Karakter 2: 12p Karakter 3: 19p Karakter 4: 27p Karakter 5: 35p Karakter 6: 42p

Transkript

1 MATEMATIKK (MAT1005) Potenser, Prosent, Mønster, Tid, Tabeller, Diagrammer, Sentralmål, Spredningsmål, Rette linjer, Lineære funksjoner, Funksjoner og vekst, Sannsynlighetsregning DEL 1 (UTEN HJELPEMIDLER) 2 timer DEL 2 (MED HJELPEMIDLER) 3 timer (Del 1 leveres inn etter nøyaktig 2 timer og før hjelpemidlene kan benyttes) Alt arbeid i regneark (Excel) og i graftegner (GeoGebra) skal limes inn i et tekstdokument (Word). Tekstdokumentet skal ha filnavn lik elevens navn. I tekstdokumentets topptekst skal elevens navn, klasse og dato skrives inn. Tekstdokumentet skal leveres både på ITSLEARNING og SKRIVES UT av eleven. Total poengsum: 46 poeng Karakter 2: 12p Karakter 3: 19p Karakter 4: 27p Karakter 5: 35p Karakter 6: 42p Poeng i oppgaven er bare veiledende i vurderingen. Karakteren blir fastsatt etter en samlet vurdering. Det betyr at lærer vurderer i hvilken grad du viser regneferdigheter og matematisk forståelse gjennomfører logiske resonnementer ser sammenhenger i faget, er oppfinnsom og kan ta i bruk fagkunnskap i nye situasjoner kan bruke hensiktsmessige hjelpemidler forklarer fremgangsmåter og begrunner svar skriver oversiktlig og er nøyaktig med utregninger, benevninger, tabeller og grafiske fremstillinger vurderer om svar er rimelige

2 Læreplanmål Regne med potenser og tall på standardform med positive og negative eksponenter og bruke dette i praktiske sammenhenger Regne med prosent og vekstfaktor, gjøre suksessive renteberegninger og regne praktiske oppgaver med eksponentiell vekst Gjøre målinger i praktiske forsøk og formulere matematiske modeller på grunnlag av observerte data Analysere praktiske problemstillinger knyttet til dagligliv, økonomi, statistikk og geometri, finne mønster og struktur i ulike situasjoner og beskrive sammenhenger mellom størrelser ved hjelp av matematiske modeller Planlegge, gjennomføre og vurdere statistiske undersøkelser Beregne og gjøre rede for kumulativ og relativ frekvens, presentere data i tabeller og diagrammer og drøfte ulike datafremstillinger og hvilke inntrykk de kan gi Bruke regneark i statistiske beregninger og presentasjoner Planlegge, gjennomføre og vurdere statistiske undersøkelser Beregne og drøfte sentralmål og spredningsmål Gruppere data og beregne sentralmål for et gruppert datamateriale Bruke regneark i statistiske beregninger og presentasjoner Gjøre rede for begrepet lineær vekst, vise gangen i slik vekst og bruke dette i praktiske eksempler, også digitalt Omsette mellom ulike representasjoner av funksjoner Gjøre målinger i praktiske forsøk og formulere matematiske modeller på grunnlag av observerte data Analysere praktiske problemstillinger knyttet til dagligliv, økonomi, statistikk og geometri, finne mønster og struktur i ulike situasjoner og beskrive sammenhenger mellom størrelser ved hjelp av matematiske modeller Bruke digitale verktøy i utforskning, modellbygging og presentasjon Bruke funksjoner til å modellere, drøfte og analysere praktiske sammenhenger Utforske matematiske modeller, sammenligne ulike modeller som beskriver samme praktiske situasjon, og vurdere hvilken informasjon modellene kan gi, og hvilket gyldighetsområde og hvilke begrensninger de har Bruke digitale verktøy i utforsking, modellbygging og presentasjon Bruke digitale verktøy til å undersøke kombinasjoner av polynomfunksjoner, rotfunksjoner, potensfunksjoner og eksponentialfunksjoner som beskriver praktiske situasjoner, ved å bestemme nullpunkter, ekstremalpunkter og skjæringspunkter og finne gjennomsnittlig vekstfart og tilnærmingsverdier for momentan vekstfart Bruke funksjoner til å modellere, drøfte og analysere praktiske sammenhenger Lage eksempler og simuleringer av tilfeldige hendinger og gjøre rede for begrepet sannsynlighet Beregne sannsynlighet ved å telle opp gunstige og mulige utfall, systematisere opptellinger ved hjelp av krysstabeller, venndiagram og valgtre og bruke addisjonssetningen og produktsetningen i praktiske sammenhenger

3 KJENNETEGN PÅ GRAD AV MÅLOPPNÅELSE Lav grad Karakter 2 Middels grad Karakter 3/4 Høy grad Karakter 5/6 Begreper, forståelse og ferdigheter: Eleven forstår en del grunnleggende begreper. Eleven behersker en del enkle, standardiserte framgangsmåter. Eleven forstår de fleste grunnleggende begreper og viser eksempler på forståelse av sammenhenger i faget. Eleven behersker de fleste enkle, standardiserte framgangsmåter, har middels god regneteknikk og bruk av matematisk formspråk, viser eksempler på logiske resonnementer og bruk av ulike matematiske representasjoner. Eleven forstår alle grunnleggende begreper, kombinerer begreper fra ulike områder med sikkerhet og har god forståelse av dypere sammenhenger i faget. Eleven viser sikkerhet i regneteknikk, logiske resonnementer, bruk av matematisk formspråk og bruk av ulike matematiske representasjoner. Problemløsning: Eleven viser eksempler på å kunne løse enkle problemstillinger med utgangspunkt i tekster, figurer og praktiske og enkle situasjoner. Eleven klarer iblant å planlegge enkle løsningsmetoder eller utsnitt av mer kompliserte metoder. Eleven løser de fleste enkle og en del middels kompliserte problemstillinger med utgangspunkt i tekster, figurer og praktiske situasjoner, og viser eksempler på bruk av fagkunnskap i nye situasjoner. Eleven klarer delvis å planlegge løsningsmetoder i flere steg og å gjøre fornuftige antakelser. Eleven utforsker problemstillinger, stiller opp matematiske modeller og løser oppgaver med utgangspunkt i tekster, figurer og nye og komplekse situasjoner. Eleven viser sikkerhet i planlegging av løsningsmetoder i flere steg og formulering av antakelser knyttet til løsningen, viser kreativitet og originalitet. Eleven kan avgjøre om svar er rimelige i en del enkle situasjoner. Eleven viser eksempler på bruk av hjelpemidler knyttet til enkle problemstillinger. Eleven kan ofte vurdere om svar er rimelige. Eleven bruker hjelpemidler på en hensiktsmessig måte i en del ulike sammenhenger. Eleven viser sikkerhet i vurdering av svar, kan reflektere over om metoder er hensiktsmessige. Eleven viser sikkerhet i vurdering av hjelpemidlenes muligheter og begrensninger, og i valg mellom hjelpemidler. Eleven kan bruke hjelpemidler til å se en del enkle mønstre. Eleven klarer delvis å bruke digitale verktøy til å finne matematiske sammenhenger. Eleven kan bruke digitale verktøy til å finne matematiske sammenhenger, og kan sette opp hypoteser ut fra dette. Kommunikasjon: Eleven presenterer løsninger på en enkel måte, for det meste med uformelle uttrykksformer. Eleven presenterer løsninger på en forholdsvis sammenhengende måte med forklarende tekst i et delvis matematisk formspråk. Eleven presenterer løsninger på en oversiktlig, systematisk og overbevisende måte med forklarende tekst i matematisk formspråk. Karakteren 1 uttrykker svært lav kompetanse i faget.

4 DEL 1 (UTEN HJELPEMIDLER) 2 timer Oppgave 1 (2) poeng Regn ut og skriv som et helt tall eller brøk a) b) 0,006 0,00003 c) d) ( ) 2 ( 1 ) 2 a) = 4 2+( 1) = 4 1 = 4 b) 0,006 0,00003 = = 2 10( 3) ( 5) = = = 200 c) = d) ( 1 2 ) 2 ( 1 2 ) = ( 2) ( 1) = = 0,4 = 4 10 = 2 5 ( 1 2 )2 ( 1 2 ) = ( 1 2 ) = 4 (1 2 ) = 2 Oppgave 2 (2) poeng Finn vekstfaktoren når den prosentvise - a) nedgangen er 12% b) nedgangen er 2,3% c) oppgangen er 25% d) oppgangen er 140% a) Vekstfaktoren = 1 + Prosentfaktoren = 1 + ( 0,12) = 1 0,12 = 0, 88 b) Vekstfaktoren = 1 + Prosentfaktoren = 1 + ( 0,023) = 1 0,023 = 0, 977 c) Vekstfaktoren = 1 + Prosentfaktoren = 1 + (+0,25) = 1 + 0,25 = 1, 25 d) Vekstfaktoren = 1 + Prosentfaktoren = 1 + (+1,40) = 1 + 1,40 = 2, 40 Oppgave 3 (1) poeng I en skoeske ligger det 270 røde kuler og 230 blå kuler. Hvor mange prosent av kulene er blå? kuler = 500 kuler 500 kuler er alle kulene, eller 100%. Prosentfaktoren = 46% av kulene er blå. 230 blå kuler 500 kuler = 0, blå kuler tilsvarer 46% av alle kulene.

5 Oppgave 4 (2) poeng Skriv på standardform a) b) 0,02 c) d) 0, Standardform er på formen: ±a 10 n ( 1 a < 10 ) a) = 1, c) = 2, b) 0,02 = d) 0, = Oppgave 5 (1+1) poeng I en klasse på 30 elever er det 10 som leker med dukker (D). 12 leker med biler (B) hvorav 4 leker både med dukker og biler. a) På det vedlagte arket. a) Fyll inn tallverdiene fra oppgaven i Venndiagrammet, Krysstabellen og Valgtreet. Se løsningen her b) I sannsynlighetsregning, hva betyr disse symbolene :,, P og. b) b) b) P b) Symbolet leses som UNION «den eller den», er ikke i samme utfall. Symbolet leses som SNITT «den og den», er i samme utfall. Symbolet leses som SANNSYNLIGHETEN, hvor ofte noe forkommer. Symbolet leses som IKKE «Det omvendte»

6 Oppgave 6 ( poeng) Geirulf bygger figurer ved hjelp av firkantklosser. F 1 F 2 F 3 Figur nummer en (F 1 ) består av (1 3) firkantklosser. Figur nummer to (F 2 ) består av (4 3) firkantklosser. Figur nummer tre (F 3 ) består av (9 3) firkantklosser og så videre... a) Tegn av og fyll inn tabellen: Figur nummer Firkantklosser per kvadrat Antall kvadrater Antall firkantklosser totalt F F F F F b) Finn en formel for antall firkantklosser totalt i figur nummer n. F n = 3 n 2 c) Finn antall firkantklosser i figur nummer 30 (F n = 30). F n = 3 n 2 F 30 = = = 2700 d) Geirulf har 300 firkantklosser. Hvilket figurnummer har den største figuren han kan lage? F n = 3 n = 3 n = n2 100 = n 2 n = 100 n = 10

7 Oppgave 7 (1+1+1) poeng I en kasse i Bingsfosshallen ligger det fire grønne og fire oransje basketballer. Tenk deg at du skal ta tre basketballer tilfeldig fra kassa. Du tar én basketball om gangen og du skal legge dem i en rekke fra venstre mot høyre. a) Bestem sannsynligheten for at rekka vil bli som vist på bildet nedenfor. P(Grønn Orange Orange) = P(G O O) = ( ) = = = = 6 42 = 3 21 = 1 7 b) Bestem sannsynligheten for at det vil bli en grønn og to oransje baller i rekka. P(En Grønn og to Oransje) = P(G O O) (O G O) (O O G) = ( ) (4 4 3 ) (4 3 4 ) = = = c) Bestem sannsynligheten for at det vil bli minst en grønn basketball i rekka. P(G O O) (O G O) (O O G) (G G O) (G O G) (O G G) (G G G) = ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) = = = eller P(Minst en Grønn) = (1 P(Bare Oransje)) = 1 (O O O) = 1 ( ) = 1 24 = 1 1 =

8 Oppgave 8 (1+1+2) poeng I en kantine kan du kjøpe en kopp med te for 25 kroner. Når du har drukket opp teen kan du fylle opp koppen igjen så mange ganger du vil, men hver gang du da fyller opp koppen koster det 5 kroner. I den samme kantina får du også kjøpt te i et pappbeger. Et pappbeger med te koster 8 kroner. Pappbegeret kan bare brukes én gang. Både koppen og pappbegeret rommer 2,5 dl med te. a) Bestem en lineær funksjon f som viser hvor mye du må betale for x pappbeger med te. f(x) = 8x (8 kroner per pappbeger, x antall ganger) b) Bestem en lineær funksjon g som viser hvor mye du må betale for x kopper med te. g(x) = x (25 kroner første gang + 5 kroner per påfyll, x antall ganger) c) Tegn av grafen, bruk det vedlagte rutearket. c) Tegn så grafene til f og g i samme koordinatsystem. c) Bestem grafisk hvor mange te du må drikke for at det skal lønne seg å kjøpe koppen. pris kr f g 70 Te i kopp Te i pappbeger Antall te x Grafisk ser vi at vi må kjøpe 9 kopper med te for at det skal lønne seg å bruke kopp istedenfor å kjøpe te i pappbeger.

9 DEL 2 (MED HJELPEMIDLER) 3 timer Oppgave 9 (2) poeng De to lineære funksjonene f og g krysser hverandre i punktet (x, y). Funksjonen f er gitt ved f(x) = x + 2 og funksjonen g er gitt ved g(x) = x + 4. Finn krysningspunktet (x, y). Setter de to funksjonene lik hverandre ved regning. f(x) = g(x) x + 2 = x + 4 x ( x) = 4 2 2x = 2 x = 1 Finner y ved å sette x = 1 inn i f(x) = x + 2 f(1) = y = 3 (x, y) = (1, 3)... eller Bruker GeoGebra: I inntastningsfeltet: og. Lager så punktet A ved hjelp av. Leser av krysningspunktet (x, y) = (1, 3).

10 Oppgave 10 (1+1+1 poeng) På en skole med 250 elever er det bare tillat å bruke tre farger på klærne. Noen bruker bare en farge på klærne, noen to farger og noen bruker alle de tre tillatte fargene. Tabellen nedenfor viser hvor mange elever som bruker hver av de tre fargene. Tillatt farge på klær Antall elever Gul 200 Brun 90 Grønn 40 a) Tegn venndiagrammet som vist nedenfor. Utfør beregningene og sett inn tallene som mangler. Gul Brun Gul Brun Grønn 5 Grønn Vi skal velge én tilfeldig elev fra skolen. b) Bestem sannsynligheten for at vi kommer til å velge en elev som bruker alle tre fargene på klærne. P(Alle tre farger på klærne) = P(Gul Brun Grønn) = = 1 25 Tenk deg at vi velger en elev som har brune klær. c) Bestem sannsynligheten for at denne eleven også bruker gule klær. Eleven vi velger har Brune klær. Eleven skal også bruke Gule klær. Lager en ny tegning: Gul Brun Når vi fjerner Grønne klær er det lettere å se at innenfor den brune sirkelen er det 90 og innenfor fellesområdet for Gul og Brun er det = 45. Vi skal finne sannsynligheten for at eleven bruker Gule klær når eleven har Brune klær. P(Gule Brune ) = P(Brune Gule) P(Brune) = = = 1 2

11 Oppgave 11 (2 poeng) Noen elever på en videregående skole vil kjøpe en stor buss for å feste i når russetiden kommer. Elevene blir enige om å betale like mye hver. Grafen viser sammenhengen mellom antallet elever som går sammen for å kjøpe bussen og det beløpet hver av eleven må betale. Hvor mye må hver elev betale dersom 25 av elevene går sammen om å kjøpe bussen? Ser på grafen og finner punkter der funksjonen sammenfaller med hele verdier på både x og y-aksen: Disse er: 2 elever betaler kr hver, 3 elever betaler kr hver, 4 elever betaler hver, 6 elever betaler kr hver, 8 elever betaler kr hver og 12 elever betaler kroner hver kr 12 = kr kr 14 = kr kr 18 = kr kr 13 = kr kr 16 = kr kr 12 = kr Det betyr at bussen koster kr i følge funksjonen. Elever og beløp per elev er omvendt proporsjonale størrelser. Funksjonen er en potensfunksjon f(x) = x 1 = x = x ( x er antall elever ) Når 25 elever skal betale like mye hver: = 4800 kroner per elev

12 Oppgave 12 ( poeng) Vi skal se på banen til ei kule. Kulebane til ei kule som veier 32,4 gram og har en utgangshastighet 792 m/sek Avstand (m) Høyde (cm) 3,81 4,55 8,43 7,19 0,00 14,02 35,97 67,08 108,92 a) Finn den 2. gradspolynomfunksjonen som passer best til dataene. a) Bruke fire siffer etter komma. I GeoGebra : Skriv inn verdiene i Regneark. Merk verdiene og velg : Funksjonen er : f(x) = 0, 0014x 2 + 0, 3157x 6, 5092 b) Etter hvor mange meter har kula en høyde på 40 centimeter i følge 2. gradsfunksjonen? I GeoGebra: Lager så et punkt A med og leser av : Det betyr at kula har en høyde på 40 cm etter 302,4 meter. c) Når er kulas høyde 0,00 cm i følge 2. gradsfunksjonen? I GeoGebra: Lager så to punkter B og C med og leser av : og Det betyr at kula har en høyde på 0 cm både etter 23 meter og 200,9 meter. d) Hvilken høyde har i følge 2. gradsfunksjonen kula etter 80 meter? I GeoGebra: Lager så et punkt D med og leser av: Det betyr at kula har en høyde på 9,7 cm etter 80 meter.

13 e) Kulas hastighet er 792 m/sek. Hvor mange km/t tilsvarer det? Gjør om m/sek til km/t. Det er 1000 meter i én kilometer og 3600 sekunder i én time. 1000/3600 = 0,2777 Det betyr at 1 m/sek = 0,2777 km/t 792 = 2851, 2 km 0,2777 t f) Hvor lang tid tar det før kula har beveget seg 200 meter når hastigheten er den samme som f) utgangshastigheten? 792 m/sek betyr at det tar ett sekund før kula har beveget seg 792 meter. Vi setter opp et forhold: 1 sek X sek = 792 m 200 m X sek = 1 sek 200 m 792 m 0, 25 sek

14 Oppgave 13 (1+1+1 poeng) Tora og Geir bestemmer seg for å lage en oppgave til eleven i 3KMA og 3PBA. De bestemmer seg for å telle antall kjøretøy (K) på motorveien inn til Oslo. Etter å ha innhentet data fra klokka 06:00 til klokka 09:00 kommer de frem til denne funksjonen : K(x) = 0,00011x 3 0,0326x 2 + 2,44x + 30, 0 x 180 x er her antall minutter etter klokka 06:00. a) Bruk en graftegner (GeoGebra) til å tegne grafen til K. I GeoGebra: så b) Bestem tidspunktet når flest kjøretøy kjører på motorveien. I GeoGebra: vi får da to punkter, men det er bare A som er et toppunkt. Leser av verdien: som betyr at 50 minutter etter kl 06:00 passerer det 84 kjøretøy/min. Det kjører flest kjøretøy på motorveien klokka 06:50. c) I hvilket tidsrom er det mer enn 70 kjøretøy som kjører inn til Oslo per minutt? I GeoGebra: Så lager vi de to punktene C og D med. Leser av verdiene: og som betyr at det mellom 22 og 84 minutter etter klokka 06:00 passerer flere enn 70 kjøretøy per minutt. Mellom 06:22 og 07:24 passerer det flere enn 70 kjøretøy per minutt.

15 Oppgave 14 ( poeng) Her er den omtrentlige karakterfordelingen i matematikkfaget for 1000 studenter ved ett universitet i Norge i Karakterene a f er erstattet med 6 1 slik at vi kan regne på tallmaterialet. Karakter Frekvens Kilde: uib.no a) Hva er typetallet? Typetallet er det tallet som forekommer flest ganger. Vi ser at frekvensen for karakter 4 er 272. (Det er flest forekomster av karakteren 4) Typetallet er 4. b) Finn gjennomsnittet. Karakter x Frekvens f f x N = 1000 S = 3128 Gjennomsnittskarakter = Summen av karakterer Antall studenter = S N = 3128 = 3,128 3,

16 c) Finn variansen. Vi fant gjennomsnittet (g) til å være 3,128 i oppgave b). Karakter x Frekvens f f Kvadratisk avvik f (x g) (6 3,128) 2 = 099 ( 2,872) , (5 3,128) 2 = 093 ( 1,872) , (4 3,128) 2 = 272 ( 0,872) , (3 3,128) 2 = 166 ( 0,128) , (2 3,128) 2 = 113 ( 1,128) , (1 3,128) 2 = 257 ( 2,128) ,79 N = 1000 A 2659,61 Vi finner da at summen av de kvadratiske avvikene (A) er 2659 Variansen = A = , 66 A er summen av de kvadratiske avvikene N 1000 N er antall observasjoner d) Finn standardavviket. standardavviket = variansen = A N = , 63 e) Framstill datamaterialet i et diagram som du selv velger. Sektordiagram i Excel: Skriver inn dataene i regnearket. Legg merke til at vi begynner med karakter 1 øverst og at vi benytter begge kolonnene med data. Merk dataene og velg et diagram:

17 Stolpediagram i Excel: Skriver inn dataene i regnearket. Legg merke til at vi begynner med karakter 1 øverst og at vi bare benytter den ene kolonnene med data. Merk dataene og velg et diagram: Linjediagram i GeoGebra:

18