Funksjoner 1T Quiz. Test, 4 Funksjoner

Transkript

1 Test, 4 Funksjoner Innhold 4.1 Funksjonsbegrepet Lineære funksjoner Andre funksjonstyper Vekstfart og derivasjon Drøfting av funksjoner på grunnlag av egenskaper hos den deriverte funksjonen... 4 Grete Larsen 1

2 4.1 Funksjonsbegrepet 1) y er en funksjon av x dersom hver verdi av x gir nøyaktig en verdi av y. ) I et koordinatsystem med to akser kaller vi den vannrette aksen for X x-aksen y-aksen Nullaksen 3) I et koordinatsystem med to akser kaller vi den loddrette aksen for x-aksen X y-aksen Nullaksen 4) I punktet P (,3) er x-verdien lik 3 og y-verdien lik X x-verdien lik og y-verdien lik 3 x-verdien lik summen av og 3 5) Punktet P(0,3) ligger på x-aksen. Riktig X 6) Punktet P (4,0) ligger på y-aksen. Riktig X

3 7) Koordinatene til punktet Origo er (1,1) (10,10) X (0,0) 8) Hvilket av punktene i koordinatsystemet nedenfor har koordinatene (1,3)? X A B Verken A eller B 9) Vi har gitt funksjonen ( ) fx. Funksjonen har definisjonsmengde D 0,100 X f(x) bare er definert for x-verdier fra og med 0 til og med 100 f(x) aldri kan bli mindre enn 0 eller større enn 100 Grafen til f skjærer x-aksen i punktene (0,0) og (0,100) f. Dette betyr at 10) Verdimengden til en funksjon f(x) angir hvilke x-verdier funksjonen er definert for. Riktig X 11) En funksjon f(x) har alltid et nullpunkt når x 0 X fx ( ) 0 Grafen til f skjærer y-aksen 3

4 1) Hvilket av punktene i koordinatsystemet nedenfor har koordinatene (0,)? A X B Verken A eller B 13) Hvilket av punktene i koordinatsystemet nedenfor har koordinatene (,)? A B X Verken A eller B 4

5 14) Hvilket av punktene i koordinatsystemet nedenfor har koordinatene (1,1)? A B X Verken A eller B 15) Definisjonsmengden til en funksjon f(x) angir hvilke x-verdier funksjonen er definert for. 5

6 4. Lineære funksjoner 1) Funksjonsuttrykket for den rette linja som er tegnet i koordinatsystemet ovenfor er X f() x x f( x) x f( x) 0,5x ) Funksjonsuttrykket for den rette linja som er tegnet i koordinatsystemet ovenfor er f( x) 3x X f( x) x 3 f( x) 1,5x 3 6

7 3) Funksjonsuttrykket for den rette linja som er tegnet i koordinatsystemet ovenfor er f( x) x 4 X f( x) x 4 f( x) 4x 4) En funksjon gitt på formen f() x ax b, der a og b er konstanter og a ikke er lik 0, kaller vi en X Lineær funksjon Konstant funksjon Potensfunksjon 5) Gitt funksjonen f() x ax b. Konstanten b forteller oss Hva stigningstallet til grafen til f er Hvor grafen til f skjærer x-aksen X Hvor grafen til f skjærer y-aksen 6) Gitt funksjonen f() x ax b. Konstanten a forteller oss X Hva stigningstallet til grafen til f er Hvor grafen til f skjærer x-aksen Hvor grafen til f skjærer y-aksen 7

8 7) Stigningstallet til en rett linje forteller hvor mye den rette linja stiger, eventuelt synker, i koordinatsystemet når x øker med en enhet. 8) Grafen til en lineær funksjon er alltid en rett linje. 9) Gitt funksjonen f() x ax b. Konstanten a kaller vi Partallet X Stigningstallet Skjæringstallet 10) Gitt funksjonen f() x ax b. Konstanten b kaller vi X Konstantleddet Stigningstallet Partallet 11) Gitt funksjonen f() x ax b. Kan stigningstallet a være negativt? X Ja Nei 1) Formelen y y1 a( x x 1) kaller vi Nullpunktsformelen X Ettpunktsformelen Topunktsformelen 13) Grafen til funksjonen f( x) x 3 skjærer y-aksen i punktet (0, 3). 8

9 14) Grafen til funksjonen f( x) x 4 skjærer y-aksen i punktet (,4). Riktig X 15) Grafen til funksjonen f() x ax går gjennom Origo uansett hvilken verdi a har. 16) Grafene til de to funksjonene f( x) x 5 og g( x) x 3vil aldri skjære hverandre. 17) Gitt funksjonen f( x) x 5. f() 7 X ) Gitt funksjonen f( x) 3x 5. f( ) -11 X ) Hvordan vil du forklare begrepet lineær vekst? Det betyr ingen vekst X Det betyr konstant vekst Det betyr at noe vokser fortere og fortere etter hvert 9

10 0) I koordinatsystemet ovenfor har vi tegnet grafen til funksjonen f(x). Stigningstallet til grafen er -1 0 X 1 1) I koordinatsystemet ovenfor har vi tegnet grafen til funksjonen f() x ax b. Funksjonens konstantledd er -1 X

11 ) I koordinatsystemet ovenfor har vi tegnet grafen til funksjonen f(x). Stigningstallet til grafen er - 1 X 3) I koordinatsystemet ovenfor har vi tegnet grafen til funksjonen f(x). Funksjonens konstantledd er X

12 4) En kommune har i dag innbyggere. I følge en prognose vil innbyggertallet i kommunen øke med 150 innbyggere hvert år de neste 10 årene. Hvilken funksjon kan brukes som modell for kommunens innbyggertall i denne 10-års perioden? f( x) 1000 x 150 X f( x) 150x 1000 f( x) x 5) En funksjons nullpunkt forteller oss hvor grafen til funksjonen X Skjærer x-aksen Skjærer y-aksen Har et toppunkt eller et bunnpunkt 6) Gitt funksjonen f( x) x 4 Funksjonen har et nullpunkt når X x x x 4 7) Gitt funksjonen f( x) 4x 1 Funksjonen har et nullpunkt når X 1 x 4 x 1 x 4 8) Likningen for den rette linja som går gjennom punktene ( 3, 3) og (1,5) er X y x 3 y x 3 y x 5 9) Likningen for den rette linja som går gjennom punktene ( 3, 3), (1,1) og (8,8) er y 3x X y x Y 8x 1

13 30) Likningen for den rette linja som går gjennom punktene (,9) og (1,3) er y x 9 X y x 5 Y x 3 13

14 4.3 Andre funksjonstyper 1) Hvilken av funksjonene nedenfor er en andregradsfunksjon? f( x) x X f( x) 3x f( x) x x 3 ) Hvilken av funksjonene nedenfor er en tredjegradsfunksjon? f( x) 3x 3 X f x x x ( ) f( x) x x 3 3) Hva kaller vi grafen til en andregradsfunksjon? Polynom X Parabel Hyperbel 4) Ovenfor har vi tegnet grafen til funksjonen x 3 x 0 X x 3 f( x) x x 3. Funksjonen har et nullpunkt når 14

15 5) Ovenfor har vi tegnet grafen til funksjonen ( 4, 1) X (1, 4) ( 4,1) f( x) x x 3. Grafen har bunnpunkt i 6) Grafen til funksjonen f() x ax bx c er alltid en parabel når a ikke er lik 0. 7) En parabel er alltid symmetrisk om andreaksen eller en linje som er parallell med andreaksen. 8) Likningen for symmetrilinja til en parabel er X b x a a x b x b a 9) En parabel har alltid et toppunkt eller et bunnpunkt. Dette punktet ligger på symmetrilinja. 15

16 10) Gitt funksjonen Et toppunkt X Et bunnpunkt Et nullpunkt f() x ax bx c. Dersom a er positiv har grafen til f alltid 11) Gitt funksjonen X Et toppunkt Et bunnpunkt Et nullpunkt f() x ax bx c. Dersom a er negativ har grafen til f alltid 1) Gitt funksjonen Skjærer x-aksen X Skjærer y-aksen Har et toppunkt f() x ax bx c. Konstantleddet c forteller oss hvor grafen til f 13) En rasjonal funksjon f(x)har alltid Et ledd med x i telleren Et ledd med x i nevneren X Et polynom både i telleren og i nevneren 14) En brøk er ikke definert når Telleren er lik 0 X Nevneren er lik 0 Telleren er større enn nevneren 15) Funksjonen 3x 3 fx ( ) x 4 er en rasjonal funksjon. 16

17 16) Funksjonen 3x 3 fx ( ) er en rasjonal funksjon. 17) Grafen til funksjonen x 4 X x x 3 3x 3 fx ( ) har vertikal asymptote x 4 18) Grafen til funksjonen X y 4 3 y y 3 3x 3 fx ( ) har horisontal asymptote x 4 19) Funksjonen x 4 X x x 3 3x 3 fx ( ) x 4 er ikke definert for 0) Grafen til funksjonen y 3 X y y 8 4x 8 fx ( ) x 3 har horisontal asymptote 17

18 1) Grafen til funksjonen x 3 4x 8 fx ( ) x 3 har vertikal asymptote X 3 x x 8 ) Grafen til funksjonen x 3 4x 8 fx ( ) x 3 har nullpunkt når X x x 8 3) Når et beløp vokser eller avtar eksponentielt, vokser eller avtar det alltid X Med like mange prosent i hver periode Med samme beløp i hver periode Veldig lite 4) Gitt funksjonen fx ( ) ,03 x f(0) 0 1,03 X ) Tor setter kroner i banken og lar pengene stå urørt i 5 år. Renten er 4,5 % per år. Hvordan kan vi regne ut hvor mange penger han har i banken etter 5 år? X , , ,045 18

19 x 6) Grafen til alle eksponentialfunksjoner gitt på formen f() x a går gjennom samme punkt. Hvilket? (0,0) X (0,1) (1,1) 7) Erik har penger i banken. Han påstår at han kan bruke funksjonen fx ( ) ,055 x for å regne ut hvor mye penger han har i banken etter x år. Hvor mye rente regner han med å få per år? 1,055 %,5 % X 5,5 % 8) En potensfunksjon har formen b f x a x 19

20 4.4 Vekstfart og derivasjon 1) Stigningstallet til en lineær funksjon kalles også vekstfarten eller veksthastigheten til funksjonen. ) Grafen til en lineær funksjon går gjennom de to punktene ( 3,0) og (1,4). Vekstfarten til funksjonen er -3 X 1 4 3) Grafen til en lineær funksjon går gjennom de to punktene (0,3) og(3,0). Vekstfarten til funksjonen er X ) En lineær funksjon er gitt ved f( x) x 4. Vekstfarten til funksjonen er -4 X x 5) En lineær funksjon er gitt ved f() x 0 X 1 x x Vekstfarten til funksjonen er 0

21 6) Gitt funksjonen f() x x. Den gjennomsnittlige vekstfarten for f(x) når x vokser fra til 4 er 4 X 6 7) Gitt funksjonen -1 X 1 f() x 3 x. Den gjennomsnittlige vekstfarten for f(x) når x vokser fra 1 til 1 er 8) y betyr x endring i y-verdi endring i x -verdi 9) Den deriverte er det samme som gjennomsnittlig vekstfart. Riktig X 10) Momentan vekstfart i et punkt = Stigningstallet til tangenten i dette punktet 1

22 11) I koordinatsystemet ovenfor har vi tegnet grafen til funksjonen f(x). Vi har også tegnet tangenten til grafen i punktet (3, ). Av figuren kan vi se at f (3) f (3) 1 X f (3) 1 1) I koordinatsystemet ovenfor har vi tegnet grafen til funksjonen f(x). Vi har også tegnet tangenten til grafen i punktet ( 3, 4). Vi kan se av figuren at f ( 3) 4 X f ( 3) 3 f ( 3) 3

23 13) Dersom f() 1og f () 3 vet vi at grafen til f har en tangent i punktet (,1) med stigningstall 3. 14) Dersom f(4) og f (4) 3 vet vi at grafen til f har en tangent i punktet (4,3) med stigningstall. Riktig X 15) I koordinatsystemet ovenfor har vi tegnet grafen til en funksjon f(x). Gjennomsnittlig vekstfart når x vokser fra til 6 er X 7 8 3

24 4.5 Drøfting av funksjoner på grunnlag av egenskaper hos den deriverte funksjonen 1) Når grafen til f stiger er f (x) positiv. ) Når grafen til f synker, er f (x) negativ. 3) Når f (x) er positiv, vil f(x) også være positiv. Riktig X 4) Når grafen til f har et toppunkt eller et bunnpunkt er f ( x) 0 5) Når f ( x) 0 har grafen til f et nullpunkt. Riktig X 6) Ovenfor har vi tegnet fortegnsskjema for f (x). Ut fra skjemaet ser vi at X f(x) har et toppunkt når x f(x) har et bunnpunkt når x f(x) har et nullpunkt når x 4

25 7) Ovenfor har vi tegnet fortegnsskjema for f (x). Ut fra skjemaet ser vi at X f(x) har et toppunk når x 3 og et bunnpunkt når x 3 f(x) har et toppunk når x 3 og et bunnpunkt når x 3 f(x) har to nullpunkt 8) Gitt f( x) x x 3. Vi har da at f ( x) x 3 X f ( x) x f ( x) x x 9) Gitt f() x x. Vi har da at f ( x) x 1 X f ( x) 1 f ( x) 10) Gitt f( x) x 4x. Vi har da at f ( ) 16 X f ( ) 4 f ( ) 0 11) Hvis f ( x) 3 vet vi at grafen til f Er en parabel som har et toppunkt når x 3 X Er en rett linje med stigningstall 3 Har et nullpunkt når x 3 5

26 1) Andrekoordinaten til et bunnpunkt er en minimalverdi. 13) Andrekoordinaten til et toppunkt er en maksimalverdi. 14) Ved å tegne en fortegnslinje for den deriverte, kan vi se om funksjonen er positiv eller negativ. Riktig X 1 1 f x x x x 1. Vi har da at f ( x) x x 3 15) Gitt funksjonen 3 X f x x x ( ) 1 1 f x x x 3 ( ) 1 6