R2 kapittel 3 Funksjoner. Løsninger til oppgavene i boka Når sin x = 1 har f( x ) sin minste verdi. π 2. 2 k

Transkript

1 R kapittel Funksjoner Løsninger til oppgavene i boka. a f( ) = 7 + sin, D f = R Når sin =, har f( ) sin største verdi. sin = for = + k f( ) maks = 7+ = 8 Toppunktene på grafen til f er, Z k +,8 k. Når sin = har f( ) sin minste verdi. sin = for = + k f( ) min = 7 = 6 Bunnpunktene på grafen til f er + k, 6, k Z. b Vf f min f maks = [ ( ), ( ) ] = [6,8]. a f( ) = sin, D f =, 4 Når sin = har f( ) sin største verdi. sin = for = + k. For D =,4 er dette for f f( ) maks = ( ) = + = = og 7 = Toppunktene på grafen til f er, og 7,. Når sin = har f( ) sin minste verdi. sin = for = + k. For D =,4 er dette for f f( ) min = = = og 5 = Aschehoug Side av 5

2 Bunnpunktene på grafen til f er, og 5,. b f( ) = sin = sin =,5 5 = + k = + k 6 6 For D f =,4 er dette for k = og for k =. Nullpunktene til f er 5 7,,, a Vi tegner grafen til funksjonen i GeoGebra. b Bruk av ekstremalpunkt i GeoGebra gir ikke eksakte verdier. Når sin = har f( ) sin største verdi. sin = for = + k. For D =,4 er dette for f = og f( ) maks =,5, ( ) =,5+,=,8 7 = 7 Toppunktene på grafen til f er,,8 og,,8. Når sin = har f( ) sin minste verdi. Aschehoug Side av 5

3 sin = for = + k. For D =,4 er dette for f f( ) min =,5, =,8 = og 5 = 5 Bunnpunktene på grafen til f er,,8 og,,8. c Vi velger å løse oppgaven grafisk. Løsninger til oppgavene i boka Vi markerer funksjonen i GeoGebra og bruker verktøyknappen «Nullpunkt» for å finne skjæringspunktene mellom grafen til f og førsteaksen. Dette er punktene A, B, C og D i figuren under. Nullpunktene til f er,7,,4, 6,994 og 8,74. d Vi tegner linjen y = i GeoGebra og bruker verktøyknappen «skjæring mellom to objekt» til å finne skjæringspunktene mellom denne linja og grafen til f. Det er punktene E, F, G og H i figuren under. Aschehoug Side av 5

4 L = {,6, 6,64, 9,644,,47}.4 a Vi bruker enhetssirkelen for å finne eksakte verdier for sin. f( ) = sin +, D f = [, ] f () = + = f = + = 6 f = + = + 4 f = + = + f = + = f = + = + f = + = f = + = 6 f ( )= += 7 f = + = 6 5 f = + = 4 4 f = + = f = ( ) + = 5 f = + = 7 f = + = 4 f = 6 = f ()= += Aschehoug Side 4 av 5

5 b.5 a Funksjonsverdiene til g er alltid dobbelt så store som funksjonsverdiene til f. Det gir mening, da vi kan skrive g ( ) = f( ) Aschehoug Side 5 av 5

6 b Perioden til h er halvparten av perioden til f. Det gir mening, da sinusfunksjoner er periodiske med periode. For [, ] vil f gjennomløpe periode, mens h vil gjennomløpe perioder. c i er forskjøvet mot venstre langs -aksen i forhold til f..6 a f( ) = cos +, D f = R Grafen til f har ekstremalpunkter for cos = ±. Det er når = k =+ k. Til sammen gir dette ekstremalpunkter for = k b Grafen til f har toppunkter for cos =. Da er = k f( ) maks = + = 4,4, k Z. Grafen til f har toppunktene ( k ) Grafen til f har bunnpunkter for cos =. Da er =+ k. f( ) min = ( ) + = Grafen til f har bunnpunktene ( k ) c Vf f min f maks = [ ( ), ( ) ] = [,4] +,, k Z Aschehoug Side 6 av 5

7 .7 a f( ) = 5cos ( ), D f =, b f har maksimalpunkter for cos ( ) =. Innenfor definisjonsmengden er det når = = f har minimalpunkter for cos ( ) =. Innenfor definisjonsmengden er det når = =+ f har ekstremalpunktene og + f( ) maks = 5 = 5 f( ) min = 5 ( ) = 5 V = [ f( ), f( ) ] = [ 5,5] f min maks.8 a f( ) = cos, D f =, 4. Grafen til f har toppunkter for cos =. Da er = k. Innenfor definisjonsmengden er = f = = ( ) maks Grafen til f har toppunktene,. Grafen til f har bunnpunkter for cos =. Da er =+ k. Innenfor definisjonsmengden er f = = ( ) min Grafen til f har bunnpunktene = [ ( ), ( ) ] =, b Vf f min f maks = =, og, Aschehoug Side 7 av 5

8 c f( ) = d e cos = cos = 5 = + k = + k Løsninger til oppgavene i boka 5 7 Innenfor definisjonsmengden gir dette følgende nullpunkter for f:,,, f = cos = = 5 5 f = cos = = f er periodisk med periode, som ventet av en cosinusfunksjon. Det som er nullpunkter i cos har nå funksjonsverdien.9 a Grafen til g er forskjøvet til venstre langs -aksen i forhold til grafen til f. b Grafen til h er forskjøvet til høyre langs -aksen i forhold til grafen til f. Aschehoug Side 8 av 5

9 Aschehoug Side 9 av 5

10 . a b Vi løser likningen f( ) = i CAS. Siden tangensfunksjonen er periodisk med periode, er nullpunktene til funksjonen, 4 k +. c Vi tegner linjen y = i samme koordinatsystem som grafen til f. Vi bruker skjæring mellom to objekt og finner skjæringspunktene mellom denne linja og f. Det gir punktene A og B i figuren. Aschehoug Side av 5

11 Det er ikke lett å lese av grafisk, men,56, og det er dette som er nøyaktig verdi av 4 førstekoordinaten i skjæringspunkt B. Siden tangensfunksjonen er periodisk med periode, har likningen f( ) = følgende løsningsmengde: L= + k 4.. a f( ) = 4 + sin, D f =, Når sin =,har f( ) sin største verdi. sin = for = + k. Innenfor definisjonsmengden er dette for f( ) maks = 4+ = 7 Toppunktene på grafen til f er, 7 og 5 7,. Når sin = har f( ) sin minste verdi. sin = for = + k. Innenfor definisjonsmengden er dette for f( ) min = 4 + ( ) = Bunnpunktet på grafen til f er,. b Vf f min f maks = [ ( ), ( ) ] = [,7] c f( ) = 4 + sin = 4 sin = = og = =. sin kan bare ha verdier fra og med til og med. Likningen f( ) = har ingen løsninger og funksjonen har ingen nullpunkt. 5. a Når cos = har funksjonen f() sin største verdi. f( ) maks = 5 ( ) + = 7 Når cos = har funksjonen f() sin minste verdi. f( ) min = 5 + = V = [ f( ), f( ) ] = [,7] f min maks b Denne funksjonen vil ha et maksimalpunkt for =+ k. Aschehoug Side av 5

12 innenfor definisjonsmengden må vi ha at + k < + k < Vi bruker at < < 4 for å finne de heltallige verdiene av k. + k Vi kan altså ha k {,,,,,}. f har 6 maksimalpunkter i den gitte definisjonsmengden. c Denne funksjonen vil ha minimalpunkt for = k. Innenfor definisjonsmengden må vi ha at k < k < d k k {,,,,,, } f har 7 minimalpunkter innenfor definisjonsmengden. Siden f har positive maksimalverdier og negative minimalverdier, vil funksjonen ha ett nullpunkt et eller annet sted mellom et maksimalpunkt og et minimalpunkt. Med ekstremalpunkter, alternerende maksimalpunkt og minimalpunkt, er det intervaller mellom dem. f har dermed nullpunkter i den gitte definisjonsmengden.. a f( ) = 7 cos + m f() har maksimalpunkt for cos = f( ) = 7 + m= 7+ m maks f() har minimalpunkt for cos = f( ) = 7 ( ) + m= 7 + m min Vi må ha 7+ m = 9 m = og 7+ m = 5 m =. Siden begge likningene har samme løsning er det mulig å bestemme m slik at [ 5,9] Da er m = V =. f Aschehoug Side av 5

13 .4 Løsninger til oppgavene i boka a Toppunktene på grafen til f har koordinatene (, 5, ), (,5, ), (,5, ) og ( 4,5, ). b Bunnpunktene på grafen til f har koordinatene (,5,), (, 5, ) og (,5, )., og c Vendepunktene til på grafen f har koordinatene (,), (, ), (, ), (, ), ( ) ( 4, ). d Leser av de tilhørende -verdiene til funksjonsverdien,5. f( ) =, 5 L = {,8,,,,,,8,,,,8}.5 a Vi bruker enhetssirkelen for å finne eksakte verdier for cos. f( ) = cos, D f = [, ] f () = = f = = + 6 f = = + 4 f = = f = = f = = f = = 4 5 f = = 6 f ( ) = ( ) = 7 f = = 6 5 f = = 4 4 f = = f = ( ) + = 5 f = = 7 f = = + 4 f = = + 6 f () = + = Aschehoug Side av 5

14 b c Grafen til f har toppunkter i (, ) og i (,) Grafen til f har bunnpunkt i (, ).. d Vi leser av ekstremalverdiene til f og finner at V f = [, ]. 5 e Vi leser av grafen at nullpunktene til f er og f Grafen til f når aldri høyere enn funksjonsverdien. Likningen f( ) = har derfor ingen løsning. g f( ) = cos = cos = cos = cos kan kun ha verdier fra og med til og med. Likningen har derforingen løsning. Aschehoug Side 4 av 5

15 .6 Vi leser av grafen at funksjonen ikke har et ekstremalpunkt for =. Det utelukker cosinusfunksjonene og 4 sin har ekstremalpunkter for sin vil dermed ha ekstremalpunkter for = + k = + k, k Z. Vi leser av grafen og ser at dette stemmer med. Vi sjekker at ekstremalverdiene stemmer. f sin = + = = + k, k Z. Grafen som er tegnet i.4 er grafen til funksjonen f gitt ved f( ) = sin + Løsninger til oppgavene i boka.7 a f( ) = cos +, D f = [,5] f har et maksimalpunkt når cos =. f( ) maks = + = f har et minimalpunkt når cos =. f( ) min = + = V = [, ] f b f( ) = cos + = cos = =+ k = + k Innenfor definisjonsmengden gir dette k {,, } og dermed {,,5}. f har nullpunktene, og 5. c f har et maksimalpunkt når cos =. Da er = k. = k Innenfor definisjonsmengden gir dette k {,, } og dermed {,, 4}. Vi har fra a at f( ) maks = + =. Toppunktene på grafen til f er (, ), (, ) og ( 4, ). f har et minimalpunkt når cos =. Da er =+ k. = + k Aschehoug Side 5 av 5

16 Innenfor definisjonsmengden gir dette k {,, } og dermed {,,5}. Vi har fra a at f( ) min = =. Bunnpunktene på grafen til f er (, ), (, ) og ( 5, ). Løsninger til oppgavene i boka Aschehoug Side 6 av 5

17 d g ( ) = sin +, D f = [,5] f( ) = g ( ) cos + = sin + cos = sin = + k 4 = + k 4 Innenfor definisjonsmengden gir dette k {,,,, 4} og dermed 9 7 f = f = f = cos + = f = f = cos + = Skjæringspunktene mellom grafene til f og g er 7, og 4,+ 4,+, ,,,, ,, 4,+, 4.8 a f( ) = cot er definert for alle verdier av unntatt når sin =. Da er = k, k Z. D = R\{ k }, k Z f Når sin nærmer seg, så vil cos nærme seg. Da vil f( ) = cot gå mot ±, avhengig av om sin går mot fra positive eller negative verdier. Funksjonen vil altså kunne gi alle reelle tall som funksjonsverdi. lim f( ) = + + sin > lim f( ) = sin > V f = R b = = = = cos sin cot (tan ) sin cos tan Aschehoug Side 7 av 5

18 c.9 a arcsin arcsin = fordi 4 = fordi sin = 4 sin =. arcsin = fordi sin =. 4 arcsin( ) = fordi sin = Aschehoug Side 8 av 5

19 b c sin har verdimengde [,]. Dette er derfor definisjonsmengden til arcsin. arcsin( ) = og arcsin =. V f =,. d arccos = fordi cos =. arccos = fordi cos =. 4 arccos = fordi cos =. arccos = fordi cos =. e f( ) = arccos D = [,] fordi dette er verdimengden til cosinusfunksjonen. f V = [, ] fordi arccos = og arccos( ) =. Funksjonen gjennomløper alle f funksjonsverdier mellom dem. Aschehoug Side 9 av 5

20 f g arctan = fordi tan =. 4 4 h arctan = fordi tan =. arctan = fordi 6 tan =. 6 4 arctan( ) = fordi tan =. 4 4 Tangensfunksjonen har vertikale asymptoter ved f( ) = arctan lim f( ) = fordi lim tan =. lim f( ) = fordi f( ) = arctan har lim tan =. = ±. y = ± som horisontale asymptoter. Aschehoug Side av 5

21 . a Maksimalverdien er 4 og minimalverdien er. 4 + ( ) d = = og 4 ( ) A = =. Vi leser av avstanden mellom to nabotoppunkter, i = og =. p = 4 p = = 4 c= c = ϕ = ϕ = c = = c f( ) = sin + b Maksimalverdien er og minimalverdien er. + ( ) d = = og ( ) A = =. Vi leser av avstanden mellom to nabotoppunkter, i = og =. p = p = = c= c =,5 ϕ c = ϕ = = c f( ) = sin + + c Maksimalverdien er og minimalverdien er. + ( ) d = = og ( ) A = =. Vi leser av avstanden mellom to nabotoppunkter, i = og =. p = p = = c= c = 4 ϕ c = ϕ = = c 4 4 f( ) = sin + Løsninger til oppgavene i boka Aschehoug Side av 5

22 . a f ( ) = Asin( c + ϕ) + d = 4sin, D f = [, ] b Amplituden A = 4 Likevektslinja er y = d =. Perioden p = = =. c ϕ ϕ =. Forskyvningen langs likevektslinja = = c. a f ( ) = Asin( c + ϕ) + d = sin +, D f = [, ] 8 4 Amplituden A = Likevektslinja er y = d =. Perioden p = = = 6. c 8 ϕ ϕ =. Forskyvningen langs likevektslinja 4 = = = 4 c 8 Aschehoug Side av 5

23 b. a ϕ ( ) b f ( ) = Asin( c + ) + d = sin +, D f = [, 6 ] Amplituden A = Likevektslinja er y = d =. Perioden p = = =. c ϕ ϕ =. Forskyvningen langs likevektslinja = = = c Aschehoug Side av 5

24 .4 ( ) f( ) = 6cos + 6cos( ) + = 6sin + + = 6sin + Bruker at sin = sin ( + ) 6sin + = 6sin + + = 6sin + + g ( ) = 6sin + og h ( ) = 6sin + + gir samme graf som f( )..5 f( ) = sin 5+ 4 sin 5+ = cos = cos 5 4 Bruker at cos = cos( + ) cos 5 = cos = cos g ( ) = cos 5 og h ( ) = cos gir samme graf som f( )..6 a Maksimalverdien er 5 og minimalverdien er. 5+ d = = og 5 A = =. Vi leser av avstanden mellom to punkter i lik fase, i = og = 4. p = 4 p = = 4 c= c Aschehoug Side 4 av 5

25 b = ϕ c = ϕ = = c 4 f( ) = sin + passer til grafen. 4 f( ) = sin + 4 sin + = cos = cos g ( ) = cos + passer til grafen. 4.7 a ( ϕ ) f ( ) = Asin c + d = 4sin + Amplituden A = 4 Likevektslinja er y = d =. Perioden p = =. c ϕ ϕ =. Forskyvningen langs likevektslinja = =. c b g A c ϕ d ( ) ( ) = sin( + ) + = sin 5 Amplituden A = Likevektslinja er y = d = 5. Perioden p = = =. c ϕ ϕ =. Forskyvningen langs likevektslinja = = = c c h( ) = Asin( c + ϕ) + d = 8sin + = 8sin ( + ) Amplituden A = 8 Likevektslinja er y = d =. Perioden p = = =. c ϕ =. Forskyvningen langs likevektslinja ϕ Aschehoug Side 5 av 5 = = = c

26 .8 a b c Aschehoug Side 6 av 5

27 .9 f ( ) = sin c a b c d e f p= = 4 c= c p = = 4 c= c p = = c= c p = = c= c p = = c= 4 c p= = c= 4 c. a =. Ingen endring i periode, amplitude og likevektslinje. I sin er c =. ϕ = c= = ( ) f( ) = sin b d =. Ingen endring i periode, amplitude eller forskyvning langs likevektslinja. f( ) = sin + c =, d =. Ingen endring i periode eller amplitude. Aschehoug Side 7 av 5

28 ϕ = c= ( ) = ( ) f( ) = sin +. f( ) = 6, 9,8sin, 7+,5, [, 65] a ( ) b Likevektslinja y = d = 6,. c d e f Amplituden A = 9,8. Perioden p = = 69, Dette er ca ett år. c,7 Den gjennomsnittlige normaltemperaturen er 6, C. Normaltemperaturen svinger i løpet av en periode på ett år mellom, 6 C og 6 C ( 6, 9,8) ±. Vi bruker kommandoen nullpunkt[f,,65] i GeoGebra for å finne nullpunktene. Det gir punkt A og B i figuren over. Nullpunktene er 65 og. Normaltemperaturen er C på dag 65 (6. mars) og dag (6. november). Før 6. mars og etter 6. november er normaltemperaturen under C. Mellom disse dagene er normaltemperaturen over C. Den. februar tilsvarer dag 4 ( dager i januar pluss de frem til. februar). f (4) =,5. Den. februar er normaltemperaturen,5 C. Vi bruker kommandoen ekstremalpunkt[f,,65] i GeoGebra for å finne topp- og bunnpunktene til funksjonen. Punkt C i figuren over tilsvarer den laveste temperaturen. Den kaldeste dagen i året er temperaturen på, 6 C Punkt D i figuren over tilsvarer den varmeste dagen i året. Dag 98 er normalt sett varmest. Aschehoug Side 8 av 5

29 7. juli er normalt sett den varmeste dagen i året. 9,8sin,7 +,5 = 9,8cos,7+,5 = 9,8cos, 7, g ( ) ( ) ( ) f( ) = 9,8sin, 7, + 6,, [, 65]. I denne oppgaven vil det være feilmarginer ved avlesning av grafen. Endelig svar er basert på de avlesninger som er gjort, og andre avlesninger vil derfor kunne gi en løsning som avviker noe fra denne. Maksimalverdien er og minimalverdien er. + d = = 5 og A = = 5. Vi leser av avstanden mellom to punkter i lik fase, i = og =,5. p =,5 p = =,5 c=,5 c,5 Leser av forskyvning langs likevektslinja: = 8,6 ϕ = 8,6 ϕ =,5 8, 4, c f( ) = 5sin,5 4, + 5 passer til grafen. ( ). a =. Ingen endring i periode, amplitude og likevektslinje. I 5sin er c =. ϕ = c= = ( ) f( ) = 5sin b d =. Ingen endring i periode, amplitude eller forskyvning langs likevektslinja. f( ) = 5sin + c =, d =. Ingen endring i periode eller amplitude. ϕ = c= ( ) = 4 ( ) f( ) = 5sin a ( ) sin ( ϕ ) f = A c + + d Opplysningene i oppgaven gir følgende punkter på grafen til f. Aschehoug Side 9 av 5

30 b Grafen vil skjære -aksen én gang på vei opp, og én gang på vei ned for hver periode. Perioden er altså avstanden mellom to nullpunkter i samme fase, f.eks. og eller 5 og 7. Perioden p =. Grafen skal skjære likevektslinja to ganger i hver periode, så avstanden mellom skjæringspunktene på likevektslinja er 6. Grafen til f må avta fra A til B. f har bunnpunkter for -verdiene midt mellom punkt B og C, og D og E. Bunnpunkt i = og = 5. Grafen må stige like mye etter punkt C som den sank fra A til B. Da må det finnes et punkt A som ligger i (6,). Avstanden mellom A og A er 6, og grafen skjærer begge disse punktene. De må altså ligge på likevektslinja. y = A er første skjæringspunkt med likevektslinja på vei oppover. Forskyvningen er dermed 6 mot høyre ( = 6 ). c = = = p 6 ϕ = c= 6 = 6 f( ) = Asin + 6 Aschehoug Side av 5

31 f () = Asin + = 6 5 Asin + = 6 A + = A = 6 f( ) = 6sin a Ved fremstillingen Asin( c + ϕ) der c =, er p perioden til svingningen. p Vi kan skrive om sinusdelen av uttrykket i oppgaven slik: sin ( t t) = sin t t T T T Sammenlikner vi med parametern c, ser vi at parameteren T er perioden til svingningen. b Når sinus byttes ut med cosinus i funksjonsuttrykket, forskyves grafen langs likevektslinja. Hvis grafen likevel ikke skal forskyves, må ϕ θ. Hvis ϕ θ kan ikke t ha samme betydning i begge funksjonsuttrykkene. c For sinusfunksjonen står t for den horisontale forskyvningen av skjæringspunktet mellom likevektslinja og grafen på vei oppover. For cosinusfunksjonen står t for den horisontale forskyvningen av toppunktet. d Aschehoug Side av 5

32 .6 f( ) = 5sin( ) ( ) g ( ) = 5cos + k For at f( ) = g ( ) så må vi ha ϕ = θ + n, n Z Det gir k = + n, n Z. Den minste positive verdien for k får vi når n =. Da er.7 k = + = ( ) = cos + + = cos + a f A ( c θ ) d ( ) Amplitude: A = Likevektslinje: y = d = Periode: p = = = c ( ) f( ) = cos + = sin ++ = sin + ϕ Forskyvningen langs likevektslinja er = = = c 4 Aschehoug Side av 5

33 Forskyvningen er mot venstre i forhold tilsin 4 b.8 a Vi har at: ( ) sin u± v = sin u cos v± cosu sin v Vil lar v =. Det gir: ( ) sin u+ = sin u cos + cosu sin sin ( u ) = sin u ( ) + cos u + = sin u Vi bruker dette resultatet videre: ( ) ( ) ( ) ( ) Asin c + ϕ = Asin c + ϕ+ = Asin c + ϕ+ Supplementvinkler har samme samme sinusverdi, dvs. at sin v sin ( v) ( ) ( ) ( ) ( ) Asin c + ϕ = Asin c + ϕ = Asin c ϕ+ Vi bruker resultatene fra a og a sammen: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Asin c + ϕ = Asin c + ϕ+ = Asin c + ϕ = Asin c ϕ b f = ( + ) + ( ) ( ) sin 4 = sin f = ( + ) + ( ) ( ) sin 4 = sin f ( ) = ( ) + ( ) = sin sin 4 =. Det gir: Aschehoug Side av 5

34 .9 Når forskjellen på høyeste og laveste verdi er m, så er amplituden er på m. Perioden er gitt ved For p =,5 gir det p =. c c = =,5. p,5 Skal finne en funksjon på formen ( ) sin ( ϕ ) f t = A ct + + d Sinusfunksjoner har bunnpunkt når sin u =, dvs for Vi skal ha et minimum for t =. Da må ( ϕ ) sin + = sinϕ = Enklest mulig verdi for ϕ når k = ϕ = Så langt har vi f( t) = sin,5t + d. Til sist skal vi ha at f () = 4: f() = + d 4 = + d d = 4 f( t) = sin,5t + 4 u = + k. A c + ϕ = Acos c + ϕ. Vi har at sin ( ) ( t ) gt ( ) = cos, Amplituden er på 65. Med 6 perioder per sekund, vil én periode vare i 6 av et sekund. p = 6 Perioden er gitt ved p =. c Aschehoug Side 4 av 5

35 For p = gir det 6 c = = 6 =. p Spenningen varierer med tiden etter funksjonen Ut ( ) = 65sin ( t) Løsninger til oppgavene i boka.4 a Vi skriver om f( ) = 4sin 5+ cos5 i CAS. Se linje ( ) f( ) = 5sin 5 +, 644 b Vi skriver om g ( ) = sin 4cos+ 6 i CAS. Se linje. ( ) g ( ) = 5sin, a f( ) = sin + cos = + = ( ϕ ) a sin c + b cos c = Asin c + A a b a= b= A = + =, tanϕ b a (,) ligger i. kvadrant. tanϕ = = ϕ = 4 f( ) = sin + 4 b Likevektslinja er y = d =. p = = = c Perioden er. Amplituden A =. Aschehoug Side 5 av 5

36 ϕ 4 = = = 8 Forskyvningen langs likevektslinja er 8 mot venstre..4 a f( ) = sin cos + 4 a =, b= ( ) A = + = = 8 (, ) ligger i 4. kvadrant tanϕ = = 7 ϕ = 4 7 f( ) = sin b g ( ) = sin + cos + a =, b= ( ) A = + = (,) ligger i. kvadrant tanϕ = = ϕ = 4 g ( ) = sin a sin + cos = Vi omformer sin + cos a=, b= A = + = (, ) ligger i. kvadrant Aschehoug Side 6 av 5

37 tanϕ = = ϕ = 4 sin + cos = sin + 4 Løsninger til oppgavene i boka Likningen blir da: sin + = 4 sin + = 4 + = + k + = + k, k Z = k = + k Vi finner løsninger når, L =, b sin cos = Vi omformer sin a =, b= cos A = + ( ) = 4 = (, ) ligger i 4 kvadrant tanϕ = = 5 ϕ = 5 sin cos = sin + Likningen blir da: Aschehoug Side 7 av 5

38 5 sin + = 5 sin + = 5 + = + k, k Z 7 = + k 6 Vi finner løsninger når, 5 L = 6.45 a f( ) = sin + 4cos Se tegning i figur under. b Likevektslinja er y = d = c Vi bruker kommandoen ekstremalpunkt[f,-pi,pi] og finner topp- og bunnpunktene A, B, C og D. Se figur. d Bunnpunktene har y-verdi 6 og toppunktene har y-verdi 4. Med likevektslinja y = ligger topp- og bunnpunktene 5 fra likevektslinja. e Dette forteller oss at amplituden til svingningen er 5. f A og C er to nabotoppunkter. Vi bruker kommandoen linjestykke[a,c]. Det gir linjestykke h. Se figur: Aschehoug Side 8 av 5

39 h =,46. Avstanden mellom to nabotoppunkter er,46 (troligvis ). g Perioden i den harmoniske svingningen er,46. h Vi bruker skjæring mellom to objekt og markerer skjæringspunktet E mellom likevektslinja og f rett til venstre for y-aksen (nærmeste punkt som er på vei oppover). Punktet har koordinatene (, 466, ). Forskyvningen langs likevektslinja er på,466 mot venstre. i A = 5, fra oppgave e. c = og d =, fra det opprinnelige funksjonsuttrykket ϕ = c= (, 466) =,97 Aschehoug Side 9 av 5

40 Dette gir: f ( ) ( ) = 5sin +,97.46 a sin + cos = Vi tegner funksjonen f( ) = sin + cos,, sammen med linja y = i GeoGebra. Vi bruker Skjæring mellom to objekt og markerer skjæringspunktene mellom grafen og linja. Se punkt A og B i figuren under. L = {,85, 5,44} b Vi setter opp og løser likningen i CAS. Se linje. Vi får en løsning på formen = a+ k = a + k Vi forenkler de minste positive verdiene av a og a i henholdsvis linje og. =,85 + k 5, 44 + k, k Z Aschehoug Side 4 av 5

41 .47 a Vi omformer sin + cos b a =, b= A = + = (, ) ligger i. kvadrant tanϕ = = ϕ = 4 sin + cos = sin + 4 sin + cos = sin + = 4 sin + = 4 + = + k 4 = + k 4 = + k k Z,, 4 = 4 [ ] Aschehoug Side 4 av 5

42 c sin + cos = sin + = 4 sin + = = + k + = + k = + k = + k 7 = + k = + k k Z,, 7 L =,, [ ].48 Vi leser av grafen at amplituden er. Likevektslinjen er y = og forskyvningen langs den er =. Funksjonen kan da beskrives på formen f ( ) sin ( c ϕ ) Perioden er på, slik at c = = = p Da er ϕ = = =. Dette eliminerer, 5 og 6. c Funksjon stemmer med grafen. Vi undersøker og 4 nærmere. Vi skriver om og 4 til rene sinusfunksjoner. : f( ) = sin cos a =, b= A = + = + = 4 4, ligger i 4. kvadrant = + eller f ( ) = cos c + ϕ. Aschehoug Side 4 av 5

43 4: tanϕ = = 5 ϕ = 5 f( ) sin cos sin 5 sin sin = = + = + = Funksjon stemmer også med grafen. f( ) = sin cos a =, b= A = + = + = 4 4, ligger i 4. kvadrant tanϕ = = ϕ = 6 f( ) sin cos sin sin sin = = + = + = Funksjon 4 stemmer ikke med grafen. Grafen stemmer med funksjonene : f( ) = sin cos og f( ) = sin..49 a sin cos = Vi omformer sin cos a =, b= A = + ( ) = 4 = (, ) ligger i 4. kvadrant Aschehoug Side 4 av 5

44 tanϕ = = 5 ϕ = 5 sin cos = sin + Likningen blir da: Løsninger til oppgavene i boka 5 sin + = 5 sin + = = + k + = + k, k Z = + k = + k Vi finner løsninger når, L =,,, 4 4 b cos sin = 6 Vi omformer sin + cos a =, b= ( ) ( ) A = + = = (, ) ligger i. kvadrant tanϕ = 5 ϕ = 6 5 sin + cos = sin + 6 Likningen blir da: Aschehoug Side 44 av 5

45 5 sin + = sin + = = + k + = + k, k Z = + k 4 = + k Vi finner løsninger når, L = Vi finner ingen løsninger innenfor,.5 a Tt ( ) = 5sin t cos t+ Vi omformer uttrykket for T i CAS: b T = 4 sin t,54 + Amplituden A = 4 = 5,8. Likevektslinja er y =. Perioden er = = 4 c Svarene i a forteller oss at gjennomsnittstemperaturen er C, og i løpet av en periode på 4 timer svinger den mellom,8 C og 7,8 C( 5,8) ±. c Vi definerer funksjonen i CAS og finner ekstremalpunktene (linje og 4) Aschehoug Side 45 av 5

46 Temperaturen er høyest ca kl. 8. d Vi tegner funksjonen i Geogebra sammen med linjen y = 6. Vi bruker Skjæring mellom to objekt og finner punktene A og B i figuren under. Tt () 6i intervallet mellom -verdiene til disse punktene. e [ ] Tt ( ) 6 for 4,95,,77 t-verdiene i d regner vi om til timer og minutter etter midnatt. 4,95 timer = 4 t +,95 6 min 4t, 57 min,77 timer = t +,77 6 min t, min Svaret i d forteller oss at temperaturen er 6 C eller høyere mellom kl og kl...5 6sin + 8cos= m Vi ser på 6sin+ 8cos a= 6, b= A = + = = En harmonisk svingning 6sin+ 8cos vil ha amplitude og likevektslinje y =. Aschehoug Side 46 av 5

47 Perioden er p = = Løsninger til oppgavene i boka Innenfor,, én periode, vil svingningen nå maksimalverdien én gang og minimalverdien én gang. For m< m> vil 6sin+ 8cos aldri kunne nå verdien m. En linje y = m vil aldri kunne skjære grafen til f( ) = 6sin+ 8cos. Vi har ingen løsninger. For m = ± vil likningen ha nøyaktig én løsning. For < m < vil likningen ha to løsninger. En linje y = m skjære grafen til f( ) = 6sin+ 8cos i to punkter, én gang da den harmoniske svingningen går opp, og én gang da den går ned..5 a Vi lager en verditabell med kjente eksakte verdier av sin og skisserer grafen sin sin b Fra skissen og tabellen kan vi se at: Amplituden A =, likevektslinja er likevektslinja er 4 mot høyre. y =, perioden p = og forskyvningen langs c = = p ϕ = c = Det gir: f( ) = sin + Aschehoug Side 47 av 5

48 .5 a f( ) = sin f ( ) = cos ( ) = cos b g ( ) = sin 7 g ( ) = cos 7 (7 ) = 4cos 7 c h ( ) = sin ( 4 ) ( ) ( ) = 8cos( 4 ) h ( ) = cos 4 (4 ) = cos a b.55 f( ) = sin u = sin f( u) = u f ( ) = ( u ) u = uu = sin cos f( ) = sin u= sin v, = sin f ( ) = (sin ) sin + sin (sin ) = cos sin + sin cos = sin cos a f( ) = sin f ( ) = cos f ( ) = cos= ( ) = b f( ) = sin + + f ( ) = cos + f ( ) = cos + = + = c f( ) = sin 5 Aschehoug Side 48 av 5

49 f ( ) = cos = cos = cos f ( ) = cos = cos = =.56 a f( ) = sin f () = sin = f ( ) = cos f () = cos = Vi bruker ettpunktsformelen y f( ) = f ( ) ( ) y = ( ) y = Likningen for tangenten til f i (, ) er y b g ( ) = sin + 6 g() = sin + = + = 6 g ( ) = cos 6 6 = cos 6 g () = cos = = 6 =. Vi bruker ettpunktsformelen y g ( ) = g ( ) ( ) Likningen for tangenten til g i (, ) er y = ( ) y = + y = +. Aschehoug Side 49 av 5

50 c h ( ) = 6 sin h = 6 sin = sin = h ( ) = (6 ) sin + 6 (sin ) = 6sin + 6 cos = 6sin + 8 cos h = 6sin+ 6 cos= ( ) = 6 Vi bruker ettpunktsformelen y h ( ) = h ( ) ( ) y = 6 y = 6 + Likningen for tangenten til g i, er y = a f( ) = cos f ( ) = sin ( ) = sin b g ( ) = cos g ( ) = ( ) cos + ( sin ) = cos sin cos c h ( ) = (cos ) cos ( ) h ( ) = ( ) sin cos = 4 sin cos = Aschehoug Side 5 av 5

51 .58 f( ) = cos 9 f ( ) = ( sin ) = sin 9 f ( ) = cos = cos= 9 f( ).59 a b f( ) = tan f ( ) = ( ) = g ( ) = tan cos cos u = tan g ( ) = tan (tan ) tan = tan = cos cos c h ( ) = tan ( ).6 h ( ) = cos = cos a f( ) = 4sin b ( ) ( ) ( ) f ( ) = 4cos f( ) = tan cos f ( ) = ( sin ) cos = + sin cos c f( ) = cos f ( ) = ( sin ) ( ) = 6sin Aschehoug Side 5 av 5

52 .6 a f( ) = sin f ( ) = sin + (sin ) b c.6 = sin + cos f( ) = sin cos f ( ) = (sin ) cos + sin (cos ) = cos cos + sin ( sin ) cos sin cos = = f( ) = cos tan f ( ) = (cos ) tan + cos (tan ) sin = sin + cos cos cos sin = + cos cos sin cos = = = cos cos cos Her er det fristende å bruke sin. sin tan = til å forenkle: cos Løsninger til oppgavene i boka sin cos = sin, og bare derivere cos Da må vi ta hensyn til at Df = R\ + k, k Z (samme definisjonsmengde som tan ), mens definisjonsmengden til sin er R. Vi må altså beholde den opprinnelige definisjonsmengden, selv om vi forenkler f. a f( ) = sin ( ) b ( ) ( ) ( ) f ( ) = cos = ( ) cos ( ) sin cos f = f ( ) = (sin ) cos + sin (cos ) Bruker at = cos cos + sin cos (cos ) cos sin cos ( sin ) = + cos sin cos = cos ( cos ) cos cos cos = = sin = cos i siste overgang. Aschehoug Side 5 av 5

53 sin u = sin c f( ) = = ( sin ).6 a b f ( ) = sin sin f( ) = e ( ) ( ) cos = = e sin sin sin f ( ) = e (sin ) f sin = cos ( ) cos c f ( ) = ( ) cos + cos = cos + sin = cos sin cos f( ) = (cos ) cos f ( ) = sin cos sin + cos = =.64 a f( ) = 8cos f ( ) = 8sin f ( ) = 8cos b f ( ) ( ) = cos( ) ( ) = sin ( ) ( ) =,5sin + f ( ) =,5cos ( ) f ( ) = sin ( ) Aschehoug Side 5 av 5

54 c f( ) = cos f ( ) = ( sin ) = 6sin f ( ) = 6cos = cos.65 a f( ) = 4sin f ( ) = 4sin = 4 = b f ( ) = 4cos f ( ) = 4cos= 4 ( ) = 4 c Vi bruker ettpunktsformelen: y f( ) = f ( ) ( ) y = ( 4) ( ) y = 4+ 4 Likningen til tangenten i punktet (, f ( )) er y = a f( t) = cos t + 6 b Vi leser av grafen: f (6) = 6 Aschehoug Side 54 av 5

55 Vi løser i CAS: f ( ) 79 c f (6) = 6 forteller oss at etter 6 måneder er det 6 dyr i bestanden. d e f ( ) 79 forteller oss at etter 6 måneder er dyrebestanden i ferd med å avta med 79 dyr per måned Utifra øyemål på grafen ser det ut som om amplituden er, perioden 4 måneder og likevektslinja er 6. Fra funksjonsuttrykket har vi: f ( t) = Acos ct + d Amplituden er. Perioden p = = = 4 c Likevektslinja y = d = 6 Dette stemmer med hva vi så i grafen. Svarene i d forteller oss at det i gjennomsnitt er 6 individer i bestanden, og at populasjonen svinger mellom og 9 individer (6 ± ), med en periode på 4 måneder..67 a f( ) = sin, D f = [, f ( ) = cos Vi skal finne når f ( ) = cos = cos = 5 = + k = + k 5 = + k = + k Med D f = [, får vi løsning,,, b Når tangenten er parallell med -aksen er stigningstallet til tangenten. Vi skal finne når f ( ) = Aschehoug Side 55 av 5

56 cos = cos = = + k k = Med D f = [, får vi løsning,,, c f ( ) = 4sin f = 4sin = 4 < 4 f = 4sin = 4 > f = 4sin = 4 < f = 4sin = 4 > 4 f 4 og 5 f 4 er negative, mens f 4 og 7 f er positive. 4 Løsninger til oppgavene i boka d Svarene i b og c forteller oss at i følge andrederiverttesten er, f 4 4 og 5 4, 5 f 4 toppunkter, mens, f 4 4 og 7 4, 7 f 4 er bunnpunkter..68 f( ) = sin + k sin f ( ) = cos+ k cos f = cos + k cos = + k f = 5 + k = 5 k = 8 k = 6 Aschehoug Side 56 av 5

57 .69 Løsninger til oppgavene i boka f( ) er positiv i områdene,,, og,8, 4,, og negativ i områdene,,,,,, 8 og 4,,5. f( ) stiger i områdene, og,, og synker i områdene, og,5 f( ) er vender den hule siden ned i områdene, og,4, og den hule siden opp i områdene,,, og 4,5. Dermed ser fortegnslinjene slik ut:.7 a f( ) = f = = ( ) 6 ( ) f ( ) = 6 6 Ekstremalpunkter når f ( ) = : f ( ) = ( ) = = = Kun = er innenfor definisjonsmengden. Andrederiverttesten: f () = 6 6= 6> = er et minimalpunkt. Infleksjonspunkter: f ( ) = = = er et infleksjonspunkt. b f( ) = sin f ( ) = cos f ( ) = sin Ekstremalpunkter når f ( ) = : Aschehoug Side 57 av 5

58 f ( ) = cos = cos = 5 = = Kun to løsninger innenfor, Andrederiverttesten: f = sin = > 5 5 f = sin = < 5 = er et minimalpunkt og = er et maksimalpunkt. Infleksjonspunkter: f ( ) = sin = = = er et infleksjonspunkt. c f( ) = cos f ( ) = sin f ( ) = 4cos Ekstremalpunkter når f ( ) = : f ( ) = sin = sin = =+ k = + k k {,, } gir løsninger innenfor, = = Andrederiverttesten: f = 4cos = 4 > f = 4cos = 4 < ( ) f = 4cos = 4 > = og = er minimalpunkter og = er et maksimalpunkt. Infleksjonspunkter: Aschehoug Side 58 av 5

59 .7 f ( ) = 4cos = cos = =, 4 = + k = + k k {,,, } gir løsninger innenfor, = = = = =, 4 a f( ) = sin + b f ( ) = cos f ( ) = sin 5 = og 4 Ekstremalpunkter når f ( ) = : f ( ) = cos = 7 = er infleksjonspunkter. 4 = + k k {, } gir løsninger innenfor, = = Andrederiverttesten: f = sin = < f = sin = > = er et maksimalpunkt og f = sin + = 4 f = sin + = = er et minimalpunkt. Toppunktet er,4 og, bunnpunktet. f( ) = tan f ( ) = cos Løsninger til oppgavene i boka Aschehoug Side 59 av 5

60 Brøken kan aldri være null (eller negativ) så tan har ingen topp- eller bunnpunkter. cos Siden intervallet er åpent er det heller ingen ekstremalpunkter i randpunktene. Se ellers grafen til tan. Den er stigende for alle funksjonsverdier i definisjonsmengden. c f( ) = cos sin f ( ) = cos + ( sin ) cos = sin f ( ) = sin cos = sin cos Ekstremalpunkter når f ( ) = : f ( ) = sin = = sin = Forkaster =. Ligger utenfor, sin = = Kun én løsning innenfor, Andrederiverttesten: f ( ) = sin cos= ( ) = > = er et minimalpunkt. f ( ) = cos sin = ( ) = f har et bunnpunkt i (, )..7 ( ) cos,, f = + f ( ) = 4 sin f ( ) = 4 4cos Infleksjonspunkter når f ( ) =. f ( ) = 4 4cos = cos = = k { } = k k,, for, = = = Men den andrederiverte skifter ikke fortegn for disse -verdiene, så grafen til f har ingen vendepunkter. Aschehoug Side 6 av 5

61 .7 a ht () = t t h () t = 4t t b h () t = 4 t ht () = t t = t t = t = t = t = t = 6 Nullpunktene til h er og 6. c Ekstremalpunkter når h () t = h () t = t t = 4 t(4 t) = h() = t = t = h(4) = 4 4 = = = Andrederiverttesten: h () = 4 = 4 > h (4) = 4 4 = 4 < Toppunkt er 4,, bunnpunkt er (, ). Vendepunkt når h () t =. h () t = 4 t = t = h () = = 8 = = h har vendepunkt i 6, Aschehoug Side 6 av 5

62 d e Vekstfarten øker frem til vendepunktet, dvs i intervallet,. h () t har sin største verdi for t =. Funksjonsverdien øker raskest det h () t er størst, dvs for t =..74 a f( ) = sin,, f( ) = sin = = k = k k = {,, } for, = = = Nullpunktene til f er, og b f ( ) = cos Ekstremalpunkter når f ( ) =. Aschehoug Side 6 av 5

63 f ( ) = cos = cos = = + k = + k k = {,,, } når, = = = = Dobbeltderiverttesten: f ( ) = 4sin f = 4sin = 4 < 4 f = 4sin = 4 > f = 4sin = 4 < f = 4sin = 4 > 4 Finner funksjonsverdiene: f = sin = 4 f = sin = f = sin = f = sin = 4 5 Toppunktene til f er, og,. Bunnpunktene er, og 7 4, c Vendepunkter når f ( ) = f ( ) = 4sin = sin = = k = k k = {,, } når, = = = Aschehoug Side 6 av 5

64 d f = sin = f = sin = ( ) f = sin = Vendepunktene er,, (, ) og,.75 a f( ) = sin cos,, u = sin, v= cos f ( ) = cos cos + sin ( sin ) = cos sin = cos f ( ) = sin Ekstremalpunkter når f ( ) =. f ( ) = cos = = + k = + k k = {,,, } når, = = = = Aschehoug Side 64 av 5

65 b Dobbeltderiverttesten: f ( ) = sin f = sin = 4 < 4 f = sin = 4 > f = sin = 4 < f = sin = 4 > Maksimalpunktene er og. Minimalpunktene er og Finner funksjonsverdiene: f = sin cos = = f = sin cos = = f = sin cos = = f = sin cos = = Toppunktene til f er c Infleksjonspunkter når f ( ) = d f ( ) = sin = = k Løsninger til oppgavene i boka, 4 og 5, 4. Bunnpunktene er, 4 og 7, 4 = k k = {,, } når, = = = Infleksjonspunktene er, og. f = sin cos = f = sin cos= ( ) f = sin cos = Aschehoug Side 65 av 5

66 Vendepunktene er,, (, ) og,.76 a f( ) = sin, D f = R f ( ) = cos f har eventuelle ekstremalpunkter der f ( ) =. f ( ) = cos = cos = cos [,], så likningen har ingen løsning L = Funksjonen har ingen punkter der f ( ) = og et åpent intervall, slik at den ikke har randpunkter. Funksjonen har ingen topp- eller bunnpunkter. b f ( ) = sin f har vendepunkter når f ( ) =. f ( ) = sin = = k, k Z ( ) f( k ) = k sin k = k, k Z k, k, k Z. Vendepunktene er ( ).77 a Den vertikale asymptoten er den -verdien der nevneren er. b c Vertikal asymptote: = 4 f( ) = = 4, = u v f ( ) = + 4 = = = + ( 4) er positiv for alle verdier av. Da er f ( ) også positiv for alle verdier av. Funksjonen stiger hele tiden, og har dermed ingen ekstremalpunkter. Aschehoug Side 66 av 5

67 4 f ( ) = + f ( ) = + 4 ( ) d 8 = f har eventuelle vendepunkter der f ( ) =. 8 er aldri, for noen verdier av. f ( ) = har ingen løsning og grafen har dermed ingen vendepunkter..78 a f( ) = cos cos,, Vi definerer funksjonen i CAS og finner tangenten: Likningen for tangenten i (, ) er y = b Vi løser likningen f ( ) = innenfor definisjonsmengden i CAS. På rad finner vi kandidatene til å være ekstremalpunkter. Vi sjekker at de faktisk er det med andrederiverttesten på rad 4, 5 og 6. Den viser at er 5 maksimalpunkt og og er minimalpunkter. De tilhørende ekstremalverdiene regnes ut på rad 7, 8 og 9 Aschehoug Side 67 av 5

68 Toppunktet til f er (,) og bunnpunktene er 5, 4 og 5 5, 4. c Vi har mulige infleksjonspunkter der f ( ) =. Vi undersøker dette i CAS: Aschehoug Side 68 av 5

69 Rad og gir oss kandidatene til å være infleksjonspunkter, og testene på rad -6 viser at de faktisk er det siden fortegnene til den andrederiverte endrer seg gjennom punktene. Vi benytter kommandoen HøyreSide[ <Liste med likninger>, <Indeks> for å hente ut infleksjonspunktene fra rad og regne ut de tilsvarende funksjonsverdiene. (Alternativet er å bruke tredjederiverttesten, men den dekkes ikke i dette læreverket). d Vendepunktene er (,568,,), (, 6,,55), (4,78,,55) og (5, 75,,). Vi definerer funksjonen g i CAS. Informasjonen i oppgaven gir følgende: g =, da den deriverte til en funksjon er lik i et minimalpunkt 4 g ( ) =, da funksjonsverdien er null der grafen til funksjonen skjærer -aksen. Dette gir et likningssett som vi løser i CAS med hensyn på k og m: Aschehoug Side 69 av 5

70 e k =, m=.79 a f( ) = ln(+ ) Man kan finne logaritmen til alle positive tall. Definisjonsmengden er dermed følgende: + > >. D =, f Aschehoug Side 7 av 5

71 f ( ) = ln(+ ) (+ ) b ( ).8 a = = + + f ( ) = ( + ) ( ) = = ( + ) ( + ) Vi har mulige ekstremalpunkter der f ( ) = : f ( ) = = + = + + = = Andrederiverttesten: f () = = > er et bunnpunkt på ( ) = + f f () = ln = ln. Funksjonen har et bunnpunkt i (, ln ). Funksjonen har ingen toppunkt, Vi har mulige ekstremalpunkt der f ( ) =. f ( ) = > for alle verdier av. ( + ) Grafen til f har ingen vendepunkt. f = D f =, ( ) 5e sin, R Siden faktoren e fortegn som sin., Løsninger til oppgavene i boka er positiv for alle verdier av, så vil fortegnet til f( ) ha samme b Vi skal løse likningen f( ) = sin. Vi definerer funksjonen og løser likningen i CAS: Aschehoug Side 7 av 5

72 L= k, 5ln, k Z 5,, c f ( ) = ( 5e ) sin + 5e ( sin ),, 5 (, ) e sin 5e cos = + ( ), e 5cos sin = d Vi undersøker når f ( ) = i CAS: e Linje gir oss løsningene på generell form. Linje 4-6 viser oss numeriske verdier for løsningene, samt at forskjellen på de to løsningene er. Da blir løsningen på f ( ) =, og dermed ekstremalpunktene =,7 + k, k Z. Vi ser av figuren under at grafen svinger mellom gafene til g og h. Dette er et eksempel på en dempet harmonisk svingning. Aschehoug Side 7 av 5

73 .8 a b c f( ) = cos,, Løsninger til oppgavene i boka Verdimengden til cos er [,]. Høyeste og laveste verdi til f vil være henholdsvis = og f ( ) =. V = [,] f( ) = = cos cos = = + k k {,,, } for, = = = = Nullpunktene er, f = ( ) cos ( sin ) = cos sin, og. Vi har mulige topp- og bunnpunkter der f ( ) = f ( ) = = cos sin = =, cos sin Ser kun etter løsninger i = = = = 4 = = = løsninger fra sin = Vi tar andrederiverttesten: f ( ) = cos sin u = cos, v= sin f ( ) = cos (cos ) sin cos cos = 6 cos ( sin ) sin cos = 6 cos sin cos = 6 cos ( cos ) cos = 6cos 9cos Vi vet at cos, Z k + = k. f f f f = = = = 4 løsninger fra cos Disse punktene er altså ikke topp- eller bunnpunkter, men terassepunkter. Aschehoug Side 7 av 5

74 Vi vet at cos ( ) ( ) ( ) = og ( ) cos ± =. f = = > 6 ( ) 9 ( ) Bunnpunkt f = = < 6 () 9 () Toppunkt f = > f 6 ( ) 9 ( ) Bunnpunkt ( ) ( ) f f = () = = = ( ) ( ) = = Bunnpunkt er (, ) og (, ), mens toppunktet er (, ). d Vi har vendepunkt der f ( ) =. e f ( ) = 6cos 9cos = cos ( cos ) = cos = cos = cos = cos cos + = cos = cos = cos = cos = har 4 løsninger innenfor definisjonsmengden,,, Løsninger til oppgavene i boka Hver cosinusverdi opptrer to ganger i enhetssirkelen, så innefor intervallet, må hver likning på formen cos cos = og = a ha fire løsninger (unntatt cos = og cos = ) cos = har da også fire løsninger hver. Til sammen har likningen f ( ) = tolv løsninger innenfor definisjonsmengden. Grafen til f har vendepunkter. Vi markerer topp- og bunnpunktene, og nullpunktene, som også er terassepunkt. Så skisserer vi grafen: Aschehoug Side 74 av 5

75 .8 a b Rektangelet er innskrevet i enhetssirkelen (sirkel med radius ), med hjørne der det øvre vinkelbeinet til v skjærer sirkelen.. Skjæringspunktet mellom øvre vinkelbeinet til v og sirkelen kan vi kalle (, y ), der det følger av generell definisjon av sinus og cosinus at cos v= og sin v= y. Vi ser av figuren at grunnlinja i rektangelet er mens høyden er y. Da har vi for arealet av rektangelet: A= y Av ( ) = cos v sin v = sin v cos v qed Av ( ) = sin v cos v, v, A ( v) = (sin v) cos v+ sin v (cos v) = cos v cos v+ sin v ( sin v) = cos v sin v Bruker at cos v sin v= cos v = cos v c Vi ser at arealet er dersom v = ( y = ) eller v = ( = ). Mellom disse verdiene er arealet positivt. Vi vet dermed at et ekstremalpunkt for A i definisjonsmengden er et toppunkt. Aschehoug Side 75 av 5

76 d A () v = cos v = cos v = v= + k Innenfor definisjonsmengden er k = eneste løsning v = 4 A = sin cos = = Det største arealet rektangelet kan ha er. Arealet er størst når v = 4.8 (NB! I denne oppgaven er det en trykkfeil i. opplag av boka. Ordet «startpunkt» skal byttes ut med «likevektspunkt» i innledningen til oppgaven og i oppgave a.) a Fart er endring i strekning per tidsenhet, slik at farten til partikkelen er gitt ved s () t. Vi definerer funksjonen i CAS, finner det første tidspunktet der s () t = (linje-) og finner s ved dette tidspunktet (linje ) Første gang farten er, er partikkelen 5 meter fra likevektspunktet. b Akselerasjon er endring i fart som funksjon av tid. at () = v () t = s () t Finner akselerasjonen ved samme tidspunkt som i a i CAS (linje 4): Akselerasjonen første gangen farten er null, er m/s, dvs i retning likevektspunktet. c Vi tegner grafen til vt () = s () t i GeoGebra, og bruker kommandoen ekstremalpunkt[v,,] for å finne hvor farten er størst. Aschehoug Side 76 av 5

77 Vi ser av figuren at farten aldri er større enn m/s i absoluttverdi. Den største farten partikkelen har er m/s. d Startpunktet er s () = Vi tegner grafen til s i intervallet [, 6] sammen med linja y = og teller antall skjæringspunkter mellom grafen og linja. Hvert skjæringspunkt tilsvarer at partikkelen er i startpunktet. Det er 8 skjæringspunkter mellom grafen til s og linja y =. Partikkelen passerer startpunktet 8 ganger i løpet av det første minuttet..84 a cos d= sin + C Aschehoug Side 77 av 5

78 b c sin 4d= cos 4+ C 4 Bruker delvis integrasjon: sin d= sin d u = sin, u = cos, v=, v = = cos cos d = cos + sin + C.85 cos d = sin = sin sin = a [ ] b sin d= cos = (cos cos ) = ( ( )) = c 6 6 4cos vdv= 4 sin v = sin sin = = 6.86 a f( ) = cos, D f =, Arealet mellom f og koordinataksene er gitt ved det bestemte integralet: cos d= [ sin ] = sin sin = Arealet mellom f og koordinataksene er. b Vi skisserer grafene for å få oversikt over hva vi skal integrere: Vi må altså finne arealet fra y-aksen frem til skjæringen mellom grafene. Vi finner -verdien til skjæringspunktet: Aschehoug Side 78 av 5

79 f( ) = cos = = Arealet er dermed gitt ved: Løsninger til oppgavene i boka f( ) d= cos d sin sin sin = = + = 6 Arealet begrenset av grafen til f, y-aksen og linja y = er 6.87 [ ] sin d= cos = cos + cos = + = Arealet mellom grafen og -aksen er like stort over som under -aksen..88 a sin cos d= sin d= cos + C = 4 b sin cos d u = sin u = cos du d = cos du sin cos d cos d sin cos c u = cos u = sin du d = sin.89 a = u = u u = u + C = + C du sin cos d sin d cos sin = u = u u = u + C = + C sin tan d= d cos Aschehoug Side 79 av 5

80 u = cos u = sin du d = sin sin sin du tan d= d= = du = ln u + C = ln cos + C cos cos sin u b tan d u = u = du d = tan d= tan udu = ln cosu + C = ln cos + C tan d u = u = d= du tan d= tan udu = ln cosu + C = ln cos + C Løsninger til oppgavene i boka.9 a b c Fra eks. 9 har vi at sin d= sin + C 4 4sin d 4 sin d 4 = = sin + C = sin + C 4 8sin d u = u = du d = 8 = u u = u u + C = + C 4 8sin d sin d 4 sin 4 sin 4 cos d Aschehoug Side 8 av 5

81 cos = cos sin Det gir v v v = v cos ( cos ) = v cos v cos v= + cos v cos d = + cos d= + sin + C 4.9 a f( ) = cos + Volumet er gitt ved: ( ) V = f( ) d= cos + d. Vi regner ut dette i CAS (linje ) og runder av (linje ): V, b ( ) f( ) = cos + = cos + cos + 4 Her trenger vi resultatet fra.9: V = ( f( ) ) d= cos + cos + d 4 = + sin + sin cos d= + sin + C 4 = + sin 4+ sin + + sin + sin = + = = Volumet av omdreiningslegemet er eksakt 9 4. Aschehoug Side 8 av 5

82 .9 a b c.9 6cosd= 6 sin + C = sin + C Bruker delvis integrasjon: Løsninger til oppgavene i boka sin d= sin d u = sin, u = cos, v=, v = = cos cos d = cos + sin + C 4 cos sin d u = cos u = sin du d = sin du cos sin d= u sin = u du = u + C = cos + C sin a [ ] sin d = cos = cos ( cos ) = ( ) + = b [ ] cos d = sin = sin sin = c sin d cos cos = cos = =.94 a ( sin cos ) d= [ cos sin ] b Bruker at ( tan ) 4 ( ) = cos sin cos sin = ( ) ( ) = + = = cos [ ] 4 d= tan = tan tan = = cos 4 Aschehoug Side 8 av 5

83 c sin + d= cos + = cos + cos + = + ( + ) = ++ =.95 Vi vet at sin =. Vi anter dermed at vi skal finne flatestykket fra = til Vi ser altså bort fra eventuelle flatestykker til venstre for y-aksen. Arealet er altså gitt ved: A= sin d= [ cos ] = cos ( cos ) = ( ) = Arealet avgrenset av grafen til f( ) = sin, -aksen og linja = er. =.96 Arealet er gitt ved: A= cosd= sin = sin sin = = Arealet avgrenset av grafen til f( ) = sin, koordinataksene og linja = er Arealet er gitt ved: A= sin d= cos = cos cos = ( ) = Arealet avgrenset av grafen til f( ) = sin, D f =, og -aksen er..98 [ ] f( ) = sin, D f =, Arealet av omdreiningslegemet er: Aschehoug Side 8 av 5

84 ( ( )) d sin d [ cos ] A= f = = ( ) ( ) = cos ( cos ) = ( ) + =.99 a ( ) = cos (+ sin ), = [, ] b f D f f( ) = cos = + sin = Vi ser etter løsninger i [, ] cos = = = f har nullpunktene = og =. Vi finner først det ubestemte integralet: ( ) f( ) = cos (+ sin ) d u = + sin u = cos du d = cos + sin = sin = = du ( cos (+ sin ) ) d= u cos = ud u = u + C = (+ sin ) + C cos Vi finner så de bestemte integralene: ( ) ( ) f( ) d= + sin = + sin + sin = = ( ) f( ) d= + sin = + sin + sin = ( ) ( + ) = 4 ( ) ( ) f( )d= + sin = + sin + sin = ( ) ( ) = c Det samlede arealet er summen av absoluttverdien til integralene i b: A = = 8. Aschehoug Side 84 av 5

85 [ ] g ( ) = sin e, D f =, Vi skal finne k slik at k g ( )d = g ( )d. k Løsninger til oppgavene i boka Vi definerer funksjonen i CAS, setter opp og løser likningen med hensyn på k, se linje og. Kun den første k-verdien er innenfor definisjonsmengden. k,9. Vi finner først -verdien til skjæringspunkene mellom grafene, i intervallet,. cos = sin cos = sin cos sin cos cos = cos ( sin ) = cos = sin = = sin = = 6 Arealet av det markerte området er: ( ) 6 sin cos d= cos sin 6 = cos sin cos sin 6 = = + = Vi undersøker funksjonene i ytterpunktene av definisjonsmengden: Aschehoug Side 85 av 5

86 f () = sin = f = sin = g() = cos = = f() = g() g = cos = = f = g Vi lager noen enkle skisser i intervallet, for å visualisere: Vi kjenner fasongen til sin og cos g vil da være grafen til cos «snudd opp-ned». Da vil f og g se slik ut: f ligger oger g i hele definisjonsmengden Arealet av flatestykket avgrenset av grafene til f og g er: ( f( ) g ( )) d= ( sin + cos ) d= [ cos + sin ] = cos + sin ( cos + sin ) = + ( + + ) = + =. b b 4sin d= [ cos ] = cos b+ cos = cos b = cos b b Skal ha 4sin d=. Løser for b: Aschehoug Side 86 av 5

87 cos b = cos b = cos b = 4 b= + k b= + k b= + k b= + k, k Z.4 ( ) tan d tan d Vi legger til og trekker fra.5 a = + (( tan ) ) = d = tan + C tan d cos u = tan u = cos = u d cos d d = u cos d u = u d u = u + C = tan + C tan cos cos b Bruker delvis integrasjon med u = sin og v= ( ) sin d = ( cos ) cos d c e cos d= I = cos + cos d ny delvis integrasjon med = cos, = u v = cos + sin sin d = cos + sin + cos + C Vi gir dette integralet et navn. Delvis integrasjon ganger, først med u = e, v= cos Aschehoug Side 87 av 5

88 u v u v u v e cos d= e cos e ( sin ) d I = e cos + e sin d Ny delvis integrasjon med u = e, v= sin I = e cos + e sin e cos d u v I = e cos + e sin I Merk at I dukker opp igjen på høyre side u I = e cos + e sin Løser med hensyn på I ( e cos e I = + sin ) e cos = e cos + e sin + C d Vi bruker samme metode som i c: e sin d = I v u u v v u v e sin d e sin cos d = e I = e sin e cos d Ny delvis integrasjon med e, cos u = v= u v u v I = e sin e cos + e ( sin ) d 4 4 I = e sin e cos I I dukker opp igjen på høyre side 4 4 I + I = e cos e sin Løser med hensyn på I I = e cos e sin I = e cos e sin 5 4 e sin d= e cos e sin + C f( ) = sin cos, D f =, ( ) V = f( ) d= sin cos d Aschehoug Side 88 av 5

89 u = sin u = cos du d = cos sin cos d d sin 4 6 V = = u u = u = ( ) = sin sin = = Volumet av omdreiningslegemet er 6.7 Den innvendige radien i vasen er den samme som funksjonsverdien til f. Vi leser av grafen at f( ) = 4 når =. Da den innvendige høyden er cm, er den innvendige konturen til bollen gitt ved grafen til f i intervallet [,]. Volumet til bollen er altså gitt ved: ( ) V = f( ) d Vi definerer funksjonen i CAS (linje ) og finner det bestemte integralet. Ideelt sett skulle dette kunne gjøres på to linjer, men CAS tidsavbryter beregningen, selv med 6 sekunders tidsfrist. Vi må altså holde CAS i hånden gjennom denne beregningen. Vi definerer en ny funksjon ( ) g ( ) = f( ) (linje ) og finner det ubestemte integralet av g. Så bytter vi ut med henholdsvis og i uttrykket på linje (uten konstanten c (linje 4 og 5). Aschehoug Side 89 av 5

90 Til slutt multipliserer vi differansen mellom linje 4 og 5 med og finner volumet. Volumet til vasen er på 98 cm =,9 L.8 f ( ) = sin m +, D f = R Opplysningene i teksten gir følgende sammenheng: 6 ( m ) sin + d = Vi setter opp likningen i CAS og løser for m. m kan ha verdiene k, k Z.9 a Vi vil ha en graf som gir en rett linje. En lineær funksjon passer best. b c d Vi vil ha en graf som svinger periodisk om en likevektslinje. En sinusfunksjon vil passe best. Vi vil ha en graf som øker med økende -verdier, som gradvis blir brattere. Da passer en eksponentialfunksjon med b >. Vi vil ha en graf som avtar med økende -verdier, som gradvis flater ut. Da passer en eksponentialfunksjon med < b <. Aschehoug Side 9 av 5

91 . a Løsninger til oppgavene i boka Vi bruker regnearket i GeoGebra. Vi legger inn tidene i kolonne A og høyden over sjøkartnull i kolonne B, markerer cellene og trykker på verktøysknappen Regresjonsanalyse. Når vi klikker Analyser, får vi et oversiktsdiagram. Vi ser at en sinusfunksjon vil være en god modell, og velger Sin som regresjonsmodell. Da ser det slik ut: En modell for tidevannet i Oslo dette døgnet er ( t ) ht ( ) = 5sin,5 +, b Vi overfører modellen til grafikkfeltet og gir den navnet h. Vi finner h (4) i CAS Aschehoug Side 9 av 5

92 Kl 4 var høyden på tidevannet 56 cm. c Vi skal finne når ht ( ) = 4 Vi tegner linja y = 4 i samme koordinatsystem som modellen. Vi bruker Skjæring mellom to objekt på grafen til h og denne linja, og finner punktene A, B, C og D i figuren under. Vi regner om deler av timer til minutter d Tidevannet er 4 cm ca kl. 4., kl. 7.5, kl. 6. og kl. 9.5 Vi bruker Ekstremalpunkt[h,,4] og finner punktene E. F. G og H i figuren under. Punkt F og H tilsvarer høyvann. Aschehoug Side 9 av 5

93 Vi regner om deler av timer til minutter: Det er høyvann ca kl..5 og.5. e Modellen fra eksempel er h t ( t ) koordinatsystem som h. ( ) = 7sin,5, Vi tegner den i samme Aschehoug Side 9 av 5

94 Perioden er den samme, mens amplitude, likevektslinje og forskyvning langs likevektslinja er forskjellig. Perioden på tidevannet er knyttet til jordas rotasjonstid, og er den samme over alt. Amplitude, likevektslinje og forskyvning langs likevektslinja er knyttet til geografisk beliggenhet, kystlinjens fasong, månefaser, mm.. a Vi bruker regnearket i GeoGebra. Vi legger inn tidene i kolonne A og lufttrykket i kolonne B, markerer cellene og trykker på verktøysknappen Regresjonsanalyse. Når vi klikker Analyser, får vi et oversiktsdiagram. Vi ser at en eksponentialfunksjon vil være en god modell, og velger Eksponentiell som regresjonsmodell. Da ser det slik ut: Aschehoug Side 94 av 5

95 En modell for lufttrykket p som funksjon av høyden h er: ph ( ) =,88 b p () = Lufttrykket ved havoverflaten er hpa i følge modellen. c Vi ser av vekstfaktoren at lufttrykket minker med % (,88) per høydekilometer, i følge modellen. Aschehoug Side 95 av 5

96 . a Løsninger til oppgavene i boka Vi bruker regnearket i GeoGebra. Vi legger inn antall enheter i kolonne A og overskudd i kolonne B, markerer cellene og trykker på verktøysknappen Regresjonsanalyse. Når vi klikker Analyser, får vi et oversiktsdiagram. Vi velger Polynom, grad som regresjonsmodell. Da ser det slik ut: b En modell overskuddet O som funksjon av antall produserte enheter er: O ( ) =, Vi overfører modellen til grafikkfeltet, døper den til O og finner ekstremalpunktet i CAS: Dette er en andregradsfunksjon med negativ a-koeffisient, så ekstremalpunket er et toppunkt. Overskuddet er størst ved produksjon av ca. enheter. Da er overskuddet på ca. 65 kr. Aschehoug Side 96 av 5

97 . a Vi bruker regnearket i GeoGebra. Vi legger inn diameter i kolonne A og resistans i Ohm i kolonne B, markerer cellene og trykker på verktøysknappen Regresjonsanalyse. Når vi klikker Analyser, får vi et oversiktsdiagram. Vi velger Potens som regresjonsmodell. Da ser det slik ut: En modell for resistansen R som funksjon av en leders diameter er: R ( ) =,9 b R (,5) =, 5 ohm. Resistansen i en leder med diameter,5 mm vil være ca,5 ohm. c Vi overfører modellen til grafikkfeltet, døper den til R og løser R ( ) =,4 i CAS: Lederen bør ha en diameter på ca,7 mm for å ha en resistans på,4 ohm. Aschehoug Side 97 av 5

98 .4 a Vi bruker regnearket i GeoGebra. Vi legger inn Tid i kolonne A og luftmengde i kolonne B, markerer cellene og trykker på verktøysknappen Regresjonsanalyse. Når vi klikker Analyser, får vi et oversiktsdiagram. Vi velger Sin som regresjonsmodell. Da ser det slik ut: En modell for luftmengden i lungene til Erika som funksjon av tid kan være: ( t ) Vt ( ) =, 4sin, +, +,6 b Likevektslinja til V er y =,6. Gjennomsnittlig luftmengde i lungene er,6 L i følge modellen. Perioden p = = = 4, 76. c, Aschehoug Side 98 av 5

99 Hver syklus av inn- og utpust tar 4,76 sekunder. 6,6 4,76 = Erika trekker dermed pusten ca ganger i minuttet. c Vi overfører modellen til grafikkfeltet, døper den til V og finner V () i CAS. Løsninger til oppgavene i boka V () =, 4 Etter to sekunder puster Erika ut med en fart på,4 L/s.5 a Vi bruker regnearket i GeoGebra. Vi legger inn -verdiene i kolonne A og y-verdiene i kolonne B, markerer cellene og trykker på verktøysknappen Regresjonsanalyse. Når vi klikker Analyser, får vi et oversiktsdiagram. Vi velger Sin som regresjonsmodell. Da ser det slik ut: Aschehoug Side 99 av 5

100 En funksjon som passer til punktene er: ( ) f( ) = 5sin,5 4,9 b Amplituden A = 5, likevektslinja er y = 4,9, perioden p = =,6 og c,5 ϕ forskyvningen langs likevektslinja er = = = 6. c,5.6 a Vi bruker regnearket i GeoGebra. Vi legger inn -verdiene i kolonne A og y-verdiene i kolonne B, markerer cellene og trykker på verktøysknappen Regresjonsanalyse. Når vi klikker Analyser, får vi et oversiktsdiagram. Vi ser at punktene ser ut som en andregradsfunksjon og velger Polynom grad som regresjonsmodell. Da ser det slik ut: Aschehoug Side av 5

101 b En funksjon som passer til punktene er: f( ) = + Vi bruker regnearket i GeoGebra. Vi legger inn -verdiene i kolonne A og y-verdiene i kolonne B, markerer cellene og trykker på verktøysknappen Regresjonsanalyse. Når vi klikker Analyser, får vi et oversiktsdiagram. Vi ser at punktene ser ut som en potensfunksjon og velger Potens som regresjonsmodell. Da ser det slik ut: Aschehoug Side av 5

102 En funksjon som passer til punktene er: c f( ) = Vi bruker regnearket i GeoGebra. Vi legger inn -verdiene i kolonne A og y-verdiene i kolonne B, markerer cellene og trykker på verktøysknappen Regresjonsanalyse. Når vi klikker Analyser, får vi et oversiktsdiagram. Vi ser at punktene ser ut som en sinusfunksjon og velger Sin som regresjonsmodell. Da ser det slik ut: Aschehoug Side av 5

103 Vi kjenner igjen c og ϕ som og d En funksjon som passer til punktene er: f( ) = sin + Vi bruker regnearket i GeoGebra. Vi legger inn -verdiene i kolonne A og y-verdiene i kolonne B, markerer cellene og trykker på verktøysknappen Regresjonsanalyse. Når vi klikker Analyser, får vi et oversiktsdiagram. Vi ser at punktene ser ut som en lineær gradsfunksjon og velger Lineær som regresjonsmodell. Da ser det slik ut: Aschehoug Side av 5

104 En funksjon som passer til punktene er: f( ) = +.7 a Vi bruker regnearket i GeoGebra. Vi legger inn årstidene i kolonne A, med vår- som, sommer- som osv, og middeltemperaturen i kolonne B, markerer cellene og trykker på verktøysknappen Regresjonsanalyse. Når vi klikker Analyser, får vi et oversiktsdiagram. Vi ser at punktene ser ut som en sinusgradsfunksjon og velger Sin som regresjonsmodell. Da ser det slik ut: Aschehoug Side 4 av 5

105 En modell for middeltemperaturen i Nord-Norge t årstider etter vinter- er: ( t ) Tt ( ) = 8,5sin, 6,9 +, b Likevektslinja til V er y =,. c Perioden p = = 4. c, 6 Temperaturen singer med en periode på 4 årstider ( år) og den årlige middeltemperaturen er, C..8 a Vi bruker regnearket i GeoGebra. Vi legger inn år i kolonne A med som osv, og antall tusen abonnenter i kolonne B, markerer cellene og trykker på verktøysknappen Regresjonsanalyse. Aschehoug Side 5 av 5

106 Når vi klikker Analyser, får vi et oversiktsdiagram. Vi ser at punktene ser ut som en tredjegradsfunksjon og velger Polynom grad som regresjonsmodell. Da ser det slik ut: En funksjon som viser antall tusen bredbåndsabonnenter t år etter er gitt ved: Bt t t t ( ) = 4,86 + 6, 4 + b 5 er 5 år etter. B (5) = 965 Modellen passer svært dårlig, da den forutsier et negativt antall bredbåndsabonnenter i 5..9 a Vi bruker regnearket i GeoGebra. Vi legger inn år i kolonne A med som osv, og antall tusen personbiler i kolonne B, markerer cellene og trykker på verktøysknappen Regresjonsanalyse. Aschehoug Side 6 av 5

107 Når vi klikker Analyser, får vi et oversiktsdiagram. Først velger vi Lineær som regresjonsmodell. Da ser det slik ut: En lineær modell for antall tusen registrerte personbiler t år etter kan være: f( t) = 54,t+ 77 Deretter velger vi eksponentiell regresjonsmodell: b c En eksponentiell modell for antall tusen registrerte personbiler t år etter kan være: gt ( ) = 8,5 t I følge den lineære modellen øker antall personbiler med 54, personbiler per år (ser på stigningstallet til funksjonen). I følge den eksponentielle modellen så øker antall personbiler med,5 % per år (ser på vekstfaktoren).. a Vi bruker regnearket i GeoGebra. Vi legger inn vekt i gram i kolonne A og energibehov per døgn i kolonne B, markerer cellene og trykker på verktøysknappen Regresjonsanalyse. Aschehoug Side 7 av 5

108 Når vi klikker Analyser, får vi et oversiktsdiagram. Vi velger Potens som regresjonsmodell. Da ser det slik ut: En potensmodell for energibehover til vadefugler som funksjon av vekten kan være: f( ) = 5,8 b f () = 889,78 En vadefugl på gram trenger ca 89 kj per døgn, i følge modellen.. a Vi bruker regnearket i GeoGebra. Vi legger inn måned i kolonne A og f(t) i kolonne B, markerer cellene og trykker på verktøysknappen Regresjonsanalyse. Aschehoug Side 8 av 5

109 Når vi klikker Analyser, får vi et oversiktsdiagram. Vi velger Sin som regresjonsmodell. Da ser det slik ut: En modell for middeltemperaturen i denne byen kan være: ( t ) f( t) = 6,sin,55 +,97 +,5 b cos v= sin v Aschehoug Side 9 av 5

110 ( t ) f( t) = 6,sin,55 +,97 +,5 = 6,cos,55t +,97 +,5 = 6,cos,55, 6 +,5 ( t ) c Vi kopierer funksjonen til grafikkfeltet, og løser likningen f () t = i CAS: Løsninger til oppgavene i boka Temperaturen var i fert med å avta med grader per måned i miden av februar og i slutten av juni. d Vi tegner grafen til f () t i GeoGebra og bruker kommandoen Ekstremalpunkt[f,,] for å finne hvor temperaturen øker raskest. Det er i punkt B på figuren: Temperaturen øker raskest når t =,, dvs ca i midten av oktober. Da øker temperaturen med, C per måned. f (,),5 Da er temperaturen, 5 C.. Vi bruker regnearket i GeoGebra. Vi legger inn horisontal avstand i kolonne A og høyde over bakken i kolonne B, markerer cellene og trykker på verktøysknappen Regresjonsanalyse. Aschehoug Side av 5

111 Når vi klikker Analyser, får vi et oversiktsdiagram. Utifra plasseringen av punktene velger vi en sinusfunksjon som regresjonsmodell. En modell for høyde over bakken som funksjon av horisontal avstand kan være: ( ) h ( ) = sin, 7,5 + 5 Vi skal finne når helningsvinkelen er størst, dvs. når berg-og-dal-banen er brattest. Helning finner vi ved å derivere vertikal strekning som funksjon av horisontal strekning. Vi overfører funksjonen til grafikkfeltet, tegner grafen til h ( ) og bruker ekstremalpunkt[h,,} til å finne når grafen er brattest. Dette gir punkt A, B og C Aschehoug Side av 5

112 Vi ser at når banen er brattest, så er helningen på,4 enten oppover eller nedover. 7, 4 = 5 Det betyr en vertikal endring på 7 meter på en horisontal endring på 5 m 7 En trekant med slik helning har helningsvinkel på arctan 54, 46 5 =. Den bratteste helningsvinkelen på berg-og-dal-banen er på 54,5.. a Vi bruker regnearket i GeoGebra. Vi legger inn pris i kroner i kolonne A og Etterspørsel, f() i kolonne B, markerer cellene og trykker på verktøysknappen Regresjonsanalyse. Aschehoug Side av 5

113 Når vi klikker Analyser, får vi et oversiktsdiagram. Funksjonen ser ut til å avta, men gradvis flate ut, så vi velger en eksponentiell modell. En modell f for etterspørsel som funksjon av pris kan være: f( ) = b f (5) = 56,57 Modellen gir en etterspørsel på ca 57 enheter ved en pris på 5 kr. Det kan være gyldig, da det ser ut til at etterspørsel avtar med økende pris. Verdien er positiv og lavere enn etterspørselen ved lavere priser. Det virker rimelig å bruke modellen. c Vi setter opp inntektsfunksjonen I( ) = f( ). Vi finner toppunktet til I i CAS, og bruker dobbeltderiverttesten for å forsikre oss om at ekstremalpunktet er et toppunkt. De bør selge varen til 55 kr per stykk for at inntekten skal bli størst mulig. Aschehoug Side av 5

114 .4 a Et rektangel med lengde l og bredde b har omkrets O= l+ b= ( l+ b) Vi ser i tabellen at for disse rektanglene er l+ b= konstant = Omkretsen til rektanglene er 4 cm. b Et rektangel med lengde l og bredde b har areal A= l b Lengde (cm) Bredde (cm) Areal (cm ) Arealene er beregnet i tabellen over. c Vi bruker regnearket i GeoGebra. Vi legger inn lengde i kolonne A og bredde i kolonne B, markerer cellene og trykker på verktøysknappen Regresjonsanalyse. Når vi klikker Analyser, får vi et oversiktsdiagram. Vi velger en polynomfunksjon av andre grad da den ser ut til å passe med verdiene (og man kan vise at areal som funksjon av sidekantlengde i firkanter er en andregradsfunksjon). A ( ) + Aschehoug Side 4 av 5

115 Dersom = vil den ene sidekanten være, og vi får ikke noe rektangel. Dersom =, så vil den andre sidekanten være (omkrets skal alltid være 4), og vi får ikke noe rektangel. D =, A e Arealet er for = og =. Fordi A ( ) er en andregradsfunksjon, vil toppunktet ligge midt mellom nullpunktene. Arealet er størst for =. Da er rektangelet et kvadrat, som på figuren til høyre..5 a Vi bruker regnearket i GeoGebra. Vi legger inn -verdiene i kolonne A og y-verdiene i kolonne B, markerer cellene og trykker på verktøysknappen Regresjonsanalyse. Når vi klikker Analyser, får vi et oversiktsdiagram. Vi velger polynom grad som regresjonsmodell, fordi vi skal finne en parabel. Da ser det slik ut: b En funksjon som passer til punktene er: 9 f( ) = f (4) = Aschehoug Side 5 av 5

116 Parabelen går ikke gjennom punktet ( 4,4 ). Løsninger til oppgavene i boka c Vi legger inn punktet ( 4,4 ) sammen med de andre i regnearket og velger regresjonsanalyse på nytt. Nå passer ikke en andregradsfunksjon, men vi prøver polynom av grad : 9 f 4 4 ( ) = + + Vi undersøker funksjonen: f() = 4, f() =, f(5) = 6, f(4) = 4 Denne polynomfunksjonen går altså gjennom alle punktene. Aschehoug Side 6 av 5

117 Kapitteltest Del Uten hjelpemidler Oppgave a f( ) = tan + sin cos f ( ) = + cos + sin cos b c g ( ) = cos g ( ) = sin = sin ( ) cos cos h = u= h ( ) = cos cos ( ) = cos sin = sin d i ( ) = cos e u= cos v, = e i ( ) = sin e + cos ( e ) = e (sin + cos ) Oppgave a ( ) [ ] 4 sin + cos d = cos + sin = cos + sin cos + sin = ( + ) + = u u u v v v b sin d= sin d cos cos d = = 4 cos + 4 cos d= 4 cos + 8sin + C c Fra eks. 9 har vi at d ( ) sin d= sin + C 4 sin d= sin + C = sin + C 4sin cos d Aschehoug Side 7 av 5

118 Vi substituerer med: u = sin u = cos du d = cos 4 4 4sin cos d= 4u du = u + C = sin + C Oppgave f( ) = sin +, D f =, a ( ) Amplituden A =, perioden p = = =, likevektslinja er c ϕ langs likevektslinja er = = =. c y = d = og forskyvningen Forskyvningen langs likevektslinja er mot høyre. b Nullpunkter der f( ) = c sin ( ) + = sin ( ) = 7 = + k = + k = + k = + k Ser etter løsninger for, 5 7 L =,,, y d A maks 9 sin =. = + = + =, som vi har der ( ) ( ) sin = = + k = + k 4 7 L=, for, 4 4 Toppunktene er da y d A min 9, 4 og 7 9, 4 sin =. = = =, som vi har der ( ) Aschehoug Side 8 av 5

119 d e ( ) sin = = + k = + k 4 5 L=, for, 4 4 Bunnpunktene er da, 4 og 5, 4 For en harmonisk svingning er vendepunktene skjæringspunktene mellom grafen og likevektslinja. Det gir: f( ) = sin ( ) + = sin ( ) = = k = + k L=,, for, Vendepunktene er,,, og, Vet fra d at f = f ( ) = 6cos ( ) f = 6cos = 6cos = 6 y f = f y = 6 y = 6+ Aschehoug Side 9 av 5

120 f g Vi ser av grafen at dette arealet er delt i tre områder. Ett fra = til det første nullpunktet, ett fra det første nullpunktet til det andre og ett område fra det andre nullpunktet til linja =. Arealet er da gitt ved 5 5 f( )d f( )d + f( )d = f( )d f( )d 5 (Vi kan ta integralet for hele intervallet fra = til =, og så trekke fra den delen som bidrar med negativt areal to ganger. f( ) = cos( ) + f( ) d= cos( ) + = cos( ) + cos( ) + = + = Aschehoug Side av 5

121 5 f( ) d= cos( ) = cos + cos = cos + + cos = + = A= f( )d f( )d= + = + = + Løsninger til oppgavene i boka Oppgave 4 a ( ) = cos sin, = [, ] f D f f( ) = cos sin = cos = sin = = + k = + k = = = Nullpunktene til f er =, b Arealet blir to-delt, A fra = til = og = =, og A fra = til =. Et av disse arealene vil ligge under -aksen. Vi trenger ikke å vite hvilket, hvis vi tar absoluttverdien av de bestemte integralene i de to omrdene. Arealet er derfor gitt ved: A= A + A = f( )d + f( )d f( ) d= cos sin d u = sin u = cos du d = cos Aschehoug Side av 5

122 cos sin d d sin = u u = u + C = + C ( ) A = f( ) d = sin = sin sin = = c A = f( ) d = sin = sin sin = = 4 A= A+ A = + = Volumet til omdreiningslegemet er gitt ved: ( ) V = f( ) d= cos sin d u = cos u = sin du d = sin ( ) ( ) V cos sin d u du u cos = = = = = = ( cos cos ) = (( ) ) = ( ) = Volumet av omdreiningslegemet til f er Del Med hjelpemidler Oppgave 5 a Vi leser av y maks = 5 og y min =. ymaks + ymin 5 + ( ) d = = = = ymaks ymin 5 ( ) 8 A = = = = 4 Vi leser av perioden mellom to toppunkt og ser at den er 8. p = gir c = = = c p 8 4 Det eneste skjæringspunktet vi ser på figuren mellom likevektslinja y = og grafen på vei oppover er (6, ). Altså er = 6. Aschehoug Side av 5

123 b ϕ = ϕ = c = 6 = c 4 f( ) = 4sin + 4 Vi finner nullpunktene med CAS. Av grafen ser vi at b f( )d øker fram til,. avtar fram til 5,68, øker igjen fram til, og avtar på ny fram til. Vi ser også at verdien må være større når b =, enn når b =, fordi det legges til mer areal over enn under grafen når vi går fra, til,. b f( )d har sin største verdi for b =, Oppgave 6 Vi bruker regnearket i GeoGebra. Vi legger inn tidene i kolonne A og temperaturen i kolonne B, markerer cellene og trykker på verktøysknappen Regresjonsanalyse. Når vi klikker Analyser, får vi et oversiktsdiagram. Vi ser at en sinusfunksjon vil være en god modell, og velger Sin som regresjonsmodell. Da ser det slik ut: Aschehoug Side av 5

124 f( ) = 5, 67 sin (, 6,6) +, er en modell for temperaturen gjennom sommerdøgnet. Vi bruker at cos( ) + ϕ = sin + ϕ ϕ =,6 =.9 f( ) = 5,67 cos (, 6,9) +, er en annen modell for temperaturen gjennom sommerdøgnet. Oppgave 7 a f( ) = sin cos, < 4 Vi benytter omskrivningen a sin c + b cos c = Asin ( c + ϕ) b A a b = + = + = + = ( ) ( ) ( ) b tan ϕ = = = a ϕ ligger i samme kvadrant som punktet (, ), altså i. kvadrant. 5 Dette gir ϕ =. 4 Da har vi vist at funksjonsuttrykket kan omformes til 5 f( ) = sin T( ) = 5 + f( ) = sin ymaks = d + A = 5 + 9, Den høyeste temperaturen i løpet av døgnet var 9, C 5 Temperaturen er høyest når sin + =. 4 Aschehoug Side 4 av 5

125 5 sin + = = + k ( k ) = 6 + k 4 = 9 + 4k Løsninger til oppgavene i boka = 5 ( k = ) Temperaturen var høyest kl. 5:. c Grafen stiger raskest i de vendepunktene der grafen er på vei oppover. Forskyvningen langs likevektslinja,, vil alltid være -koordinaten til et slikt vendepunkt. 5 5 ϕ = = = = = 5 c For å havne innenfor definisjonsmengden må vi legge til én periode: = 9 Dette døgnet økte temperaturen fortest kl. 9:. Vi legger inn funksjonen T i CAS og finner den deriverte klokken 9. T (9), (Egentlig vet vi på forhånd at cosinusfaktoren for den deriverte blir i et vendepunkt der grafen er på vei opp.) Da temperaturen økte fortest økte den med, C per time. Vi befinner oss i et vendepunkt, og dermed er vi på likevektslinja der y = 5. Da temperaturen økte fortest var temperaturen 5 C. Aschehoug Side 5 av 5