Løsningsforslag heldagsprøve våren T

Transkript

1 Løsningsforslag heldagsprøve våren 01 1T DEL 1 OPPGAVE 1 a1) Skriv så enkelt som mulig x 9 x 6 Vi må faktorisere både teller og nevner. Så kan vi forkorte felles faktorer. Da får vi: x 9 x x 6 a) 4a4 b 4ab ab 4 4a 4 b 4ab 1 16b 4 ab 4 a) a a 6 a 5 a x x x x 4a4 b 4 a b 6 ab a 4 1 b a 0 b b 4 a a 6 a 5 a 1 a a 5 6 a a b1) 7 x 1 1 a 0 1 er en definisjon. Det betyr at x 1 0 x 1 x 1 b) lgx 18 lgx 18 lgx 18 lgx x Siden vi skal finne logaritmen til x vil også x 1000 være en løsning x 1000 x 1000 b) lg x 10 x 45 c) Løs ulikheten x 5x 0 Faktoriserer og ser på fortegn x 5x x x 5 lg x lg x x x 90 45, 0 0 0, 5 5 5, x - 0 x x 5x 0-0 Side 1 av 6

2 x 5x 0 når x, 0 5, d) I en trekant er tan v. Tegn trekanten og sett mål på sidene. 4 e) Løs likningssettet I x y 1 II x y 10 Ved regning Addisjonsmetoden I - II : x 11 x 11 y Innsettingsmetoden I y x 1 Setter inn i II: x x 1 10 x 11 y Grafisk I y x 1 II y x 10 y x -4 x 11 y 8 f) En sekk inneholder 7 tennisballer, 4 røde og blå. f1) Du trekker en ball tilfeldig. Hva er sannsynligheten for å trekke en rød ball? I denne oppgaven må vi bruke brøken R - trekke en rød ball antall gunstige antall mulige som sannsynlighet. Side av 6

3 P R 4 7 Sannsynligheten er 4 7 f) Du trekker baller fra de 7 ballene. Hva er sannsynligheten for å få først to røde, så en blå? P R R B Sannsynligheten er 6 5 Oppgave Figuren under viser grafene til to funksjoner f x og g x. Grafene til f og g Velg et alternativ til f x a) Finn f 1 Leser av på grafen at den går gjennom punktet 1, 5. Det betyr at f 1 5 b) Bruk figuren og løs likninga f x g x grafisk. Leser av skjæringspunktene og ser at f x g x når x 0 x 5 x 0 x 5 c) Finn nullpunktene til f x Leser av x 0 x 4 Nullpunkt når x 0 x 4 d) Skisser grafen til g x Stigningstallet til g x er 1 uansett x-verdi. Den er en lineær funksjon som har samme vekst for alle verdier av x. Det betyr at g x 1 og kan tegnes inn som ei horisontal linje gjennom y 1 e) En av de fem alternativene i figuren ved siden av er f x. Hvilken? Begrunn svaret ditt ut fra grafene. f x synker fram mot x. Der har den et nullpunkt og stiger etter det. Bare en graf er under x-aksen for alle x, har nullpunkt for x, og er positiv for x. Det er graf 4 f) Finn likninga til f x Nullpunktene til f x er x 4 x 0. Da kan f x skrives som a x 4 x 0 ax 4ax Vi kan se at bunnpunktet er, 4. Da finner vi a 4 a 4 a 1 Side av 6

4 Da har vi at f x x 4x f x x 4x En funksjon er gitt ved h x x x g) Finn nullpunktene til funksjonen. h x 0 x b b 4ac a x 1 1 x 1 1 Nullpunkt når x 1 x h) Finn eventuelle topp- eller bunnpunkt til funksjonen x y Først finner vi den deriverte: h x x 1 Så for hvilke x-verdier den deriverte er lik null h x 0 x 1 0 x 1 Siden det er en en andregradsfunksjon med negativt andregradsledd vet vi at det er en parabel med den hule sida nedover. Da har grafen et toppunkt med y-verdi: h Toppunkt 1, 9 4 i) Bestem likningen for tangenten i punktet 1, h 1 Tangenten er ei rett linje og likninga er derfor på formen y ax b Stigningstallet, a, finner vi ved at a h 1 1 Nå gjelder det å finne b. Vi vet at den rette linja må gå gjennom punktet 1, h 1 1, Da kan vi bestemme konstantleddet, b Likninga til tangenten: y x DEL y x b 1 b b Side 4 av 6

5 Oppgave I et biologiforsøk ble 00 frø fra en erteplante undersøkt. Frøene kan være gule eller røde. En annen egenskap til frøene er at overflaten kan være glatt eller rynket. Forsøk har vist at at fargen på frøene og overflaten til frøene er uavhengig av hverandre. Etter opptelling kom elevene fram til denne tabellen. Vi definerer disse hendelsene: U - frøet er gult N - frøet er rødt Gule Glatte 7 8 Rynkete 1 79 Røde G - frøet er glatt R - frøet er rynket a1) Vi trekker tilfeldig ett frø. Forklar hva symbolene betyr og finn sannsynlighetene under P U R P U R - sannsynligheten for å trekke et frø som er gult og samtidig rynket I oppgavene er det lurt å bruke en utvida tabell hvor summene er tatt med P U R 1 00 Gule Røde Sum Glatte Rynkete Sum a) P N G P N G - sannsynligheten for å trekke et frø som er rødt blant de som er glatte P N G a) P N R P N R - sannsynligheten for å trekke et frø som er rødt eller et frø som er rynket Antallet som enten er røde eller rynkete er: Denne oppgaven kan vi også løse ved å regne ut: P N R P N P R P U R Det enkleste er å lese av! P N R Videre i oppgaven går vi ut fra at sannsynligheten er for at en erteplante vil få gule frø. 4 Vi har 10 erteplanter fra et slikt krysningsforsøk. b) Hva er sannsynligheten for at alle erteplantene har gule frø? I alle deloppgavene som følger er det et binomisk forsøk hvor vi kan finne sannsynligheten ut fra formelen: P X x n x p x 1 p n x. I den første oppgaven kan vi klare oss uten 10 formelen. Sannsynligheten blir Sannsynligheten er c) Hva er sannsynligheten for at 8 av erteplantene har gule frø? P X Sannsynligheten er 0. 8 d) Hva er sannsynligheten for at minst 8 av erteplantene har gule frø? P X 8 P X 8 P X 9 P X 10 P X P X 10 4 Side 5 av 6

6 P X Alternativt kunne vi brukt: 1 - binomcdf(10,/4,7) Sannsynligheten er Krysningsforsøket viser at sannsynligheten er 1 for at en erteplante vil få rynkete frø. 4 e) Hva er sannsynligheten for at 6 av de 10 erteplantene har frø som er gule og har glatt overflate? Sannsynligheten for at frøet er gult er P U 4 Sannsynligheten for at det har glatt overflate er P G P U G Sannsynligheten for at 6 av de 10 har gule og rynkete frø: P X Sannsynligheten er Oppgave 4 I et kvadrat med side 10 m er det innskrevet et rektangel (se figuren under). a) Vis at arealet av rektanglet kan skrives som : a x 0x x En måte å vise dette på er å se på areal av hele kvadratet. Arealet av det innskrevne rektanglet kan vi da finne ved å trekke arealene av trekantene i hjørnene fra arealet av hele kvadratet. De to minste trekantene har arealet 1 x x 1 x x x De største trekantene har arealet 1 10 x 10 x 1 10 x 10 x x 10 Hele kvadratet har arealet Arealet som blir igjen er rektanglets areal: 100 x x x x 10 0x x Et annet alternativ er å regne ut bredden og lengden av det innskrevne rektanglet ved å bruke pythagorassetningen. Bredden blir da: x x Lengden: 10 x 10 x Arealet: lengde x bredde x 10 x x 10 x 0x x b) Finn definisjonsmengden til x. Kan x bli større enn halve sida i kvadratet? Dette kan diskuteres! Enten er definisjonemengden D a 0, 5 eller så er D a 0, 10 Side 6 av 6

7 Jeg vil si det første, men naturligvis godkjennes det andre alternativet også. Det som skjer da er at et "nytt" rektangel tegnes opp når x 5. Sjekk ut i Nspire hva som skjer. Definisjonsmengden D a 0, 5 c) For hvilken verdi av x er arealet blir størst? Det største arealet kan vi finne på flere måter. Enten grafisk eller ved å benytte den deriverte funksjonen. y Ved regning Vi finner den deriverte: a x 0 4x Så må vi løse likninga a x 0. I dette tilfellet ser vi at x 5 Bruker vi Nspire kan vi skrive solve(derivative(0x-x^,x) 0,x) Grafisk tegn grafen og be om å få toppunktet Svaret skal bli: Det største arealet har vi når x 5 d) Hvor stort blir arealet da? Vi må sette inn i uttrykket for arealet: a 5 50 Det største arealet er 50 m e) Tegn en figur og sett mål på det største rektanglet f) Ta utgangspunkt i et kvadrat med side s. Forklar, og begrunn, hvordan det største innskrevne rektanglet vil se ut Vi må gjøre det samme som vi har gjort, men denne gangen må vi ta utgangspunkt i at sida har lengde s Først finner vi et nytt uttrykk for arealet: a x s x s x x s x sx x Vi finner den deriverte: a x s 4x og finner nå den deriverte er lik null a x 0 s 4x 0 x s Arealet vil alltid være størst når det innskrevne rektanglet er et kvadrat med hjørner i midtpunktet på sidene i det omskrevne kvadratet. Oppgave 5 En 1-mannslavvo består av en, m lang teltstang og en teltduk som er sydd sammen av 1 like trekantete biter. Figurene under viser lavvoen sett rett ovenfra og rett fra sida. x Side 7 av 6

8 Punktene A, B og C er de samme i begge figurene. C er toppunktet på lavvoen. Ovenfra Fra sida a) Beregn lengden av sidekanten s i lavvoen og vinkelen mellom sidekanten og underlaget. Stanga antar vi står midt i lavvoen. Da kan vi benytte Pythagoras sin setning for å finne s s s Sidekanten er s 4. 1 m Vinkelen kan vi finne ved å bruke tangens. tan v 5. v Vinkelen er 51 b) Forklar hvorfor arealet av hver av de trekantete bitene er gitt ved A 1 s sin 0 Det er 1 trekanter. Vinkelen i toppen vil være Bruker vi arealsetningen finner vi arealet ved A 1 s s sin 0 c) Hvor stor er omkretsen av lavvoen på bakken? Hver av flakene er likebeinte trekanter. Vi kan bruke cosinussetningen for å finne lengden av grunnlinja, g, i trekanten g s s s scos0 g cos Omkretsen er 5.6 m Som inngang til lavvoen blir en av trekantbitene løsnet og løftet opp og festet til en stolpe. Stolpen er 1,8 m høy og settes vinkelrett opp fra punktet P. Se figuren under. Side 8 av 6

9 d) Vis at vinkel ACD 1 dersom trekantbiten (DC) skal være stram. Først finner vi vinkel ECD cos ECD CF CF. 1.8 ECD arccos arccos DC DC 4.1 ACE ACD ECD ACE e) Hvor langt fra A må stolpen plasseres? Finner AD ved å bruke cosinussetningen: AD s s s cosa AD cos AP DP AD AP AD DP Stolpen må plasseres 1. m fra A På ettermiddagen står sola 15 over horisonten og skinner rett inn mot åpningen av lavvoen f) Hvor langt opp fra A på sidekanten av lavvoen kan solstrålene nå? FDC 90 ECD GDC 15 FDC DGC ACD GDC 180 DGC 180 GDC ACD Bruker sinussetningen DC GC GC sin GDC DC sin sin DGC sin GDC sin DGC sin 114 AG AC GC Solstrålen vil nå 1.5 m opp på lavvoen Oppgave 6 I vinter gikk det en meget smittsom magesykdom. Antall personer som smittes øker eksponentielt og kan beskrives av en eksponentialfunksjon på formen n x a b x a) Ved nyttårsskiften var det registrert 109 til feller av smitte og etter tre uker var det registrert 11 tilfeller. Vis at antall personer som er smitta x uker etter nyttår kan beskrives av funksjonen: n x x Det betyr at vi må sette x 0 ved nyttårsskiftet og får at n Det stemmer bra. I opplysningene ser vi også at n 11. Det gir oss denne likninga 109 b 11 b b) Hvor mange personer er smitta etter 5 uker? Etter fem uker er x 5 og vi finner antall smitta ved n personer er smitta etter fem uker c) Hvor lang tid tar det før 00 personer et smitta? Finn svaret ved regning og grafisk Likninga vi må løse er n x 00 Side 9 av 6

10 Ved regning x x lg 109 x lg Alternativt kan vi bruke Nspire og solve( x 00,x). Det er også godkjent på del til eksamen. Grafisk y Leser av skjæringspunktet 00 personer vil være smitta etter 4.6 uker (eller i løpet av den femte uka) x Side 10 av 6