Løsningsforslag heldagsprøve våren T

Transkript

1 Løsningsforslag heldagsprøve våren 00 T DEL OPPGAVE a) Regn ut x x x x x x x x x x 9x x x x x 6x x x x 6x x 6x b) Løs likninga x x 6 x x 6 x x 6 x x 6 x x x x c) Løs likningssettet ved regning x y x y x y x y Setter det inn i den andre likninga og får: x y y y 4 6y y 6y y 4 y y Da må x være: x y x y d) Løs likninga x x 0 Vi må benytte formelen: x b b 4ac a x 4 x x e) Regn ut Side av 7

2 f) Løs ulikheten x x Vi må regne litt: x x x x 0 x x 0 Faktoriseringa av andregradsuttrykket er gjort ved å se på oppg f (se over). Vi kan tegne et fortegnsskjema direkte x eller x g) Ei linje går gjennom punktene, og,. ) Tegn linja i et koordinatsystem. y x ) Finn likningen for linja. Likninga for ei rett linje: y ax b. Vi må finne stigningstallet og konstantleddet. To punkter er oppgitt i oppgaven. Den horisontale avstanden (langs x-aksen) mellom punktene er (, se figur). Den vertikale (langs y-aksen) er ( ). Det betyr at a Konstantleddet kan vi lese av, men vi kan også finne det ved regning. Punktet (,) skal være på linja. Det betyr at: Da har vi likninga y x ) Hvor skjærer linja x-aksen? y x b b b Side av 7

3 Igjen har vi to valg: enten avlesing eller regning. Regning er nok mest nøyaktig i dette tilfellet. x 0 x Nullpunktet x x h) Løs likninga: lg x lg x lg x lg lg x lg x 9 x Oppgave En eske inneholder blå og røde kuler. Vi trekker tilfeldig ut to kuler uten å legge tilbake. a) Hva er sannsynligheten for å trekke først ut en blå og så en rød kule? Vi definerer disse hendelsene A -trekker blå kule i første trekk B - trekker blå kule i andre trekk P A B P A P B 7 6 Sannsynligheten er 6 b) Hva er sannsynligheten for at begge kulene har samme farge? Det kan skje på to måter: Enten trekker vi en blå og en blå eller en rød og en rød. P begge samme farge Sannsynligheten er DEL Oppgave En flat firkantet tomt er formet slik figuren viser. På figuren er AB 70 m, AD 4 m, BD 6 m, BC m og CD 0 m Side av 7

4 a) Vis at trekanten ABD er rettvinklet. Stemmer setningen til Pythagoras må vinkelen være rett. AB AD BD Vinkelen må være rett. b) Finn A. Vi bruker det vi nettopp har funnet (ofte er det en sammenheng mellom oppgavene). cosa AD 4 AB 70 A cos A. c) Finn DE. sin A DE AD DE AD sin A 4 sin.. 7 DE 4 m d) Vis at vinkel C er Bruker cosinussetningen BD CD BC CD BC cosc cosc BD CD BC CD BC 0 C cos e) Finn arealet av hele tomta Arealet av ABD AB DE Arealet av BCD CB CD sin C 0 sin Til sammen: Arealet av tomta er 6 m Oppgave 4 Vi har en pose med flaggstangfrø. På posen står det at hvert frø spirer med 70% sannsynlighet. Vi sår 0 frø. Hva er sannsynligheten for at nøyaktig frø spirer? Dette er et typisk eksempel på et binomisk forsøk. Vi planter et frø, enten spirer det eller ikke, vi gjentar det med neste frø... Formelen: P X x n x p x p n x Her er p 0. 7 n 0 P X Husk at vi skriver regnestykket slik jeg har gjort det over. Vi kan finne det på kalkisen med binompdf(0,0.7,) Sannsynligheten for at nøyaktig frø spirer er 0. 0 Oppgave I en klasse med 7 jenter og gutter har fem jenter og fire gutter brune øyne. Vi plukker ut en tilfeldig elev og definerer disse hendelsene: G: det er en gutt J: det er ei jente B: det er en person med brune øyne Svar på spørsmålene samtidig som du skriver sannsynlighetene med et matematisk språk. Benytt de definerte hendelsene over. Det første vi bør gjøre er å lage en tabell slik som denne: Side 4 av 7

5 Blå øyne Brune øyne Sum Jente 7 Gutt 7 4 Sum 9 9 a) Hva er sannsynligheten for at eleven er ei jente? P J b) Hva er sannsynligheten for at eleven er en gutt med brune øyne? P G B c) Hva er sannsynligheten for at eleven er ei jente som ikke har brune øyne? P J B d) Hva er sannsynligheten for at eleven er gutt eller har brune øyne? P G B P G P B P G B P G B e) Hva er sannsynligheten for at det er en gutt som er valgt når du får høre at eleven har brune øyne? P G B 4 9 Oppgave 6 Funksjonen f er gitt ved f x x x a) Tegn grafen til f y x b) Finn nullpunktene til f ved regning x x 0 x x x x x 4 c) Finn eventuelle topp- eller bunnpunkt ved regning f x x Side av 7

6 ,, f x x 0 0 Det er et bunnpunkt når x. Finner y-koordinaten: f 9 Bunnpunkt, 9 d) Finn likninga til tangenten i punktet der x Ved regning Finner y-koordinaten f 7 Stigningstallet til tangenten: f Vi vet at tangenten er ei rett linje på formen y ax b. Stigningstallet er a. Vi vet også at linja skal gå gjennom punktet, 7. Da kan vi sette opp denne likninga: y ax b 7 b b 4. Teknologi På et eller annet vis må vi få tegnet opp funksjonen, tegnet inn tangenten og så få beregnet likninga til tangenten. Under er det gjort i TI-Nspire. Likninga til tangenten er y x Oppgave 7 En eske har en kvadratisk grunnflate der sidene er x dm. Høyden i esken er x dm. a) Vis at volumet av esken er gitt ved funksjonen V x x x Volumet finner vi ved. høyde bredde lengde. Her blir det: x x x x x x x b) Hva er definisjonsmengden til funksjonen? Definisjonsmengden bestemmes av hvilke verdier x kan ha. Sidene i kvadratet er x dm. x må derfor være større enn 0. Vi får oppgitt at høyden er -x. Den må også være større enn null. Da har vi definisjonsmengden til V(x) D v 0, c) Finn det største volumet esken kan ha på så mange måter som mulig Side 6 av 7

7 Nå vet vi at volumet er gitt ved funksjonen V x x x. Oppgaven blir å finne ut for hvilken x-verdi dette volumet blir størst mulig. Grafisk Tegner opp funksjonen y x Vi kan benytte kalkulatoren eller andre verktøy for å finne toppunktet. Husk å notere ned hvordan det blir gjort. Toppunktet er 0, 00 Ved derivasjon V x x x 0x x V x 0 0x x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 0, 0 0 0, x 0 x 0 - V x 0 - Det største volumet er 00 dm når x 0 Side 7 av 7