Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009

Transkript

1 Sammendrag R1 Sandnes VGS 19. august

2 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A B hvis to påstander A og B er ekvivalente. Det vil si at påstand A er riktig hvis, og bare hvis, påstand B er riktig. To likninger er ekvivalente hvis de har nøyaktig de samme løsningene. Og Skrivemåten A B betyr påstand A og samtidig B. Eller Skrivemåten A B betyr påstand A eller B. Intervaller La a og b være reelle tall. x er større enn a og mindre enn b skrives: x a, b x er større enn a og mindre enn, eller lik b skrives: x a, b] x er større enn eller lik a og mindre enn b skrives: x [a, b x er større enn eller lik a og mindre enn eller lik b skrives: x [a, b] Union Skrivemåten A B betyr A union B, altså A eller B Snitt Skrivemåten A B betyr A snitt B, altså A og samtidig B Ikke Skrivemåten A betyr ikke A. Hvis A er en hendelse kalles A den komplementære hendelse til A. Grenseverdi Symbolet lim f (x) betegner grenseverdien til funksjonen f når x a variabelen x nærmer seg a. I de tilfellene det er mulig å finne grenseverdien, er denne et reelt tall. 2

3 2 Algebra Andregradslikningen Likningen ax 2 + bx + c = 0 har løsningene x = b ± b 2 4ac 2a Antall løsninger Likningen ax 2 + bx + c = 0 har to løsninger dersom b 2 4ac > 0 en løsning dersom b 2 4ac = 0 ingen reelle løsninger dersom b 2 4ac < 0 Nullpunkt Dersom andregradslikningen ax 2 + bx + c = 0 har har løsningene x = x 1 og x = x 2, er x 1 x 2 = c a og x 1 + x 2 = b a x 1 og x 2 kalles nullpunktene til andregradsuttrykket ax 2 + bx + c. Faktorisering av andregradsuttrykk Dersom andregradsuttrykket ax 2 + bx + c har de to nullpunktene x = x 1 og x = x 2, er ax 2 + bx + c = a (x x 1 ) (x x 2 ) Dersom andregradsuttrykket har ett nullpunkt x = x 1, er ax 2 + bx + c = a (x x 1 ) 2 Dersom andregradsuttrykket ikke har nullpunkter, er det ikke mulig å faktorisere uttrykket i førstegradsfaktorer. Polynom Andregradsuttrykket ax 2 + bx + c er et polynom av andre grad. Et polynom av grad n er på formen P(x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 der n er et positivt helt tall og a 0, a 1...a n alle er reelle tall. Polynomdivisjon Når vi dividerer et polynom P(x) med et polynom Q(x), får vi en rest med lavere grad enn Q(x). Hvis Q(x) er et førstegradsuttrykk, blir resten et tall. Resten ved en polynomdivisjon Når vi dividerer P(x) med (x x 0 ) blir resten P(x 0 ). Divisjonen P(x) : (x x 0 ) går opp hvis og bare hvis P(x 0 ) = 0. Faktor i et polynom P(x 0 ) = 0. (x x 0 ) er en faktor i polynomet P(x) hvis og bare hvis 3

4 Rasjonale uttrykk er polynomer. Et rasjonalt uttrykk er på formen P(x), der P(x) og Q(x) Q(x) Forkorting av rasjonale uttrykk 0. Vi kan forkorte P(x) x x 0 hvis og bare hvis P(x 0 ) = 4

5 3 Logaritmer Den briggske logaritmen Den briggske logaritmen til a, lg a, er det tallet vi må opphøye 10 i for å få a. 10 lg a = a Den briggske logaritmen er voksende. For to positive tall a og b er a > b lg a > lg b Regneregler for briggske logaritmer lg a x = x lg a lg(a b) = lg a + lg b ( a ) lg = lg a lg b b Eulertallet e Den naturlige logaritmen må opphøye e i for å få a. e = lim t 0 (1 + t) 1 t Den naturlige logaritmen til a, ln a, er det tallet vi e ln a = a Den naturlige logaritmen er voksende. For to positive tall a og b er a > b ln a > ln b Regneregler for den naturlige logaritmen ln a x = x ln a ln(a b) = ln a + ln b ( a ) ln = ln a ln b b 5

6 4 Sannsynlighetsregning Sum av sannsynligheter P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) Komplementære hendelser P(A) = 1 P(A) Betinget sannsynlighet P(B A) = P(A B) P(A) Produktsetningen P(A B) = P(A) P(B A) = P(B) P(A B) Total sannsynlighet P(B) = P(A) P(B A) + P(A) P(B A) Bayes setning P(B) = P(A B) + P(A B) P(B A) = P(B) P(A B) P(A) Uavhengige hendinger To hendinger A og B er uavhengige hvis, og bare hvis, P(A B) = P(A) eller P(B A) = P(B) Produktsetningen for uavhengige hendinger hendinger. Da er La A 1, A 2,..., A n være n uavhengige P(A 1 A 2... A n ) = P(A 1 ) P(A 2 )... P(A n ) Fakultet n! = n (n 1) ! = 1 Binomialkoeffisient ( ) n n (n 1)... (n k + 1) = k k! ( ) n = 1 0 Multiplikasjonsprinsippet Vi skal gjøre k valg med n 1 alternativer i det første valget, n 2 valg i det andre, osv. Det er da i alt n 1 n 2... n k mulige kombinasjoner. Hvis det er n kombinasjoner i hvert valg, er tallet på kombinasjoner n k. 6

7 Ordnet utvalg I et ordnet utvalg tar vi hensyn til den rekkefølgen gjenstandene blir trukket ut i. Ordnet utvalg med tilbakelegging Vi har n gjenstander og trekker en gjenstand med tilbakelegging. Hvis vi trekker k ganger, fins det i alt n k forskjellige kombinasjoner når vi tar hensyn til rekkefølgen vi trekker i. Ordnet utvalg uten tilbakelegging Vi har n gjenstander og trekker en gjenstand uten tilbakelegging. Hvis vi trekker k ganger, fins det i alt n (n 1)... (n k + 1) forskjellige kombinasjoner når vi tar hensyn til rekkefølgen vi trekker i. Uordnet utvalg I et uordnet utvalg tar vi ikke hensyn til den rekkefølgen gjenstandene blir trukket ut i. Uordnet utvalg uten tilbakelegging Vi har n gjenstander og skal velge ut k av dem. Det kan vi gjøre på ( n k ) forskjellige måter når rekkefølgen vi velger i, ikke har betydning. Hypergeometrisk forsøk I et hypergeometrisk forsøk har vi n gjenstander av to eller flere typer. Anta at det er n 1 gjenstander av type 1 og n 2 gjenstander av type 2. Vi trekker tilfeldig k gjenstander uten tilbakelegging. Sannsynligheten for å få k 1 gjenstander av type 1 og k 2 gjenstander av type 2 er da ( n 1 k 1 ) ( n 2 k 2 ) ( n k ) For flere enn to typer gjenstander gjelder formlen ( n 1 k 1 ) ( n 2 k 2 )... ( n i k i ) ( n k ) der i er antall ulike typer gjenstander det trekkes blant. Binomisk forsøk I et binomisk forsøk gjør vi n uavhengige delforsøk og teller hvor mange ganger vi får en hending A. I hvert delforsøk er sannsynligheten for hendingen A lik p. La X være antallet ganger A inntreffer. Sannsynligheten for at A skal inntreffe nøyaktig k ganger, er ( ) n P(X = k) = p k (1 p) n k k 7

8 5 Geometri Pythagoras setning La a, b og c være sidekanter i en trekant der c er den lengste siden. Trekanten er rettvinklet a 2 + b 2 = c 2 Sentralvinkel og periferivinkel En vinkel som har toppunkt på en sirkelperiferi kalles periferivinkel. En vinkel som har toppunkt i sentrum av en sirkel, kalles sentralvinkel. La u være en sentralvinkel og v en periferivinkel som spenner over den samme sirkelbuen. Da er u = 2v To periferivinkler som spenner over den samme buen, er like store. En periferivinkel som spenner over diameteren, er 90. Cosinussetningen La a, b og c være sidekantene i en trekant der vinkel v er vinkelen mellom sidene b og c. Da er a 2 = b 2 + c 2 2bc cos v v u Sinussetningen La a, b og c være sidekantene i en trekant der A er motstående vinkel til a, B er motstående vinkel til b og C er motstående vinkel til c. Da er sin A a = sin B b = sin C c a sin A = b sin B = c sin C Arealsetningen La v være vinkelen mellom to sider a og b i en trekant. Arealet av trekanten er da gitt ved A = 1 ab sin v 2 Kongruenssetningene er oppfylt: To trekanter er kongruente hvis ett av disse kravene 1. To vinkler er parvis like store, og en side i den ene trekanten er like lang som den samsvarende siden i den andre. 2. To av sidene er parvis like lange, og vinkelen mellom de to sidene er like store. 3. Alle tre sidene i trekanten er parvis like lange. 4. To av sidene er parvis like lange, og motstående vinkel til den lengste av disse to sidene er like store. 8

9 6 Vektorer Vektor En vektor er en størrelse som har både lengde og retning. Skalar En skalar er en størrelse som ikke har retning. I praksis er en skalar et vanlig tall. Nullvektor Nullvektoren 0 har lengden 0. Enhetsvektor En enhetsvektor e har lengden 1. e x har lengde 1 og er har lik retning med den positive x-aksen. e y har lengde 1 og har lik retning med den positive y-aksen. Sum av vektorer Når vi skal finne summen av to vektorer u og v tegner vi først u. Deretter tegner vi v med utgangspunkt i endepunktet for u. Summen u + v går nå fra utgangspunktet for u til endepunktet for v. For tre punkter A, B og C er AB + BC = AC u v u + v Produkt av tall og vektor Vektoren t v er parallell med v og er t ganger så lang som v. Hvis t er et positivt tall, har v og t v samme retning. Hvis t er et negativt tall, har v og t v motsatt retning. Differanse av vektorer Vi finner differansen u v ved å summere u og v. u v = u + ( v) Vi kan også tegne vektorene u og v med felles utgangspunkt. Vektoren u v går da fra endepunktet for v til endepunktet for u. Noen regneregler for vektorer a + b = b + a ( a + b) + c = a + ( b + c) t ( a + b) = t a + t b s a + t a = (s + t) a s (t a) = (s t) a Vektor på koordinatform En vektor u = [x, y] går x enheter i positiv x- retning og y enheter i positiv y-retning. 9

10 Regneregler for vektorkoordinater [x 1, y 1 ] + [x 2, y 2 ] = [x 1 + x 2, y 1 + y 2 ] [x 1, y 1 ] [x 2, y 2 ] = [x 1 x 2, y 1 y 2 ] Vektoren mellom to punkter P(x, y) har koordinatene t[x, y] = [tx, ty] Vektoren mellom origo, O(0, 0), og punktet OP = [x, y] OP kalles gjerne posisjonsvektoren til P. Vektoren mellom A(x 1, y 1 ) og B(x 2, y 2 ) har koordinatene AB = [x2 x 1, y 2 y 1 ] Lengden av en vektor Lengden av vektoren v = [x, y] er v = x 2 + y 2 Avstanden mellom to punkter Avstanden mellom punktene (x 1, y 1 ) og (x 2, y 2 ) er d = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 Parallelle vektorer To vektorer u og v som ikke er nullvektorer, er parallelle hvis og bare hvis det fins et tall t slik at t u = v. Altså u v t u = v Punkt på linje Tre punkter A, B og C ligger på linje hvis og bare hvis AB og AC er parallelle. Dekomponering La a og b være to vektorer som ikke er parallelle. La v være en tredje vektor. Da fins det entydige tall x og y slik at v = x a + y b Like vektorer La a og b være to vektorer som ikke er parallelle, og la u = x 1 a + y 1 b og v = x2 a + y 2 b. Da er u = v hvis og bare hvis x1 = x 2 og y 1 = y 2. To vektorer er like hvis og bare hvis vektorkoordinatene er parvis like. Skalarprodukt La u være vinkelen mellom a og b. Da er skalarproduktet av a og b a b = a b cos u Skalarproduktet er alltid et tall (en skalar). 10

11 Koordinatformelen for skalarprodukt [x 1, y 1 ] [x 2, y 2 ] = x 1 x 2 + y 1 y 2 Vinkelen mellom to vektorer Vinkelen u mellom a og b kan beregnes ved u = cos 1 a b a b Ortogonale vektorer a b a b = 0 Regneregler for skalarproduktet a b = b a a ( b + c) = a b + a c (x a) (y b) = (xy) a b (x 1 a + y 1 b) (x2 a + y 2 b) = x1 x 2 a 2 + x 1 y 2 a b + y1 x 2 a b + y1 y 2 b 2 a 2 = a 2 11

12 7 Derivasjonsregler Definisjonen av den deriverte f (x) = lim h 0 f (x + h) f (x) h Hvis denne grenseverdien eksisterer i punktet x er f deriverbar i x. Lineær funksjon Potensfunksjon Sum av funksjoner (ax + b) = a (x n ) = n x n 1 Multiplikasjon med konstant (u(x) + v(x)) = u (x) + v (x) (k f (x)) = k f (x) Funksjonen 1 x ( ) 1 = 1 x x 2 Kvadratrot Logaritmefunksjon ( x) = 1 2 x (ln x) = 1 x Eksponentialfunksjon Produktsetningen Kvotientsetningen (e x ) = e x (e kx ) = ke kx (a x ) = ln a a x ( a kx) = k ln a a kx (u v) = u v + u v ( u v ) = u v u v v 2 Kjerneregelen Den deriverte av en sammensatt funksjon er lik den deriverte av den ytre funksjonen multiplisert med den deriverte av kjernen. Altså hvis f (x) = g(u(x)), så er f (x) = g (u(x)) u (x) 12

13 8 Funksjonsdrøfting Kontinuerlige funksjoner En funksjon f er kontinuerlig for x = a dersom f (a) eksisterer og lim f (x) = lim f (x) = f (a). x a + x a En funksjon er kontinuerlig i et intervallet [a, b] hvis den er kontinuerlig i alle punkt i intervallet. En polynomfunksjon er kontinuerlig overalt. Rasjonale funksjoner er kontinuerlig i alle punkt, men er ikke definert der nevneren er null. Vertikal asymptote En funksjon f har en vertikal asymptote x = a dersom f (x) ± når x a. Horisontal asymptote f dersom lim f (x) = a eller x Linja y = a er en horisontal asymptote for en funksjon f (x) = a. lim x Toppunkt og bunnpunkt Hvis f er kontinuerlig og f (x) skifter fortegn i et punkt er dette et topp- eller bunnpunkt for f. Andregradsfunksjonen ax 2 + bx + c har et toppunkt hvis a < 0 og et bunnpunkt hvis a > 0. Dette topp/bunnpunktet finner vi i x = 2a b. Krumming f (x) > 0 i et intervall grafen vender den hule siden opp i intervallet. f (x) < 0 i et intervall grafen til f vender den hule siden ned i intervallet. Vendepunkt Punktet der f (x) skifter fortegn kalles et vendepunkt til f. L Hôpitals lov Hvis limg(x) = limh(x) = 0 så er Denne setningen er ikke en x a x a g(x) del av pensum lim x a h(x) = lim g (x) x a h (x) i R1, men kan i noen tilfeller gitt at lim h eksisterer. Setningen gjelder også hvis limg(x) = lim (x) h(x) = x a x a ±. I praksis vil dette si at hvis en grenseverdi gir 0 0 eller så kan vi derivere telleren og nevneren (hver for seg) og se om vi får en grenseverdi som er lettere å beregne. x a g (x) være praktisk for å beregne grenseverdier 13

14 9 Vektorfunksjoner Parameterframstilling for rett linje En linje l gjennom punktet P(x 0, y 0 ) parallell med vektoren v = [a, b] kan skrives ved parameterframstilling { x = x l 0 + at : y = y 0 + bt eller som vektorfunksjonen [x(t), y(t)] = [x 0 + at, y 0 + at] Derivasjon av vektorfunksjoner Vektorfunksjoner kan deriveres koordinatvis, det vil si at hvis r(t) = [x(t), y(t)] så er r (t) = [x (t), y (t)] Den deriverte til en vek- Definisjon av den deriverte til en vektorfunksjon torfunksjon r(t) er gitt ved r (t) = lim h 0 r(t + h) r(t) h Fartsvektor og akselerasjonsvektor Ofte tolker vi r(t) som posisjonsvektoren til et punkt etter tiden t. Fartsvektoren er da v(t) = r (t) Farten er lengden av fartsvektoren, altså v(t) = v(t) Akselerasjonsvektoren er den deriverte av fartsvektoren, altså a(t) = v (t) = r (t) Akselerasjonen er lengden av akselerasjonsvektoren, altså a(t) = a(t) 14