12 Areal. Vekst under grafer

Transkript

1 12 Areal. Vekst under grafer 1 a) Framstill denne funksjonen grafisk: f(x) = 3x + 2 b) Regn ut f(4) og f(3). f (4) f (3) Regn deretter ut. Forklar hva du finner ut. 4 3 f (5) f (2) c) Regn ut. Kommenter svaret Vi har funksjonen f(x) = x 2 2x. a) Regn ut f(3), f(3,1), f(3,01) og f(3,001). f (3,1) f (3) f (3,01) f (3) f (3,001) f (3) b) Regn deretter ut, og. 3,1 3 3,01 3 3,001 3 c) Tegn grafen til f så nøyaktig som mulig. d) Hva ser det ut som om stigningstallet til linjen er, hvis du trekker en linje som tangerer grafen til f i punktet der x = 3? 3 Vi har gitt funksjonene f(x) = 3x + 2 og g(x) = x 2 2x. Bruk lommeregneren for å finne den momentane veksten i det punktet på grafene der x = 3. Sammenlikn svaret med oppgave 2. 4 Per har målt høyden sin hver gang han har hatt fødselsdag. Resultatet av målingene fra og med 7-årsdagen er vist i diagrammet nedenfor. a) Finn den gjennomsnittlige veksthastigheten mellom 8-årsdagen og 9-årsdagen til Per, og mellom 12-årsdagen og 13-årsdagen hans.

2 Vi regner med at Per vokser like raskt i sitt fjortende år (året før 14-årsdagen) som i sitt trettende år. b) Regn ut hvor lang Per er når han blir 13 år og 8 måneder gammel. 5 a) Tegn grafen til funksjonen til f(x) = 0,5x i intervallet fra x = 0 til x = 4. b) Del intervallet i fire like deler. Tegn fire rektangler fra x-aksen opp til grafen. Finn summen av arealene til rektanglene. c) Del intervallet i åtte like deler. Tegn inn rektangler (som ovenfor) og finn summen av arealene til rektanglene. d) Bruk gjennomsnittsmetoden til å finne arealet av det området som er avgrenset av grafen og x-aksen fra x = 0 til x = 4. e) Regn ut (0,5x 2 + 4x,0,4 EXE på lommeregneren. 6 Den gjennomsnittlige månedlige levekostnaden målt i kroner for barn eller ungdom på x år kan uttrykkes ved funksjonen f: f(x) = 0,5x x x ε [0,20] Velg en passende skala på aksene og tegn grafen. a) Hva er den gjennomsnittlige månedlige levekostnaden for et barn på fem år? b) Hvor gammelt er barnet eller ungdommen når den gjennomsnittlige månedlige levekostnaden er den dobbelte av levekostnaden for en ettåring? c) Finn av grafen i hvilket område levekostnadene vokser raskest. d) Finn arealet under grafen fra x = 0 til x = 20. Hva gir dette arealet uttrykk for? 7 Funksjonen f(x)= x 3 + x 2 er gitt. Gjør de nødvendige operasjonene på lommeregneren (nullpunkt, ev. topp-/bunnpunkter, osv.) og tegn grafen nøyaktig i arbeidsboka. (Bruk 2 cm som enhet på aksene.) a) Finn arealet av det området som er avgrenset av grafen og x-aksen, ved å trekke linjer slik at arealet kan finnes ved å regne ut areal av rektangler osv. b) Del området i flere rektangler og finn arealet på denne måten. La rektangelbredden bli mindre og mindre. c) Finn det eksakte arealet ved hjelp av lommeregneren. 8 Under vårflommen steg vannstanden i en innsjø til mer enn én meter over det normale nivået. Funksjonen f(x) = 0,1x 3 + 2x 2 viser hvordan vannstanden var i de 18 første døgnene etter at flommen startet. f(x) er høyden over det normale nivået (målt i centimeter) og x er tiden målt i døgn siden vannet begynte å stige.

3 a) Velg en hensiktsmessig målestokk og tegn grafen til funksjonen. b) Finn av grafen når vannstanden var på det høyeste. Kontroller svaret ved hjelp av lommeregneren. Vi antar at vannstanden varierer som f(x) i fire døgn til. c) Hvor mange døgn etter at flommen startet tar det før vannstanden er tilbake til det normale? d) Finn av grafen når vannstanden økte mest. Hvor mange centimeter steg vannstanden per døgn i dette tilfellet? Kontroller svaret ved hjelp av lommeregneren. 9 Folketallet i en by var i begynnelsen av 1993 lik Folketallet antas å øke med 0,8 % per år i årene framover. a) Regn ut den gjennomsnittlige vekstfarten fra 1993 til b) Finn den momentane vekstfarten i begynnelsen av Afshin er på en lang biltur. Hun regner med å holde en gjennomsnittsfart på 60 km/t på grunn av korte pauser i løpet av turen. Hun skal kjøre 54 mil, som er strekningen Oslo Trondheim. a) Hvor mange timer tar turen? b) Framstill funksjonen f(t) = 60. Skraver det området som er avgrenset av grafen og t- aksen fra t = 0 og t = 9. Finn arealet av det skraverte området. c) Er det en sammenheng mellom oppgavene a) og b)? 11 En ny bly- og sinkgruve starter driften med en utvinningstakt på 1,5 millioner tonn malm per år. Gruveselskapet planlegger å øke utvinningstakten med tonn årlig. Vi går ut fra at økningen skjer jevnt gjennom året. Etter t år kan altså utvinningstakten beskrives av funksjonen f gitt ved f(t) = 1, t der f(t) er antall tonn per år. a) Hvor mye malm blir tatt ut av gruven i alt i løpet av de 25 første årene etter denne planen? (Tegn graf og forklar). Gruveselskapet har funnet ut at det totalt kan utvinnes 120 millioner tonn malm i gruven. b) Hvor lenge kan gruvedriften vare dersom utvinningstakten følger funksjonen f?

4 12 Et nytt tidsskrift hadde ved inngangen til 1996 et opplag på eksemplarer. Prognosen for opplaget fram til 2006 kan tilnærmet beskrives av funksjonen f gitt ved f(x) = ,06 x x ε [0, 10] der x er antall år etter 1996 (x = 0 svarer til begynnelsen av 1996). a) Forklar hvorfor opplagstallet ifølge prognosen kommer til å øke med en fast prosent per år. Hvor mange prosent øker opplagstallet med per år? b) Finn ved regning hvor lang tid det tar før det årlige opplaget er kommet opp i om lag eksemplarer. c) Tegn grafen til f i det oppgitte definisjonsområdet. d) Finn det arealet som er avgrenset av grafen og aksene i definisjonsområdet. Hva uttrykker arealet i dette tilfellet? x e) Finn ( ,06,0, 10 på lommeregneren. Stemmer svaret med det du fikk i oppgave d)? 13 I 1990 laget et konsulentfirma en prognose for tallet på passasjerer på hurtigruta mellom Bergen og Kirkenes. Prognosen er gitt ved uttrykket f(x) = x 1+ 0,86 x 0 der x = 0 svarer til året f(0) er tallet på passasjerer i 1990, f(1) er tallet på passasjerer i 1991, osv. a) Hvor mange reiste med hurtigruta i 1990? b) Finn ved regning og ved hjelp av lommeregneren i hvilket år hurtigruta kommer til å ha passasjerer ifølge prognosen ovenfor. Ifølge prognosen nærmer tallet på passasjerer seg en bestemt verdi etter hvert. a) Bruk lommeregneren til å bestemme denne verdien (bruk store verdier for x). Tegn grafen til f. b) Bestem det arealet som er avgrenset av grafen og aksene fra x = 0 og x = 7. Bruk den metoden du synes passer best for deg. Kontroller svaret ved hjelp av lommeregneren. Gi en tolkning av svaret. Tallene nedenfor, som er det faktiske antallet passasjerer på hurtigruta i årene , er hentet fra en avis. Tallene er oppgitt i tusen passasjerer. År Passasjerer c) Bruk lommeregneren og finn ved regresjon en modell for utviklingen av tallet på passasjerer (for eksempel en andregradsfunksjon). d) Hva blir passasjertallet i 2000 ifølge din modell?

5 14 a) Hva menes med gjennomsnittlig veksthastighet (vekstfart) for en funksjon i intervallet [a, b]? b) På grunn av vedlikehold skal vannmengden i en vanntank reduseres. Funksjonen f gitt ved F(t) = 350 t + 1 D f = [0, 10] gir et tilnærmet uttrykk for den vannmengden som er igjen i tanken etter t timer. Vannmengden måles i kubikkmeter. 1) Bestem den vannmengden som renner ut i løpet av de fem første timene. 2) Bruk oppgave a) til å finne ut hvor stor vannmengde som renner ut per time etter om lag fem timer. 15 Vi har tegnet grafen til en funksjon f uten å kjenne funksjonsuttrykket til funksjonen. Vi skal beregne arealet av det skraverte området A uten å bruke integrasjon. Punktene P 1 (x 1, y 1 ), P 2 (x 2, y 2 ), osv. ligger på grafen til f. Vi har trukket linjer gjennom disse punktene, slik at linjene er parallelle med y-aksen. Avstanden mellom linjene er a (se figuren nedenfor). Ved å trekke de rette linjene P 1 P 2, P 2 P 3 og P 3 P 4 får vi tre trapeser. a) Vis, ved å regne ut summen av arealene av disse trapesene, at A 2 a (y1 + 2y 2 + 2y 3 + y 4 ) Denne formelen kalles trapesformelen for tre intervaller. b) Lag trapesformelen for seks intervaller. Et oljefelt settes i produksjonen i dag (t = 0). Levetiden til feltet er åtte år. Produksjonen av oljen kan beskrives ved funksjonen f: f(t) = 10t 2 t 3 t ε [0, 8] f(t) er produksjonen målt i millioner fat per år.

6 c) Bruk trapesformelen med åtte intervaller til å finne en tilnærmet verdi for den samlede oljeproduksjonen i hele levetiden til oljefeltet. d) Tegn grafen til funksjonen f. Skraver det området som er avgrenset av grafen, og begge aksene fra t = 0 til t = 8. e) Finn en tilnærmet verdi av arealet ved å trekke linjer (gjennomsnittsmetoden). f) Finn integralet ved hjelp av lommeregneren. g) Finn ved hjelp av grafen på hvilket tidspunkt økningen i produksjonen er størst. h) Finn ut når produksjonen er størst. Hvor stor er økningen da? 16 Funksjonen f er gitt ved f(x) = 6 x x 2. a) Tegn den delen av grafen til f som ligger over x-aksen. b) Finn arealet A 1 som er avgrenset av grafen til f og x-aksen (på minst tre måter). Arkimedes ( f.kr.) oppdaget at arealet under en parabelbue er lik A = 2 g h 3 der A er arealet av det skraverte området på figuren nedenfor. Betydningen av g og h går fram av figuren. c) Kontroller at du finner det samme arealet A 1 ved hjelp av Arkimedes formel. 17 Folketallet i en by var i begynnelsen av 1993 lik Folketallet antas å øke med 0,8 % per år i årene framover. a) Hva ville folketallet være i begynnelsen av 2000 etter anslaget ovenfor? Folketallet i byen t år etter begynnelsen av 1993 kan uttrykkes ved med funksjonen N, der N(t) = N 0 a t. t = 0 i begynnelsen av 1993, t = 1 i begynnelsen av 1994, osv. b) Bestem N 0 og a. c) Finn den momentane vekstfarten i begynnelsen av OBS! Bruk lommeregner (Casio)!

7 N(t) er en eksponentialfunksjon. Vi bruker tallene fra 1993 og 2000 og taster dem inn på List1 og List2 på STAT-menyen på lommeregneren. Deretter trykker vi F1 (GRPH), F1 (GPH1), F6 og F2 (Exp). Vinduet viser da a = , b = 7,9678 E 03 (b 0,008) og y = a e^bx (y = a e bx ). Denne funksjonen kan skrives som y = a (e b ) x, der e 2, Når vi regner ut e 0,008 på lommeregneren (Shift ln 0,008), får vi 1,008. Vår eksponentialfunksjon blir dermed y = ,008 t (Lommeregneren bruker x som den variable, mens vi i denne oppgaven bruker t. Derfor bytter vi x med t). Vi kan trykke F6 (DRAW) for å få eksponentialfunksjonen tegnet.