Løsningsforslag. Innhold. Funksjoner i praksis Vg2P

Transkript

1 Løsningsforslag Innhold Modul 1: Lineære funksjoner... Modul : Andregradsfunksjoner... 1 Modul 3: Tredjegradsfunksjoner... 6 Modul 4: Potensfunksjoner og rotfunksjoner... 3 Modul 5: Eksponentialfunksjoner Modul 6: Vekstfart Noen av oppgavene er merket med symbolet Disse oppgavene bør du klare å løse uten hjelpemidler. Oppgaver og løsningsforslag Stein Aanensen og Olav Kristensen 1

2 Modul 1: Lineære funksjoner 1.1 Marker punktene 1, 1, 1,,, 1,, 3, 3, 0 og 0, i et koordinatsystem. 1. Gitt koordinatsystemet til høyre. Angi koordinatene for punktene A til I. A 4,3, B 1, 4, C 0,, 4, 1, 1, 0, 3, 1 D E F 0, 4, 3, 4, 4,0 G H I Utfordring! Kan du finne avstanden fra origo til punktet H? x x x 5 5 Avstanden fra origo til punktet H er 5.

3 1.3 Skriv opp funksjonsuttrykket for en funksjon som a) viser hva du må betale for x liter melk når hver liter koster 1,40 kroner. f( x) 1,40x b) viser strekningen du har kjørt etter t timer når hastigheten er 80 km/time. f( t) 80t 1.4 Verdens beste maratonløpere løper med tilnærmet konstant fart og bruker ca. timer og 4 minutter på en maraton (4 195 meter). a) Hvor mange km tilbakelegger disse løperne per minutt? timer og 4 minutter er 14 minutter m Distanse per minutt: 340 m 14 min min b) Lag en funksjon som viser sammenhengen mellom distansen, d, løperne tilbakelegger og tiden, t. d t t 340 c) Lag en verditabell for følgende t-verdier: 30, 60, 90, 10. t dt d) Tegn grafen og finn ut hvilken distanse løperne har tilbakelagt når de har løpt i 45 minutter. Marker i koordinatsystemet. 3

4 Leser av grafen at de har løpt meter, dvs. 15,3 km på 45 minutter. 4

5 1.5 Camilla har et mobilabonnement. Hun betaler 99 kroner i fast pris per måned og 0,49 kroner per ringeminutt, t. Kostnadene, k, ved å bruke mobiltelefonen en måned kan vi skrive som 0,49t 99 k t der t varierer fra og med 50 til og med 00. a) Lag en verditabell for k. Verditabell: b) Tegn grafen til k. t kt 13,50 148,00 17,50 c) Finn grafisk hvor mange minutter Camilla har ringt når kostnadene er 160 kroner. Jeg leser av grafen i b) at Camilla har ringt i ca. 15 minutter når kostnaden er 160 kroner. 5

6 1.6 De tre lineære funksjonene f, g og h er gitt nedenfor. Skriv ned stigningstallet og konstantleddet til hver av de tre funksjonene. a) f x x Stigningstall Konstantledd b) gx 3x Stigningstall -3 Konstantledd - c) hx x Stigningstall 1 Konstantledd 0 d) Hva forteller stigningstallet og konstantleddet oss om grafen til en lineær funksjon? Stigningstallet forteller hvor raskt grafen til funksjonen vokser eller avtar. Jo større stigningstallet er, jo brattere er grafen. Konstantleddet forteller hvor grafen skjærer andreaksen. Når grafen skjærer andreaksen, er variabelen x lik 0. 6

7 1.7 De tre lineære funksjonene f, g og h er gitt ved 0,5x x x f x g x h x For hver av de tre funksjonene skal du - Lage en verditabell som inneholder 3 ulike x-verdier - Markere punktene du finner i et koordinatsystem - Tegne en rett linje gjennom punktene 0,5x f x Verditabell x f x Punkter og linje

8 x g x Verditabell x g x Punkter og linje 6 0 h x x Verditabell x h x Punkter og linje

9 1.8 De tre lineære funksjonene f, g og h er gitt ved f x g x h x x 1 x x 3 a) Hvor skjærer hver av disse grafene andreaksen? Konstantleddet til f x er 1. Grafen til f x skjærer dermed andreaksen i punktet 0, 1. Konstantleddet til Konstantleddet til gx er. Grafen til hx er 3. Grafen til g x skjærer dermed andreaksen i punktet 0,. h x skjærer dermed andreaksen i punktet 0, 3. b) Kan du si noe om hvordan disse grafene går i forhold til hverandre og hvorfor det er slik? Funksjonene har samme stigningstall. Linjene er derfor parallelle. c) Tegn grafene til de tre funksjonene i samme koordinatsystem. 9

10 1.9 Bruk det du vet om stigningstallet og konstantleddet til en lineær funksjon til å tegne de rette linjene gitt ved a) f x x Grafen til fx har stigningstall 1 og konstantledd -, dvs. at grafen skjærer andreaksen i -. Vi kan ta utgangspunkt i - på andreaksen. Stigningstallet på 1 forteller at dersom vi beveger oss en enhet til høyre langs førsteaksen, stiger grafen med 1. enhet. Vi kan sette av to punkter til og tegne en rett linje gjennom punktene. b) gx x Grafen til g har stigningstall -1 og konstantledd, dvs. at grafen skjærer andreaksen i. Vi kan ta utgangspunkt i på andreaksen. Stigningstallet på -1 forteller at dersom vi beveger oss en enhet til høyre langs førsteaksen, synker grafen med 1 enhet. Vi kan sette av to punkter til og tegne en rett linje gjennom punktene. c) hx x 0,5 Grafen til h har stigningstall og konstantledd 0,5, dvs. at grafen skjærer andreaksen i 0,5. Vi kan ta utgangspunkt i 0,5 på andreaksen. Stigningstallet på forteller at dersom vi beveger oss en enhet til høyre langs førsteaksen, stiger grafen med enheter. Vi kan sette av to punkter til og tegne en rett linje gjennom punktene. 10

11 1.10 På figuren til høyre ser du to rette linjer i et koordinatsystem. Hva er konstantleddet i funksjonsuttrykket til hver av disse to linjene? Konstantleddet finner vi ved å se på hvor grafene skjærer andreaksen. Den røde linja skjærer andreaksen i punktet 0, 1. Konstantleddet er dermed 1. Den blå linja går gjennom origo. Konstantleddet er da lik a) Finn stigningstallet til den rette linja som er tegnet i koordinatsystemet til høyre. Vi kan ta utgangspunkt i et punkt på grafen, for eksempel punktet 1,1. Når vi beveger oss 1 enhet til høyre langs førsteaksen, stiger grafen med enheter. Stigningstallet er 1. b) Skriv opp funksjonsuttrykket til den lineære funksjonen som gir denne rette linja. Grafen skjærer andreaksen i punktet 0, 1. Konstantleddet er dermed -1. Funksjonsuttrykket kan da skrives som f x x 1 c) Hva er nullpunktet til funksjonen? Nullpunktet er der grafen skjærer førsteaksen. 1 Grafisk ser vi at nullpunktet er x. Ved regning setter vi f x 0 x 1 0 x 1 x 1 11

12 1.1 I koordinatsystemet ovenfor er det tegnet fire grafer. Forklar hvilket av funksjonsuttrykkene nedenfor som hører sammen med hvilken graf. x 1 f x Stigningstall. Skjærer andreaksen i punktet 0, 1. Blå graf. x g x Stigningstall -. Skjærer andreaksen i punktet 0,. Gul graf. hx x Stigningstall -1. Skjærer andreaksen i origo 0,0. Rød graf. ix Stigningstall 0. Skjærer andreaksen i punktet 0,. Grønn graf. 1

13 1.13 I koordinatsystemet ovenfor har vi tegnet grafene til de fem funksjonene f, g, h, i og j. Skriv ned funksjonsuttrykket til hver av de 5 funksjonene. Funksjonsuttrykket til den røde grafen kan skrives som fx 3. Funksjonsuttrykket til den blå grafen kan skrives som gx x. Funksjonsuttrykket til den svarte grafen kan skrives som hx 4x 1. Funksjonsuttrykket til den lilla grafen kan skrives som ix 3x. Funksjonsuttrykket til den grønne grafen kan skrives som jx 1 3 x. 13

14 1.14 Ei rett linje går gjennom punktene 0, 1 og 1, 1. a) Hva er stigningstallet til denne rette linja? Jeg tegner linjen gjennom de to punktene i GeoGebra. Vi starter i punktet 0, 1 på linjen, går én enhet til høyre, og ser at vi må gå to enheter opp for igjen å treffe linjen. Det betyr at stigningstallet er a. b) Finn likningen for linja gjennom disse punktene. Linja skjærer y-aksen i punktet 0, 1. Det betyr at b 1. Alle rette linjer kan skrives på formen y ax b. Det betyr at likningen for linjen er yx Ei rett linje har stigningstall og går gjennom punktet,. Finn likningen for linja. Jeg tegner linjen i GeoGebra. Linja skjærer andreaksen i og har stigningstall. Det betyr at likningen for linjen er yx. 14

15 1.16 Gitt funksjonene 3 x 5 og gx x f x. a) Tegn grafene til de to funksjonene i samme koordinatsystem. b) Finn skjæringspunktet mellom grafene grafisk. Jeg brukte kommandoen «Skjæring mellom to objekt» og fant at punktet, skjæringspunktet mellom grafene. A er c) Finn skjæringspunktet mellom grafene ved regning, både med og uten digitale hjelpemidler. Ved CAS Uten bruk av digitale hjelpemidler: f x g x 3 x 5 x 3 x x 4 3 x 4 x x 1 4 x g 4 Jeg får både med og uten digitale hjelpemidler at skjæringspunktet er,. 15

16 d) Finn nullpunktene til funksjonene grafisk og ved regning. Ved regning både med og uten digitale hjelpemidler. Grafisk brukte jeg kommandoen «Skjæring mellom to objekt» og fant skjæringspunktene mellom grafene og x -aksen. (Jeg kunne også brukt kommandoen «Nullpunkt[ <Polynom> ]»). Funksjonen f har nullpunkt for x 3,3 (Se punkt C) og funksjonen g har nullpunkt x 1,0 (Se punkt D). Ved regning uten digitale hjelpemidler: f x 0 3 g x 0 x 5 0 x 0 3x 10 x 10 x x 1 3 Ved CAS: Jeg får samme nullpunkter ved regning som grafisk. 16

17 1.17 Per jobber som telefonselger. Lønnen er basert på en grunnlønn per time på 105 kroner. I tillegg får han 10 kroner for hvert salg han oppnår. a) Lag en funksjon L som viser timelønnen i kroner når han oppnår s antall salg. 10s 105 L s b) Tegn grafen til funksjonen L i et koordinatsystem. c) Hvor mange salg har Per hatt når timelønnen var 175 kroner? Jeg brukte kommandoen «Skjæring mellom to objekt» og fant at punktet A 7,175 er skjæringspunktet mellom grafen til Ls og linjen y 175. Punktet A 7,175 på grafen viser at Per har hatt 7 salg når timelønnen var 175 kroner. Dette finner vi også ved regning i CAS: 17

18 1.18 På en terminprøve i matematikk har Trine tatt med seg en flaske med kaldt kildevann. Temperaturen i vannet var 5 o C ved starten av prøven og stiger jevnt med 5,4 o C i timen i løpet av de 3 første timene prøven varer. a) Lag en funksjon T for temperaturen i vannet x antall minutter etter at prøven startet. Temperaturstigningen er 5,4 C 0,09 C per minutt. 60min T x x 0,09 5 b) Hva er temperaturen i vannet etter 1,5 timer? T 90 0, ,1 C c) Tegn grafen til T i et koordinatsystem. La x variere fra 0 til 180. d) Når var temperaturen i vannet 14 o C? Vi leser av grafen at temperaturen i vannet var 14 o C etter 100 minutter, det vil si etter 1 time og 40 minutter. Anette hadde også med seg en flaske med kildevann på prøven. Funksjonen f viser temperaturen i vannet til Anette x antall minutt etter at prøven startet: 0,08x 6,5 f x e) Hva var temperaturen i vannet til Anette da prøven startet? Da prøven startet var x 0. Temperaturen var da 6,5 o C. 18

19 1.19 Tabellen nedenfor viser folkemengden i Norge for noen utvalgte år i perioden fra 1950 til 000. År Folkemengde a) Plott punktene i et koordinatsystem og finn et tilnærmet lineært uttrykk for en funksjon f som beskriver sammenhengen mellom år og folkemengde ved å bruke et digitalt hjelpemiddel. La x være antall år etter 1950 og f x folkemengden i millioner. Jeg bruker lineær regresjon i GeoGebra og finner at funksjonen f kan beskrives med uttrykket f x 0,04x 3,315. b) Hvor mye øker folkemengden med per år ut fra uttrykket du fant i a)? Av funksjonsuttrykket ser vi at stigningstallet er 0,04. Økningen i folkemengde per år er 0,04 millioner, altså individer. c) Dersom denne utviklingen fortsetter, hva vil folkemengden i Norge være i år 050? Variabelen x er antall år etter Vi setter da x lik 100 i funksjonen vi fant ovenfor og finner folkemengden i Norge i år 050. f 100 0, ,315 5,715 Folkemengden i Norge vil være i år 050 etter denne modellen. 19

20 1.0 Tabellen nedenfor viser utslipp av svoveldioksid til luft i Norge for noen utvalgte år fra 1973 til 000. År Utslipp til luft SO i 1000 tonn 156,4 136,4 73,1 37,0 33,1 7,3 a) Plott punktene i et koordinatsystem og finn et tilnærmet lineært uttrykk for en funksjon S som beskriver sammenhengen mellom år og utslipp. La x være antall år etter 1973 og S x utslippet av svoveldioksid i tusen tonn. Jeg bruker lineær regresjon i GeoGebra og finner at funksjonen S kan beskrives med uttrykket Sx 5,39x 158. b) Når var utslippet av svoveldioksid 100 tusen tonn? Jeg finner skjæringspunktet mellom linjen y 100 og grafen til funksjonen S ved kommandoen «Skjæring mellom to objekt». Jeg finner at utslippet av SO er 100 tusen tonn omtrent 11 år etter 1973, dvs. i c) Hva vil utslippet være i år 010 dersom vi følger denne modellen. Kommenter svaret. S 37 5, ,43. Utslipp i år 010: Utslippet kan ikke være negativt. Modellen ovenfor kan ikke brukes til å anslå utslipp i lang tid framover. Når vi ser på punktene og grafen ovenfor, ser vi at modellen passer bra fram til Modellen passer dårlig etter

21 Modul : Andregradsfunksjoner.1 Skriv opp funksjonsuttrykket for en funksjon som viser arealet av et rektangel når omkretsen er 36 m og du kaller grunnlinja x. f ( x) x 18 x f ( x) x 18x. Tegn grafene til følgende funksjoner med digitalt verktøy. For hver graf skal du tilpasse vinduet og enhetene på aksene slik at du får et best mulig bilde av grafen. a) f( x) x 10x 0 for x verdier mellom 15 og 3. Jeg tegner grafen i GeoGebra ved å skrive inn «f(x)=funksjon[x^+10x-0, -15, 3]». 1

22 b) A x ( ) 10x 0 for x verdier mellom 1 og 1. Jeg tegner grafen i GeoGebra ved å skrive inn «A(x)=Funksjon[10x^+0, -1, 1]». c) K( x) 0,1x 100x 0000 for x verdier mellom 0 og Jeg tegner grafen ved å skrive inn «K(x)=Funksjon[-0.1x^+100x+0000, 0, 1000]»..3 Et rektangel har en omkrets på 100 m. a) Sett grunnlinja lik x og forklar at høyden da blir 50 x. xh x 50 x h 50 x b) Forklar at funksjonen A gitt ved ulike verdier av x. A gh x 50 x x 50x A( x) x 50x gir arealet av rektangelet for

23 c) Tegn grafen til A. d) Hva er den største verdien arealet kan få? Jeg finner toppunktet med kommandoen «Ekstremalpunkt[ <Polynom> ]». Den største verdien for arealet er 65 m. (Se grafen i c.) (Da har vi et kvadrat, grunnlinja og høyden er begge 5 meter.) e) For hvilke x-verdier er arealet lik 400 m? Forklar hvorfor du får to løsninger. Jeg finner skjæringspunktene mellom grafen og linjen y 400 med kommandoen «Skjæring mellom to objekt». Arealet blir 400 m når x er 10 meter og når x er 40 meter. Vi får to løsninger som gir samme rektangel. I det ene er grunnlinja 10 meter og høyden 40 meter og i det andre er grunnlinja 40 meter og høyden 10 meter. 3

24 .4 Andreas kaster et spyd. Grafen til funksjonen f gitt ved f x 0,01x 0,85x,0 beskriver banen spydet følger gjennom luften. Her er x meter målt langs bakken fra stedet hvorfra Andreas kaster spydet, og høyden spydet har over bakken. a) Tegn grafen til f for x 0. fx meter er Jeg tegner grafen i GeoGebra ved å skrive inn «f(x)=funksjon[-0.01x^+0.85x+.0, 0, ]». b) Bestem skjæringspunktene mellom grafen til f og aksene. Bestem toppunktet på grafen til f. Jeg finner skjæringspunktene mellom aksene og grafen ved å bruke kommandoen «Skjæring mellom to objekt». Grafen skjærer x aksen for x 87,5 og y aksen for y,. Jeg finner toppunktet ved å bruke kommandoen «Ekstremalpunkt [<Polynom>]». Toppunktet er 4.5, 0.3. c) Hva forteller svarene i b) om spydkastet? Andreas kaster ut spydet, meter over bakken. Spydet når en høyde på litt over 0 meter og lengden på kastet er 87,5 meter. 4

25 .5 (Eksamen 1P våren 011) Antall gram CO en bil slipper ut per kilometer er gitt ved f x x x ( ) 0,046 6,7 386 der x er farten til bilen målt i km/h. a) Tegn grafen til f i et koordinatsystem for x - verdier fra 0 til 100. Jeg tegnet grafen ved å skrive inn «f(x)=funksjon[0.046x^ - 6,7x + 386, 0, 100]». b) Hvor mange gram CO slipper bilen ut per kilometer, dersom den holder en fart på 60 km/h? Jeg finner skjæringspunktet mellom grafen og linjen x 60 med kommandoen «Skjæring mellom to objekt». Se punktet 60, 149,6. Bilen slipper ut ca. 150 g CO per km dersom den holder en fart på 60 km/h. c) Hvilken fart gir minst CO -utslipp per kilometer? Hvor stort er CO -utslippet per kilometer da? Jeg finner bunnpunktet ved å bruke kommandoen «Ekstremalpunkt [<Polynom>]». Bunnpunktet er 7,83, 14,03. En fart på ca. 73 km/h gir minst CO utslipp. Bilen slipper da ut ca. 14 g CO per km. Bilen kjører i 80 km/h i en halv time. d) Hvor mye CO slipper bilen ut i løpet av denne halvtimen? Bilen slipper ut ca g CO i løpet av denne halve timen. 5

26 Modul 3: Tredjegradsfunksjoner 3.1 Tegn grafene til følgende funksjoner med digitalt verktøy. For hver graf skal du tilpasse vinduet og enhetene på aksene slik at du får et best mulig bilde av grafen. a) 3 g( x) x x for x verdier mellom og. Jeg tegner grafen i GeoGebra ved å skrive inn «g(x)=funksjon[-x^3+x^-, -, ]». b) i x x x 3 ( ) 0 for x verdier mellom 5 og 5. Jeg tegner grafen i GeoGebra ved å skrive inn «i(x)=funksjon[x^3-x-0, -5, 5]». 6

27 3. a) Tegn grafen til funksjonen f gitt ved 3 - toppunkter - bunnpunkter - skjæringspunkter med koordinataksene f x 0,5x 3x 3x 3 og finn grafisk eventuelle Jeg bruker kommandoene «Ekstremalpunkt [<Polynom>] og «Skjæring mellom to objekt». Toppunkt: 3,4, 7,8. Bunnpunkt: 0,6,,. Skjæring med førsteaksen: 5,1, 0. Skjæring med andreaksen: 0,3. 7

28 b) Tegn grafen til funksjonen g gitt ved 3 eventuelle - toppunkter - bunnpunkter - skjæringspunkter med koordinataksene g x 0,0x 0,60x 4 og finn grafisk Jeg bruker kommandoene «Ekstremalpunkt [<Polynom>] og «Skjæring mellom to objekt». Toppunkt: 0,4. Bunnpunkt:, 3,. Skjæring med førsteaksen:,0. Skjæring med andreaksen: 0,4. 8

29 3.3 Gitt en sylinder der summen av diameter og høyde er, dm. a) Kall høyden i sylinderen h og vis at et utrykk for radius r uttrykt ved h er dh, rh,, h rh, h rh (). V h h h. 4 b) Vis at volumet av sylinderen, Vh kan uttrykkes som ( ), Volumet til en sylinder er gitt vedv r h. Bruker uttrykket fra a) og får, h V( h) h, h h. 4 c) Hva slags funksjon erv? Dette er en tredjegradsfunksjon. Hvis vi multipliserer ut parentesen får vi et andregradsuttrykk som multiplisert med h gir et tredjegradsuttrykk. d) Finn volumet når høyden er 1,0 dm. Jeg tegner grafen til Vh i GeoGebra og leser av punktet 1, V (1) på grafen. Volumet er 1,1 liter når høyden er 1,0 dm. 9

30 e) Finn høyden når volumet er 1,0 liter. Jeg finner skjæringspunktene mellom linjen y 1 og grafen ved kommandoen «Skjæring mellom to objekt». Høyden kan være 0,39 dm eller 1,15 dm for at volumet skal bli 1,0 liter. f) Finn radius i de sylindrene som har et volum på 1,0 liter. Sammenhengen mellom radius og høyde har vi fra oppgave a): rh, h. Radius i sylindrene er 0,91 dm eller 0,53 dm. 30

31 3.4 Temperatursvingningene gjennom et romjulsdøgn er gitt ved funksjonen 3 T x 0,005x 0,1x der x er antall timer etter midnatt. a) Tegn grafen til funksjonen T for ett døgn. b) Bruk grafen og finn når temperaturen er 6C. Temperaturen er 6 C omtrent klokka og klokka

32 Modul 4: Potensfunksjoner og rotfunksjoner 4.1 Potensfunksjonene f, g og h er gitt ved f x 3x g x 3x h x 3x 0,6 1,,1 a) Tegn grafene til de tre funksjonene i samme koordinatsystem. b) Hvilken betydning har eksponenten x - leddet er opphøyd i for stigningen til grafen? Når eksponenten er større enn 1, vil grafen stige sterkere og sterkere. Når eksponenten er mindre enn 1, vil grafen stige svakere og svakere. 3

33 4. Høyden til et frukttre er gitt ved funksjonen 0.7 x h x 0,85 0,5 der x er antall år etter utplanting. a) Tegn grafen til h. Velg x - verdier mellom 0 og 10. b) Hvor høyt er treet etter 3 år? Jeg finner skjæringspunktet mellom grafen og linjen x 3 med kommandoen «Skjæring mellom to objekt». Vi ser av grafen at treet er ca.,3 meter høyt etter 3 år. 33

34 c) Når er treet 4 meter høyt? Jeg finner skjæringspunktet mellom grafen og linjen y 4 med kommandoen «Skjæring mellom to objekt». Vi ser av grafen at treet er 4 meter høyt etter ca. 7,5 år. 34

35 4.3 Gitt en sylinder med et volum på én liter. a) Vis at radius i sylinderen kan uttrykkes som r 1. h 3 Volumet til en sylinder er gitt ved V r h. Volumet skal være 1 L som er lik 1 dm. Løser r h 1 med hensyn på r og får Her blir r målt i dm. r 1. h b) Vis at overflata av sylinderen kan uttrykkes som O( h) h. h Overflata av en sylinder med bunn og topp er gitt ved O r rh. 1 Jeg bytter ut r med r. h Når jeg deler opp brøken i to brøker, får jeg det ønskede uttrykk h h h h Oh h. h h h 35

36 c) Tegn grafen til O. Du skal lage en sylinderformet boks som skal romme én liter. d) Hvor høy må boksen være, og hvor stor radius må den ha, dersom overflata skal bli minst mulig? Jeg finner bunnpunktet med kommandoen «Ekstremalpunkt[funksjon, start, slutt]» og velger start- og sluttverdier rundt bunnpunktet; «Ekstremalpunkt[O, 0.5, 4]». Overflaten er minst når høyden er 1,08 dm. Fra punkt a) kjenner jeg sammenhengen mellom radius og høyde. Da er radius lik 0,54 dm. e) Hva er forholdet mellom diameter og høyde i denne boksen? Forholdet mellom diameter og høyde er da 0, ,08 Det betyr at høyden er lik diameteren. Neste gang du er i butikken, kan du ta med en linjal og måle diameter og høyde på noen literbokser. Hvordan er målene i forhold til resultatene du har funnet her? 36

37 Modul 5: Eksponentialfunksjoner 5.1 Eksponentialfunksjonene f, g og h er gitt ved x f x 30,6 x gx31, x hx3,1 a) Tegn grafene til de tre funksjonene i samme koordinatsystem. b) Grafene skjærer andreaksen i 3. Hvorfor? Når x 0, vil vekstfaltoren opphøyd i 0 bli 1 og grafene vil da skjære andreaksen i 3. c) Hvilken betydning har vekstfaktoren for stigningen til grafen? Når vekstfaktoren er større enn 1, vil grafen stige mot høyre. Når vekstfaktoren er mindre enn 1, vil grafen synke mot høyre. 37

38 5. Miriam kjøpte en scooter for kroner i begynnelsen av 008. Vi regner med at verdien S synker med 15 % per år. Vi kan da skrive verdien x år etter 008 som Sx ,85 x. a) Tegn grafen til S Velg x - verdier mellom 0 og 8. b) Finn grafisk scooterens verdi når den er 3 år gammel. Jeg finner skjæringspunktet mellom grafen og linjen x 3 med kommandoen «Skjæring mellom to objekt» Vi ser av grafen at scooterens verdi etter 3 år er ca kroner. c) Finn grafisk når scooterens verdi er kroner. Jeg finner skjæringspunktet mellom grafen og linjen y 3000 med kommandoen «Skjæring mellom to objekt». Vi ser av grafen at det tar ca. 7,4 år før scooterens verdi er kroner. 38

39 5.3 Temperaturen i et kjøleskap de første timene etter et strømbrudd er gitt ved Tx 31,15 x der x er antall timer etter strømbruddet. a) Hva var temperaturen i kjøleskapet ved strømbruddet? Da strømbruddet skjer, er x lik 0. 0 Vi setter inn i uttrykket og får T(0) 31, Temperaturen i kjøleskapet ved strømbruddet er 4 C. b) Tegn grafen til T La x variere mellom 0 og 0. c) Hvor lang tid går det før temperaturen er 10 grader i kjøleskapet? Jeg finner skjæringspunktet mellom grafen og linjen y 10 med kommandoen «Skjæring mellom to objekt». Vi ser grafisk at det går ca. 14 timer før det er 10 grader i kjøleskapet. d) Er det realistisk å bruke denne modellen dersom strømmen er borte over en lengre periode (mer enn 1 døgn)? Begrunn svaret ditt. Vi ser av grafen at temperaturen vil nå «romtemperatur» etter ca. 0 timer. Temperaturen i kjøleskapet vil aldri overstige «romtemperaturen». Etter modellen vil temperaturen fortsette å stige raskere og raskere etter 0 timer. Det betyr at modellen er urealistisk å bruke dersom strømbruddet varer over ett døgn. 39

40 Modul 6: Vekstfart 6.1 Funksjonene g, h og i er gitt ved funksjonsuttrykkene nedenfor. For hver av funksjonene skal du først tegne grafen. Deretter velger du ut punkter på grafen og bruker disse punktene til å regne ut vekstfarten. Sjekk om vekstfarten er lik stigningstallet du kan lese direkte av grafen. a) gx x Vekstfart 0 Vi ser at vekstfarten er lik stigningstallet. b) hx x Vekstfart Vi ser at vekstfarten er lik stigningstallet. 40

41 c) ix 1 x Vekstfart Vi ser at vekstfarten er lik stigningstallet. 6. Funksjonene g, h, i og f er gitt ved funksjonsuttrykkene nedenfor. For hver av funksjonene skal du velge ut to verdier for x. Deretter regner du ut veksthastigheten ved å regne ut funksjonsverdiene til de valgte x - verdiene. Sjekk om vekstfarten er lik stigningstallet du kan lese direkte av funksjonsuttrykket. a) gx x 4 Jeg velger ut verdiene x1 og x 4. Jeg skriver inn funksjonen på skrivelinjen i GeoGebra og regner i CAS. Vi ser at vekstfarten er lik stigningstallet. 41

42 b) hx 3x Jeg velger ut verdiene x1 og x 4. Jeg skriver inn funksjonen på skrivelinjen i GeoGebra og regner i CAS. Vi ser at vekstfarten er lik stigningstallet. c) ix x Jeg velger ut verdiene x1 og x 4. Jeg skriver inn funksjonen på skrivelinjen i GeoGebra og regner i CAS. Vi ser at vekstfarten er lik stigningstallet. x 7 3 Jeg velger ut verdiene x 1 og x 4. Jeg skriver inn funksjonen på skrivelinjen i GeoGebra og regner i CAS. d) f x Vi ser at vekstfarten er lik stigningstallet. 4

43 6.3 (Eksamen 1p våren 013) Funksjonen h gitt ved 3 h t 3,5t 50t 170t 700 var en god modell for hjortebestanden i en kommune i perioden Ifølge modellen var det ht hjort i kommunen t år etter 1. januar a) Tegn grafen til h for 0 t 10. Jeg tegner grafen i GeoGebra. Bruker kommandoen «Funksjon[funksjon, start, slutt]». b) Når var hjortebestanden størst, og hvor mange hjort var det i kommunen da? Bruker kommandoen «Ekstremalpunkt[polynom]» og finner toppunktet på grafen til h. Hjortebestanden var størst litt ut i 199. Den var da på 867 dyr. 43

44 c) Løs likningen ht 850 grafisk, og forklar hva løsningen forteller om hjortebestanden. Legger inn en linje y 850 i samme koordinatsystem som grafen til h. Finner skjæringspunktene mellom denne linjen og grafen til h ved å bruke kommandoen «Skjæring mellom to objekt». Hjortebestanden er på 850 dyr 1,4 år og,9 år etter Det vil si midt i 1991 til rett før årsskifte d) Hvor stor var den gjennomsnittlige endringen i antall hjort per år i perioden 1. januar januar 1998? Bruker CAS-verktøyet i GeoGebra og finner: Vi finner at hjortebestanden synker i gjennomsnitt med 66 dyr hvert år i denne perioden. 44

45 6.4 Grafen til en lineær funksjon går gjennom to oppgitte punkter. Regn ut stigningstallet a til grafen når de oppgitte punktene er a) 3,7 og 5, a 1 53 b) 1, 8 og 4, a Du får oppgitt at funksjonen f er en lineær funksjon. Du får videre oppgitt at f f 4 9. Finn vekstfarten a til f. f f a og at 45

46 6.6 h x x 0.09x 1 Funksjonen 3 viser høyden i meter til et morelltre de 0 første årene etter at det ble plantet i a) Finn grafisk hvor mye treet vokste i gjennomsnitt per år i perioden 1994 til Vi ser grafisk (stigningstallet til sekanten y) at treet i gjennomsnitt vokste 88 cm per år i perioden 1994 til b) Finn videre hvor mye treet vokste i gjennomsnitt per år i perioden 003 til 006. Vi ser grafisk (stigningstallet til sekanten y) at treet i gjennomsnitt vokste 4 cm per år i perioden fra 003 til

47 Funksjonene f og g er gitt ved f x 0,5x 3x 3x 3 og gx x x 0,0 0,60 4. For hver av funksjonene skal du a) Finne gjennomsnittlig vekstfart når x vokser fra x 1 1 til x. Jeg skriver inn begge funksjonene på skrivelinjen i GeoGebra og regner i CAS: b) Finne gjennomsnittlig vekstfart når x vokser fra x 1 1 til x 1,1 : 47

48 c) Sammenlikn svarene i a) og b). Hvilket av disse svarene gir en mest korrekt verdi for vekstfarten når x 1? Figuren viser at vi får mest riktig verdi for vekstfarten når vi lar x øke fra 1 til 1,1. 48

49 6.8 Forskere har undersøkt veksten til trær i et bestemt skogområde. Det viser seg at høyden til et tre, ht (), målt i meter tilnærmet kan beskrives med en matematisk modell. De første åtte årene gjelder funksjonen 3 h t 0,0t 0,5t 1,15t 0,15 der t er antall år etter utplanting. a) Hva er den gjennomsnittlige vekstfarten fra år 1 til år 4? Jeg skriver inn funksjonen på skrivelinjen i GeoGebra og regner i CAS: a) Skriv noen ord om hvordan høyden til treet forandrer seg fra år til år. Ut fra grafen til høydefunksjonen kan vi lese følgende: Treet vokser raskt de første to årene. De neste fire årene er veksten mindre. De siste to årene er veksten igjen mye større. Det ser ut til at veksten er veldig stor den første tiden etter planting. Så avtar veksten gradvis fram mot år 4. Deretter øker veksten stadig sterkere. 49

50 6.9 Funksjonen f gitt ved f x x x D R. 6 f a) Finn grafisk den momentane vekstfarten til f for x, x 1, x 0 og x 1. Jeg finner først punktene på grafen med de aktuelle x -verdiene. For eksempel når x 1, så har punktet på grafen koordinatene 1, f 1. Jeg finner så likningene for tangentene til grafen i de aktuelle punktene med kommandoen «Tangenter». Stigningstallene til disse tangentene er lik den momentane vekstfarten for de aktuelle x - verdiene. Den momentane vekstfarten når x er 3. Den momentane vekstfarten når x 1 er 1. Den momentane vekstfarten når x 0 er1. Den momentane vekstfarten når x 1 er 3. b) Ser du noen sammenheng mellom fortegnet til den momentane vekstfarten og formen til grafen? Når fortegnet til den momentane vekstfarten er negativt, synker grafen når vi går fra venstre mot høyre. Når fortegnet til den momentane vekstfarten er positivt, stiger grafen når vi går fra venstre mot høyre. 50

51 Eksempeloppgave 1P +P, Desember 007 Nedenfor er det beskrevet 6 ulike situasjoner. For hver situasjon skal du finne en funksjon som beskriver situasjonen. Tre av funksjonene finner du her: 1,60x ,95 x A x B x x x C x De tre andre skal du finne fram til på egen hånd. Situasjon 1, og 3 En teleoperatør opererer med følgende alternativer for mobilabonnement: Prisplan Situasjon 1 (Alternativ 1) Situasjon (Alternativ ) Situasjon 3 (Alternativ 3) Månedsavgift (kr) Samtalepris per minutt (kr),50 1,60 1,10 Finn tre ulike funksjoner som beskriver hvert av de tre alternativene i tabellen ovenfor. Situasjon 1: f( x),50x 60 Situasjon : A( x) 1,60x 15 Situasjon 3: g( x) 1,10x 40 51

52 Situasjon 4 Fra blant annet studier av ringmerkede kjøttmeiser har en funnet ut at innenfor et bestemt område dør 48 % av disse kjøttmeisene i løpet av ett år. Ett år ble det ringmerket 350 kjøttmeiser i dette området. Finn en funksjon som beskriver hvor mange av de ringmerkede kjøttmeisene som lever etter x år. hx ( ) , ,5 Situasjon 4: x x Situasjon 5 En gårdbruker har 00 meter gjerde og skal lage en rektangulær innhegning. Rektangelet er x meter langt. Finn en funksjon som viser hvor stort areal rektangelet får for ulike verdier av x. 00 Situasjon 5: B( x) x x 100x x x meter Situasjon 6 Lysstyrken under vann minker med ca. 5 % for hver meter en er under havoverflaten. Dette betyr at på en dybde er lysstyrken 5 % mindre enn 1 meter høyere oppe. Finn en funksjon som viser lysstyrken x meter under havoverflaten. Cx ( ) , ,95 Situasjon 6: (Setter lysstyrken i overflaten til 100 %.) x x 5