P(x, y) ) x. Dette er sirkellikningen. Et punkt P(x, y) ligger på denne sirkelen hvis og bare hvis koordinatene passer i likningen.

Transkript

1 5.9 Sirkellikningen Fra kapittel 4.3 vet vi at sirkelen er det geometriske stedet for de punktene som har en bestemt avstand r fra et fast punkt S. Avstanden r kaller vi radien, og punktet S kaller vi sentrum i sirkelen. Vi plasserer nå sirkelen i et koordinatsystem der sentrum har koordinatene S(x 0, y 0 ). y r P(x, y) S(x 0, y 0 ) x Ifølge definisjonen av en sirkel ligger P(x, y) på sirkelen hvis og bare hvis avstanden fra P til S er lik radien r. Vi bruker formelen for avstanden mellom to punkter fra side 83 og får at det er det samme som at (x x 0 ) + (y y 0 ) = r (x x 0 ) + (y y 0 ) = r Dette er sirkellikningen. Et punkt P(x, y) ligger på denne sirkelen hvis og bare hvis koordinatene passer i likningen. En sirkel med radius r og med sentrum i S(x 0, y 0 ) har likningen (x x 0 ) + (y y 0 ) = r Eksempel a) Finn likningen for en sirkel med sentrum i (, 3) og med radius 5. b) Finn skjæringspunktene mellom sirkelen og x-aksen. c) Finn skjæringspunktene mellom sirkelen og linja y = x + Løsning: Først tegner vi en figur. Se øverst på neste side. 86 Sinus R > Vektorer

2 y S(, 3) x a) Likningen for sirkelen er (x ) + (y 3) = 5 (x ) + (y 3) = 5 b) På x-aksen er y = 0. Det gir (x ) + (0 3) = 5 (x ) + 9 = 5 (x ) = 6 x = 4 eller x = 4 x = eller x = 6 Skjæringspunktene er (, 0) og (6, 0). c) Vi setter inn y = x + i sirkellikningen. (x ) + ( x + 3) = 5 (x ) + (9 x) = 5 x 4x x + x = 5 x x + 60 = 0 Andregradsformelen eller et digitalt hjelpemiddel gir løsningene x = 5 og x = 6 x = 5 gir y = x + = 5 + = 7 x = 6 gir y = x + = 6 + = 6 Skjæringspunktene er (5, 7) og (6, 6). 87

3 ? Oppgave 5.90 a) Finn likningen for en sirkel med sentrum i S(3, 4) og radius 5. b) Finn skjæringspunktene mellom sirkelen og koordinataksene. Oppgave 5.9 a) Finn likningen for en sirkel med sentrum i (, ) og med radius 3. b) Finn skjæringspunktene mellom sirkelen og linja y = x + Oppgave 5.9 En sirkel S har likningen (x + ) + (y 3) = 36 a) Finn sentrum og radien i sirkelen. b) En annen sirkel med sentrum i punktet A(6, 9) tangerer sirkelen S. Finn radien i denne sirkelen. I faget T lærte vi om fullstendige kvadrater. Uttrykkene x 6x + 9 og x + 0x + 5 er fullstendige kvadrater fordi x 6x + 9 = (x 3) x + 0x + 5 = (x + 5) Vi lærte også at x + bx + c er et fullstendig kvadrat hvis c = ( b ). Da er x + bx + c = ( x + b ) Vi kan dermed gjøre om x + bx til et fullstendig kvadrat ved å legge til c = ( b ). Vi sier da at vi fullfører kvadratet. Hvis vi skal gjøre om x + 8x til et fullstendig kvadrat, må vi legge til ( 8 ) = 4. Det gir x + 8x + 4 = (x + 4) Ved å bruke første kvadratsetning ser vi at dette er riktig. Vi bruker denne metoden når vi omformer andregradsuttrykk til sirkellikninger. Eksempel Finn sentrum og radien i sirklene som har disse likningene: a) x 8x + y 6y = b) x + y + 4x 0y + 3 = 0 88 Sinus R > Vektorer

4 Løsning: a) Vi legger til det samme tallet på begge sidene av likhetstegnet. Legg merke til at vi ikke trenger å tenke på fortegnet til b når vi legger til ( b ). x 8x + ( 8 ) + y 6y + ( 6 ) = + ( 8 ) + ( 6 x 8x y 6y + 3 = (x 4) + (y 3) = 36 (x 4) + (y 3) = 6 Sirkelen har sentrum i S(4, 3) og har radius r = 6. b) x + y + 4x 0y + 3 = 0 x + 4x + ( 4 ) + y 0y + _ ( 0 x + 4x + + y 0y + 5 = (x + ) + (y 5) = 6 (x + ) + (y 5) = 4 ) = 3 + ( 4 Sirkelen har sentrum i S(, 5) og har radius r = 4. ) ) + _ ( 0 )? Oppgave 5.93 Finn sentrum og radius i sirklene. a) x x + y 4y = 4 b) x + y 6x + 5y + 3 = 0 c) x + y + 0y = 0 Oppgave 5.94 En sirkel har likningen x + y + x 6y = 0 a) Finn sentrum og radius i sirkelen. b) Finn skjæringspunktene mellom sirkelen og koordinataksene. c) Finn skjæringspunktene mellom sirkelen og linja y = x

5 Sirkelen er ikke grafen til en funksjon fordi vi har to y-verdier for hver verdi for x. Men vi kan se på sirkelen som grafen til to funksjoner. Eksempel Funksjonene f og g er gitt ved f(x) = 6 x og g(x) = 6 x der x [ 4, 4]. Tegn grafen til funksjonene og forklar det du ser. Løsning: Vi tegner grafene ved hjelp av GeoGebra. Vi ser at grafene til sammen gir en sirkel med sentrum i origo og med radius r = 4. Grunnen er denne: Funksjonen f har y-verdier gitt ved y = f(x) = 6 x Vi ser at alle y-verdiene er positive. Grafen ligger dermed over x-aksen. Videre er y = ( 6 x ) = 6 x x + y = 4 Dette er likningen for en sirkel med radius 4 om origo. Grafen til f er dermed den øvre delen av sirkelen. 90 Sinus R > Vektorer

6 Funksjonen g har y-verdier gitt ved y = g(x) = 6 x Alle y-verdiene er negative, og grafen ligger da under x-aksen. Videre er y = ( 6 x ) = 6 x = 4 x + y = 4 Også dette er likningen for en sirkel med radius 4 om origo. Grafen til g er den nedre delen av sirkelen.? Oppgave 5.95 Funksjonene f og g er gitt ved f(x) = _ 9 x og g(x) = _ 9 x Tegn grafen til funksjonene og forklar det du ser. Oppgave 5.96 Funksjonene f og g er gitt ved f(x) = x x og g(x) = 8 + x x Tegn grafen til funksjonene og forklar det du ser. Oppgave 5.97 Sirkelen er grafen til to funksjoner f og g y 3 f g x Finn funksjonsuttrykkene til de to funksjonene. 9

7 FASIT Oppgave 5.90 a) (x 3) + (y 4) = 5 b) (0, 0), (6, 0) og (0, 8) Oppgave 5.9 a) (x + ) + (y ) = 9 b) (, 4) og (, ) Oppgave 5.9 a) Sentrum i (, 3) og radius 6 b) 4 eller 6 Oppgave 5.93 a) Sentrum i (, ) og radius 3 b) Sentrum i ( 3, 5 ) og radius 7 c) Sentrum i (0, 5) og radius 5 Oppgave 5.94 a) Sentrum i ( 6, 8) og radius 0 b) (0, 0), (, 0) og (0, 6) c) ( 4, ) og (0, 6) Oppgave 5.97 f(x) = + _ + 4x x g(x) = _ + 4x x 9