GeoGebra for Sinus 2T

Transkript

1 GeoGebra for Sinus 2T Innhold Vektorer med GeoGebra Skalarproduktet med GeoGebra Parameterframstilling med GeoGebra Ordnede utvalg eksempelet på side 89 med GeoGebra Uordnede utvalg eksempelet på side 93 med GeoGebra Binomiske modeller eksempelet på side 100 med GeoGebra Hypergeometriske modeller med GeoGebra Lineær regresjon eksempelet på side med GeoGebra Polynomregresjon eksempelet på side med GeoGebra Eksponentialregresjon eksempelet på side med GeoGebra Potensregresjon eksempelet på side med GeoGebra

2 1.6 Vektorer på koordinatform Vi kan tegne vektorer ved hjelp av GeoGebra. Når vi skal tegne vektoren 1, 3 kan vi skrive dette i GeoGebra: a, Da får vi dette resultatet: Vi ser at vektoren blir tegnet med utgangspunkt i origo. I algebrafeltet ser vi at vektoren blir skrevet på en annen måte enn den vi ellers bruker. Navnet er en liten bokstav uten pil over, og koordinatene er skrevet som ei søyle med vanlig parentes rundt. På figuren ovenfor har vi skrevet a ved siden av vektoren. Det har vi fått til ved å legge inn en tekst der vi skriver dette: Det er viktig at du merker av for LaTeX-formel. Teksten blir da oversatt til et matematisk symbol. Oppgave 1.61 a) Tegn uten hjelpemidler vektorene a = [2, 3], b = [ 1, 2], c = [ 3, 2], d = [ 2, 1] og e = [3, 2] med utgangspunkt i origo. b) Finn koordinatene til endepunktene for vektorene. c) Tegn vektorene i oppgave a ved hjelp av GeoGebra.

3

4 1.7 Regning med vektorkoordinater EKSEMPEL La u = [3, 2] og v = [ 1, 3]. a) Finn u + v ved å tegne vektorene. b) Finn u + v ved regning. c) Finn u + v digitalt. Løsning: a) Vi tegner u med utgangspunkt i origo og deretter v fra endepunktet for u. Vektoren u + v går nå fra utgangspunktet for u til endepunktet for v. Av figuren ser vi at u + v = [2, 1] b) Ved å bruke formelen for vektorsummen får vi u + v = [3, 2] + [ 1, 3] = [3 + ( 1), 2 + ( 3)] = [2, 1] c) I GeoGebra skriver vi først inn begge vektorene slik: Vektorene får da automatisk navnene u og v. Vi skriver nå Det gir dette resultatet:

5 Alle vektorene er tegnet med utgangspunkt i origo. Hvis vi vil ha tegnet v med utgangspunkt i endepunktet til u, som er (3, 2), må vi finne ut hvor endepunktet til v må bli. Når v skal ha utgangspunkt i (3, 2) og gå 1 bakover og 3 nedover, må den ha endepunkt i (2, 1). Når vi skal legge inn vektor v, kan vi i stedet skrive dette: Det gir dette resultatet: I algebrafeltet finner vi nå disse vektorene: Vi ser at v har de riktige koordinatene, og at summen ( w ) er u + v = [2, 1]

6 Oppgave 1.70 Finn u + v ved regning, ved tegning og digitalt. a) u = [ 1, 2] v = [2, 3] b) u = [3, 2] v = [1, 2] c) u = [1, 1] v = [ 2, 3] Oppgave 1.72 Finn u v ved regning, ved tegning og digitalt. a) u = [2, 2] v = [4, 3] b) u = [3, 2] v = [1, 2] c) u = [2, 2] v = [ 2, 3] 1.8 Vektoren mellom to punkter Vi kan også finne vektoren mellom to punkter i GeoGebra. Da legger vi først inn punktene A og B fra eksempelet ovenfor. Deretter skriver vi Det gir dette resultatet i algebrafeltet: Vi ser at AB [4, 2]. 1.9 Lengde og avstand Vi kan finne lengden av vektoren v i eksempelet på side 40 i GeoGebra på denne måten: Først legger vi inn vektoren ved å skrive Deretter skriver vi Da får vi dette svaret i algebrafeltet:

7 Vektoren v har lengden 5. Løsninger Oppgave 1.61 c) Oppgave 1.70 a) 1, 2 2,3 1 2, 2 3 1,5 u v

8 b) 3, 2 1, 2 3 1, 2 2 4, 0 u v c) d) 1,1 2, 3 1 2,1 3 1, 2 u v 2,3 2, 3 2 2,3 3 0, 0 u v Oppgave 1.72

9 a) 2, 2 4,3 2 4, 2 3 2, 1 u v b) 3, 2 1, 2 3 1, 2 2 2, 4 u v c) 2,2 2, 3 2 2,2 3 4,5 u v

10 2.3 Bruk av skalarproduktet EKSEMPEL I ABC har hjørnene koordinatene A( 1, 3), B(2, 3) og C(5, 1). Finn koordinatene til et punkt D på linja gjennom AB som er slik at CD står vinkelrett på AB. Løs oppgaven både uten og med hjelpemidler. Løsning: Uten hjelpemidler: Side 54 og 55 i læreboka Med hjelpemidler: I GeoGebra legger vi inn hjørnene i trekanten ved å skrive ( 1, 3), (2, 3) og (5, 1) i skrivefeltet. Deretter trekker vi opp linjestykkene mellom hjørnene. Nå bruker vi verktøyet Normal linje ved å trykke på. Vi klikker på punktet C og på linjestykket AB og får fram denne figuren: Nå finner vi skjæringspunktet D mellom normalen og linje stykket AB ved å bruke verktøyet Skjæring mellom to objekt. Så trekker vi linjestykket CD og skjuler normalen ved å høyreklikke på den og trykke på Vis objekt. Til slutt får vi skrevet koordinatene til punktet D i stedet for navnet ved å høyreklikke på punktet, velge Egenskaper og sette Vis navn til Verdi i fanen Basis. Vi kan også bruke

11 vinkelverktøyet linjestykket AB. og få fram et vinkelsymbol på vinkelen mellom normalen og Skjæringspunktet har koordinatene (1, 1). EKSEMPEL Finn vinkelen mellom vektorene u = [2, 1] og v = [1, 4] både ved hjelp av skalarproduktet og ved hjelp av GeoGebra. Løsning: Uten hjelpemidler: Side 55 og 56 i læreboka Med hjelpemidler: I GeoGebra skriver vi inn vektor u slik: Den får da automatisk navnet u. Vi legger så inn v på tilsvarende måte. Vi skriver nå For å få den riktige vinkelen må vi legge inn vektorene i rekkefølge mot urviseren. Vi finner nå vinkelen i algebrafeltet. Vi finner den også i grafikkfeltet om vi setter

12 Vis navn til Verdi. x 49,4 Vi kunne også ha funnet vinkelen mellom vektorene ved hjelp av vinkelverktøyet.

13 2.6 Parameterframstillinger for rette linjer Nå skal vi lære å finne skjæringspunktet mellom to rette linjer der vi kjenner parameterframstillingene. I skjæringspunktet må begge linjene ha samme x- og y- koordinater. Men parameterverdien trenger ikke være den samme i skjæringspunktet. Dermed kan vi ikke bruke samme navn på parameteren i begge parameterframstillingene når vi skal finne skjæringspunktet ved regning. Når vi skal finne skjæringspunktet mellom to parameterframstillinger ved regning, må vi skifte navn på parameteren i den ene framstillingen. EKSEMPEL Linjene l og m har disse parameterframstillingene: x 1 t l : y 1 2t x 1 3t m : y 3 2 t Finn koordinatene til skjæringspunktet S mellom de to linjene a) grafisk b) ved regning c) digitalt Løsning: a) Vi tegner de to linjene i et koordinatsystem. Skjæringspunktet har koordinatene (2,5, 2). b) Når vi skal finne skjæringspunktet ved regning, kan vi ikke ha det samme navnet på parameteren for begge linjene. Vi bruker symbolet s om parameteren til linja m. Det gir disse parameterframstillingene: x 1 t l : y 1 2t x 1 3s m : y 3 2 s I skjæringspunktet har begge linjene samme x-verdi og samme y-verdi. Det gir dette likningssettet:

14 1 t 1 3s 1 2t 3 2s Den første likningen gir t = 3s Vi setter det inn i den andre likningen: 1 2 3s 3 3s 6s 2s 3 1 8s s 8 2 Vi bruker nå parameterframstillingen til m for å finne koordinatene til S. 1 5 x 1 3s y 3 2s c) I GeoGebra skriver vi dette når vi skal tegne linja l: 5 Skjæringspunktet har koordinatene S (, 2). 2 Vi skriver altså først uttrykkene for x og y. Deretter må vi skrive navnet på parameteren, som her er t. Til slutt står den minste og den største verdien for t. Noen ganger må vi prøve oss fram med forskjellige minste og største verdier for t for å få grafen til å fylle koordinatsystemet. I algebrafeltet har GeoGebra denne parameterframstillingen: Vi legger inn linja m på tilsvarende måte: Nå har vi fått fram linjene. Skjæringspunktet finner vi nå ved å bruke verktøyet Skjæring mellom to objekt.

15 Skjæringspunktet har koordinatene (2,5, 2). Oppgave 2.51 Linjene l og m er gitt ved x 1 2t l : y 2 t og x 2 t m : y 1 2 t Finn skjæringspunktet mellom linjene grafisk, ved regning og digitalt. Løsning Oppgave 2.51 t 0 2 x 1 2t 1 5 y 2 t 2 0 x 2 t 2 4 y 1 2t 1 5 Skjæringspunkt 2,2, 1,4

16 x 1 2t x 2 s I 1 2t 2 s l : og m : I s 2t 1 y 2 t y 1 2s II 2 t 1 2s 3 I inn i II : 2 t 1 2 2t 1 2 t 1 4t 2 5t 3 t x Skjæringspunkt, y 2 5 5

17 Ordnede utvalg eksempel side 89 med GeoGebra Sju elever skal bruke et grupperom med ti pulter. Hvor mange måter kan elevene plassere seg på? Løsning: Dette blir et ordnet utvalg uten tilbakelegging. I GeoGebra gjør vi det slik: I algebrafeltet får vi da svaret slik:

18 Uordnede utvalg eksempel side 93 med GeoGebra EKSEMPEL I en kortstokk er det 52 kort. I bridge skal hver spiller ha 13 kort, som kalles en hånd. Hvor mange forskjellige hender er det i bridge? Løsning: Når kortene deles ut, har det ikke noe å si hvilken rekkefølge spilleren får kortene i. En hånd er derfor et uordnet utvalg. Hvert kort kan bare deles ut én gang. Det er 52 derfor uten tilbakelegging. Det fins i alt slike utvalg. Denne binomialkoeffisienten egner seg ikke for håndregning. Vi må finne den digitalt. I 13 GeoGebra gjør vi slik: Svaret er 52 = = Det fins i alt 635 milliarder forskjellige hender i bridge.

19 Binomiske modeller eksempelet på side med GeoGebra Sannsynligheter i binomiske modeller kan vi finne digitalt. Vi viser framgangsmåten i GeoGebra gjennom et eksempel. Eksempel Vi regner med at sannsynligheten for at en ungdom skal få kyssesyke, er 0,15. Vi plukker 30 tilfeldig valgte ungdommer og lar X være hvor mange av disse som får kyssesyke. a) Finn P(X = 5). b) Finn P(X 6). c) Finn P(X > 3). d) Finn P(3 < X < 9). Løsning: a) Vi åpner GeoGebra og velger sannsynlighetskalkulatoren i rullegardinmenyen under symbolet. Der velger vi Binomisk fordeling i rullegardinmenyen og stiller inn skjermbildet slik: I tabellen til høyre ser vi svaret: P(X = 5) = 0,186 b) For å finne P(X 6) trykker vi først på og stiller inn skjermbildet slik: P(X 6) = 0,847

20 c) Ettersom X er et helt tall, er X > 3 X 4 Dermed er P(X > 3) = P(X 4) Vi trykker nå på symbolet og velger denne innstillingen: d) Ettersom P(X > 3) = 0,678 P(3 < X < 9) = P(4 X 8) trykker vi på symbolet og fyller ut skjermbildet slik: P(3 < X < 9) = 0,651

21 Hypergeometriske modeller med GeoGebra Vi kan bruke digitale hjelpemidler til å finne sannsynligheter i hypergeometriske modeller. Her viser vi hvordan vi bruker GeoGebra. EKSEMPEL I en klasse er det 30 elever. En dag hadde klassen oppgave 7.52 i lekse. 18 av elevene hadde gjort denne leksa. Læreren kontrollerte leksa for 10 tilfeldig valgte elever. La X være antallet elever blant de 10 som hadde gjort leksa. a) Finn PX ( 6). b) Finn P(4 X 7). c) Finn PX ( 6). d) Finn PX ( 4). Løsning: a) Vi åpner GeoGebra og velger sannsynlighetskalkulatoren. Vi finner dette valget under menyen. Der velger vi først Hypergeometrisk fordeling. Populasjonen er alle de vi trekker blant. Det er 30. Tallet n er antallet av den typen vi teller opp. Her vil det si hvor mange som har gjort leksa, og da er n = 18. Utvalget er antallet vi trekker ut. Her er utvalget 10. Vi fyller derfor ut skjemaet på denne måten: I tabellen til høyre ser vi at PX ( 6) 0, 3058

22 b) For å finne P(4 X 7) trykker vi på symbolet og skriver slik: P(4 X 7) 0,8588 c) Sannsynligheten PX ( 6) kan vi finne ved å trykke på og fylle ut dette: PX ( 6) 0, 6500 d) Sannsynligheten PX ( 4) kan vi finne ved å trykke på og skrive dette: PX ( 4) 0, 9758

23 Lineær regresjon eksempelet på side med GeoGebra Vi kan bruke digitale hjelpemidler til å finne den rette linja som passer best til et datasett. Da bruker vi regresjon. Her viser vi hvordan vi bruker programmet GeoGebra til å finne slike likninger. På sinussidene på nettet finner du framgangsmåten for annen programvare. Bak i boka finner du oppskrifter for de grafiske lommeregnerne. Som eksempel bruker vi utviklingen av folketallet i Norge fra 1905 til Se avisutklippet på side og eksempelet på side Denne tabellen viser folketallet i tusen x år etter 1900: Årstall x (år) Folketall (tusen) Vi bruker programmet GeoGebra. På den øverste linja velger vi Vis og trykker på Regneark. Da får vi fram et regneark. Der legger vi inn verdien for x og folketallet i tusen som vist her: Nå markerer vi punktene i tabellen ved hjelp av musen og høyreklikker. Vi velger der Lag og deretter Liste med punkt. Nå finner vi punktene i algebrafeltet med navnet liste1: Vi ser ikke punktene i koordinatsystemet. Derfor høyreklikker vi i koordinatsystemet og velger Vis alle objekt. Da får vi fram alle punktene, men ennå ser vi ikke koordinataksene. Det kan vi ordne ved at vi flytter koordinatsystemet ved å trykke på symbolet og deretter dra i aksene. Vi kan også skrive (0, 0) i inntastingsfeltet. Da får vi et punkt A med koordinatene (0, 0). Hvis vi nå høyreklikker i grafikkfeltet og velger Vis alle objekt, får vi fram punktene nedenfor. Her har vi også valgt avstand mellom tallene på aksene og satt inn rutenett. I tillegg har vi høyreklikket på punktene og tatt bort navnet på dem ved å trykke på Vis navn.

24 Nå skriver vi RegLin[liste1] i inntastingsfeltet. Da får vi tegnet den linja som passer best med punktene. Vi finner likningen for linja i algebrafeltet. Likningen er ikke skrevet slik vi vanligvis skriver den. Men hvis vi høyreklikker på den og velger y = ax + b, får vi den skrevet på vanlig form. Likningen for den linja som passer best med utviklingen av folketallet i Norge, er y 23,7 x 2244 Dette er en god lineær modell for utviklingen. I stedet for å skrive RegLin[liste1] i inntastingsfeltet i eksempelet ovenfor, kan vi skrive RegPoly[liste1, 1]. Da får vi en polynomfunksjon av grad 1. Grafen til en slik funksjon er ei rett linje. Det er den samme linja som i eksempelet, men nå får vi skrevet resultatet som et funksjonsuttrykk f(x). I algebrafeltet står det nemlig Hvis vi nå skal finne finne folketallet i 2021 med denne modellen, må vi sette x = 116. Vi inntastingsfeltet skriver vi da f(116). I algebrafeltet finner vi da dette svaret: Dette er folketallet regnet i 1000, altså er folketallet i året 2021 på ifølge denne modellen. Jamfør eksempelet på side 115.

25 Polynomregresjon eksempelet på side med GeoGebra EKSEMPEL Avisutklippet på side viser hvor stor del av den norske befolkningen som arbeider i jordbruk, skogbruk, jakt og fiske. Vi ser at i 1904 var det 41 % som arbeidet i disse primærnæringene. I 2004 var det 3,5 %. Vi lar f(x) være prosentdelen som arbeider i primærnæringene x år etter a) Finn den polynomfunksjonen som passer best for f(x). Hvilken grad er den beste? b) Utklippet viser at det var 36 % som arbeidet i disse næringene i I 1960 var det 19 %. Hvordan stemmer dette med modellen i oppgave a? Løsning: a) Vi går fram omtrent som med lineær regresjon og legger inn tallene fra figuren i GeoGebra. Vi markerer nå alle tallene i tabellen, høyreklikker og velger Lag og deretter Liste med punkt. Deretter skriver vi (0, 0) i inntastingsfeltet. Nå høyreklikker vi i grafikkfeltet og velger Vis alle objekt. Da får vi fram koordinatsystemet med alle punktene. Vi må kanskje flytte litt på koordinatsystemet for se alle tallene på aksene.

26 Dette kan se ut som en del av en kurve som har både et toppunkt og et bunnpunkt. Derfor velger vi å finne den tredjegradsfunksjonen som passer best til punktene. I inntastingsfeltet skriver vi Regpoly[liste1,3] slik: Tallet 3 forteller at vi får en funksjon av grad 3. Vi får nå tegnet kurven sammen med punktene: Kurven passer godt til punktene. I algebrafeltet finner vi uttrykket for funksjonen. Der står det 0 foran x 3. Grunnen er at vi har for få desimaler. Vi trykker da på Innstillinger, velger Avrunding og 3 gjeldende siffer. Da får vi dette: Nå ser vi at den beste tredjegradsfunksjonen er gitt ved f x x x x 3 2 ( ) 0, , , , 6 b) For å finne prosenten i 1930 setter vi x = 30. I inntastingsfeltet skriver vi da f(30) og får dette svaret: Modellen gir at 35,5 % arbeidet i primærnæringene i Det stemmer godt ettersom det riktige var 36 %. I 1960 er x = 60. Vi skriver da f(60) i inntastingsfeltet og får: Modellen gir 19,3 % i Det riktige er 19 %. Det stemmer godt.

27 Eksponentialregresjon eksempelet på side med GeoGebra Vi kan finne den eksponentialfunksjonen som passer best til et datasett. Her viser vi hvordan vi gjør slik eksponentialregresjon i GeoGebra. På nettsidene finner du framgangsmåten for annen programvare, og bak i boka står det oppskrifter for de grafiske lommeregnerne. EKSEMPEL Tallet på mobiltelefonabonnement økte kraftig i 1990-årene. Tabellen nedenfor viser tallet A(x) på abonnement i tusen, der x er tallet på år etter Alle tallene gjelder for 1. januar i det aktuelle året. Årstall x (år) A(x) (tusen) 180,6 234,4 368,5 981,3 1676,7 2663,5 3593,2 a) Finn digitalt den eksponentialfunksjonen som passer best med tallene i tabellen. Tegn grafen sammen med dataene. b) Hvor mange prosent økning var det per år? c) 1. januar 2001 var det registrert abonnement. Hvordan passer det med modellen i oppgave a? d) 1. januar 2006 var det registrert abonnement. Hvordan passer det med modellen i oppgave a? Løsning: a) Vi går fram omtrent slik vi gjorde ved lineær regresjon. Først velger vi Vis og Regneark. Deretter legger vi inn tallene fra tabellen slik: Vi markerer nå alle tallene i tabellen, høyreklikker og velger Lag og deretter Liste med punkt. Deretter skriver vi (0, 0) i skrivefeltet. Nå høyreklikker vi i grafikkfeltet og velger Vis alle objekt. Da får vi fram koordinatsystemet med alle punktene.

28 For å finne den eksponentialfunksjonen som passer best, skriver vi RegEksp[Liste1] slik: Vi får nå tegnet grafen sammen med punktene: Grafen passer greit til punktene. I algebrafeltet finner vi uttrykket for funksjonen. Hvis vi går på Innstillinger og Avrundinger og velger 3 desimaler, får vi dette funksjonsuttrykket: Den eksponentialfunksjonen som passer best, er dermed Ax ( ) 158,0 1,315 x b) Funksjonen A(x) = 158,0 1,315 x viser at vekstfaktoren er 1,315. Prosentfaktoren er da 0,315 og prosenten 31,5 %. Antallet mobiltelefonabonnement har økt med 31,5 % per år.

29 c) Etter modellen i oppgave a er tallet på abonnement i tusen 1. januar 2001 A(11) = 158,0 1, = 3212 Ifølge modellen skulle det være abonnement i Norge 1. januar Det riktige tallet var Modellen gir en ganske riktig verdi. d) 1. januar 2006 svarer til x = 16. Etter modellen ovenfor er tallet på abonnement i tusen da A(16) = 158,0 1, = Ifølge modellen skulle det være mobiltelefonabonnement i Norge 1. januar Det riktig tallet er Modellen gir en altfor høy verdi. Grunnen er at tallet på abonnement har passert folketallet i Norge. Veksten har derfor stoppet opp.

30 Potensregresjon eksempelet på side med GeoGebra EKSEMPEL Tabellen nedenfor viser tallet på fasttelefonabonnement i Norge i perioden fra 1950 til 2000, registrert per 1. januar. I tabellen står tallet på abonnement i tusen. Videre er x antallet år etter Årstall x (år) y (tusen) a) Finn den potensfunksjonen som passer best med tallene i tabellen. Tegn grafen sammen med dataene. b) Bruk modellen i oppgave a og finn hvor mange telefonabonnement det var i c) I 1982 var tallet på telefonabonnement Hvordan stemmer det med resultatet fra oppgave b? d) 1. januar 2006 var det fasttelefonabonnement i Norge. Hvordan passer det med modellen i oppgave a? Løsning: a) I GeoGebra går vi fram som ved polynomfunksjoner. Først legger vi inn tallene for x og y i kolonne A og B i regnearket. Vi markerer så alle tallene i tabellen, høyreklikker og velger Lag og deretter Liste med punkt. Deretter skriver vi (0, 0) i inntastingsfeltet. Nå høyreklikker vi i grafikkfeltet og velger Vis alle objekt. Da får vi fram dette skjermbildet: Vi har tatt bort punktet A(0, 0) og navnet på punktene. I inntastingsfeltet skriver vi nå RegPot[liste1] slik: Det gir denne grafen:

31 Vi har fått fram en potensfunksjon som passer godt med punktene. For å se hvordan uttrykket er, må vi trykke på Innstillinger, velge Avrunding og 5 gjeldende siffer. Da finner vi dette uttrykket i algebrafeltet: Vi kan endre navnet på funksjonen ved å høyreklikke på uttrykket i algebrafeltet og velge Egenskaper. Der skriver vi navnet T i stedet for f og får dette: Da ser vi at den beste potensfunksjonen er gitt ved T( x) 0, x 3,226 b) Vi finner tallet på abonnement i 1982 ved å skrive T(82) i innskrivingsfeltet. Det gir Ifølge modellen skulle det være telefonabonnement i Norge i c) Etter modellen skule det være telefonabonnent i Det virkelige tallet var Modellen passer godt. d) For å finne tallet på fasttelefonabonnement i tusen 1. januar 2006 skriver vi T(106) og får Det skulle være fasttelefonabonnement i Norge i Det virkelige tallet var Modellen passer ikke for Tallet på fasttelefoner var gått ned. Det er mobiltelefonene som har tatt over.