Eksamen S2, Høsten 2013

Transkript

1 Eksamen S, Høsten 0 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler. Oppgave (4 poeng) Deriver funksjonene x a) fx f x x x x b) 5 g x 5 x g x x x c) hx x e x x x x x e x e e 5x h x x Eksamen REA08 Matematikk S, Høsten 0 Side

2 Oppgave (5 poeng) a) Vis at polynomdivisjonen x x x 8 : x går opp, uten å gjennomføre divisjonen. Jeg sjekker om x er et nullpunkt i polynomet Det betyr at divisjonen går opp. b) Skriv så enkelt som mulig x x x 8 x x x 8 x Jeg utfører polynomdivisjonen x x x 8 : x x x x x x x x x 8 : 8 x x8 x x 8x 8 8x 8 0 Det betyr at x x x 8 x x 8x Vi får at x x x 8 x x x 8 x x x x x8 x Uttrykket kan ikke forkortes mer, fordi x ikke er nullpunkt i polynomet x x 8. Eksamen REA08 Matematikk S, Høsten 0 Side

3 c) Bestem tallene a og b slik at divisjonen nedenfor går opp x ax b: x x Polynomet x x x x. (Du kan bruke nullpunktmetoden og faktorisere hvis du ikke ser dette direkte) Det betyr at x og x må være nullpunkter i polynomet gå opp. Vi må altså ha at a b x ax b for at divisjonen skal a b 0 7 a b 0 7 a a 0 0 a b 0 b a 4a 8 a 7 a 7 b a b 7 b 6 Oppgave (4 poeng) I en aritmetisk rekke er a 6 og a5 8 a) Skriv opp de fire første leddene i rekken. For å komme fra a til a 5 må vi legge til differansen d, ganger. Det gir likningen a a d d 8 6 d 4 For å finne a, bruker jeg at a a d 6a 4 a 6 4 De fire første leddene i rekken blir da 60 4 b) Bestem en formel for a n an a n d n 4 4n4 4n c) Bestem en formel for summen Sn a a a a an 4n Sn n n n n Eksamen REA08 Matematikk S, Høsten 0 Side

4 Oppgave 4 (4 poeng) Vi har gitt funksjonen f x x x, D f a) Bestem eventuelle topp- eler bunnpunkter på grafen til f. f x x x f x x x x x f x 0 x x 0 x 0 x f f f Regningen viser at grafen stiger når x er mindre enn 0, grafen synker mellom 0 og, og grafen stiger for x -verdier større enn. Siden også den deriverte er null for x 0 og x, så betyr det at grafen har et toppunkt for x 0 og et bunnpunkt for x. Funksjonsverdien i toppunktet er Funksjonsverdien i bunnpunktet er b) Bestem eventuelle vendepunkter på grafen til f. f x x x f x x f x 0 x 0 x Dette betyr at grafen har ett vendepunkt, for x Funksjonsverdien til vendepunktet er c) Lag en skisse av grafen til f. f f 4 f Eksamen REA08 Matematikk S, Høsten 0 Side 4

5 Oppgave 5 ( poeng) Tre venner spiste lunsj på en sushi-restaurant. De valgte hver sin meny, slik kvitteringene nedenfor viser. Hvor mye hadde én bit sushi med laks, én bit med scampi og én bit med tunfisk kostet dersom de hadde blitt bestilt hver for seg? Jeg lar prisen for én bit med laks være x kroner, prisen for én bit med scampi være y kroner og prisen for én bit med tunfisk være z kroner. Vi får da følgende likningssystem som jeg løser. i) x y z 88 ii) x y z 0 iii) x y z 0 Jeg løser likning i ) med hensyn på y og setter inn i ii) og iii ) i) y88 xz ii) x 88 xz z 0 ii) x 76 4x 4z z 0 ii) x z 75 iii) x 88 x z z 0 iii) x 88 0 iii) x 5 Likning iii) ga verdien for x. Jeg setter denne verdien inn i likning ii) 5 z 75 z 0 Jeg setter verdiene for x og z inn i likning i) y Én bit med laks hadde kostet 5 kroner, én bit med scampi hadde kostet 8 kroner og én bit med tunfisk hadde kostet 0 kroner. Eksamen REA08 Matematikk S, Høsten 0 Side 5

6 Oppgave 6 (4 poeng) I et terningspill på et kasino kastes to terninger. Det koster i utgangspunktet ikke noe å delta i spillet. Dersom summen av antall øyne blir eller, får spilleren 00 kroner. Blir antall øyne til sammen 7, får hun 0 kroner. Men dersom summen blir noe annet enn, eller 7, må spilleren betale a kroner til kasinoet. La X være utbyttet til kasinoet ved en spilleomgang. P X. 6 Det er til sammen 6 mulige utfall. 6 av utfallene gir summen 7, +6, +5, +4, 4+, 5+ og 6+. a) Forklar at Det betyr at Psum antall øyne lik 7 PX 0 b) Skriv av og fyll ut tabellen nedenfor. P X x a x c) Kasinoet vil sette a slik at de i det lange løp tjener 5 kroner per spill. Bestem verdien til a. Det betyr at forventningsverdien må være 5 kroner E X x P X x 7 5 a a a 5 4 Verdien til a er 5 kroner. Eksamen REA08 Matematikk S, Høsten 0 Side 6

7 Tid: timer Hjelpemidler: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Oppgave (5 poeng) En bedrift produserer og selger x enheter av en vare per dag. Det viser seg at kostnadene inntektene Ix per dag er gitt ved K x 0,x 0x 00 Ix 400 lnx a) Bestem K 00 og I 00 færre enn 00 enheter per dag? Jeg bruker CAS i GeoGebra Kx og. Kan du ut fra disse tallene si om bedriften bør produsere flere eller K 00 0 viser at det koster 0 kroner å produsere én ekstra enhet utover 00 enheter. I 00,76 viser at inntekten er,76 kroner for én ekstra enhet utover 00 enheter. Det vil derfor lønne seg å produsere flere enn 00 enheter per dag. b) Bestem den produksjonsmengden som gir størst overskudd for bedriften. Jeg definerer overskuddsfunksjonen, og finner toppunktet til denne ved hjelp av den deriverte funksjonen. Regningen i CAS viser at overskuddet er størst når det produseres 7 enheter. Eksamen REA08 Matematikk S, Høsten 0 Side 7

8 Oppgave (4 poeng) I en gruppe elever er høyden tilnærmet normalfordelt, med forventningsverdi og standardavvik. I denne fordelingen er 0 % av elevene lavere enn 7 cm og 0 % høyere enn 8 cm. a) Bestem. Grafen til normalfordelingsfunksjonen er symmetrisk om forventningsverdien. Det må bety at må ligge midt mellom 7 cm og 8 cm siden 0 % av elevene lavere enn 7 cm og 0 % høyere enn 8 cm cm Hvor mange prosent av elevene er lavere enn 8 cm? Siden 0 % høyere enn 8 cm, må 90 % av elevene være lavere enn 8 cm. b) Bestem. Vi vet at 90 % av elevene er lavere enn 8 cm. Jeg finner den z-verdien i standardnormalfordelingen som svarer til 8 cm i vår normalfordeling. Jeg bruker sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra, setter 0 og i normalfordelingen og får standardnormalfordelingen. Vi får Pz,86 0,9. x 8 svarer altså til z,86. Vi vet at sammenhengen mellom x og z er gitt ved x z x 8 78 Det gir,9 cm x,86 Eksamen REA08 Matematikk S, Høsten 0 Side 8

9 Oppgave (6 poeng) Ifølge en modell fra Statistisk sentralbyrå vil forventet levealder til befolkningen i Norge følge funksjonen Her er 98,0, x0, x 0,06e 0,0 f x fx forventet levealder for dem som er født x år etter 0. a) Hva blir forventet levealder for dem som blir født i 00, ifølge denne modellen? Jeg definerer funksjonen i CAS i GeoGebra og regner ut Forventet levealder for dem som blir født i 00 er 8 år ifølge denne modellen. b) Bestem i hvilket år nyfødte kan forvente en levealder på 84 år. Jeg løser likningen 9 år etter 0, i år 0, kan nyfødte forvente en levealder på 84 år. c) Bruk f x Jeg regner ut til å vise at forventet levealder i Norge stadig øker, ifølge denne modellen. f x Vi vet at x e er positiv for alle verdier av x. Det betyr at både teller og nevner er positive for alle verdier av x. Da er x øke, ifølge denne modellen. f positiv for alle verdier av x, og forventet levealder i Norge vil stadig d) Hva vil forventet levealder i Norge gå mot i det lange løp, ifølge denne modellen? Når x går mot uendelig, vil 98,0 gå mot 0,0x e gå mot null. Da vil fx 0,0x 0,06e 98, Forventet levealder i Norge vil, ifølge denne modellen, gå mot 98 år. Eksamen REA08 Matematikk S, Høsten 0 Side 9

10 Oppgave 4 (4 poeng) Som vist i tabell nedenfor har salget av CD-er i Norge minket de siste årene. Tabell : a) I hvilket år kan vi regne med at CD-salget er slutt dersom vi går ut fra at utviklingen fortsetter på samme måte? Jeg legger dataene fra tabellen inn som punkter i et koordinatsystem i GeoGebra. Punktene ligger tilnærmet på en rett linje og jeg velger derfor kommandoen «reglin[liste med punkter]». Jeg får linjen y 77,x 977,9 som modell for CD-salget. Jeg finner hvor linjen skjærer x-aksen ved kommandoen «Skjæring mellom to objekt». Etter denne modellen kan vi regne med CD-salget er slutt etter år, det vil si i år 05. Eksamen REA08 Matematikk S, Høsten 0 Side 0

11 Omsetningen av nedlastet/streamet musikk har derimot økt, som vist i tabell nedenfor. Tabell : b) Bestem en eksponentiell modell fx som viser omsetningen som funksjon av antall år etter 006. Hvor stor omsetning kan musikkbransjen regne med i 0 dersom utviklingen fortsetter på denne måten? Jeg legger dataene fra Tabell inn i regnearket i GeoGebra, og lager en liste av punktene, «Liste». Jeg bruker kommandoen «RegEksp[Liste]» og får funksjonen fx 5,4,6 x. År 0 er 7 år etter år006. Jeg plotter punktet 7, f 7, og leser grafisk at: Etter denne modellen kan musikkbransjen regne med en omsetning på 55 millioner kroner i 0. Eksamen REA08 Matematikk S, Høsten 0 Side

12 Oppgave 5 (6 poeng) I starten av et år vurderer Lise å låne kroner for å investere i et aksjefond. Lånet er et annuitetslån, og hun må betale 6 74,54 kroner i slutten av hvert år i 0 år for å nedbetale hele lånet, første gang ett år etter låneopptaket. a) Vis at den årlige renten er på 0 %. Jeg finner nå-verdien av alle Lises tilbakebetalinger, når jeg forutsetter årlig rente på 0 %, slik figuren nedenfor illustrerer. 674,54 Summen av nå-verdiene danner en geometrisk rekke med a,, Jeg finner summen av rekken ved CAS i GeoGebra k og n 0., Summen av nå-verdiene av alle Lises tilbakebetalinger blir lik lånets verdi. Det viser at antakelsen om at den årlige renten var satt til 0 % var riktig. Banken hevder at dersom aksjene har en årlig verdiøkning på %, vil hun sitte igjen med en solid fortjeneste på aksjene. b) Bestem verdien av aksjene i slutten av det 0. året. Jeg finner verdien av aksjene ved CAS i GeoGebra Eksamen REA08 Matematikk S, Høsten 0 Side

13 Verdien av aksjene er kroner etter det 0. året med denne verdiøkningen. Hennes netto fortjeneste etter 0 år er differansen mellom verdien av det hun har betalt på lånet, og verdien av aksjene. Vis at hennes netto fortjeneste etter 0 år il være 5 0, 57 kroner. Verdien av det hun betaler på lånet har nåverdi på kr når hun betaler 0% rente. Ti år fram i tid er verdien aksjenes verdi og lånets verdi om ti år ,. Jeg regner da ut nettofortjenesten som differansen mellom Nettofortjenesten er 5 0,57 kroner. I stedet for å ta opp dette lånet for å kjøpe aksjer vurderer Lise heller å spare. I slutten av hvert år vil hun sette 6 74,54 kroner inn på en konto med en fast årlig rente. Det første beløpet setter hun inn om ett år. c) Hva må sparerenten være for at hun skal ha like mye penger i banken om 0 år som verdien av aksjene i oppgave b)? Verdiene av Lises sparebeløp om 0 år danner en geometrisk rekke med a 674,54, som er p det siste sparebeløpet hun nettopp har satt inn, n 0 og k hvor p er den ukjente 00 sparerenten. Vi vet at summen av rekken er lik verdien av aksjene som er kroner Jeg kan da løse følgende likning i GeoGebra Sparerenten må være,7 % Eksamen REA08 Matematikk S, Høsten 0 Side

14 Oppgave 6 (5 poeng) I en stor kommune fikk et politisk parti en oppslutning på 6,0 % ved valget for to år siden. I en fersk meningsmåling i kommunen ble 00 tilfeldig valgte personer spurt om hvilket parti de ville ha stemt på om det var valg i dag. La X være antall personer som i dag ville ha stemt på dette partiet blant 00 tilfeldig valgte personer. Vi går ut fra at X er binomisk fordelt. a) Bestem forventningsverdien og standardavviket til X dersom vi går ut fra at partiet fremdeles har en oppslutning på 6,0 %. Siden X er binomisk fordelt med p 0,06 og n 00, er forventningsverdien np 00 0,06 6 personer, og 00 0,060,94,7 personer standardavviket n p p Av00 tilfeldig valgte personer var det 0 som oppga at de nå ville stemme på dette partiet. b) Sett opp hypoteser og test om partiet har grunn til å tro at de har hatt framgang blant velgerne. Bruk et signifikansnivå på 5 %. Nullhypotesen: H : p 0,06 0 Partiet har ikke hatt framgang. Den relative store oppslutningen skyldes tilfeldigheter ved utvalget. Den alternativ hypotesen: H : p 0,06 Partiet har hatt framgang. Jeg bruker sannsynlighetskalkulatoren for å finne sannsynligheten for at partiet rent tilfeldig kan få en så stor oppslutning samtidig som nullhypotesen gjelder. Sannsynligheten er 7,75 % for at 0 eller flere personer i utvalget på 00 personer vil si at de stemmer på partiet samtidig som nullhypotesen gjelder. Det er større enn signifikansnivået. Konklusjonen er derfor at nullhypotesen fortsatt gjelder. Partiet har ikke grunn til å tro at det har hatt framgang. Eksamen REA08 Matematikk S, Høsten 0 Side 4

15 Oppgave 7 (6 poeng) Antall prikker i figurene nedenfor kaller vi for piltallene P n. Vi ser at P 6 og P 4. a) Skriv opp de fem første piltallene. Figuren viser det 5. piltallet. Opptelling gir de 5 første piltallene: 6, 4, 5, 9, 56 Maria ser at hun kan dele figurene i to slik at hun får en «pilspiss» og et «rektangel». Da er samlet antall prikker Pn Sn Fn, der S n er antall prikker i «pilspissen» og F n er antall prikker i «rektangelet». Figuren nedenfor viser denne oppdelingen for figur nummer. Eksamen REA08 Matematikk S, Høsten 0 Side 5

16 nn b) Forklar at antall prikker i «pilspissen på figur nummer n er gitt ved Sn. Antall prikker i «pilspissen» på figur nummer n danner en aritmetisk rekke med a, an n og rekken har n ledd. Summen av rekken er da n n n n n Sn n c) Bestem en formel for det n -te piltallet P n. I rektangeldelen av figurene er antall prikker i grunnlinjen lik n og i høyden er antall prikker lik n. Vi får da n n n n n n Pn Sn Fn nn n n nn n n n n n Kilder Oppgavetekst med grafiske framstillinger: Utdanningsdirektoratet Tabeller: Eksamen REA08 Matematikk S, Høsten 0 Side 6