Løsningsforslag R1 Eksamen. Høst Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik

Transkript

1 Løsningsforslag R1 Eksamen 6 Høst Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Sammendrag De fleste forlagene som gir ut lærebøker til den videregående skolen, gir ut løsningsforslag til tidligere gitte eksamener. Dessverre er disse ofte bare åpne for betalende medlemmer. Videre vil dette løsningsforslaget legge seg på en litt annen kurs enn andre løsningsforslag. I første del vil fasitsvaret til alle regneoppgaver bli oppgitt. Dette gjøres slik at om ønsket kan raskt se om en har regnet riktig eller ei. Har en regnet feil, kan en selv regne på nytt uten å få fremgangsmåten spolert. Deretter vil vi ta for oss oppgavene i tur og orden gjerne litt nøyere en hva som kreves under eksamen. Vi vil også skrive små kommentarer om vanlige feil elever gjør til en del oppgaver, og også hva som bør nevnes til hver oppgave. Til tider vil vi også vise alternative måter å løse oppgavene på. Og et fåtall ganger vil vi streife utenfor pensum og vise alternative metoder. Dette er et annerledes løsningsforslag, men vi håper den som leser dette vil få glede av det. Det viktigste å huske på før en eksamen er å opparbeide seg en god forståelse, og en bred faglig kompetanse. Dokumentet her er ment å hjelpe leser et lite steg i den retningen.

2 REA R1 Høst Innhold Karaktergrenser og Vurderingsskjema Fasitsvar til regneoppgaver IV V Del 1 Oppgave 1 1 a) b) c) Oppgave 2 1 a) b) Oppgave 3 1 a) b) Oppgave 4 2 a) b) Oppgave 5 2 a) b) Oppgave 6 3 a) b) Oppgave 7 3 a) b) Del 2 Oppgave 1 4 a) b) c) II

3 REA R1 Høst Oppgave 2 5 a) b) c) Oppgave 3 5 a) b) c) Oppgave 4 5 a) b) c) Oppgave 5 6 a) b) Oppgave 6 7 a) b) c) III

4 REA R1 Høst Karaktergrenser og Vurderingsskjema Gjeldende poengfordeling Del 1 Del 2 Sum 1a1 1a2 1a3 2a 2b 3a 3b 4a 4b 5a b 6a 6b 7a 7b a 1b 1c 2a 2b 2c 3a 3b 3c 4a b 4c 5a 5b 6a 6b 6c Totalt antall poeng 60 Karaktergrenser Karakter I Poeng I prosent Nebuchadnezzars synspunkter om årets eksamen Forholdsvis grei eksamen. Noe stort fokus på geometri, med mye standardoppgaver på del 1. Mange elever har klaget på oppgavene om sirkellikninger, da dette først introduseres i R2. Å gi 12 poeng på oppgave 2 regnes som en gavepakke. En del elever slet også med forstå siste oppgave som med fordel kunne vært forklart bedre, da dette er en enkel oppgave i seg selv. Forhåndssensur Forhåndssensur blir ikke lagt ut for høst-eksamener. IV

5 REA R1 Høst Fasit svar til regneoppgaver Oppgave 1 a) 4(2x 1) = 8x 4 b) (x 1)/ x 2 2x c) 3x 2 e 2x + 2x 3 e 2x = x 2 (2x + 3)e 2x Oppgave 2 a) k = 1 b) (x + 1)(x 1)(x 3) Oppgave 3 a) Vendepunktet er (1, 0) b) Vendetangent y = 4x + 4 Oppgave 4 Forklaring Oppgave 5 Bevis Oppgave 6 a) x = 3/4 = 0.75 b) x = 2 Oppgave 7 a) t = 4 b) Minste avstanden er 5/ Oppgave 1 a) BAC = 45 b) D( 3, 4) c) t = 2 Oppgave 2 a) P (J B) = 94/ b) P (B) = % P (B J) = 94/ % c) P (B J) = = 58.0 % Oppgave 3 a) Tegning b) x-aksen: (0, 5), (0, 22/3), y-aksen: ( 11/4, 0), ( 8, 0) c) v (5) = 2389/ Oppgave 4 a) Vis at V

6 REA R1 Høst b) T (x) = 4x (4/3)x 2 c) Minst areal når x = 3 da er arealet T (3) = 6. Oppgave 5 a) Sentrum: (1, 2), radius 3 b) t = ±3 Oppgave 6 Bevis VI

7 Del 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (5 poeng) Deriver funksjonene a) f(x) = (2x 1) 2 b) g(x) = x 2 2x c) h(x) = x 3 e 2x Oppgave 2 (3 poeng) Funksjonen f er gitt ved f(x) = x 3 3x 2 + kx + 3 a) Bestem k slik at divisjonen f(x) : (x 1) går opp. b) Bruk polynomdivisjon til å skrive f(x) som et produkt av lineære faktorer (førstegradsfaktorer) når k har verdien du fant i oppgave 12. Oppgave 3 (4 poeng) Funksjonen f er gitt ved f(x) = x 3 3x 2 x + 3 a) Bestem vendepunktet på grafen til f. b) Bestem likningen til vendetangenten. 1 av 8

8 REA R1 Del 1 Høst Oppgave 4 (3 poeng) På figuren er det tegnet grafene til funksjonene f og g gitt ved f(x) = (x 1)(x 3) og g(x) = x 1 En elev skulle bestemme skjæringspunktene mellom grafene ved regning. Eleven besvarte oppgaven slik 5 y f(x) = g(x) (x 1)(x 3) = x 1 (x 1)(x 3) = (x 1) (x 3) = 1 x = 4 y = 4 1 = 3 Skjæringspunktet er (4, 3) x a) Kommenter elevens besvarelse Figur 1 b) Bestem skjæringspunktene mellom grafene ved regning slik du mener oppgaven bør løses. Oppgave 5 (3 poeng) Figuren viser et kvadrat ABCD med side a. Diagonalene AC og BD skjærer hveandre i punktet F. D a C a) Forklar at AC BD a b) Forklar at arealet av kvadratet er 1 2 AC BC. F A B Figur 2 2 av 8

9 REA R1 Del 1 Høst Oppgave 6 (3 poeng) Løs likningene a) 3 4x + 7 = 34 b) lg x + lg(x 1) = lg 2 Oppgave 7 (3 poeng) Vi har gitt punktene A(3, 0), B(7, 3) og C(0, t). a) Bestem t slik at BAC = 90 b) Bestem den minste avstanden fra A til BC for denne t-verdien. 3 av 8

10 Del 2 Med hjelpemidler Oppgave 1 (6 poeng) Punktene A(0, 0), B(6, 0), C(4, 4) og D(t, 4) er hjørner i ABCD 4 y D C A B x Figur 3 a) Bruk skalarprodukt til å bestemme BAC b) Bestem t slik at ABCD blir et parallellogram. c) Bestem t ved regning slik at AC BD. 4 av 8

11 REA R1 Del 2 Høst Oppgave 2 (5 poeng) En skole har 350 elever, 182 gutter og 168 jenter. Av disse tar 71 gutter og 94 jenter bussen til skolen. En elev blir trukket ut tilfeldig. Vi lar hendelesen J og B være gitt som J: Eleven er en jente G: Eleven er en Gutt a) Bestem P (J B) b) Bestem P (B) og P (B J). Er J og B uavhengige hendelser? Begrunn svaret ditt. c) Bestem P (J B) Oppgave 3 (7 poeng) Posisjonen til en partikkel ved tiden t er gitt ved r (t) = [ 1 4 t2 3t, t + 4 t 5 ] a) Tegn grafen til r når t (0, 10] b) Bestem skjæringspunktet mellom banen til partikkelen og koordinataksene. c) Bestem farten v = v (t) når t = 5. Oppgave 4 (8 poeng) DEF er innskrevet i ABC. Begge trekantene er likebeinte, og DE AB. Vi setter DE = x. Høyden fra C til AB er 8, og høyden fra F til DE er h. Videre er AF = F B = 3. a) Forklar at ABC DEC. Bruk dette til å vise at h = x b) Bestem et uttrykk for T (x) for arealet av DEF 5 av 8

12 REA R1 Del 2 Høst C D x E h A 3 F 3 B Figur 4 c) Bestem den største verdien av T (x). Forklar at ABC i dette tilfellet består av fire kongurente trekanter. Oppgave 5 (4 poeng) a) En sirkel er gitt ved x 2 2x + y 2 + 3y 4 = 0 Bestem sentrum og radius i sirkelen ved regning b) En annen sirkel er gitt ved x 2 + 2tx + y 2 4y + 9 = 0, t R Bestem t slik at sirkelen har akkuratt ett punkt felles med x-aksen 6 av 8

13 REA R1 Del 2 Høst Oppgave 6 (6 poeng) ABCD er innskrevet i en sirkel der AC er diameter. Buen AD = u og buen BC = v. Forlengelsene av AD og BC skjærer hverandre i P. Vi setter P = α. Tilsvarende skjærer forlengelsene av AB og DC hverandre i Q. Vi setter Q = β. P u D α A C v B β Q Figur 5 a) La u = 120 og v = 90. Forklar at da er BAD = 75. b) Vis at α = β = 15 i dette tilfellet. c) Vis at α = β for aller verdier av u og v (når u v). 7 av 8

14 REA R1 Del 2 Høst av 8