x D x x 150 5x Sondre: Antall drops, D x, igjen etter x antall dager er Sebastian: Arealet, A x, av hvert tøystykke med bredde x og lengde 2,0 2,0 2 A x x x x x x 2,0 er c) Si noe om modellens begrensninger. Stian: Modellen er gyldig for heltall større enn eller lik 0. Dessuten kan prisen på 50 kr per armbånd gå ned ved stor produksjon Sondre: Krukken med drops inneholder 150 drops. Sondre spiser 5 drops hver dag. Modellen er kun gyldig mellom 0 og 30 dager, da er krukken tom for drops! Sebastian: Bredden på tøystykket må være større enn 0. Det betyr at lengden må være mer enn 2,0 cm. Eksamen MAT1015 Matematikk 2P Våren 2012 Side 4 av 14

5 Oppgave 4 (8 poeng) Sofie og Christer skal kjøpe leilighet og må låne penger i banken. Banken vil bare gi lån på 80 % av kjøpesummen. Resten av pengene må de skaffe selv, såkalt egenkapital. Sofie og Christer har en egenkapital på kroner. a) Vis at de kan låne kroner i banken. Vi lar x være hele beløpet. Da må x 0,20 bli kroner. Det gir x kr Lånebeløp blir dermed kr kr kr Leiligheten koster kroner, og vi antar at verdiøkningen vil være på 7,0 % per år. b) Hva vil verdien av leiligheten være etter ett år? Hva vil verdien av leiligheten være etter ti år? 7 En verdiøkning på 7 % gir en vekstfaktor på 1 1, Verdien av leiligheten etter ett år blir kr 1, kr Verdien av leiligheten etter ti år blir kr 1, kr Tabellen nedenfor viser de fem første årene av en tilbakebetalingsplan med årlige terminer for et lån på kroner. c) Hva er den årlige renten, i prosent, på dette lånet? Vi ser at Sofie og Christer må betale kroner i renter det første året av lånet kr på kroner. Årlig rente blir da 100 % 4,5% kr Eksamen MAT1015 Matematikk 2P Våren 2012 Side 5 av 14

6 Dersom restlånet på leiligheten kommer under 60 % av leilighetens verdi, kan Sofie og Christer kontakte banken for å få en lavere årlig rente på lånet. d) Hvor lang tid tar det før Sofie og Christer kan få en lavere årlig rente? Verdien av leiligheten ved kjøp er kroner og lånet er kroner. 60 % av leilighetens verdi er da , kroner Vi ser at restlånet er større enn 60 % av leilighetens verdi. Verdien av leiligheten etter ett år er , kroner. Leser fra tabellen at restlånet da er kroner. 60 % av leilighetens verdi er da , kroner Vi ser at restlånet er større enn 60 % av leilighetens verdi. 2 Verdien av leiligheten etter to år er , kroner. Leser fra tabellen at restlånet da er kroner. 60 % av leilighetens verdi er da , kroner Vi ser at restlånet er større enn 60 % av leilighetens verdi. 3 Verdien av leiligheten etter tre år er , kroner. Leser fra tabellen at restlånet da er kroner. 60 % av leilighetens verdi er da , kroner Vi ser at restlånet er lavere enn 60 % av leilighetens verdi. Etter tre år er restlånet kommet under 60 % av leilighetens verdi I denne deloppgaven kunne vi med fordel ha brukt regneark, se nedenfor. Bruk av formler i regnearket: Eksamen MAT1015 Matematikk 2P Våren 2012 Side 6 av 14

7 Oppgave 5 (6 poeng) En dag gjorde klasse 1A forsøk i naturfagstimen. Seks elever slapp hver sin stålkule fra 1 m høyde og målte tiden det tok før kulen traff bakken. Resultatene ser du i tabellen nedenfor. a) Bestem gjennomsnittet og standardavviket for måleresultatene. Vi legger inn observasjonene i en liste i GeoGebra og finner gjennomsnitt og standardavvik ved å bruke kommandoene Gjennomsnitt[Liste1] og Standardavvik[Liste1], se nedenfor. Klassen la merke til at elev nummer 5 målte en større falltid enn de andre. Mange mente at dette resultatet måtte skyldes en målefeil, og at det derfor burde forkastes. Da ga fysikklærer Strøm dem denne regelen: b) Finn ut om måleresultatet til elev nummer 5 kan forkastes dersom vi bruker regelen ovenfor. Vi finner først verdien som ligger 1,4 standardavvik fra gjennomsnittet. 0,467 0,026 1,4 0,467 0,0364 0,5034. Måleresultatet til elev nummer 5 ligger utenfor denne verdien. Vi kan forkaste resultatet til nummer 5. c) Bestem gjennomsnittet og standardavviket for de fem andre måleresultatene. Hvordan har gjennomsnittet og standardavvik endret seg? Virker det rimelig? Forklar. Gjentar samme prosedyre som i oppgave a). Nå med fem måleresultater. Gjennomsnittet er nå 0,456 og standardavviket er 0,01. Gjennomsnittet går noe ned. Det virker rimelig. Standardavviket går betydelig ned. Det virker også rimelig da observasjonen på 0,52 avvek kraftig fra de andre observasjonene og bidro dermed sterkt til en høyere varians og dermed høyere standardavvik. Eksamen MAT1015 Matematikk 2P Våren 2012 Side 7 av 14

8 Oppgave 6 (8 poeng) Tabellen nedenfor viser folketallet i verden noen utvalgte år. La x være antall år etter 1900 (i 1900 er x 0, i 1901 er x 1, og så videre). a) Bruk regresjon til å vise at funksjonen f gitt ved f x 1,27 1,016 x kan brukes som modell for å beskrive hvordan folketallet i verden har endret seg i årene Vi legger dataene inn i regnearket i GeoGebra og lager liste med punkter. Bruker kommandoen for eksponentiell regresjon, RegEksp[Liste med punkt], i GeoGebra. Vi finner at funksjonen f gitt ved f x 1,27 1,016 x er en god modell for utviklingen av folketallet i denne perioden. b) Hvor mange prosent øker folketallet med per år ifølge modellen i a)? Vi ser at modellen vår gir en vekstfaktor på 1,016. Prosentfaktoren er dermed 0,016. Det betyr at folketallet øker med 1,6 % per år. c) Når var folketallet 4,6 milliarder ifølge modellen i a)? Vi setter f x 4,6 og løser likningen ved å bruke CAS-verktøyet i GeoGebra. I 1981 passerte folketallet 4,6 milliarder etter denne modellen. Eksamen MAT1015 Matematikk 2P Våren 2012 Side 8 av 14

9 d) Hvor lang tid går det ifølge modellen i a) mellom hver gang folketallet fordobles? Hvordan stemmer dette med tallene i tabellen ovenfor? Modellen har en vekstfaktor på 1,016. Ved å løse likningen år ( x ) det vil gå før folketallet fordobles. x 1,016 2 vil vi finne hvor mange Det går ca. 44 år mellom hver gang folketallet fordobles ifølge modellen. Fra tabellen ser vi at folketallet fordobles fra 1927 til 1974, dvs. 47 år. Vi ser også at folketallet fordobles fra 1961 til 1999 altså i løpet av 38 år. Disse observasjonene stemmer sånn omtrent med tabellen. FN har utarbeidet prognoser som sier at folketallet i verden skal passere 8 milliarder i 2025 og 9 milliarder i e) Vurder om modellen i a) passer med disse prognosene. Vi bruker modellen og finner hvilket folketall modellen vil gi i 2025 og i 2014, dvs. 125 år og 145 år etter år Vi finner at modellen gir et anslag på ca. 9,2 milliarder i 2025 og 12,7 milliarder i Det virker som modellen gir et for høyt anslag for folketallet i 2025 og 2045 sammenliknet med prognosen til FN. Eksamen MAT1015 Matematikk 2P Våren 2012 Side 9 av 14

10 Oppgave 7 (6 poeng) Tabellen nedenfor viser konsumprisindeksen i Norge i perioden fra 1998 til a) Marker verdiene fra tabellen som punkter i et koordinatsystem der x - aksen viser antall år etter 1998 (1998 tilsvarer x 0 ) og y - aksen viser konsumprisindeksen. Bruk regresjon til å finne en rett linje som passer med punktene i koordinatsystemet. Vi legger inn punktene i regnearket i GeoGebra og lager liste med punkter ved å velge Lag liste med punkt. Videre bruker vi kommandoen RegLin[Liste1] (lineær regresjon) i GeoGebra for å finne en rett linje som passer til punktene. Eksamen MAT1015 Matematikk 2P Våren 2012 Side 10 av 14

11 Vi finner at linja y 2,26x 100,46 passer godt med punktene. b) Hva vil konsumprisindeksen bli i 2030 ifølge modellen i a)? Vi bruker modellen vi fant i a) og finner at konsumprisindeksen i 2030, dvs. 32 år etter Modellen gir, y 2, ,46 172,78 172,8 Myndighetene har siden 2001 hatt som mål at konsumprisindeksen skal stige med 2,5 % per år. c) Hva vil konsumprisindeksen ha blitt i 2030 dersom den hadde steget med 2,5 % per år fra 2001 til 2030? Vi har at konsumprisindeksen var 108,7 i En prosentvis økning på 2,5 % per år gir en vekstfaktor på 1,025. Fra 2001 til 2030 er det 29 år. Ved en økning på 2,5 % i året vil konsumprisindeksen i 2030 bli ,7 1, ,4 Eksamen MAT1015 Matematikk 2P Våren 2012 Side 11 av 14

12 Oppgave 8 (8 poeng) Ovenfor ser du linjediagrammene som viser gjennomsnittstemperaturen per måned ved to kjente feriesteder. a) Bruk diagrammene og lag en tabell som viser gjennomsnittstemperaturen per måned for hvert av de to stedene Phuket og Antalya. Leser av grafene og legger verdiene inn i regnearket i GeoGebra. Har valgt å lese av temperaturen rett over navnet på måneden. Det ville ha vært like riktig å lese av temperaturen midt mellom navnene på månedene. Her må vi bare være konsekvente. Eksamen MAT1015 Matematikk 2P Våren 2012 Side 12 av 14

13 b) 1) Finn gjennomsnittstemperaturen per år for hvert av de to stedene. Vi bruker tabellen fra oppgave a) og lager to lister i GeoGebra. En liste med temperaturene fra Phuket og en liste med temperaturen fra Antalya. Vi finner gjennomsnittstemperaturene for de to stedene ved å bruke kommandoen Gjennomsnitt[Liste med tall] i GeoGebra. Vi finner at gjennomsnittstemperaturen i Phuket er 28,1 grader og i Antalya 18,4 grader 2) Finn standardavviket for temperaturene i a) for hvert av de to stedene. Vi finner standardavvik for de to stedene ved å bruke kommandoen Standardavvik[Liste med tall] i GeoGebra. Vi finner at standardavvik i Phuket 0,7 og i Antalya 6,5 Jon påstår at det er godt samsvar mellom diagrammene og resultatene fra b). Asbjørn er enig, men mener at diagrammene lett kan tolkes feil. c) Forklar hvorfor diagrammene lett kan tolkes feil. Hvordan kunne diagrammene vært laget for å unngå dette? Vi ser at skalaen på y -aksen er forskjellig på de to diagrammene. Temperaturen i Phuket varierer svært lite sammenliknet med temperaturen i Antalya. Ved første øyekast kan det virke som temperaturen varierer like mye på de to stedene. Vi kunne unngått dette ved å ha lik skala på y -aksen. Eksamen MAT1015 Matematikk 2P Våren 2012 Side 13 av 14

14 d) Lag ett nytt diagram som viser gjennomsnittstemperaturen på begge stedene måned for måned. Vi velger å presentere gjennomsnittstemperaturene i et stolpediagram. Legger inn tabellen fra oppgave a) i regnearket Excel og velger Sett inn og stolpediagram. Eksamen MAT1015 Matematikk 2P Våren 2012 Side 14 av 14