Løsning eksamen S1 våren 2008

Transkript

1 Løsning eksamen S våren 008 Del Oppgave a) b) c) lg 4 0 lg 4 lg 0 00 ) Nullpunktene til f er gitt ved 56 0 ( 5) ( 5) = eller = 3 Nullpunktet til g er gitt ved ) Skjæringspunktene mellom grafene er gitt ved ( 7) 0 = 0 eller 7 = 0 = 0 eller = 7 Nå er g(0) = = 6 og g(7) = = 0. Det gir: Skjæringspunktene har koordinatene (0, 6) og (7, 0).

2 d) Vi regner ut de første radene i Pascaltrekanten Vi utnytter den fjerde raden i trekanten og får ( ) e) Vi har blå og 3 røde kuler og trekker kuler. ) Sannsynligheten for å trekke blå og rød er , ) Hvis kulene skal ha samme farge, må vi enten trekke to blå eller to røde. Sannsynligheten for å trekke to blå er Sannsynligheten for å trekke to blå er Samlet sannsynlighet blir f) ) 3 4 0, ) 4 4 ( )( ) ( )( ) ( )( ) 4 ( ) ( )( ) ( )( )

3 ) 3) ( a b) a ( a ) b a a b a a b b a b a b a a b 4 3 a b 4 ( 3) 3 7 a b a b 3 a b ( ) 3 a a b a b a b a b a b b b lg( ) lg lg lg (lg lg ) lg lg lg lg 3lg g) Funksjonen f er gitt ved f() = ) Vi deriverer funksjonen. f ( ) ( ) Vi lager fortegnslinje for den deriverte. Funksjonen har et toppunkt for = 0. Der er f(0) = = Funksjonen har et bunnpunkt for =. Der er f(0) = = 8 + = Funksjonen har bunnpunktet (, ) og toppunktet (0, ). ) Den momentane vekstfarten er 9 når f () = = = 0 :3 3 = = eller = 3 ( ) ( ) 4 ( 3)

4 Del løst uten pc Oppgave a) Sannsynligheten for at Knut skal treffe på alle 0 skuddene er 0,7 0 = 0,08 Vi har her gått ut fra treff eller bom på et skudd ikke påvirker sannsynligheten for å treffe neste gang. Vi har da uavhengighet og bruker en binomisk modell. b) La X være antallet treff på 0 skudd. Vi bruker lommeregneren slik: Casio: Vi velger STAT på ikonmenyen, velger DIST, BINM og Bcd. Der velger vi Variable, setter = 8, Numtrial = 0 og p = 0,7. Det gir svaret 0,85. Teas: Vi taster binomcdf(0, 0.7, 8) og får svaret 0,85. Vi kan også regne slik: Fra a vet vi at P(X = 0) = 0,08. Videre er P(X = 0) = , 7 0,3 0, Dermed er P(X 8) = P(X = 0) P(X = 9) = 0,08 0, = 0,85 c) Sannsynligheten for minst 7 treff er P(X 7) = P(X 6) Casio: Vi går fram som ovenfor, men nå velger i i stedet = 6. Det gir svaret 0,35. Dermed er P(X 7) = P(X 6) = 0,35 = 0,65 Teas: Vi legger inn dette uttrykket binomcdf(0, 0.7, 6) = 0,65 d) Her er sannsynligheten p ukjent. Må bestemme p slik at P(X 6) = P(X 7) = 0,80 = 0,0 Vi vet at p må være større enn 0,7, for med p = 0,7 er sannsynligheten for premie lavere enn 0,80. Casio: Vi bruker bcd som forklart ovenfor med = 6. Vi prøver oss fram med p verdier over 0,7. Med p = 0,75 får vi svaret 0,. Det er for høyt. Med p = 0,7 får vi svaret 0,79.

5 Det er litt for lavt. Med p = 0,76 får vi svaret 0,0. Det er litt for høyt. Med p = 0,76 får vi 0,99. Det riktige svaret er dermed omtrent midt mellom 0,760 enn 0,76. Men vi runder av og setter p = 0,76 Teas: På samme måten som for Casio kan vi prøve oss fram med ulike verdier for p. Men her bruker vi uttrykket binomcdf(0, p, 6) og prøver å få dette uttrykket så nær 0,8 som mulig Vi kommer fram til p = 0,76 passer godt. Men vi kan også finne svaret på denne måten. Trykk på Y= og legg inn Y = binomcdf(0, X, 6) Y = 0,8 Vi tegner så grafen til de to funksjonene og finner skjæringspunktet ved hjelp av Intersect. Det gir svaret p = 0,76056 Oppgave 3 Alternativ I f '() a) Funksjonen vokser når f () > 0. Det er når < < 3. Funksjonen avtar når f () < 0. Det er når < og når > 3. Funksjonen f vokser når < < 3 og avtar når < og når > 3. b) Vi har toppunkter og bunnpunkter der f () = 0. Det er når = og når = 3. Fra oppgave a vet vi at funksjonen avtar når < og vokser når er litt større enn. Da må f ha et bunnpunkt for =. Funksjonen vokser når er litt mindre enn 3 og avtar når > 3. Da må f ha et bunnpunkt for = 3. Funksjonen f har et bunnpunkt for =, et toppunkt for = 3.

6 Her er vi i tvil om det menes brattest oppover mot høyre eller brattest totalt. Grafen går brattest oppover der vekstfarten er størst. Det er når f () er størst. Grafen viser at det er når =. Den er da i ferd med å gå enhet oppover per enhet mot høyre. Grafen går brattest oppover mot høyre når =. Men grafen til f viser at f () = 3 når = 0 og når = 4. Den går da i ferd med å gå 3 enheter nedover per enhet mot høyre. Grafen er brattest nedover mot høyre når = 0 og når = 4. c) Ettersom f er den deriverte av en tredjegradsfunksjon, er f en andregradsfunksjon. Fra grafen vet vi at f har nullpunktene = og = 3. Da må f () = a( )( 3) = a( 3 + 3) = a( 4 + 3) Dermed er f (0) = a ( ) = 3a Fra grafen ser vi at f (0) = 3. Det gir likningen 3a = 3 a = Dermed er f () = () ( 4 + 3) = d) Vekstfarten er lik når f ( ) Vi bruker andregradsprogrammet og får = 0,59 eller = 3,4 e) Her er en skisse av grafen: y

7 Oppgave 3 Alternativ II f() a) Gjennomsnittlig vekstfart fra 990 til 000 er , Den gjennomsnittlige vekstfarten var 4, biler per år. Den forteller at det blant 000 innbyggere økte biltallet med 4, per år. b) Vi legger tallene inn i listene på lommeregneren og utfører en andregradsregresjon. Det gir svaret f() = 0,74, c) Funksjonen har denne grafen: 500 y Vekstfart 6,

8 d) Vi deriverer funksjonen. f () = 0,74,49 = 0,548,49 Vekstfarten i året 000 var f (5) = 0,548 5,49 = 6,73 e) I 000 var det 460 registrerte biler per 000 innbyggere. Ettersom vekstfarten var 6,73, var tallet i 00 økt til ,73 = 466,73. Det var innbyggere i 00. Biltallet var da 466, = 00 85,0 millioner Oppgave 4 Tabellen viser antallet minutter som Kari, Arne og Harald bruker per kasse epler og pærer. Kari Arne Harald Epler 0 0 Pærer Vi lar være antall kasser epler og y antall kasser pærer. a) Verken eller y kan være negative tall. Altså er 0 og y 0. Fra tabellen ser vi at Kari bruker 0 time per kasse på plukking av både epler og 60 3 pærer. Antall timer hun bruker på kasser epler og y kasser pærer er y. Hun 3 3 arbeider maksimalt 6 timer. Det gir ulikheten y y 8 y 8 Arne bruker time på å sortere en kasse epler og 4 time på en kasse pærer Antall timer han bruker på kasser epler og y kasser pærer er y. Han arbeider 5 5 maksimalt 5 timer. Det gir ulikheten

9 y y 5 y 5 y,5 Harald bruker 0 time på å pakke en kasse epler og 30 time på en kasse pærer Antall timer han bruker på kasser epler og y kasser pærer er y. Han arbeider 3 maksimalt 6,5 timer. Det gir ulikheten y 6, y 39 3y 39 3 y 3 3 b) Vi tegner linjene og skraverer området. 0 y 6 Kari Harald Nivålinje Arne c) Vi undersøker om de kan tjene 4000 kr til sammen per dag. Ettersom de tjener 50 kr per kasse epler og 00 kr per kasse pærer, må da

10 y = y = : y y 0 4 Vi har tegnet denne nivålinja i koordinatsystemet ovenfor. Den berører ikke det mulige området. Når vi parallellforskyver nivålinja, vil det første punktet den berører være skjæringspunktet mellom Kari-linja og Harald-linja. Punktet har koordinatene (5, 3). Det tjener dermed best hvis de plukker 5 kasser epler og 3 kasser pærer. Inntekten blir 50 kr kr 3 = 850 kr d) Skjæringspunktet med det mulige området ligger under Arne-linja. Han arbeider dermed ikke full dag. Tallet på timer han arbeider blir 6 y Ettersom 5 time er minutter, får vi: Arne arbeider 4 timer og minutter.