Løsningsforslag 1T Eksamen. Høst Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik

Transkript

1 Løsningsforslag 1T Eksamen 6 Høst Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Sammendrag De fleste forlagene som gir ut lærebøker til den videregående skolen, gir ut løsningsforslag til tidligere gitte eksamener. Dessverre er disse ofte bare åpne for betalende medlemmer. Videre vil dette løsningsforslaget legge seg på en litt annen kurs enn andre løsningsforslag. I første del vil fasitsvaret til alle regneoppgaver bli oppgitt. Dette gjøres slik at om ønsket kan raskt se om en har regnet riktig eller ei. Har en regnet feil, kan en selv regne på nytt uten å få fremgangsmåten spolert. Deretter vil vi ta for oss oppgavene i tur og orden gjerne litt nøyere en hva som kreves under eksamen. Vi vil også skrive små kommentarer om vanlige feil elever gjør til en del oppgaver, og også hva som bør nevnes til hver oppgave. Til tider vil vi også vise alternative måter å løse oppgavene på. Og et fåtall ganger vil vi streife utenfor pensum og vise alternative metoder. Dette er et annerledes løsningsforslag, men vi håper den som leser dette vil få glede av det. Det viktigste å huske på før en eksamen er å opparbeide seg en god forståelse, og en bred faglig kompetanse. Dokumentet her er ment å hjelpe leser et lite steg i den retningen.

2 MAT1017-1T Høst Karaktergrenser og Vurderingsskjema Gjeldende poengfordeling Del 1 Del 2 Sum a 6b 6c 7 8a b 8c 9a 9b 9c a 1b 2a 2b 2c 3a 3b 4a 4b 4c a 5b 6a 6b 6c 7a 7b 7c Totalt antall poeng 60 Karaktergrenser Karakter I Poeng I prosent Nebuchadnezzars synspunkter om årets eksamen En stort sett grei eksamen. Oppgavene på del 1 var kreative, og arbeidsmengden var passelig. Arbeidsmengden på del to var forholdsvis høy. Dog var de fleste oppgavene av normal vanskelighetsgrad. Noen vil antakeligvis ha problemer med geometrioppgaven og siste deloppgave på oppgaven med flyet. Forhåndssensur Forhåndssensur blir ikke lagt ut for høst-eksamener. II

3 MAT1017-1T Høst Fasitsvar til regneoppgaver Oppgave 1 a) x 5 x+5 b) x = 1/2. c) a 1/2 = a d) h = 12/5 = 2.4 e) 1) x [1, 3] Som også kan skrives som 1 x 3 2) x (, 0) (5, ) Som også kan skrives som x < 0 eller x > 5 f) h = 3/2 = 1.5 g) Bevis oppgave f (x) = 2x h) Vis at Oppgave 2 a) Bunnpunkt (1, 1) b) y = 2x + 2 Oppgave 3 a) Tilnærmet 230F. Riktig 212F. Differanse 18F b) C = 10, F =. Oppgave 4 a) Bevis oppgave b) A = 15 7/4 10 eller c) A = (7 11)/2 = 38.5 Oppgave 5 a) Vis at oppgave b) Vis at oppgave V (2) = 8π Oppgave 6 a) 6000 liter. 13.6% prosent av oljen renner ut b) Tegning c) 4 timer 44 minutter og ca 30 sekunder, for å være pinlig nøyaktig. d) F (2) 655. Oppgave 7 a) L = g T 2 4π 2 b) L 0.25 m eller 25 cm. c) g Oppgave 8 a) P (T ) = 3/ 0.06 = 6% b) Forklar at oppgave c) (47/) % d) 1.88% Oppgave 9 a) c = 0 b) b = 3 III

4 Del 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (14 poeng) a) Skriv så enkelt som x 2 25 x x + 25 Dette er en øvelse i kvadratsetningene. Disse sier at a 2 b 2 = (a + b)(a b) og (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2. Ved å skrive om brøken ovenfor ser vi at x 2 25 x x + 25 = x (x 5)(x + 5) x 2 = x + 52 (x + 5) 2 = (x 5) (x + 5) = x 5 (x + 5) 2 x + 5 Svaret ovenfor kan videre skrives om til 1 10 om det er noe forenkling får være opp til x + 5 leser. Svaret ovenfor godtas som et fullgodt svar. Alternativt kan vi bruke andregradsformelen til å finne faktorisere nevner, men dette blir noe mer arbeid. x = 10 ± = 10 ± = 5 Det som uansett er lurt etter en har faktorisert, eller å sette inn noen enkle verdier før og etter faktoriseringen. Da dette som oftest luker ut slurvefeil. Setter vi inn 5 i vårt ser vi at begge uttrykkene blir null. Setter vi inn 0, får vi 1. Det er derfor rimelig å anta at faktoriseringen vår er fri for slurv. b) Løs likningen 3 2x 1 = 1 Her kan vi også se løsningen med en gang. Eneste gangen et positivt tall opphøyet i noe blir en, er dersom eksponenten er null.altså a f (x) = 1 hvis og bare hvis a 0 og f(x) = 0 for en eller annen x. Dette gir 2x 1 = 0 x = 1/2. Den mer vanlige metoden er å benytte oss av logaritmeregler. Dog leder dette frem til akkuratt samme konklusjon. (At f(x) = 0) 3 2x 1 = 1 log ( 3 2x 1) = log(1) (2x 1) log(3) = 0 x = 1 2 Som ønsket. Her ble det benyttet at log(a b ) = b log(a) og at log(1) = 0. 1 av 12

5 MAT1017-1T Del 1 Høst c) Skriv så enkelt som mulig a 1 4 a ( ) 3 a 3 4 a 2 Her testes ut kunnskapene om potensregler. Følgende logaritmeregler er nyttige her. a n/m = (a n ) 1/m = ( a 1/m) n og ab a c = a b+c og a = a 1/2. Det er og viktig å ta ting rolig for å unngå slurv. a 1 4 a ( ) 3 a 3 4 a 2 Alternativt kan vi og føre det som følger. = a1/4 a ( ) 1/2 a1/4+1/2 = = a 3/4 : a 1/4 = a 3/4 1/2 = a a 3/4 3 a 2 a 9/4 2 a 1 4 a ( ) 3 a 3 4 a 2 a 2 = a 1 4 ( ) 9 a a 2 = ( 1 ) 8 a a 2 = a a2 a 1 4 a 1 4 d) C 3.0 h 4.0 A D 5.0 Figur 1 B Gitt ABC ovenfor, AB = 5.0, AC = 4.0 og BC = 4.0 Bestem høyden h ved regning. Her kan vi for eksempel bruke formlikhet. Trekant ACD er formlik med ABC, dette ser vi utifra at de har en felles side AC og en felles vinkel A. Da kan vi sette det opp slik katetet ACD hypotenus ACD = katetet ABC hypotenus ABC h 3 = 4 5 h = 12 5 = = 2.4 En alternativ løsning går ut på å betrakte arealet av trekanten. Fra Pytagoras ser vi at ABC er en rettvinklet trekant ( = 5 2 ) slik at vinkel C er 90. Arealet av trekanten er da A = 1 2 gh = 1 2 AC AB = = 6 Vi kan også se at arealet av figuren også kan bli skrevet som Løser vi denne for h, får vi at A = 1 2 AB h h = 2 A AB = 2 6 = = = av 12

6 MAT1017-1T Del 1 Høst som før. y x Figur 2 e) I koordinatsystemet ovenfor har vi tegnet grafene til funksjonene f og g. Bruk grafene til å løse de to ulikhetene nedenfor 1) f(x) 0 2) f(x) > g(x) 1) Litt dårlig tegning her. Utifra figuren ser vi i det minste at f(x) er over x-aksen unntatt når x er mellom 1 og 2. Ved matematisk sjargong kan vi skrive svaret som f(x) < 0 når x [1, 2]. Klammene betyr at vi tar med endepunktene. 2) f(x) > g(x) dette er når f(x) er høyere oppe enn g(x), vi ser at dette skjer når x < 0 eller x > 5 f) Gitt ABC der = 90, AB = 3.0 og tan C = 2. Bestem lengden av AC. Her hjelper det gjerne å tegne figur. C A 3.0 B Trekanten er rettvinklet, og vi kan dermed bruke våre klassiske trigonometriske sammenhenger. Spesielt bruker vi den som involverer tangens. tan(c) = Motstående hosliggende = AB AC 2 = 3 AC Altså er lengden av AC lik 3/2 meter eller 1.5 m 3 av 12

7 MAT1017-1T Del 1 Høst g) Line har tre blå, to røde og èn grønn tusj i pennalet sitt. Hun trekker tilfeldig to tusjer 1) Bestem sannsynligheten for at hun ikke trekker den grønne tusjen Første gang Line skal trekke en penn så er det 6 mulige penner, og 5 penner hun ønsker å trekke. (Alle bortsett fra den grønne) neste gang line trekker så har hun allerede trukket en blyant, da er det 5 mulige penner igjen, og 4 av disse ønsker hun å trekke. Så sannsynligheten blir dermed P ( G G ) = = % Her kan og hypergeometrisk fordeling benyttes. Som kommer tilbake i R1. ( )( ) 5 1 P ( G G ) = 2 0 ( ) = 6 2 (5 4/2)(1) 6 5/2 = 4 6 = 2 3 Dette blir å skyte spurv med kanon, men er svært nyttig på mer kompliserte trekninger. Den siste måten blir å tenke ønskelige utfall over mulige utfall. Det er i praksis hva hypergeometrisk fordeling gjør. 2) Bestem sannsynligheten for at hun trekker èn blå og èn rød tusj. Her kan det være lurt å tegne. Line kan enten trekke en rød pen først, også en blå penn. Eller så kan Line treke en blå penn først også en rød. Sannsynligheten for å trekke en rød og en blå penn er gitt ved summen av disse to, altså Blå først Rød først {}}{ {}}{ P (B R) = P (B R) + P (R B) = + = 2 6 }{{} 5 6 }{{} % Så Rød Så Blå h) Funksjonen f er gitt ved f(x) = x Bruk definisjonen av den deriverte til å vise at f (x) = 2x Litt slem oppgave å gi, men det går fint om en husker definisjonen og holder tungen bent i munnen. Definisjonen av den deriverte er Med innsatte verdier får vi at f (x) = lim h 0 f(x + h) f(x) h = lim h 0 = lim h 0 ( (x + h) ) ( x ) h ( x 2 2xh + h ) ( x ) x 2 2xh + h x 2 1 = lim h 0 h 2xh + h 2 = lim h 0 h = lim 2x + h h 0 = 2x h 4 av 12

8 MAT1017-1T Del 1 Høst som var det vi ønsket å vise. Her holder det ikke å bare skrive at f (x) = (x 2 + 1) = 2 1x = 2x. Man må benytte seg av definisjonen. Oppgave 2 (6 poeng) Funksjonen f er gitt ved f(x) = x 2 + 2x 2 a) Vis ved regning at grafen til f ikke har nullpunkter Det er flere måter i vise dette på. En metode er å fullføre kvadratet, da får vi f(x) = x 2 + 2x 2 = ( (x 2 2x + 1) + 1 ) = ( (x 1) ) Her ser vi at den minste verdien (x 1) 2 kan ha er 1. Siden funksjonen stiger når x vokser eller synker. Slik at ( (x 1) ) er negativ for alle x. Alternativt kan vi bruke andregradsformelen. Dersom diskriminanten er negativ har ikke funksjonen noen reelle nullpunkter. Raskt ser vi at = b 2 4ac = 2 2 4( 1)( 2) = 4 diskriminanten er det som står under rottegnet i andregradsformelen (og det enste som er viktig for å bestemme antall røtter) eg. x = b ± 2a vi kan ikke løse denne oppgaven ved tegning, da det står eksplisitt at det skal vises via regning. den siste metoden er å finne toppunktet til f og vise at dette er under x-aksen, og vise at f(x) synker når x stiger og synker. b) Bruk f (x) til å finne ekstremalpunktet på grafen til f. Tegn grafen til f. Det enkleste blir å først finne ekstremalpunktet til f. Det enkleste blir å bruke hva vi viste i i forrige oppgave. Vi har at f(x) = x 2 + 2x 2 = (x 1) 2 1 Herfra ser vi at den minste verdien f(x) kan ha er 1 når x = 1. Siden da er f(x) er minst når (x 1) 2 er minst. Altså er toppunktet til funksjonen (1, 1). Alternativt kan vi derivere å tegne fortegnsskjema. Deriverer f (x) = 2x + 2 = 2(x 1) Slik at f (x) = 0 når x = 1. Fortegnsskjema gir oss at c) Grafen til f har en tangent i punktet (2, 2). Bestem likningen for denne tangenten ved regning. 5 av 12

9 MAT1017-1T Del 1 Høst y x Figur 3 Oppgave 3 (4 poeng) En tilnærmet regel for å gjøre om fra grade celsius (C) til grader fahrenheit F er F = 2C + 30 Den nøyaktige regelen for å gjøre om fra grader celsius (C) til grader fahrenheit (F ) er 5F = 9C a) Gjør om 100 C til grader fahrenheit ved å bruke den tilnærmede regelen og den nøyaktige regelen. Hvor stor er differansen mellom svarene du får? b) Løs likningssystemet [ F = 2C + ] 30 5F = 9C Hva forteller løsningen om den tilnærmede regelen? 6 av 12

10 Del 2 Med hjelpemidler Oppgave 4 (8 poeng) I en trekant er lengden av sidene 4.0 cm, 5.0 cm og 6.0 cm. a) Vis ved regning at denne trekanten ikke er rettvinklet. b) Bestem arealet av trekanten ved regning En av sidene i en trekant skal ha lengde 7.0 cm. En annen side skal ha lengde 11.0 cm c) Bestem det største arealet denne trekanten kan ha. d) Gjør beregninger og vis hvordan trekanten kan se ut dersom arealet er 30 cm 2. Oppgave 5 (4 poeng) Siv skal lage en rett sylinder. Høyden h og diameteren d kan varier, men d + h = 6. Vi setter radius i sylinderen lik x a) Vis at volumet V av sylinderen da kan skrives som V (x) = 6πx 2 2πx 3, x (0, 4) b) Bruk V (x) til å vise at det største volumet sylinderen kan få, er nøyaktig lik π8. 7 av 12

11 MAT1017-1T Del 2 Høst Oppgave 6 (8 poeng) Det går hull på en oljetank, og det begynner å lekke ut olje. Funksjonen F F (x) = x, x [0, 24], viser hvor mange liter olje F det er igjen i tanken x timer etter at det begynner å lekke ut olje. a) Hvor mange liter olje, var det i tanken før lekkasjen? Hvor mange prosent av oljen i tanken lekker ut per time? b) Tegn grafen til F. 6,000 5,0 5,000 4,0 4,000 3,0 3,000 2,0 2,000 1,0 1,000 0 y f(x) = x x Figur 4: fig: II: 6:a c) Hvor lang tid tar det før halvparten av oljen som var i tanken før lekkasjen har lekket ut? d) Bestem en tilnærmet verdi for den momentane vekstfarten til F etter to timer. Hva forteller dette svaret om lekkasjen? 8 av 12

12 MAT1017-1T Del 2 Høst Oppgave 7 (6 poeng) L Figur 5 Ovenfor ser du en pendel. Pendelen er en kule som henger i en snor med lengde L meter. Tiden T sekunder som det tar for pendelen å bevege seg èn gang fram og tilbake kalles svingetiden. Svingetiden er avhengig av snorens lengde. Sammenhengen er gitt ved formelen Her er g 9.81 m/s 2. T = 2π a) Gjør om på formelen ovenfor slik at du får en formel for L uttrykt ved T. Vi deler likningen på 2π, forså kvadrere begge sider. Dette gir L g T = 2π L/g L/g = T/2π L/g = (T/2π) 2 ( T L = g 2π som var det vi ønsket å finne. I siste linje ganger vi begge sider med g. b) Bestem lengden av snoren slik at svingetiden blir 1.0 s Vi har allerede funnet et uttrykk for L i forrige oppgave, mens verdien til g er oppgitt. Innsetning gir da L = g (T/2π) 2 ) 2 L = 9.81 (1/2π) Her burde enheten til L være m. (Får vi ikke dette betyr det at vi har regnet feil tidligere.) Vi regner bare med enhetene og sjekker. som var det vi ønsket å vise. L = m/s 2 (s/1) 2 L = m Verdien til g varierer litt etter hvor på jordkloden du befinner deg.ved et forsøk der snorlengden var m, viste det seg at pendelen svingte fram og tilbake 1000 ganger i løpet av 6345 s. 9 av 12

13 MAT1017-1T Del 2 Høst c) Bruk dette til å bestemme g på stedet der forsøket ble gjort. Oppgi svaret med tre desimaler. Oppgave 8 (6 poeng) I Norge er det nå ca, innbyggere. Av disse bor ca i Sør-Trøndelag. Vi velger tilfeldig èn person som bor i Norge. a) Bestem sannsynligheten for at personen bor i Sør-Trøndelag. Sannsynligheten for at en person bor i Sør-trøndelag er nok enklest å bestemme ved å se på ønskelige over mulige utfall. Her blir det P (ST ) = = Hvor ST står for sør-trøndelag, er de ønskelige utfallene og er de mulige. Vi velger nå tilfeldig 10 personer som bor i Norge, og registrerer hvor mange av dem som bor i Sør-trøndelag b) Forklar at dette kan ses på som et binomisk forsøk Dette er et binomisk forsøk siden utfallene er uavhengige av hverandre. At en person bor i Sør-trøndelag (Herfra refferert til som ST) har ingen innvirkning på om en annen person bor i ST. Vi antar og at sannsynligheten for at en person bor i ST holder seg konstant. c) Bestem sannsynligheten for at ingen av de 10 bor i Sør-Trøndelag Vi definerer en binomisk fordeling som følger P (X = k) = ( ) ( ) k ( ) 10 k k hvor k er antall personer som bor i ST. Sannsynligheten for at en person ikke bor i ST er gitt som 1 3. Sannsynligheten for at 10 personer ikke bor i ST blir dermed = 47 ( ) ( ) 47 = ( ) Her kan vi og sette direkte inn i den binomiske fordelingen og få P (X = 0) = ( ) ( ) 0 ( ) 10 0 = 0 ( ) % d) Bestem sannsynligheten for at minst 3 av de 10 bor i Sør-Trøndelag. Kalkulatormat P (X = k) = = 10 k=3 10 k=3 P (X = k) ( ) ( ) k ( ) 10 k k 10 av 12

14 MAT1017-1T Del 2 Høst hvor k er antall personer som bor i ST. Sannsynligheten for at en person ikke bor i ST er gitt som 1 3. Sannsynligheten for at 10 personer ikke bor i ST blir dermed = 47 ( ) 47 ( ) ( ) 47 ( ) 47 = ( ) Her kan vi og sette direkte inn i den binomiske fordelingen og få P (X = 0) = ( ) ( ) 0 ( ) 10 0 = 0 ( ) % Oppgave 9 (4 poeng) La andregradsfunksjonen f være gitt ved hvor a, b og c er reelle tall. f(x) = a (x b) 2 + c a) Bestem c slik at grafen til f har nøyaktig ett nullpunkt uansett hvilke verdier vi velger for a og b b) Bestem b slik at grafen til f har et ekstremalpunkt i x = 3 uansett hvilke verdier vi velger for a og c. 11 av 12

15 MAT1017-1T Del 2 Høst Denne siden er med hensikt blank. 12 av 12