Eksamen S1 vår 2011 DEL 1. Uten hjelpemidler. Oppgave f x x. f x x. x x. S1 Eksamen våren 2011, Løsning MATEMATIKK

Transkript

1 S Eksamen våren 0, Løsning Eksamen S vår 0 DEL Uten hjelpemidler Oppgave a) Vi har funksjonen f x x 3 x 5 ) Deriver funksjonen. f x x f x x 6 5 ) Bestem f. Hva forteller svaret deg om grafen til f? f Den momentane veksten til grafen i punktet,, f er b) Skriv så enkelt som mulig 3 x 3 x 33 x 9 4 x 5x x 3 x x 3 3 x 6 x 6x x x c) Skriv så enkelt som mulig 4 ab a b a a b a b 3 b d) Skriv så enkelt som mulig a b a b lg lg lg a 3 b 3 lg lg lg lg lg lg lg lg lg lg 3lg 4lg a b a b a b a b a b b a

2 S Eksamen våren 0, Løsning e) En familie på to voksne og to barn betalte til sammen 0 kroner for å komme inn på et arrangement. En annen voksen og tre barn betalte til sammen 90 kroner. Hva koster én barnebillett, og hva koster én voksenbillett? Setter opp to likninger og løser likningssettet ved innsettingsmetoden. Setter billettprisen til barn som B og billettprisen til voksen som V. Vi har da VB0 V3B90 løser V3B90 med hensyn på V V90 3B setter inn i den andre likningen og finner billettprisen til barn Billettprisen til én voksen blir 90 3B B B B 0 4B 60 B 40 V Barnebilletten koster 40 kroner og voksenbilletten koster 70 kr. f x x x og g x x f) Vi har gitt funksjonene Regn ut koordinatene til skjæringspunktene mellom grafen til f og grafen til g. Der grafene skjærer hverandre er f x gx f x gx x x x x x x 0 x x x 4 x x x 3 Grafen til f og grafen til g skjærer hverandre i punktene, g,0 og 3, g3 3,4

3 S Eksamen våren 0, Løsning g) Vi har gitt sammenhengen aab b Finn a uttrykt ved b. Skriv svaret så enkelt som mulig. a ab b b b a b a b b b ab h) Løs ulikheten x 4x 6 0 Vi finner først nullpunktene til uttrykket x 4x x 4 64 x x 4 x 3 eller x Vi vet nå at uttrykket x 4x 6 er lik 0 når x 3 og når x. Det er bare for disse verdier av x at uttrykket skifter fortegn. Vi tar stikkprøve for x-verdi mindre enn 3, x-verdi mellom 3 og og for x-verdi større enn. Bruker det faktoriserte uttrykket når vi tar stikkprøvene, x 4x 6 x 3x Setter inn x 4 og finner: negativt Setter inn x 0 og finner: positivt Setter inn x og finner: negativt Vi kan da sette opp fortegnslinja Uttrykket x 4x 6 0 når 3 x 3

4 S Eksamen våren 0, Løsning i) Tegn grafen til funksjonen x f x 4 når x 0 Finner først noen funksjonsverdier for f. x utregning fx Grafen nedenfor er tegnet i GeoGebra. Denne skal tegnes for hånd på del

5 S Eksamen våren 0, Løsning Oppgave (6 poeng) a) Regn ut binomialkoeffisienten 8 3 n! 8! r! n r! 3! 8 3! En gruppe på 8 elever består av like mange gutter som jenter. Vi trekker tilfeldig ut 3 elever. b) Hva er sannsynligheten for å trekke ut gutter og jente? Bruker hypergeometrisk sannsynlighetsfordeling og finner der 4 4! ! 43 6 og 4! 4!! 4! 3 Det er 3 7 sannsynlighet for å trekke gutter og jente fra gruppen. c) Hva er sannsynligheten for å trekke ut minst jente? Sannsynligheten for å trekke ut minst èn jente er lik sannsynligheten for å trekke ut 0 jenter og 3 gutter: Alternativt: Sannsynligheten for å trekke ut bare gutter er Sannsynligheten for å trekke ut minst en jente blir dermed 4 4 Hypergeometrisk sannsynlighetsfordeling: P X k m elementer i D. r elementer trekkes tilfeldig. nm elementer i D. m n m n r k n r X er antall elementer som trekkes fra D. 5

6 S Eksamen våren 0, Løsning DEL Med hjelpemidler Oppgave 3 (5 poeng) Langs en del av kysten regner man med at 30 % av all ørret er smittet av en bestemt sykdom. Vi fanger 5 tilfeldige ørreter. a) Hva må vi anta for å kunne bruke binomiske sannsynligheter i denne situasjonen? Ørretene vi fanger er enten smittet eller ikke smittet av denne sykdommen Sannsynligheten for å være smittet av sykdommen er den samme hele tiden De enkelte forsøkene er uavhengige av hverandre. b) Finn sannsynligheten for at ) alle 5 er smittet Jeg bruker sannsynlighetskalkulatoren i Geogebra Det er 0,4 % sannsynlighet for at alle 5 ørretene er smittet av sykdommen. ) akkurat 3 er smittet Jeg bruker sannsynlighetskalkulatoren i Geogebra 6

7 S Eksamen våren 0, Løsning Det er 3, % sannsynlighet for at akkurat 3 ørreter er smittet. 3) høyst 3 er smittet Høyst 3 er smittet betyr at 0,, eller 3 ørreter er smittet. Sannsynligheten for at høyst 3 ørreter er smittet er 96,9 % 4) minst er smittet Minst er smittet betyr at,,3, 4 eller 5 er Det er 83, % sannsynlighet for at minst ørret er smittet av denne sykdommen. 7

8 S Eksamen våren 0, Løsning Oppgave 4 (6 poeng) Et beløp ble satt inn på en bankkonto. Kapitalen K på kontoen t år etter at beløpet ble satt inn, er Kt ,035 t a) ) Hvor stort beløp ble satt inn? Når beløpet ble satt inn på bankkontoen var t 0. 0 K , Beløpet som ble satt inn på kontoen var kroner. ) Hvor mye sto det på kontoen etter 8 år? 8 K , Etter 8 år står det ca kroner på kontoen. b) Hvor lang tid tok det før beløpet på kontoen hadde økt til kroner? t Løser likningen , Gjør utregningen ved hjelp av CAS verktøyet Derive. Det tok nesten åtte og et halvt år før beløpet hadde økt til kroner. c) Finn den gjennomsnittlige vekstfarten de 5 første årene. Finner først hvor mye det står på kontoen etter 5 år. 5 K , Gjennomsnittlig vekstfart de 5 første årene er dermed K K Gjennomsnittlig vekstfart de 5 første årene var 350 kroner per år. 8

9 S Eksamen våren 0, Løsning Oppgave 5 (0 poeng) En bedrift produserer og selger x enheter av en vare per uke. De ukentlige produksjonskostnadene K er K x 0,x 0x 0 000, x 0, 000 Salgsprisen på varen er P x 300 0,x Både K x og P x er gitt i kroner. a) Finn et uttrykk Ix for bedriftens inntekt I per uke. Inntekter finner vi ved å ta salgsprisen på varen multiplisert med antall enheter av varen som blir solgt , I x P x x I x x x I x 0,x 300x b) Tegn grafen til kostnadsfunksjonen K og grafen til inntektsfunksjonen I i det samme koordinatsystemet. 9

10 S Eksamen våren 0, Løsning c) For hvilke verdier av x går bedriften med overskudd? Grafene i b) viser at inntektene er større enn kostnadene når antall solgte enheter ligger mellom 78 og 855. Bedriften går med overskudd når det selges mellom 78 og 855 enheter. d) ) Vis at uttrykket for overskuddsfunksjonen O kan skrives som O x 0,3x 80x O x I x K x 0, 300 0, O x x x x x O x 0,3x 80x ) Undersøk hva x må være for at overskuddet skal bli størst mulig. Tegner grafen til O og finner toppunktet grafisk. Overskuddet blir størst når x 467 3) Hva er prisen for varen når overskuddet er størst? Hvor stort er overskuddet da? Prisen for varen når det blir solgt 467 enheter er gitt ved Px P ,467 53,30 Prisen på varen er 53,30 kroner når det blir solgt 467 enheter ,x Leser av overskuddet i grafen ovenfor. Overskuddet blir kroner. 0

11 S Eksamen våren 0, Løsning Oppgave 6 (7 poeng) I denne oppgaven skal du bruke lineær optimering. En leketøysfabrikk lager to populære leker, en dukke og en lekebil. Fabrikken har tre avdelinger, én for produksjon, én for maling og én for montering av lekene. Nedenfor ser du en oversikt over nødvendig tidsbruk per leke og antall arbeidstimer som kan brukes i hver av de tre avdelingene. Avdeling Antall arbeidstimer Antall arbeidstimer Antall tilgjengelige per dukke per lekebil arbeidstimer i alt Produksjon 0,5 0,5 700 Maling 0,5 00 Montering 0, 0,5 00 Hver dukke kan selges for 900 kroner, mens hver lekebil kan selges for 300 kroner. Vi forutsetter at alt som produseres, blir solgt. a) Hvor mange av hver leke vil du anbefale fabrikken å lage når de ønsker at den totale inntekten skal bli så høy som mulig? (Denne deloppgaven teller som tre delspørsmål.) La x være antall dukker og y være antall lekebiler. Begrensningen i produksjonsavdelingen gir 0,5x0,5y 700 Begrensningen i malingsavdelingen gir x0,5y 00 Begrensningen i monteringsavdelingen gir 0,x0,5y 00 I tillegg må x0 og y 0, dvs. at produksjonen av dukker og lekebiler være lik eller større enn 0 Det blå området i diagrammet representerer de mulige kombinasjoner av antall dukker og lekebiler

12 S Eksamen våren 0, Løsning La I være inntekten til bedriften. Da er Ix, y 900x 300y. Grafen til 900x300 y , (den stiplede røde linjen) viser at en inntekt på kr ikke er mulig å oppnå. Grafen skjærer ikke det blå området. Tegner så grafen til 900x 300y i hvor i er bedriftens inntekter. Lar i være glider i Geogebra. Justerer glideren slik at inntekten er høyest mulig og samtidig berører blått område. Jeg vil anbefale bedriften å produsere 800 dukker og 00 lekebiler. Da blir inntekten størst. b) Hva er den største inntekten fabrikken kan oppnå? Verdien til glideren viser inntekten. Den største inntekten bedriften kan oppnå er kroner.

13 S Eksamen våren 0, Løsning Oppgave 7 (8 poeng) Tre bakere skal bake brød. La x være antall kilogram hvetemel som skal brukes. a) Baker nr. tar halvparten av hvetemelet, pluss et halvt kilogram. x Forklar at baker nr. tar kg hvetemel, og at det er igjen x kg hvetemel. x Baker nr. tar halvdelen av x altså kg. I tillegg tar han et halvt kilogram. x Til sammen er jo dette kg. Antall kilo hvetemel som er igjen må da være halvdelen x minus en halv kilo, altså kg b) Baker nr. tar halvparten av det hvetemelet som er igjen, pluss et halvt kilogram. x Forklar at baker nr. tar 4 4 kg hvetemel, og at det er igjen x 3 kg hvetemel. 4 x Baker nr. tar halvdelen av kg dvs. x kg. I tillegg tar han et halvt kilogram. 4 4 x x Til sammen blir det kg kg kg Antall kilo hvetemel som er igjen blir: x 3 kg x kg x x kg x kg c) Baker nr. 3 tar halvparten av det hvetemelet som er igjen, pluss et halvt kilogram. x Forklar at baker nr. 3 tar kg hvetemel. 8 8 x 3 x 3 Baker nr.3 tar halvdelen av kg dvs. kg. I tillegg tar han et halvt kilogram Til sammen blir det x 3 4 x kg kg kg

14 S Eksamen våren 0, Løsning Etter at de tre bakerne har tatt hvetemelet sitt, er det kg hvetemel igjen. x x x d) Forklar x Bestem x. Antall kilogram hvetemel som skulle brukes var x. Når det er kg igjen etter ar de tre bakerne har tatt sitt må de tre bakerne ha brukt x kg hvetemel til sammen. Venstre siden i likningen er jo forbruket til hver av bakerne. Bruker Derive og bestemmer x. Antall kilogram hvetemel var 5 kg. 4