Løsninger til innlæringsoppgavene

Transkript

1 Tall i arbeid Påbygging Kapittel 4 Modellering Løsninger til innlæringsoppgavene 4.1 a Modellen gir følgende verdier for årene i oppgaven: År Folketall (millioner) 3,5 4, 4,8 b Setter vi inn for Løsninger til innlæringsoppgavene = = 60, får vi y = 0, ,6 = 4,9. c Vi kan sette y = 5 og løse likningen for : 5 = 0,0 + 3,6 5 3,6 = = 63,6 0,0 Folketallet vil altså passere 5 millioner i løpet av a Målepunkter med utjevnet linje: b Likningen for linja er y = a+ b. Δy 705 Vi har at a =, og vi leser av figuren at a = = 35. Δ 3 Videre er b= y(0), som vi leser av til 170. Stigningstallet angir netto økning i antallet abonnementer per år. c Starten av 008 gir = 5. Setter vi inn, får vi y = = 1345, altså i overkant av 1,3 millioner bredbåndsabonnementer. d Antallet bredbåndsabonnementer må til slutt flate ut. Det gjør ikke en lineær modell, så den gir ikke noe riktig bilde av forløpet over lang tid. Aschehoug Undervisning Side 1 av 6

2 4.3 a Målepunkter med utjevnet linje: b Vi får følgende verdier for kvadratavstandene: n = 1 n = n = 3 n = 4 n = 5 Δ 0,1 0,46 0,0 0,64 0,0 y n Summerer vi verdiene, får vi 1,53. c Likningen for linja er y = a + b. Δy 3,8 Vi har at a =, og vi leser av figuren at a = = 0,76. Δ 5 Videre er b= y(0), som vi leser av til 4,8. Uttrykket blir derfor y = 0,76+ 4, a Følger vi framgangsmåten i læreboka, får vi modellen y = 1,05+ 7,81. b Setter vi inn for = 13, gir modellen y = 1, ,81 = 1, 4. Altså 1,5 C. c Av erfaring vet vi at temperaturen ikke øker jevnt utover kvelden. Det gjør derimot modellen. Den er derfor ingen god beskrivelse av temperaturforløpet for større tidsrom. 4.5 a Setter vi inn for = 0, får vi y = 5, , 7 = 76, 7. Tilsvarende for = 0 : y = 5, , 7 = 187,1. Hvis vi ser på Sunnivas høyde på niårsdagen, er det nok ikke rimelig å tro at hun vil være over 180 cm høy når hun fyller 0. En nyfødt på nesten 80 cm er også noe oppsiktsvekkende. Modellen er best i området der vi har data, og blir mindre og mindre sikker jo mer vi fjerner oss fra dette området. Aschehoug Undervisning Side av 6

3 4.6 a Plott av karakterer i fysikk mot karakterer i matematikk: Løsninger til innlæringsoppgavene Korrelasjonskoeffisienten er r = 0,85, så det er en positiv korrelasjon mellom prestasjoner i matematikk og fysikk. I det minste ut fra våre seks målinger. b Plott av karakterer i kroppsøving mot karakterer i matematikk: Her er korrelasjonskoeffisienten svært liten, r = 0,017. Vi kan altså ikke vente noen sammenheng mellom karakterer i kroppsøving og matematikk. Aschehoug Undervisning Side 3 av 6

4 4.7 a Plott av punktene fra tabellen og forslag til kurve: Ved bruk av regresjon på digitalt verktøy kan vi finne at funksjonen y = + passer bra med de oppgitte tallene. (For øvrig: Ser vi på tallene i tabellen, kan vi legge merke til at y-verdiene tilsvarer tallene fra 0 til 3 kvadrert og lagt til. Prøver vi med funksjonen y = +, ser vi at den stemmer med punktene fra tabellen.) b Plott av punktene fra tabellen og forslag til kurve: Ved bruk av regresjon på digitalt verktøy kan vi finne at funksjonen y = 144 passer 144 bra med de oppgitte tallene. y = 144 kan skrives som y =. (For øvrig: Her kan vi gjøre mye det samme som i forrige deloppgave. Verdiene for y er denne gangen rene kvadrattall (dvs. kvadratene av 1, 6, 4, 3 og ), så vi venter at 144 funksjonen skal inneholde på noe vis. Det viser seg at y = gjengir tallene i tabellen.) Aschehoug Undervisning Side 4 av 6

5 c Plott av punktene fra tabellen og forslag til kurve: Ved bruk av regresjon på digitalt verktøy kan vi finne at funksjonen bra med de oppgitte tallene. y = 8 1,5 passer (Uten regresjon: I dette tilfellet er det vanskeligere å lese noen funksjonsavhengighet direkte av tabellen. Vi kan gjette på en eksponentiell funksjon y = ab og se på de første to punktene fra tabellen. Vi får de to uttrykkene 1 = ab og 18 = ab. Deler vi det 18 siste uttrykket på det første, får vi at b = 1 = 1, 5. Setter vi inn for b i det første 1 uttrykket, får vi a = 1,5 = 8. Uttrykket y = 8 1,5 stemmer for resten av punktene i tabellen også.) 4.8 Vi skal finne et funksjonsuttrykk y = ab som passer med punktene (0,10,) og (0, 5). I det første punktet er lik null. Da har vi at a = 10,. Vi kan sette inn verdiene fra det 0 5 andre punktet: 5 10, b b = 10, = 0,965. Dette tilsvarer en årlig prosentvis nedgang på 100 % 96,5 % = 3,5 %. (For framgangsmåte med digitalt verktøy, se eksempel på side 77 i læreboka.) =. Løser vi dette for b, får vi ( ) 0, a Prøv deg fram med forskjellige modeller til du finner en som passer. Tenk litt over hva slags funksjonsavhengighet det kan være mellom masse og lengde på alligatorer. 7 3,5 Vårt regresjonsverktøy gir modellen y =,48 10, der y representerer massen i kilogram og representerer lengden i cm. 7 3,5 b Setter vi = 400 i funksjonsuttrykket, får vi y =, = 358, altså nesten 360 kg. 7 3,5 c Hvis vi setter inn for y = 400 i uttrykket, får vi 400 =, Denne likningen løser vi lettest grafisk med digitalt verktøy. Svaret blir 41, altså ca. 4,1 m ,5 7 Likningen kan også løses ved regning: = 10 = 41 48, 1 Aschehoug Undervisning Side 5 av 6

6 4.10 a Total avfallsmengde per innbygger: Høyest korrelasjonskoeffisient oppnår vi med en eksponentiell regresjon. For utsortert avfallsmengde er det en lineær regresjon som passer best. De to funksjonsuttrykkene blir T = 37 0,04 og U = 14,6+ 1,01. b År 030 tilsvarer = 38 i modellen vår. Vi kaller mengden avfall som ikke blir utsortert for R og sier at den er gitt ved R() t = T() t U() t, der t er antall år etter 199. Da kan vi 38 sette inn for vår : R(38) = 37 1, ,6 1, 0 = 54. Modellen sier altså at i 030 vil 54 kg avfall per innbygger være usortert a Følgende løsning tar utgangspunkt i regnearket Ecel. Framgangsmåten er den samme som i kapittel 4.6 i læreboka. Årlige utgifter etter Utgifter (1000 kr) y =,5-3,95 +, R = 0,9993 Utgifter Regresjonslinje (annengradspolynom) Antall år etter 000 Aschehoug Undervisning Side 6 av 6