Løsningsforslag. Funksjoner Vg1T

Transkript

1 Løsningsforslag Innhold 4.1 Funksjonsbegrepet Lineære funksjoner Andre funksjoner Andregradsfunksjoner Polynomfunksjoner Rasjonale funksjoner Potensfunksjoner og eksponentialfunksjoner Vekstfart og derivasjon Drøfting av polynomfunksjoner på grunnlag av derivasjonsregler Noen av oppgavene er merket med symbolet Disse oppgavene bør du klare å løse uten hjelpemidler. Oppgaver og løsningsforslag Stein Aanensen og Olav Kristensen 1

2 4.1 Funksjonsbegrepet Marker punktene 1, 1, 1,,, 1,, 3, 3, 0 og 0, i et koordinatsystem Gitt koordinatsystemet til høyre. Angi koordinatene for punktene A til I. A 4,3, B 1, 4, C 0,, 4, 1, 1, 0, 3, 1 D E F 0, 4, 3, 4, 4,0 G H I Utfordring! Kan du finne avstanden fra origo til punktet H? x x x 5 5 Avstanden fra origo til punktet H er 5.

3 4.1.3 Nedenfor har vi tegnet grafene til fire funksjoner, f, g, h og j. Bestem definisjonsmengden og verdimengden til hver av funksjonene. a) b) D 6,6, V 1,1 g g Df 1,, Vf 0,4 c) d) Dh R, Vh, D R, V,5 i i 3

4 4.1.4 Foreslå en rimelig definisjonsmengde og verdimengde for funksjonene. Lag skisser av grafene og sett benevning på aksene. a) Funksjonen f viser temperaturen gjennom et sommerdøgn på Sørlandet. D f 0,4 Vf 5,5 b) Funksjonen g viser middeltemperaturen hvert døgn gjennom et år på Sydpolen. Dg 0,1 Vg 60, 30 4

5 c) Funksjonen h viser vannstanden i forhold til laveste observerte vannstand i Bergen fra en flomåling til neste flo-måling. For opplysninger om tidevann og vannstand for Norskekysten, se : Vannstand og antall timer mellom hver flo-måling varierer litt fra døgn til døgn. Vi har tatt utgangspunkt i data fra Bergen og laget en tilnærmet riktig kurve. Dh 0,1 Vh 40,160 d) Funksjonen i viser saldoen på kontoen din under en 5-timer lang handletur til nærmeste handlesenter. Di 0,5 Vi 60,

6 Foreslå en rimelig definisjonsmengde og verdimengde for funksjonene. Lag skisser av grafene og sett benevning på aksene. a) Funksjonen B viser folketallet i verden fra og med 1900 til 000. DB 0,100 VB 1,5, 5,7 b) Funksjonen S viser antall sau (og lam) gjennom et år i en besetning på 100 vinterforede sauer. DS 0,1 VS 100,170 c) Funksjonen R viser verdien på en bil fra den ble kjøpt ny for kr og fem år framover. 6

7 D R 0,5 V ,40000 R d) Funksjonen E viser antall elever på skolebussen fra den starter til den er framme på skolen en time senere. D E 0,60 V 0,50 E

8 Foreslå en rimelig definisjonsmengde og verdimengde for funksjonene. a) Funksjonen L viser antall lærere på en videregående skole i Norge som funksjon av antall elever på skolen. D L 50,000 V 5,150 L b) Funksjonen E viser antall elever på en videregående skole i Norge som funksjon av antall lærere på skolen. D E 5,150 V 50,000 E c) Funksjonen V viser hvor mye en bærepose med appelsiner veier som funksjon av antall appelsiner i posen. D V 0,5 V 0,5 V d) Funksjonen M viser melkeforbruket per uke i en husstand som funksjon av antall personer i husstanden. D M 1,8 V 3,5 M 8

9 4.1.7 Hvilken eller hvilke av grafene nedenfor representerer en funksjon? Begrunn svaret. a) b) Dette er ikke en funksjon. Til flere av x-verdiene svarer det mer enn én y-verdi. Dette er ikke en funksjon. Til flere av x-verdiene svarer det mer enn én y-verdi. c) d) Dette er en funksjon. Til hver x-verdi svarer det én y-verdi. Dette er en funksjon. Til hver x-verdi svarer det én y-verdi. 9

10 4.1.8 Skriv opp funksjonsuttrykket for en funksjon som a) viser hva du må betale for x liter melk når hver liter koster 1,40 kroner. f( x) 1,40x b) viser strekningen du har kjørt etter t timer når hastigheten er 80 km/time. f( t) 80t c) viser arealet av et rektangel når omkretsen er 36 m og du kaller grunnlinja x. f( x) x 18 x d) viser hva hver elev må betale, dersom en gruppe elever skal leie en buss. Det koster 3000 kroner å leie bussen og x er antall elever i gruppa fx ( ) x Tegn grafene til følgende funksjoner med digitalt verktøy. For hver graf skal du tilpasse vinduet og enhetene på aksene slik at du får et best mulig bilde av grafen. a) f x x x ( ) 10 0 D 15,3 f 10

11 b) g x x x 3 ( ) D, g c) i x x x 3 ( ) 0 D 5,5 i 11

12 d) A x ( ) 10x 0 D 1,1 A e) K x x x ( ) 0, D 0,1000 f 1

13 f) Bx ( ) ,07 x D f 0, Verdens beste maratonløpere løper med tilnærmet konstant fart og bruker ca. timer og 4 minutt på en maraton (4 195 meter). a) Hvor mange km tilbakelegger disse løperne per minutt? timer og 4 minutt er 14 minutt. Distanse per minutt: 4 195m 340m 14 b) Lag en funksjon som viser sammenhengen mellom distansen, d, løperne tilbakelegger og tiden, t. 340 d t t c) Hva blir definisjonsmengden til funksjonen i b)? Definisjonsmengden blir tiden fra løperne starter til de er i mål. I dette tilfellet blir det fra og med D 0,14 0 til og med 14 minutt. f 13

14 d) Lag en verditabell for følgende t-verdier 30, 60, 90, 10 t dt e) Tegn grafen og finn ut hvilken distanse løperne har tilbakelagt når de har løpt i 45 minutt. Marker i koordinatsystemet. Leser av grafen at de har løpt meter, dvs. 15,3 km på 45 minutt. f) Hva er verdimengden til funksjonen i b)? Verdimengden til funksjonen er distansen maratonløperne tilbakelegger, dvs. fra og med 0 til meter. V 0, 4195 d 14

15 Temperatursvingningene gjennom et romjulsdøgn er gitt ved funksjonen 3 T x 0,005x 0,1x der x er antall timer etter midnatt. a) Forklar at definisjonsmengden til funksjonen T er fra og med 0 til og med 4. Antall timer i et døgn er 4. Funksjonen gjelder for et døgn. Definisjonsmengden er da fra og med 0 til og med 4. b) Tegn grafen til funksjonen T. c) Bruk grafen og finn når temperaturen er 6C. Temperaturen er 6 C omtrent klokka og klokka

16 d) Finn verdimengden til funksjonen T og forklar hva verdimengden forteller om temperatursvingningene dette døgnet. Verdimengden forteller i hvilket område temperaturen beveger seg gjennom døgnet. Av grafen ser vi at den laveste temperaturen er Cog den høyeste temperaturen er ca 8, C. Verdimengden til grafen vil ligge fra og med Ctil og med 8, C. V, 8, Bruker vi parenteser, skriver vi T Camilla har et mobilabonnement. Hun betaler 99 kroner i fast pris per måned og 0,49 kroner per ringeminutt, t. Kostnadene, k, ved å bruke mobiltelefonen en måned kan vi skrive som 0,49t 99 k t der t varierer fra og med 50 til og med 00. a) Hva er definisjonsmengden til k? Definisjonsmengden er D 50, 00 k b) Lag en verditabell for k. Verditabell: t kt 13,50 148,00 17,50 16

17 c) Tegn grafen til k. d) Finn grafisk hvor mange minutt Camilla har ringt når kostnadene er 160 kroner. Camilla har ringt i ca. 15 minutt når kostnaden er 160 kroner. e) Finn verdimengden til k. Ved en ringetid på 50 minutter er kostnaden 13,50 kroner. Ved en ringetid på 00 minutter er kostnaden 197,00 kroner. Verdimengden til k er dermed fra og med 13,50 til og med 197,00. V 13,50, 197,00 Bruker vi parenteser, skriver vi k 17

18 Et rektangel har en omkrets på 100 m. a) Sett grunnlinja lik x og forklar at høyden da blir 50 x. xh x 50 x h 50 x b) Forklar at funksjonen A gitt ved ulike verdier av x. A gh x 50 x x 50x A( x) x 50x gir arealet av rektangelet for c) Tegn grafen til A. d) Bestem D A og V A D 0,50 V 0,65 A A e) Hva er den største verdien arealet kan få? Den største verdien er 65 m. (Se grafen.) (Da har vi et kvadrat, grunnlinja og høyden er begge 5 meter.) f) For hvilke x-verdier er arealet lik 400 m? Forklar hvorfor du får to løsninger. Arealet blir 400 m når x er 10 meter og når x er 40 meter. Vi får to løsninger som gir samme rektangel. I det ene er grunnlinja 10 meter og høyden 40 meter og i det andre er grunnlinja 40 meter og høyden 10 meter. 18

19 4. Lineære funksjoner 4..1 a) De tre lineære funksjonene f, g og h er gitt ved x f x Stigningstall Konstantledd 3x g x Stigningstall 3 Konstantledd hx x Stigningstall 1 Konstantledd 0 Skriv ned stigningstallet og konstantleddet til hver av de tre funksjonene. b) Hva forteller stigningstallet og konstantleddet oss om grafen til en lineær funksjon? Stigningstallet forteller hvor raskt grafen til funksjonen vokser eller avtar. Jo større stigningstallet er, jo brattere er grafen. Konstantleddet forteller hvor grafen skjærer andreaksen. Når grafen skjærer andreaksen, er variabelen x lik 0. 19

20 4.. De tre lineære funksjonene f, g og h er gitt ved 0,5x x x f x g x h x For hver av de tre funksjonene skal du - Lage en verditabell som inneholder 3 ulike x-verdier - Markere punktene du finner i et koordinatsystem - Tegne ei rett linje gjennom punktene 0,5x f x Verditabell x fx Punkter og linje

21 x g x Verditabell x gx Punkter og linje 6 0 h x x Verditabell x hx Punkter og linje

22 4..3 De tre lineære funksjonene f, g og h er gitt ved f x g x h x x 1 x x 3 a) Tegn grafene til de tre funksjonene i samme koordinatsystem. b) Hvor skjærer hver av disse grafene andreaksen? Konstantleddet til fx er 1. Grafen til fx skjærer dermed andreaksen i punktet 0, 1. Konstantleddet til Konstantleddet til gx er. Grafen til hx er 3. Grafen til g x skjærer dermed andreaksen i punktet 0,. hx skjærer dermed andreaksen i punktet 0, 3. c) Kan du si noe om hvordan disse grafene går i forhold til hverandre og hvorfor det er slik? Funksjonene har samme stigningstall. Linjene er derfor parallelle.

23 4..4 Bruk det du vet om stigningstallet og konstantleddet til en lineær funksjon til å tegne de rette linjene gitt ved a) f x x Grafen til f har stigningstall 1 og konstantledd, dvs. at grafen skjærer andreaksen i. Vi kan ta utgangspunkt i på andreaksen. Stigningstallet på 1 forteller at dersom vi beveger oss en enhet langs førsteaksen, stiger grafen med 1 enhet. Vi kan sette av to punkter til og tegne en rett linje gjennom punktene. b) gx x Grafen til g har stigningstall 1 og konstantledd, dvs. at grafen skjærer andreaksen i. Vi kan ta utgangspunkt i på andreaksen. Stigningstallet på 1 forteller at dersom vi beveger oss en enhet langs førsteaksen, synker grafen med 1 enhet. Vi kan sette av to punkter til og tegne en rett linje gjennom punktene. c) hx x 0,5 Grafen til h har stigningstall og konstantledd 0,5, dvs. at grafen skjærer andreaksen i 0,5. Vi kan ta utgangspunkt i 0,5 på andreaksen. Stigningstallet på forteller at dersom vi beveger oss en enhet langs førsteaksen, stiger grafen med enheter. Vi kan sette av to punkter til og tegne en rett linje gjennom punktene. 3

24 4..5 På figuren til høyre ser du to rette linjer i et koordinatsystem. Hva er konstantleddet i funksjonsuttrykket til hver av disse to linjene? Konstantleddet finner vi ved å se på hvor grafene skjærer andreaksen. Den røde linja skjærer andreaksen i punktet 0, 1. Konstantleddet er dermed 1. Den blå linja går gjennom origo. Konstantleddet er da lik a) Finn stigningstallet til den rette linja som er tegnet i koordinatsystemet til høyre. Vi kan ta utgangspunkt i et punkt på grafen, for eksempel punktet 1, 1. Når vi beveger oss 1 enhet langs førsteaksen, stiger grafen med enheter. Stigningstallet er 1 b) Skriv opp funksjonsuttrykket til den lineære funksjonen som gir denne rette linja. Kaller funksjonen for f. Grafen til funksjonen f skjærer andreaksen i punktet 0, 1. Konstantleddet er dermed 1 Funksjonsuttrykket kan da skrives som x 1 f x 4

25 c) Hva er nullpunktet til funksjonen? Nullpunktet er der grafen skjærer førsteaksen. 1 Grafisk ser vi at nullpunktet er x. Ved regning setter vi f x 0 x 1 0 x 1 1 x 5

26 4..7 I koordinatsystemet ovenfor er det tegnet fire grafer. Forklar hvilket av funksjonsuttrykkene nedenfor som hører sammen med hvilken graf. x 1 f x Stigningstall. Skjærer andreaksen i punktet 0, 1. Blå graf x g x Stigningstall. Skjærer andreaksen i punktet 0,. Gul graf hx x Stigningstall 1. Skjærer andreaksen i origo 0,0. Rød graf ix Stigningstall 0. Skjærer andreaksen i punktet 0,. Grønn graf 6

27 4..8 I koordinatsystemet ovenfor har vi tegnet grafene til de fem funksjonene f, g, h, i og j. Skriv ned funksjonsuttrykket til hver av de 5 funksjonene. Funksjonsuttrykket til den røde grafen kan skrives som fx 3 Funksjonsuttrykket til den blå grafen kan skrives som gx x Funksjonsuttrykket til den svarte grafen kan skrives som hx 4x 1 Funksjonsuttrykket til den lilla grafen kan skrives som ix 3x Funksjonsuttrykket til den grønne grafen kan skrives som jx 1 3 x 7

28 4..9 Ei rett linje går gjennom punktene 0, 1 og 1, 1. a) Finn stigningstallet til denne rette linja. y y Stigningstallet er gitt ved x x b) Bruk ettpunktsformelen og finn likningen for linja gjennom disse punktene. y y a x x Bruker punktet (1,1) og stigningstallet fra a) og får likningen 1 1 y1 x1 y1 x yx1 c) Tegn linja og sjekk om du har funnet riktig løsning. Linja skjærer andreaksen i 1 og har stigningstall. Løsningen er riktig. 8

29 4..10 Ei rett linje har stigningstall og går gjennom punktet (,). a) Bruk ettpunktsformelen og finn likningen for linja. y y a x x 1 1 y x y x 4 yx b) Tegn linja og sjekk om du har funnet riktig løsning. Linja skjærer andreaksen i og har stigningstall. Løsningen er riktig. 9

30 4..11 Gitt funksjonen f x 3x 1 gjennom punktet 1,. Finn funksjonsuttrykket til funksjonen g.. Grafen til en annen funksjon g er parallell med grafen til f og går Når grafene til f og g er parallelle, har de samme stigningstall. En likning for funksjonen g blir 3x 1 y y 3x 3 y 3x 5 Funksjonen g kan da skrives gx 3x Ei rett linje går gjennom punktene, 100 og 5, a) Finn stigningstallet til denne rette linja. y y a 100 x x b) Bruk ettpunktsformelen og finn likningen for linja gjennom disse punktene. y y a( x x ) 1 1 y ( x) y 100x y100x100 30

31 c) Tegn linja og sjekk om du har funnet riktig løsning. Linja skjærer andreaksen i 100 og har stigningstall 100. Løsningen er riktig Ei rett linje går gjennom punktene 0,, 0,5 og 0,5,,6. a) Finn stigningstallet til denne rette linja. y y1,6 0,5,1 a 7,0 x x 0,50, 0,3 1 b) Bruk ettpunktsformelen og finn likningen for linja gjennom disse punktene. y y a( x x ) 1 1 y 0,5 7,0( x 0,) y 7,0x1,4 0,5 y7,0x0,9 31

32 c) Tegn linja og sjekk om du har funnet riktig løsning. Linja skjærer andreaksen i 0,9 og har stigningstall 7. Løsningen er riktig. 3

33 4..14 Ei rett linje har stigningstall 0,01 og går gjennom punktet, 0,05. a) Bruk ettpunktsformelen og finn likningen for linja. y y a( x x ) 1 1 y 0,05 0,01( x) y 0,01x 0,0 0,05 y0,01x0,03 b) Tegn linja og sjekk om du har funnet riktig løsning. Siden linja går gjennom punktet, 0,05 og har stigningstall 0,01, må den også gå gjennom punktet 3, 0,06. Linja skjærer andreaksen i 0,03. Løsningen er riktig. 33

34 4..15 Gitt funksjonene 3 x 5 og gx x f x a) Tegn grafene til de to funksjonene i samme koordinatsystem. b) Finn skjæringspunktet mellom grafene grafisk. Jeg brukte kommandoen «Skjæring mellom to objekt» og fant at punktet, skjæringspunktet mellom grafene. A er c) Finn skjæringspunktet mellom grafene ved regning, både med og uten digitale hjelpemidler. Ved CAS Uten bruk av digitale hjelpemidler f x g x 3 x 5 x 3x10 4x 4 3x 4x x 14 g 4 x Jeg får både med og uten digitale hjelpemidler at skjæringspunktet er,. 34

35 d) Finn nullpunktene til funksjonene grafisk og ved regning. Ved regning både med og uten digitale hjelpemidler. Grafisk brukte jeg kommandoen «Skjæring mellom to objekt» og fant skjæringspunktene mellom grafene og x -aksen. (Jeg kunne også brukt kommandoen «Nullpunkt[ <Polynom> ]»). Funksjonen f har nullpunkt for x 3,3 (Se punkt C) og funksjonen g har nullpunkt x 1,0 (Se punkt D) Ved regning uten digitale hjelpemidler: f x 0 3 g x 0 x 5 0 x 0 3x 10 x 10 x x 1 3 Ved CAS Ved CAS: Jeg får samme nullpunkter ved regning som grafisk. 35

36 4..16 Per jobber som telefonselger. Lønnen er basert på en grunnlønn per time på 105 kroner. I tillegg får han 10 kroner for hvert salg han oppnår. a) Lag en funksjon L som viser timelønnen i kroner når han oppnår s antall salg. L s s b) D 0,15 L. Tegn grafen til funksjonen L i et koordinatsystem. c) Hvor mange salg har Per hatt når timelønnen var 175 kroner? Jeg tegner linjen y 175. Jeg finner skjæringspunktet mellom denne linjen og grafen til L med kommandoen «Skjæring mellom to objekt». Se punkt b. Med en timelønn på 175 kroner har Per har hatt 7 salg. Dette kan vi også finne ved regning i CAS d) Finn verdimengden til funksjonen L. Den største timelønnen Per kan oppnå er 1015 kroner 105 kroner 55 kroner. Den laveste er V 105, kroner. Verdimengden blir L 36

37 4..17 På en terminprøve i matematikk har Trine tatt med seg en flaske med kaldt kildevann. Temperaturen i vannet var 5 C ved starten av prøven og stiger jevnt med 5,4 C i timen i løpet av de 3 første timene prøven varer. a) Lag en funksjon T for temperaturen i vannet etter x antall minutt. 5,4C Temperaturstigningen blir 0,09 C per minutt. 60min T x x 0,09 5 b) Hva er temperaturen i vannet etter 1,5 timer? T 90 0, ,1 C c) Tegn grafen til T i et koordinatsystem. La x variere fra 0 til 180. d) Når var temperaturen i vannet 14 C? Jeg tegner linjen y 14. Jeg finner skjæringspunktet mellom denne linjen og grafen til T med kommandoen «Skjæring mellom to objekt». Se punkt c. Temperaturen var 14 C etter 100 minutt altså etter 1 time og 40 minutt. Anette hadde også med seg en flaske med kildevann på prøven. Funksjonen f viser temperaturen i vannet til Anette x antall minutt etter at prøven startet 0,08x 6,5 f x e) Hva var temperaturen i vannet til Anette da prøven startet? Da prøven starter, er x 0. Temperaturen i vannflasken til Anette var dermed 6,5 C ved prøvestart. 37

38 4..18 Løs likningssettene grafisk. a) x y x3y6 Vi ordner hver likning og skriver y som en funksjon av x : x y y x x 3y 6 y x 3 Så tegner vi grafene og finner skjæringspunktet: Løsning på likningssettet er x 0 y. b) 6xy8 xy6 Vi ordner hver likning og skriver y som en funksjon av x : 6x y 8 y 3x 4 x y 6 y x 6 Så tegner vi grafene og finner skjæringspunktet: Løsning på likningssettet er x y. 38

39 c) 5xy 4 x3y6 Vi ordner hver likning og skriver y som en funksjon av x : 5 5x y 4 y x x 3y 6 y x 3 Så tegner vi grafene og finner skjæringspunktet: Løsning på likningssettet er x 0 y. d) 4x 3y 6y 8x 4 Vi ordner hver likning og skriver y som en funksjon av x : 4 4x 3y y x y 8x 4 y x 3 3 Grafene får samme funksjonsuttrykk. Det vil si at de faller sammen 4 Alle punkt som ligger på linja y x er løsninger av likningssettet. 3 3 e) y x 6 4y 4x Vi ordner hver likning og skriver y som en funksjon av x : y x 6 y x 6 1 4y 4x y x Så tegner vi grafene og finner skjæringspunktet: 39

40 Siden linjene har samme stigningstall og ulikt konstantledd er de parallelle og vil ikke skjære hverandre. Likningssettet har ingen løsning. 40

41 4..19 Tabellen nedenfor viser folkemengden i Norge for noen utvalgte år i perioden fra 1950 til 000. År Folkemengde a) Plott punktene i et koordinatsystem og finn et tilnærmet lineært uttrykk for en funksjon f som beskriver sammenhengen mellom år og folkemengde ved å bruke et digitalt verktøy. La x være antall år etter 1950 og fx folkemengden i millioner. Jeg valgte «Regneark». La punktene fra tabellen nedenfor inn i kolonne A og B. x fx 3, 3,6 3,9 4,1 4, 4,5 Merket området A1:B6. Jeg valgte så «Regresjonsanalyse» og «Analyser». Som regresjonsmodell valgte jeg «Lineær» Funksjonen f kan beskrives med uttrykket f x 0,04x 3,315 Jeg valgte «Kopier til grafikkfeltet» 41

42 b) Hvor mye øker folkemengden per år ut fra uttrykket du fant i a)? Av funksjonsuttrykket ser vi at stigningstallet er 0,04. Økningen i folkemengde per år er 0,04 millioner altså individer. c) Dersom denne utviklingen fortsetter, hva vil folkemengden i Norge være i år 050? Variabelen x er antall år etter Vi setter da x lik 100 i funksjonen vi fant ovenfor og finner folkemengden i Norge i år 050. f 100 0, ,315 5,715 Folkemengden i Norge vil være i år 050 etter denne modellen. 4

43 4..0 Tabellen nedenfor viser utslipp av svoveldioksid til luft i Norge for noen utvalgte år fra 1973 til 000. År Utslipp til luft SO i 1000 tonn 156,4 136,4 73,1 37,0 33,1 7,3 a) Plott punktene i et koordinatsystem og finn et tilnærmet lineært uttrykk for en funksjon S som beskriver sammenhengen mellom år og utslipp. La x være antall år etter 1973 og Sx utslippet av svoveldioksid i tusen tonn. Jeg bruker lineær regresjon i GeoGebra og finner at funksjonen S kan beskrives med uttrykket Sx 5,39x 158 b) Når var utslippet av svoveldioksid 100 tusen tonn? Jeg finner skjæringspunktet mellom linjen y 100 og grafen til funksjonen S ved kommandoen «Skjæring mellom to objekt». Jeg finner at utslippet av SO er 100 tusen tonn omtrent 11 år etter 1973, dvs. i c) Hva vil utslippet være i år 010 dersom vi følger denne modellen. Kommenter svaret. Utslipp i år 010: Utslippet kan ikke være negativt. Modellen ovenfor kan ikke brukes til å anslå utslipp i lang tid framover. Når vi ser på punktene og grafen ovenfor, ser vi at modellen passer bra fram til Modellen passer dårlig etter

44 4.3 Andre funksjoner Andregradsfunksjoner a) Se på de fire funksjonsuttrykkene nedenfor og finn ut ved regning - hvilken vei grafene til funksjonene krummer (smil eller sur ) - hvilke av grafene som har toppunkt og hvilke som har bunnpunkt - hvor grafene skjærer andreaksen - likningen for symmetrilinja til hver av grafene - koordinatene til topp- eller bunnpunktet til hver av grafene - verdimengden til funksjonene - nullpunktene til funksjonene f x x 7x 1 Når og a 0, vil grafen vende sin hule side opp (smile). Grafen vil da ha et f() x ax bx c bunnpunkt. Grafen skjærer andreaksen i 1 fordi konstantleddet, c 1. Symmetrilinja er b 7 x a Bunnpunkt har koordinater , f, 4 f Verdimengden blir da 1, 4 For å finne nullpunktene løser vi likningen f x x 0 7x x x 3 x 4 1 Nullpunktene er 3 og 4. 44

45 g x x x 4 Når og a 0, vil grafen vende sin hule side ned (sur). Grafen vil da ha et f() x ax bx c toppunkt. Grafen skjærer andreaksen i 4 fordi konstantleddet, c 4. Symmetrilinja blir 1 x Toppunktet har koordinater (, g( )) (, ) g( ) 4 Verdimengden blir da 9, For å finne nullpunktene løser vi likningen g x 0 x x x 4 x 1 x Nullpunktene er -1 og. x h x Når 8 og a 0, vil grafen vende sin hule side ned (sur). Grafen vil da ha et f() x ax bx c toppunkt. Grafen skjærer andreaksen i 8 fordi konstantleddet, c 8. b 0 Symmetrilinja: x 0 a Toppunkt faller da sammen med skjæring med andreaksen: (0, 8) Verdimengden:, 8 45

46 Grafen til h ligger under x-aksen. V =, 8. Funksjonen har derfor ingen nulpunkt. f i x 3x 1x Når og a 0, vil grafen vende sin hule side opp (smile). Grafen vil da ha et f() x ax bx c bunnpunkt. Grafen skjærer andreaksen i 0 fordi konstantleddet, c 0. Symmetrilinja blir b 1 x a 3 Bunnpunktet har koordinater (, i( )) (, 1) i( ) Verdimengden blir da 1, For å finne nullpunktene løser vi likningen i x 0 3x 1x0 3 xx ( 4) 0 x 4 x 0 1 Nullpunktene er - 4 og 0. 46

47 b) Sjekk svarene i a) ved å tegne grafene til funksjonene i et koordinatsystem. 47

48 4.3. Funksjonen f er gitt ved a) Tegn grafen til f. f x x x 6 for x - verdier mellom 4 og 3. b) Bestem bunnpunktet til grafen til f grafisk og ved regning. Jeg bruker kommandoen «Ekstremalpunkt[f]» i GeoGebra. Vi ser av grafen at bunnpunktet er 0.5, 6.5. Ved regning Symmetrilinja blir 1 x 0,5 1 y-verdien blir da f 0,5 0,5 0,56 6,5 Bunnpunktet blir 0.5, 6.5 c) Bestem grafisk hvor grafen til f skjærer koordinataksene. 48

49 Grafen til f skjærer førsteaksen i 3, 0 og,0. Grafen til f skjærer andreaksen i 0, 6. d) Bestem ved regning hvor grafen til f skjærer koordinataksene. Grafen skjærer andreaksen når x 0 : f 0 6 Skjæringspunkt 0, 6. Grafen skjærer andreaksen når y 0 : f x x 0 x x x 3 x Grafen skjærer førsteaksen i punktene 3, 0 og, 0. e) Hva er verdimengden til f? I denne oppgaven skulle vi velge x-verdier fra og med 4 til og med 3. Definisjonsmengden D til funksjonen blir dermed D 4,3 f Den laveste verdien til funksjonen f er 6,5. Vi ser grafisk at den høyeste verdien til funksjonen er 6. Verdimengden f V blir dermed V 6,5, 6 f f 49

50 4.3.3 Andreas kaster et spyd. Grafen til funksjonen f gitt ved f x 0,01x 0,85x,0 beskriver banen spydet følger gjennom luften. Her er x meter målt langs bakken fra stedet hvorfra Andreas kaster spydet, og høyden spydet har over bakken. a) Tegn grafen til f for x 0. fx meter er Jeg tegner grafen i GeoGebra ved å skrive inn «f(x)=funksjon[-0.01x^+0.85x+.0, 0, ]» b) Bestem skjæringspunktene mellom grafen til f og aksene. Bestem toppunktet på grafen til f. Jeg finner skjæringspunktene mellom aksene og grafen ved å bruke kommandoen «Skjæring mellom to objekt». Grafen skjærer x aksen for x 87,5 og y aksen for y,. Jeg finner toppunktet ved å bruke kommandoen «Ekstremalpunkt [<Polynom>]». Toppunktet er 4.5, 0.3 c) Hva forteller svarene i b) om spydkastet? Andreas kaster ut spydet, meter over bakken. Spydet når en høyde på litt over 0 meter og lengden på kastet er 87,5 meter. 50

51 4.3.4 Camilla kaster en ball rett opp i lufta. Etter t sekund er høyden h meter over bakken gitt ved andregradsfunksjonen h t 14,1t 4,9t 1,8. a) Tegn grafen til h for de første 3 sekundene. b) Når er ballen 10 meter over bakken? Jeg tegner linjen y 10. Jeg finner skjæringspunktet mellom denne linjen og grafen til h med kommandoen «Skjæring mellom to objekt». Se punktene D og E. Ballen er 10 meter over bakken etter 0,8 sekund og etter,1 sekund. c) Når treffer ballen bakken? Jeg finner nullpunktet med kommandoen «Nullpunkt[h]». Se punkt C. Ballen treffer bakken etter 3 sekund. d) Når er ballen 15 meter over bakken? Vi ser av grafen at ballen aldri når denne høyden! e) Hvor høyt når ballen og når er ballen på sitt høyeste punkt? Jeg finner toppunktet med kommandoen «Ekstremalpunkt[h]». se punkt A. Ballen når sitt høyeste punkt etter ca. 1,4 sekund og har da en høyde på 1,0 meter over bakken. 51

52 4.3.5 Gitt grafene nedenfor. Sett riktig bokstav (A, B, C) foran den andregradsfunksjonen du mener tilhører Graf A, Graf B og Graf C. OBS! Tre av funksjonsuttrykkene hører ikke til noen av grafene. B A C x f x x x f x x x f x x x f x x x f x f 0,5 0,5x x 6 x x 4 6 5

53 Polynomfunksjoner a) Tegn grafen til funksjonen f gitt ved 3 - toppunkter - bunnpunkter - skjæringspunkter med koordinataksene f x 0,5x 3x 3x 3 og finn grafisk eventuelle Jeg finner grafisk bunnpunktet 0,6,, og toppunktet 3,4, 7,8 med kommandoen «Ekstremalpunkt[ f ]» i GeoGebra. Jeg finner grafisk, med kommandoen «Nullpunkt[ f ]» i GeoGebra, at det er et nullpunkt i 5,0. Skjæring med andreaksen i 0,3. 53

54 b) Tegn grafen til funksjonen g gitt ved 3 - toppunkter - bunnpunkter - skjæringspunkter med koordinataksene g x 0,0x 0,60x 4 og finn grafisk eventuelle Toppunkt i 0,4. Bunnpunkt i, 3,. Skjæring med førsteaksen i,0. Skjæring med andreaksen i 0,4. 54

55 4.3.7 Gitt en sylinder der summen av diameter og høyde er, dm. a) Kall høyden i sylinderen h og vis at et utrykk for radius r uttrykt ved h er dh, rh,, h rh, h rh () V h h h 4 b) Vis at volumet av sylinderen, Vh kan uttrykkes som ( ), Volumet til en sylinder er gitt vedv r h. Bruker uttrykket fra a) og får, h V( h) h, h h 4 c) Hva slags funksjon erv? Dette er en tredjegradsfunksjon. Hvis vi multipliserer ut parentesen får vi et andregradsuttrykk som multiplisert med h gir et tredjegradsuttrykk. d) Finn volumet når høyden er 1,0 dm. Jeg tegner grafen til Vh i GeoGebra og leser av punktet 1, V (1) på grafen. Volumet er 1,1 liter når høyden er 1,0 dm. 55

56 e) Finn høyden når volumet er 1,0 liter. Jeg finner skjæringspunktene mellom linjen y 1 og grafen ved kommandoen «Skjæring mellom to objekt» Høyden kan være 0,39 dm eller 1,15 dm for at volumet skal bli 1,0 liter. f) Finn radius i de sylindrene som har et volum på 1,0 liter. Sammenhengen mellom radius og høyde har vi fra oppgave a): rh, h Radius i sylindrene er 0,91 dm eller 0,53 dm. 56

57 Rasjonale funksjoner Tegn grafen til funksjonene gitt ved funksjonsuttrykkene nedenfor og bestem asymptotene. a) fx x x Den vertikale asymptoten finner vi ved å sette nevneren i funksjonsuttrykket lik 0. Vi får x 0 som gir x Den vertikale asymptoten blir x Den horisontale asymptoten finner vi ved å la x-leddet gå mot et uendelig stort positivt eller x x negativt tall. Konstantene i brøken betyr da minimalt og vi kan skrive fx 1 x x Horisontal asymptote blir y 1 I GeoGebra kan vi finne begge asymptotene ved kommandoen «Asymptote[f]». 57

58 b) gx 3x 1 x Vi har x 0 som gir den vertikale asymptoten x Den horisontale asymptoten finner vi ved å la x-leddet gå mot et uendelig stort positivt eller negativt tall. Konstantene i brøken betyr da minimalt og vi kan skrive g x Horisontal asymptote blir y 3 3x1 3x 3 x x c) hx x 4 Vi har x 4 0 som gir den vertikale asymptoten x Den horisontale asymptoten finner du ved å la x-leddet gå mot et uendelig stort positivt eller negativt tall. Konstantene i brøken betyr da minimalt og vi kan skrive h x Horisontal asymptote blir y 0 (altså x-aksen). 0 0 x 4 x 58

59 d) ix x x 1 Vi har x 1 0 som gir den vertikale asymptoten x 1 Her har vi i tillegg en skrå asymptote yx 1 (Du finner eventuelle skrå asymptoter i GeoGebra på samme måte som du finner vertikale og horisontale asymptoter.) 59

60 4.3.9 Morten har et mobilabonnement der han betaler 59 kroner i fast avgift per måned. I tillegg betaler han 0,49 kroner per minutt når han ringer. Kostnadene K per minutt for Mortens mobilbruk en måned når han ringer x minutt kan skrives som K x 0,49x 59 x a) Tegn grafen til K for x - verdier mellom 0 og b) Hva nærmer kostnadene seg per minutt når Morten ringer svært mye? Når Morten ringer svært mye, vil den faste månedsavgiften bety lite og kostnadene per minutt vil nærme seg 49 øre. c) Finn likningen for den horisontale asymptoten. 0,49x 59 Kx vil gå mot 0,49 x 0,49 øre per minutt når Morten ringer svært mye. x x Likningen for den horisontale asymptoten er y 0,49 60

61 d) Hva blir prisen per minutt dersom Morten en måned ringer 300 minutt? Punktet 300, ,0,69 K viser at prisen per minutt blir 69 øre dersom han ringer 300 minutt i måneden. e) Hvor mye må Morten ringe dersom det skal koste 60 øre per minutt? Vi ser av grafen at Morten må ringe 536 minutt dersom prisen per minutt skal bli 60 øre. 61

62 Potensfunksjoner og eksponentialfunksjoner Potensfunksjonene f, g og h er gitt ved f x g x h x 3x 3x 3x 0,6 1,,1 a) Tegn grafene til de tre funksjonene i samme koordinatsystem. b) Hvilken betydning har eksponenten x - leddet er opphøyd i for stigningen til grafen? Når eksponenten er større enn 1, vil grafen stige sterkere og sterkere. Når eksponenten er mindre enn 1, vil grafen stige svakere og svakere. 6

63 Eksponentialfunksjonene f, g og h er gitt ved f x g x h x 30,6 31, 3,1 x x x a) Tegn grafene til de tre funksjonene i samme koordinatsystem. b) Grafene skjærer andreaksen i 3. Hvorfor? Når x 0, vil vekstfaktoren opphøyd i 0 bli 1 og grafene vil da skjære andreaksen i 3. c) Hvilken betydning har vekstfaktoren for stigningen til grafen? Når vekstfaktoren er større enn 1, vil grafen stige mot høyre. Når vekstfaktoren er mindre enn 1, vil grafen synke mot høyre. 63

64 4.3.1 Miriam kjøpte en scooter for kroner i begynnelsen av 008. Vi regner med at verdien S synker med 15 % per år. Vi kan da skrive verdien x år etter 008 som Sx ,85 x a) Tegn grafen til S. Velg x - verdier mellom 0 og 8. b) Finn grafisk scooterens verdi når den er 3 år gammel. Vi ser av grafen at scooterens verdi etter 3 år er ca kroner. c) Finn grafisk når scooterens verdi er kroner. Vi ser av grafen at det tar ca. 7,4 år før scooterens verdi er kroner. 64

65 Temperaturen i et kjøleskap de første timene etter et strømbrudd er gitt ved Tx 31,15 x der x er antall timer etter strømbruddet. a) Hva var temperaturen i kjøleskapet ved strømbruddet? Da strømbruddet skjer, er x lik 0. 0 Vi setter inn i uttrykket og får T(0) 31, Temperaturen i kjøleskapet ved strømbruddet er 4 C. b) Tegn grafen til T La x variere mellom 0 og 0. c) Hvor lang tid går det før temperaturen er 10 grader i kjøleskapet? Jeg finner skjæringspunktet mellom grafen og linjen y 10 med kommandoen «Skjæring mellom to objekt» Vi ser grafisk at det går ca. 14 timer før det er 10 grader i kjøleskapet. d) Er det realistisk å bruke denne modellen dersom strømmen er borte over en lengre periode (mer enn 1 døgn)? Begrunn svaret ditt. Vi ser av grafen at temperaturen vil nå «romtemperatur» etter ca. 0 timer. Temperaturen i kjøleskapet vil aldri overstige «romtemperaturen». Etter modellen vil temperaturen fortsette å stige raskere og raskere etter 0 timer. Det betyr at modellen er urealistisk å bruke dersom strømbruddet varer over ett døgn. 65

66 Høyden til et frukttre er gitt ved funksjonen 0.7 x h x 0,85 0,5 der x er antall år etter utplanting. a) Tegn grafen til h. Velg x - verdier mellom 0 og 10. b) Hvor høyt er treet etter 3 år? Vi ser av grafen at treet er ca.,3 meter høyt etter 3 år. c) Når er treet 4 meter høyt? Vi ser av grafen at treet er 4 meter høyt etter ca. 7,5 år. 66

67 Gitt en sylinder med et volum på én liter. a) Vis at radius i sylinderen kan uttrykkes som r 1 h 3 Volumet til en sylinder er gitt ved V r h. Volumet skal være 1 L som er lik 1 dm. Løser r h 1 med hensyn på r og får Her blir r målt i dm. r 1. h b) Vis at overflata av sylinderen kan uttrykkes som O( h) h h Overflata av en sylinder med bunn og topp er gitt ved O r rh. 1 Jeg bytter ut r med r h Når jeg deler opp brøken i to brøker, får jeg det ønskede uttrykk h h h h Oh h h h h 67

68 c) Tegn grafen til O. Du skal lage en sylinderformet boks som skal romme én liter. d) Hvor høy må boksen være, og hvor stor radius må den ha, dersom overflata skal bli minst mulig? Jeg finner bunnpunktet med kommandoen «Ekstremalpunkt[funksjon, start, slutt]» og velger start- og sluttverdier rundt bunnpunktet; «Ekstremalpunkt[O, 0.5, 4]» Overflaten er minst når høyden er 1,08 dm. Fra punkt a) kjenner jeg sammenhengen mellom radius og høyde. Da er radius lik 0,54 dm. e) Hva er forholdet mellom diameter og høyde i denne boksen? Forholdet mellom diameter og høyde er da 0,54 1 1,08 Det betyr at høyden er lik diameteren. Neste gang du er i butikken, kan du ta med en linjal og måle diameter og høyde på noen litersbokser. Hvordan er målene i forhold til resultatene du har funnet her? 68

69 4.4 Vekstfart og derivasjon Funksjonene g, h og i er gitt ved funksjonsuttrykkene nedenfor. For hver av funksjonene skal du først tegne grafen. Deretter velger du ut punkter på grafen og bruker disse punktene til å regne ut vekstfarten. Sjekk om vekstfarten er lik stigningstallet du kan lese direkte av grafen. a) gx x 4 y Vekstfart x 0 Vi ser at vekstfarten er lik stigningstallet. b) hx x 8 y Vekstfart 1 x Vi ser at vekstfarten er lik stigningstallet. 69

70 c) ix 1 x y Vekstfart 1 x 1 1 Vi ser at vekstfarten er lik stigningstallet Funksjonene g, h, i og f er gitt ved funksjonsuttrykkene nedenfor. For hver av funksjonene skal du velge ut to verdier for x. Deretter regner du ut veksthastigheten ved å regne ut funksjonsverdiene til de valgte x - verdiene. Sjekk om vekstfarten er lik stigningstallet du kan lese direkte av funksjonsuttrykket. a) gx x 4 Jeg velger ut verdiene x1 og x 4. 4 g y g Vekstfarten x 4 4 Vi ser at vekstfarten er lik stigningstallet. b) hx 3x Jeg velger ut verdiene x1 og x 4. hx y h x x x x1 4 Vi ser at vekstfarten er lik stigningstallet. 1 Vekstfarten 3 70

71 c) ix x Jeg velger ut verdiene x1 og x 4. i y i Vekstfarten 5 x x x1 4 Vi ser at vekstfarten er lik stigningstallet. x 7 3 Jeg velger ut verdiene x 1 og x 4. d) f x y f4 f Vekstfarten 4 x x x Vi ser at vekstfarten er lik stigningstallet Grafen til en lineær funksjon går gjennom to oppgitte punkter. Regn ut stigningstallet a til grafen når de oppgitte punktene er a) 3,7 og 5,9 y 9 7 a 1 x 53 b) 1, 8 og 4,1 y a 3 x Du får oppgitt at funksjonen f er en lineær funksjon. Du får videre oppgitt at f f 4 9. Finn vekstfarten a til f. y f x f x1 a x x x og at 71

72 4.4.5 Funksjonen hx x x 1 x 0,0 viser høyden til et morelltre x antall år etter at det ble plantet i a) Finn grafisk hvor mye treet vokste i gjennomsnitt per år i perioden 1994 til Vi ser grafisk (stigningstallet til sekanten y) at treet i gjennomsnitt vokste 88 cm per år i perioden 1994 til b) Finn videre hvor mye treet vokste i gjennomsnitt per år i perioden 003 til 006. Vi ser grafisk (stigningstallet til sekanten y) at treet i gjennomsnitt vokste 4 cm per år i perioden fra 003 til

73 Funksjonene f og g er gitt ved f x 0,5x 3x 3x 3 og gx x x 0,0 0,60 4 For hver av funksjonene skal du a) Finne gjennomsnittlig vekstfart når x vokser fra x 1 1 til x Jeg skriver inn begge funksjonene på skrivelinjen i GeoGebra og regner i CAS b) Finne gjennomsnittlig vekstfart når x vokser fra x 1 1 til x 1,1 c) Sammenlikn svarene i a) og b). Hvilket av disse svarene gir en mest korrekt verdi for vekstfarten når x 1? Vi får mest riktig verdi for vekstfarten når vi lar x øke fra 1 til 1,1. Se figur for funksjonen f. 73

74 4.4.7 Forskere har undersøkt veksten til trær i et bestemt skogområde. Det viser seg at høyden til et tre, ht (), målt i meter tilnærmet kan beskrives med en matematisk modell. De første åtte årene gjelder funksjonen 3 h t 0,0t 0,5t 1,15t 0,15 der t er antall år etter utplanting. a) Hva er den gjennomsnittlige vekstfarten fra år 1 til år 4? Jeg skriver inn funksjonen på skrivelinjen i GeoGebra og regner i CAS Den gjennomsnittlige vekstfarten fra år 1 til 4 er cm 3 år a) Skriv noen ord om hvordan høyden til treet forandrer seg fra år til år. 74

75 Ut fra grafen til høydefunksjonen kan vi lese følgende: Treet vokser raskt de første to årene. De neste fire årene er veksten mindre. De siste to årene er veksten igjen mye større. Det ser ut til at veksten er veldig stor den første tiden etter planting. Så avtar veksten gradvis fram mot år 4. Deretter øker veksten stadig sterkere Morten har et mobilabonnement der han betaler 59 kroner i fast avgift per måned. I tillegg betaler han 0,49 kroner per minutt når han ringer. Kostnadene K per minutt for Mortens mobilbruk en måned når han ringer x minutt kan skrives som K x 0,49x 59 x Hva er den gjennomsnittlige veksthastigheten når ringetiden øker fra a) 0 minutt til 00 minutt per måned? b) 00 minutt til 400 minutt per måned? c) 400 minutt til 100 minutt per måned? Jeg skriver inn kostnadsfunksjonen i GeoGebra. Gjennomsnittlig vekstfart når ringetiden øker fra 0 minutter til 00 minutter: 75

76 Kostnadene per minutt avtar gjennomsnittlig med 1,5 øre/minutt for hvert ekstra minutt han ringer mellom 0 og 00 minutt. Gjennomsnittlig vekstfart når ringetiden øker fra 00 minutt til 400 minutt er Kostnadene per minutt avtar gjennomsnittlig med 0,07 øre/minutt for hvert ekstra minutt han ringer mellom 00 og 400 minutt. Gjennomsnittlig vekstfart når ringetiden øker fra 400 minutt til 100 minutt er Kostnadene per minutt avtar gjennomsnittlig med 0,01 øre/minutt for hvert ekstra minutt han ringer mellom 400 og 100 minutt. d) Hvilken benevning får du? Kan du forklare hva det betyr i praksis? Kx måles i kr min mindre blir kostnadene per minutt. kr. x måles i minutt. Benevningen blir «per min minutt». Jo mer han ringer, jo 76

77 4.4.9 Russen skal ha fest. De leier et selskapslokale. Prisen per deltaker, er gitt ved f x hvor x er antall festdeltakere. x fx kroner, a) Hva er den gjennomsnittlige veksthastigheten når antall festdeltakere øker fra 50 til 60? Gjennomsnittlig veksthastighet tilsvarer stigningstallet til sekanten gjennom punktene f og 60, 60 50, 50 f. Grafen viser at den gjennomsnittlige veksthastigheten er,8. b) Hva betyr i praksis det svaret du fikk i a)? Prisen avtar gjennomsnittlig med,80 kroner per deltaker når antall festdeltakere øker fra 50 til

78 Funksjonen f gitt ved f x x x D R 6 f a) Finn grafisk den momentane vekstfarten til f for x x 1 x 0 x 1 Den momentane vekstfarten når x er 3. Den momentane vekstfarten når x 1 er 1. Den momentane vekstfarten når x 0 er 1. Den momentane vekstfarten når x 1 er 3. b) Ser du noen sammenheng mellom fortegnet til den momentane vekstfarten og formen til grafen? Når fortegnet til den momentane vekstfarten er negativt, synker grafen når vi går fra venstre mot høyre. Når fortegnet til den momentane vekstfarten er positivt, stiger grafen når vi går fra venstre mot høyre. 78

79 Funksjonen g er gitt ved g x x x 4 a) Finn grafisk den deriverte, g'( x ) for x 1 x 0 x 1 x Den deriverte når x 1 er 6. Den deriverte når x 0 er. Den deriverte når x 1 er. Den deriverte når x er 6. b) Ser du noen sammenheng mellom fortegnet til den deriverte og formen til grafen? Når fortegnet til den deriverte er negativt, så synker grafen når vi går fra venstre mot høyre. Når fortegnet til deriverte er positivt, så stiger grafen når vi går fra venstre mot høyre. 79

80 4.4.1 Gå tilbake til oppgave Finn grafisk den momentane vekstfarten (den deriverte) for x 50 og x 60. Hva forteller svarene deg? Den deriverte når x 50 er 3,4. Det betyr at en ekstra festdeltaker da vil redusere stykkprisen med ca. 3,40 kroner. Den deriverte når x 60 er,36. Det betyr at en ekstra festdeltaker da vil redusere stykkprisen med ca.,36 kroner. 80

81 Funksjonene f og g er gitt ved f x x x 6 og g x x x 4.. a) Bruk definisjonen til den deriverte og regn deg fram til et generelt uttrykk for f x y f x x f x x x x x x 6 x x 6 x x x x x x x 6 x x 6 x x x x x x x xx1 x x x x 1 x 1 når x 0 f x x 1 b) Regn ut f f 1 5. c) Bruk definisjonen til den deriverte og regn deg fram til et generelt uttrykk for g x y g x x g x x x x x x x x 4 4 x x x x x x x x 4 x x 4 x x 4x x x x x 4 x x 4 x 4x x x x x 4xx x x 4x x 4x når x 0 g x 4x d) Regn ut g. g 4 6 e) Ser du noe mønster i svarene i a) og c)? Se regneregler for derivasjon. 81

82 Bruk regnereglene for derivasjon og finn x f når a) fx 34 fx 0 b) fx Husk at er en konst ant! fx 0 c) fx 0 Husk at er en kon fx 0 1 stant! Bruk regnereglene for derivasjon og finn x f når a) f x 3x fx 3 b) f x f 3 x 4 x c) f x 5x fx 5 8

83 Bruk regnereglene for derivasjon og finn x f når a) 5 f x x f x x x b) 7 f x x f x x x c) 6 f x 3x f x x x x Bruk regnereglene for derivasjon og finn x f når 3 a) f x x x f x 3x x 0 3x 4x b) f t 4t 3t 7 1 f t 4t 30 8t 3 c) 3 f x x 5x 4x f x 3x 5x 4 0 6x 10x 4 83

84 Bruk regnereglene for derivasjon og finn x f når 3 a) f x x 5x 4x 9 f x x x x x b) f x x x 4x f x x x 4 0 x x 4 x x 4 c) 3 1 f x x 10x 4x f x x 10 x 4 0 3x 5x Deriver uttrykkene. a) b) c) 3 x 5x 4x 9 3 x 5x 4x 9 6x 10x 4 3 t t t t t t t t x x x x 10x 19x x 30x 19 84

85 4.4.0 Funksjonen f er gitt ved 3 a) Finn f x. f x 6x 4x f x x x b) Finn ved regning likningen for tangenten når x 1. Tangenten går gjennom punktet 3 f , f 1. Den deriverte er stigningstallet til tangenten. Stigningstallet når x 1 er f Nå vet vi at tangenten går gjennom punktet 1, og har stigningstallet. Vi kan da bruke ettpunktsformelen for å finne likningen for tangenten. y y a x x 1 1 y x1 y x 85

86 4.4.1 Funksjonen f er gitt ved f x x x a) Finn den momentane vekstfarten til funksjonen i punktene 0,, 1, 3 og, Deriverer f og finner vekstfarten i punktene. fx x f f f b) Finn likningene for tangentene i de tre punktene. Bruker ettpunktsformelen og finner tangentene. Tangentlikningen i punktet 0, blir y x 0 y x Tangentlikningen i punktet 1, 3 Tangentlikningen i punktet, blir y3 0x1 y 3 blir y x yx6 86

87 4.4. Funksjonen g er gitt ved g x x x a) Finn den momentane vekstfarten til funksjonen i punktene,, 1, 1 og 0, Deriverer g og finner vekstfarten i punktene. g x x g g g 0 0 b) Finn likningene for tangentene i de tre punktene. Bruker ettpunktsformelen og finner tangentene. Tangentlikningen i punktet, y x Tangentlikningen i punktet Tangentlikningen i punktet 0, blir x 0 y y x blir yx 1, 1 blir y1 0x1 y 1. c) Tegn grafen til g og de tre tangentene i et koordinatsystem. d) Ser du noen sammenheng mellom fortegnet til den momentane veksthastigheten og forløpet til grafen? Når veksthastigheten er negativ, vil grafen synke. Når veksthastigheten er 0 er det ingen stigning. I vårt tilfelle vil det si toppunktet. Når veksthastigheten er positiv, vil grafen vokse. 87

88 4.4.3 Forskere har undersøkt vekstutviklingen til trær i et bestemt skogsområde. Det viser seg at høyden til et tre ht (), målt i meter, tilnærmet kan beskrives med en matematisk modell. Innenfor et avgrenset tidsrom gjelder funksjonen h gitt ved 3 h t 0,0t 0,5t 1,15t 0,15 der t er antall år etter utplantingen. a) Hvor fort vokser treet etter 5 år? Jeg definerer funksjonen i CAS i GeoGebra. Husk da «kolon lik». Jeg regner så ut den momentane veksthastigheten til treet etter 5 år. Treet vokser med 15 cm per år etter 5 år. b) Hvor fort vokser treet etter 7 år? Treet vokser med 59 cm per år etter 7 år. 88

89 4.4.4 Morten har et mobilabonnement der han betaler 59 kroner i fast avgift per måned. I tillegg betaler han 0,49 kroner per minutt når han ringer. Kostnadene K per minutt for Mortens mobilbruk en måned når han ringer x minutt kan skrives som K x 0,49x 59 x Regn ut den momentane vekstfarten (den deriverte) for ringetidene 0, 00, 400 og 100 minutt. Hva forteller svarene deg? Hvilken benevning får du? Sammenlign svarene med svarene du fikk i oppgave Jeg definerer funksjonen i CAS i GeoGebra. Husk da «kolon lik». Benevningen blir kr min per minutt. Svarene forteller oss hvor mye kostnadene per minutt går ned med når vi øker ringetiden med ett minutt, ved de ulike ringetidene. Vi ser at kostnadene per minutt går ned med 14,75 øre per minutt når vi øker ringetiden med ett minutt, når ringetiden er 0 minutt, mens kostnadene per minutt bare reduseres med 0,037 øre per minutt når ringetiden er 400 minutt. 89

90 4.5 Drøfting av polynomfunksjoner på grunnlag av derivasjonsregler Finn ved regning når grafen til funksjonen eventuelle topp- og bunnpunkter. Tegn grafen. f x x 1x 16 stiger og når den synker. Finn også Deriverer fx Setter så f x 0 f x x x 1 16 f x x 1 f x 4x 1 f x 0 4x 1 0 4x 1 x 3 Vi vet da at det bare er i punktet 3, f 3 at uttrykket for den deriverte kan skifte fortegn. Vi velger derfor tilfeldige tall i hvert av de aktuelle intervallene, 3 og 3, og ser om uttrykket er positivt eller negativt. f f Vi kan da sette opp fortegnslinjen til f x 0 Vi ser av fortegnslinjen at Grafen til fx stiger når x 3 Grafen til fx synker når x 3 90

91 Grafen til fx har toppunkt når 3 f x. Toppunktet er 3, f 3 3, Grafen til f sammen med fortegnslinjen for den deriverte. 0 91

92 4.5. Finn ved regning når grafen til funksjonen eventuelle topp- og bunnpunkter. Tegn grafen. f x x x 3 stiger og når den synker. Finn også Vi deriverer fx Vi setter så f x 0 f x x x 3 f x x f x 0 x 0 x x 1 Vi vet da at det bare er i punktet 1, f 1 derfor tilfeldige tall i hvert av de aktuelle intervallene,1 eller negativt. f f 0 at uttrykket for den deriverte kan skifte fortegn. Vi velger og 1, og ser om uttrykket er positivt Vi kan da sette opp fortegnslinjen til f x 0 Vi ser av fortegnslinjen at Grafen til fx synker når x 1 Grafen til fx stiger når x 1 Grafen til fx har bunnpunkt når x 1. Bunnpunktet er f , f 1 1, 4

93 Grafen til f sammen med fortegnslinjen for den deriverte. 0 93

94 4.5.3 Finn ved regning når grafen til funksjonen 3 også eventuelle topp- og bunnpunkter. Lag en skisse av grafen. f x x 3x 9x 10 stiger og når den synker. Finn Vi deriverer fx Vi setter så f x 0 3 f x x x x f x x x f x 0 3x 6x x x x 6 x 1 eller x 3 Vi vet da at det bare er i punktene 1, f 1 og 3, f 3 at uttrykket for den deriverte kan skifte fortegn. Vi velger derfor tilfeldige tall i hvert av de aktuelle intervallene, 1, 1,3 ser om uttrykket er positivt eller negativt. f f f og 3, og Vi kan da sette opp fortegnslinjen til f x

95 Vi ser av fortegnslinjen at Grafen til fx stiger når x 1 og når x 3 Grafen til f x synker når 1 x 3 Grafen til fx har toppunkt når 1 3 x. Toppunktet er 1, f 1 1,15 f Grafen til fx har bunnpunkt når 3 3 f Grafen til f sammen med fortegnslinjen for den deriverte. x. Bunnpunktet er 3, f 3 3,

96 4.5.4 Finn ved regning når grafen til funksjonen 3 eventuelle topp- og bunnpunkter. Lag en skisse av grafen. f x x 3x stiger og når den synker. Finn også Vi deriverer fx Vi setter så f x 0 f x 3x 6x0 0 3x x 0 f x x 3x 3 f x 3x 6x 3x 0 eller x 0 x0 eller x Vi vet da at det bare er i punktene f og, f 0, 0 at uttrykket for den deriverte kan skifte fortegn. Vi velger derfor tilfeldige tall i hvert av de aktuelle intervallene,0 ser om uttrykket er positivt eller negativt. f f f , 0, og, og Vi kan da sette opp fortegnslinjen til f x

97 Vi ser av fortegnslinjen at fx stiger når x 0 og når x f x synker når 0x fx har toppunkt når 0 3 f x. Toppunktet er 0, f 0 0, 0 fx har bunnpunkt når x. Bunnpunktet er 3 f , f, 4 Grafen til f sammen med fortegnslinjen for den deriverte

98 4.5.5 Anders kaster en stein rett opp i lufta. Høyden til steinen over bakken etter tiden t er gitt ved ,6 h t t t t a) Finn ved regning når steinen er i sitt høyeste punkt. Når steinen er i sitt høyeste punkt, er den deriverte til høydefunksjonen lik 0. Steinen er i sitt høyeste punkt etter,6 sekunder. (Det fremgår her av oppgaven at vi har å gjøre med et toppunkt og ikke et bunnpunkt.) b) Hva er steinens maksimale høyde over bakken? Steinens maksimale høyde er 31,9 m. c) Finn et uttrykk for farten til steinen. Farten til steinen er lik den deriverte til høyden (vekstfarten til høyden i forhold til tiden). d) Finn et uttrykk for akselerasjonen til steinen. Akselerasjonen forteller hvordan farten endrer seg (vokser) med tiden. m at vt 5 9,8t 9,8 per sekund s 98

99 4.5.6 Ved en bedrift blir det produsert treningsdresser. Ledelsen ved bedriften har funnet ut at overskuddet i kroner er gitt ved produseres per år. O x x 0,4x hvor x er antall treningsdresser som Hvor mange treningsdresser er det mest lønnsomt for bedriften å produsere per år? Det er mest lønnsomt for bedriften å produsere det antall treningsdresser som gir grafen til overskuddsfunksjonen et toppunkt. Da er den deriverte til overskuddsfunksjonen lik null. Jeg skriver inn funksjonen på skrivelinjen i GeoGebra og setter O x 0 Dette viser at vi har å gjøre med en maksimalverdi for overskuddet når x 500. Det er mest lønnsomt for bedriften å produsere 500 treningsdresser per år. 99

100 4.5.7 Figuren viser grafen til en funksjon f. Tegn fortegnslinjene til f og f. 100

101 4.5.8 Vi skal lage en eske uten lokk av en rektangelformet papplate med sider 50 cm og 40 cm. Vi gjør dette ved å klippe ut et kvadrat med side x i hvert hjørne. Deretter bretter vi opp kantene og får en eske med høyde x. Se figur. Brettes opp Eskebunn a) Finn et uttrykk for volumet av esken som en funksjon av x. Av figuren fremgår det at volumet kan skrives som De mørke blå kvadratene klippes bort. Vi ser også at x må være et tall som er større enn 0 og mindre enn 0 (Hvorfor?). b) Finn ved regning hvilken verdi av x som gir størst volum av esken. Vi setter V x 0 Linjene 3, 4 og 5 viser at esken får sitt største volum når x 7,4 cm c) Hva blir det største volumet til esken? Det største volumet esken kan få er 6564 cm 3 101