Fasit. Funksjoner Vg1T. Innhold

Transkript

1 Fasit Innhold 4.1 Funksjonsbegrepet Lineære funksjoner Andre funksjoner Andregradsfunksjoner Polynomfunksjoner Rasjonale funksjoner Potensfunksjoner og eksponentialfunksjoner Vekstfart og derivasjon Drøfting av polynomfunksjoner på grunnlag av derivasjonsregler Eksamensoppgaver Løsning Stein Aanensen og Olav Kristensen 1

2 4.1 Funksjonsbegrepet A 4,3, B 1, 4, C 0,, 4, 1, 1, 0, 3, 1 D E F 0, 4, 3, 4, 4,0 G H I Avstanden fra origo til punktet H er Df,1, V f 0,4 Dh R, Vh, Dg 6, 6, Vg 1,1 Di R, Vi,5 d) D 0,4 V 5,5 f D 0,1 V 60, 30 g D 0,1 V 40,160 h d) D 0,5 V 60,1000 i i f g h

3 4.15 DB 0,100 VB 1,5, 5,7 D 0,1 V 100,170 S S D 0,5 V ,40000 R d) D 0,60 V 0,50 E R E D 50,000 V 5,150 L D 5,150 V 50,000 E D 0,5 V 0,5 V d) D 1,8 V 3,5 M M V E L Dette er ikke en funksjon. Til flere av x-verdiene svarer det mer enn én y-verdi. Dette er en funksjon. Til hver x-verdi svarer det én y-verdi. Dette er ikke en funksjon. Til flere av x-verdiene svarer det mer enn én y-verdi. d) Dette er en funksjon. Til hver x-verdi svarer det én y-verdi f( x) 1,40x f( t) 80t f( x) x18 x d) 3000 fx ( ) x 3

4 4.1.9 d) e) f) Distanse per minutt: 4 195m 340m 14 d t t 340 D 0,14 d) f t dt e) f) V 0, 4195 d 4

5 Antall timer i et døgn er 4. Funksjonen gjelder for et døgn. Definisjonsmengden er da fra og med 0 til og med 4. Temperaturen er 6 C omtrent klokka og klokka d) V, 8, T D 50, 00 k t kt 13,50 148,00 17,50 d) Camilla har ringt i ca 15 minutt når kostnaden er 160 kroner. e) V 13,50, 197,00 k 5

6 x 50 x h 50 x A gh x 50 x x 50x D 0,50 V 0,65 A d) Den største verdien er 65 m. A e) Arealet blir 400 m når x er 10 meter og når x er 40 meter. 4. Lineære funksjoner 4..1 f x x Stigningstall Konstantledd 3x g x Stigningstall 3 Konstantledd hx x Stigningstall 1 Konstantledd 0 Stigningstallet forteller hvor raskt grafen til funksjonen vokser eller avtar. Jo større stigningstallet er, jo brattere er grafen. Konstantleddet forteller hvor grafen skjærer andreaksen. Når grafen skjærer andreaksen, er variabelen x lik 0. 6

7 4.. 0,5x f x Verditabell x fx Punkter og linje x g x Verditabell x gx Punkter og linje 6 0 h x x Verditabell x hx Punkter og linje

8 4..3 Konstantleddet til fx er 1. Grafen til Konstantleddet til Konstantleddet til gx er. Grafen til hx er 3. Grafen til Funksjonene har samme stigningstall. Linjene er derfor parallelle. f x skjærer dermed andreaksen i punktet 0, 1. g x skjærer dermed andreaksen i punktet 0,. h x skjærer dermed andreaksen i punktet 0, Konstantleddet er dermed 1. Konstantleddet er da lik Stigingstallet er 1 f x x 1 1,0 8

9 4..7 f x x 1 Blå graf x g x hx Gul graf x Rød graf ix Grønn graf 4..8 Funksjonsuttrykket til den røde grafen kan skrives som f x 3 Funksjonsuttrykket til den blå grafen kan skrives som g x x Funksjonsuttrykket til den svarte grafen kan skrives som hx 4x 1 Funksjonsuttrykket til den lilla grafen kan skrives som i x 3x Funksjonsuttrykket til den grønne grafen kan skrives som j x 1 3 x 4..9 Stigningstallet er gitt ved yx 1 y x y x

10 yx x 5 g x 4..1 a 100 y100x a 7,0 y7,0x 0,9 10

11 4..14 y0,01x 0, Vi ser grafisk at skjæringspunktet mellom grafene er (, ). Skjæringspunktet er,. d) Funksjonen f har nullpunkt for x 3,3 og funksjonen g har nullpunkt for x 1 11

12 4..16 Ls 10s 105 Vi ser av grafen ovenfor at Per da har hatt 7 salg. d) Verdimengden blir V 105, 55 L T x 0,09x 5 13,1 C d) Vi kan se grafisk at temperaturen i vannet var 14 C etter 100 minutt, altså etter 1 time og 0 minutt. e) Temperaturen i vannflasken til Anette er dermed 6,5 C ved prøvestart. 1

13 4..18 Løsning på likningssettet er 0,. Løsning på likningssettet er,. d) Løsning på likningssettet er 0,. 4 Alle punkt som ligger på linja y x 3 3 er løsninger av likningssettet. e) Siden linjene har samme stigningstall og ulikt konstantledd er de parallelle og vil ikke skjære hverandre. Likningssettet har ingen løsning. 13

14 4..19 f x 0,04x 3,315 Økningen i folkemengde per år er 0,04 millioner, altså individer. Folkemengden i Norge vil være i år 050 etter denne modellen f x 0,095x 1,4 Folkemengden i Mandal i år 050 vil være etter denne modellen. Folkemengden vil altså passere i år S x 5,39x 158 Utslippet av SO er 100 tusen tonn omtrent 11 år etter 1973, dvs. i S 37 5, ,43 d) 14

15 4.3 Andre funksjoner Andregradsfunksjoner f x x 7x 1 Når og a 0 f() x ax bx c, vil grafen vende sin hule side opp (smile). Grafen vil da ha et bunnpunkt. Grafen skjærer andreaksen i 1 fordi konstantleddet, c 1. Symmetrilinja er b 7 x a Bunnpunkt har koordinater Verdimengden blir da 1, (, f( )) (, ) 4 Nullpunktene er 3 og 4. g x x x 4 Når og a 0 f() x ax bx c, vil grafen vende sin hule side ned (sur). Grafen vil da ha et toppunkt. Grafen skjærer andreaksen i 4 fordi konstantleddet, c 4. Symmetrilinja blir 1 x Toppunktet har koordinater Verdimengden blir da 19, (, g( )) (, ) 4 Nullpunktene er -1 og. x h x Når 8 og a 0 f() x ax bx c, vil grafen vende sin hule side ned (sur). Grafen vil da ha et toppunkt. Grafen skjærer andreaksen i 8 fordi konstantleddet, c 8. 15

16 b 0 Symmetrilinja: x 0 a Toppunkt faller da sammen med skjæring med andreaksen: (0, 8) Verdimengden:, 8 Grafen til h ligger under x-aksen. V =, 8. Funksjonen har derfor ingen nulpunkt. f i x 3x 1x Når og a 0 f() x ax bx c, vil grafen vende sin hule side opp (smile). Grafen vil da ha et bunnpunkt. Grafen skjærer andreaksen i 0 fordi konstantleddet, c 0. Symmetrilinja blir b 1 x a 3 Bunnpunktet har koordinater (, i( )) (, 1) Verdimengden blir da 1, Nullpunktene er - 4 og 0. 16

17 4.3. Bunnpunktet blir 0.5, 6.5 Grafen til f skjærer førsteaksen i 3, 0 og,0. Grafen til f skjærer andreaksen i 0, 6. d) Skjæringspunkt 0, 6. Grafen skjærer førsteaksen i punktene 3, 0 og, 0. e) Verdimengden f V blir dermed V 6.5, f Ballen er 10 meter over bakken etter 0,8 sekund og etter,1 sekund. Ballen treffer bakken etter ca. 3 sekund. Den negative løsningen er ikke en løsning av den praktiske oppgaven. d) Likningen har ikke løsning. Det betyr at ballen aldri når denne høyden. e) Ballen når sitt høyeste punkt etter ca. 1,4 sekund og den er da 1,0 meter over bakken. f) Verdimengden V h til h er Vh 0, B A C x f x x x f x x x f x x x f x x x f x f 0,5 0,5x x 6 x x

18 Polynomfunksjoner Toppunkt i 3,4, 7,8. Bunnpunkt i 0,6,,. Skjæring med førsteaksen i 5,1, 0. Skjæring med andreaksen i 0,3. Toppunkt i 0,4. Bunnpunkt i, 3,. Skjæring med førsteaksen i,0. Skjæring med andreaksen i 0, Dette er en tredjegradsfunksjon. d) Volumet er 1,1 liter når høyden er 1,0 dm. e) Høyden kan være 0,39 dm eller 1, dm for at volumet skal bli 1,0 liter. f) Radius i sylindrene er 0,53 dm eller 0,91 dm d) Overflaten er minst når høyden er 1,08 dm. Radius er 0,54 dm. e) Forholdet mellom diameter og høyde er da 0,54 1. Det betyr at høyden er lik diameteren. 1,08 18

19 Rasjonale funksjoner Vertikal asymptote x Horisontal asymptote blir y 1 Vertikal asymptote x Horisontal asymptote blir y 3 Vertikal asymptote x Horisontal asymptote blir y 0 (altså x-aksen). d) Vertikal asymptote x 1 Her har vi i tillegg en skrå asymptote yx Når Morten ringer svært mye, vil den faste månedsavgiften bety lite og kostnadene per minutt vil nærme seg 49 øre. y 0,49 d) Vi ser av grafen at prisen per minutt blir 69 øre dersom han ringer 300 minutt i måneden. e) Vi ser av grafen at Morten må ringe 536 minutt dersom prisen per minutt skal bli 60 øre. 19

20 Potensfunksjoner og eksponentialfunksjoner Når eksponenten er større enn 1, vil grafen stige sterkere og sterkere. Når eksponenten er mindre enn 1, vil grafen stige svakere og svakere Når x 0, vil vekstfaltoren opphøyd i 0 bli 1 og grafene vil da skjære andreaksen i 3. Når vekstfaktoren er større enn 1, vil grafen stige mot høyre. Når vekstfaktoren er mindre enn 1, vil grafen synke mot høyre. 0

21 4.3.1 Vi ser av grafen at scooterens verdi etter 3 år er ca kroner. Vi ser av grafen at det tar ca. 7,4 år før scooterens verdi er kroner Temperaturen i kjøleskapet ved strømbruddet er 4 C. Vi ser grafisk at det går ca. 14 timer før det er 10 grader i kjøleskapet. d) Vi ser at temperaturen stiger sterkt etter et døgn, og at modellen er urealistisk å bruke dersom strømbruddet er over en lengre periode Vi ser av grafen at treet er ca.,3 meter høyt etter 3 år. Vi ser av grafen at treet er 4 meter høyt etter ca. 7,5 år. 1

22 4.4 Vekstfart og derivasjon y Vekstfart x 0 Vi ser at vekstfarten er lik stigningstallet. y Vekstfart 1 x Vi ser at vekstfarten er lik stigningstallet. y Vekstfart 1 x 1 1 Vi ser at vekstfarten er lik stigningstallet. 4.4.

23 4.4.3 a 1 a a Vi ser grafisk (stigningstallet til sekanten y) at treet i gjennomsnitt vokste 88 cm per år i perioden 1994 til Vi ser grafisk (stigningstallet til sekanten y) at treet i gjennomsnitt vokste 4 cm per år i perioden fra 003 til Gjennomsnittlig vekstfart for funksjonen f fra x1 1 til x 1 f f 1,5 g Gjennomsnittlig vekstfart for funksjonen g fra x1 1 til x f Gjennomsnittlig vekstfart for funksjonen f fra x1 1 til x 1,1 g Gjennomsnittlig vekstfart for funksjonen g fra x1 1 til x 1,1 Vi får mest riktig verdi for vekstfarten når vi lar x øke fra 1 til 1,1. g 1 1 0,4 1,1 f1 1,1 1 1,1 g1 1,1 1 1,65 0, Den gjennomsnittlige vekstfarten fra år 1 til 4 er cm 3 år 3

24 4.4.8 Kostnadene per minutt avtar gjennomsnittlig med 1,5 øre/minutt for hvert ekstra minutt han ringer mellom 0 og 00 minutt. Kostnadene per minutt avtar gjennomsnittlig med 0,08 øre/minutt for hvert ekstra minutt han ringer mellom 00 og 400 minutt. Kostnadene per minutt avtar gjennomsnittlig med 0,01 øre/minutt for hvert ekstra minutt han ringer mellom 400 og 100 minutt. d) Kx måles i kr min mindre blir kostnadene per minutt. kr. x måles i minutt. Benevningen blir per minutt. Jo mer han ringer, jo min 4.4.9,8 Prisen avtar gjennomsnittlig med,80 kroner per deltaker når antall festdeltakere øker fra 50 til Den momentane vekstfarten når x er 3. Den momentane vekstfarten når x 1 er 1. Den momentane vekstfarten når x 0 er 1. Den momentane vekstfarten når x 1 er 3. Når fortegnet til den momentane vekstfarten er negativt, synker grafen når vi går fra venstre mot høyre. Når fortegnet til den momentane vekstfarten er positivt, stiger grafen når vi går fra venstre mot høyre. 4

25 Den deriverte når x 1 er 6. Den deriverte når x 0 er. Den deriverte når x 1 er. Den deriverte når x er 6. Når fortegnet til den deriverte er negativt, så synker grafen når vi går fra venstre mot høyre. Når fortegnet til deriverte er positivt, så stiger grafen når vi går fra venstre mot høyre Den deriverte når x 50 er 3,4. Det betyr at en ekstra festdeltaker da vil redusere stykkprisen med ca. 3,40 kroner. Den deriverte når x 60 er,36. Det betyr at en ekstra festdeltaker da vil redusere stykkprisen med ca,36 kroner f x x 1 f 5 gx 4x d) g 6 e) f x 0 f x 0 f x f x 3 f x f x 5 5

26 f x 5x 5x f x 7x 7x f x 36x 36x 18x f x 3x x 0 3x 4x f t 4t 30 8t 3 1 f x 3x 5x 4 0 6x 10x f x x x x x f x x x 4 0 x x 4 x x f x x 10 x 4 0 3x 5x x 5x 4x 9 6x 10x t t t t t x 5 10x 3 19x x 4 30x f x 6x 4x y x 6

27 4.4.1 f f f Tangentlikningen i punktet 0, blir y x Tangentlikningen i punktet 1, 3 blir y 3 Tangentlikningen i punktet, blir yx 6 d) Når veksthastigheten er negativ, vil grafen synke. Ved 0 vil den verken stige eller synke. I vårt tilfelle vil det si bunnpunktet. Når veksthastigheten er positiv, vil grafen vokse g g 1 0 g 0 Tangentlikningen i punktet, blir yx Tangentlikningen i punktet 1, 1 blir y 1 Tangentlikningen i punktet 0, blir y x d) Når veksthastigheten er negativ, vil grafen synke. Ved 0 så er det ingen stigning. I vårt tilfelle vil det si toppunktet. Når veksthastigheten er positiv, vil grafen vokse. 7

28 4.4.3 Treet vokser med 15 cm per år etter 5 år. Treet vokser med 59 cm per år etter 7 år K '(0) 0,1475 K '(00) 0, K '(400) 0, K '(100) 0, Benevningen blir kr min per minutt. 4.5 Drøfting av polynomfunksjoner på grunnlag av derivasjonsregler fx stiger når x 3 fx synker når x 3 fx har toppunkt når x 3. Toppunktet er 3, f 3 3, 4.5. fx synker når x 1 fx stiger når x 1 fx har bunnpunkt når x 1. Bunnpunktet er 1, f 1 1, 4 8

29 4.5.3 fx stiger når x 1 og når x 3 fx synker når 1 x 3 fx har toppunkt når x 1. Toppunktet er 1, f 1 1,15 3 f fx har bunnpunkt når x 3. Bunnpunktet er 3, f 3 3, fx stiger når x 0 og når x fx synker når 0 x fx har toppunkt når x 0 0, f 0 0, 0. Toppunktet er 3 f fx har bunnpunkt når x. Bunnpunktet er, f, Steinen er i sitt høyeste punkt etter,6 sekunder. Steinens maksimale høyde er h t 3 m ht 59,8 v t v t m at 9,8 per sekund s d) t maks Maksimalverdi for overskuddet når x 500 9

30 4.5.7,8 0,8 f f V x 000 x 180x 4x 3 Esken får sitt største volum når x 7,4 cm 3 Vx 6564 cm 4.6 Eksamensoppgaver 4.6.1X (Eksamen 1MX med IKT, Våren 00) Arealet et størst når x 7, X (Eksamen 1MX, Våren 004) Du kan bruke linjene i koordinatsystemet til høyre for å løse et likningssystem. Løsningen blir x og y 1. 1 y x y x 1 30

31 4.6.3X (Eksamen 1MX, Våren 004) Punktene ligger ikke på ei rett linje X (Eksamen 1MX, Våren 004) Bunnpunktet (,). Dersom D,6, vil verdimengden være,18 d) x1 og x 4 f e) Maksimalverdien er, X (Eksamen 1MY, Våren 004) Treet var da 0,15 meter høyt. 45 % d) Treet vokser raskt til å begynne med, men etter år flater veksten ut for så å øke igjen etter ca. 6 år. e) Vi ser grafisk at treet er,5 meter høyt etter ca. 6,4 år X (Eksamen 1MY, Høsten 004) Luftrykket 1000 meter over havet er 891 millibar. d) Finner av grafen at lufttrykket på Galdhøpiggen er 738,8 millibar og på Mount Everest 36,8 millibar. e) Leser av grafen at vi da er 1,847 kilometer dvs meter over havet. 31

32 4.6.7X (Eksamen 1MY, Våren 005) kr d) Produksjon av 49 hjelmer blir 171 kroner. e) y X (Eksamen 1MX, Våren 006) t 0 t 4,1 Ballen når sitt høyeste punkt etter ca sekund og er da 64 meter over havet. d) Det tar 13,3 sekund før ballen når havflaten X (Eksempeloppgave 1T+T, April 007) Stigningstallet til tangenten er X (Eksempeloppgave 1T +T, April 007) D R\ 1 f g( x) x d) x1 og x x 1, x e) X (Eksempeloppgave 1P +P, Desember 007) Situasjon 1: f( x),50x 60 Situasjon : A( x) 1,60x 15 Situasjon 3: g( x) 1,10x 40 3

33 Situasjon 4: hx ( ) , ,5 x x 00 Situasjon 5: B( x) ( x) x 100x x Situasjon 6: Cx ( ) , ,95 x x 4.6.1X (Eksempeloppgave 1P+P, Desember 007) f( x) 0,66x 06,31 Forskjellen er størst når x 15. Da er den ca. 8,6. Grafene skjærer hverandre for x X (Eksempelsett 1T+T, Desember 007) f ( x) 0 for x, x 0,5 og x 1 f ( x) 0 for x, 0,5 og for x 1, X (Eksempelsett 1T+T, Desember 007) Summen av x-verdiene til skjæringspunktene blir Det ser ut som om summen av x-verdiene blir tilnærmet lik 3 i hvert tilfelle. d) Hypotese: Summen av x- koordinatene til de tre skjæringspunktene mellom en linje og grafen til en tredjegradsfunksjon er 3. 33

34 4.6.15X (Eksamen 1P+P, Våren 008) 1) Vi har en lineær funksjon som minker. Graf C. ) Vi har en eksponentialfunksjon som synker. Graf F. 3) Hvis sidene i kvadratet er lik x, vil arealet være lik x. Dette er en andregradsfunksjon med positivt andregradsledd. Når x 0 er funksjonsverdien 0. Graf A. 4) Dette er en andregradsfunksjon med negativt andregradsledd. Når x 0 er funksjonsverdien 1,8. Graf E X (Eksamen 1T+T, Våren 008) f( x) 0 for x 0 og for x 6 (Nullpunkt) f ( x) 0 for x 3 (Toppunkt) (Stigningstall til tangent i punktet f ( x) for x f ( x) for x 4,8.) (Stigningstall til tangent i punktet 4,8.) X (Eksamen 1T+T, Våren 008) Toppunkt 1,3 Bunnpunkt 3, 1 Stigningstallet blir

35 4.6.18X (Eksamen 1T+T, Høsten 008) Grafen har toppunkt for x 3. Grafen har bunnpunkt for x 1. Grafen har et stasjonært punkt/terrassepunkt når x X (Eksamen 1T+T, Høsten 008) f(3) f() d) f ( x) x f () 4 y 0 ( x 3) y x X (Eksamen 1T+T, Våren 009) Graf 3) er den eneste som har toppunkt. Funksjonsuttrykket må ha negativt fortegn foran andregradsleddet, altså g. Graf 1) har y-aksen som symmetrilinje. Da må den mangle førstegradsledd, altså f. Graf ) må da være grafen til h. (Kan kontrollere at bunnpunktet stemmer.) 4.6.1X (Eksamen 1T+T, Våren 009) Når t 7 er høyden 6,8 dm. Ca. 1 dm/min for t. Ca. 0,7 dm/min for t 8. Tank 1. 35

36 4.6.X (Eksamen 1T+T, Våren 009) Det ble solgt like mye diesel og bensin i 004. Bensinforbruket var altså høyest i andre halvdel av 00. d) Det totale salget passerte 3500 millioner liter per år i