Løsning S1-Eksamen vår 2012

Transkript

1 Løsning S1-Eksamen vår juni 2012 Innhold Del 1 3 Oppgave ) ) ) c) ) ) ) d) e) Oppgave c) d) e) Del 2 7 Oppgave c) Oppgave Oppgave c) ) ) Oppgave 6 10 Versjon:14. juni /15

2 c) d) e) Utregning wxmaxima f) Oppgave Oppgave c) d) Versjon:14. juni /15

3 Del 1 Oppgave 1 1) Fellesnevner er a 2 b 2 2) 2 a + b a b a + b Konjugatsetningen sier (a (a + = a 2 b 2 a 2b 2a + 2b + a 2b + a 2 = b2 a 2 b 2 = 3a a 2 b 2 (1) (100 1)( ) = = = 9999 (2) 3) (x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2 = 100 (3) 2x y = (x 2 + y 2 ) x 2 + y 2 = 60 (4) 2x y = (5) 2x y = 40 (6) x y = 40 2 (7) x y = 20 (8) Med to terninger har vi 36 mulige utfall. Antall ønskede utfall er de som gir summen 10, altså (6+4), (5+5) og 4+6. Dette er tre ønskede utfall. Sannsynligheten finner vi ved å dele ønskede utfall på mulige utfall P (X = 10) = 3 36 = 1 12 (9) c) 1) Fellesnevner er x eller x 2 1 Versjon:14. juni /15

4 2) 3) 2 x 1 x + 1 x x 2 1 = 1 1x2 x x + 1 x 1 x 1 (10) 2x + 2 x x 2 1 = x2 1 x x 6 x 2 1 (11) 2x = x x 6 (12) x 2 6x + 2x = 0 (13) x 2 4x + 12 = 0 (14) x 2 + 4x 12 = 0 (15) x = 6 eller x = 2 (16) 2 lg(x + 1) = 4 (17) lg(x + 1) = 2 (18) 10 lg(x+1) = 10 2 (19) x + 1 = 100 (20) x = (21) x = 99 (22) Det største tallet er 3 50 d) 2 75 = = ( 2 3) 25 = = = ( 3 2) 25 = 9 25 (23) (24) (25) Vi setter opp to likninger. x er voksne og y er barn x + y = 80 (26) 100x + 60y = 6000 (27) (28) Utrykker den ene variabelen med den andre og setter inn x = 80 y (29) 100(80 y) + 60y = 6000 (30) y + 60y = 6000 (31) 40y = 2000 (32) y = (33) y = 50 (34) Versjon:14. juni /15

5 Da kan vi finne x x + y = 80 (35) x + 50 = 80 (36) x = 30 (37) Det var 50 voksne og 30 barn e) = = = 8 15 (38) eller ( 2 ) ( 4 ) 1 ( ) = = 8 15 (39) Oppgave 2 Vi skal bestemme nullpunkt, og må derfor løse likningen x 2 + 2x = 0 x 2 + 2x = 0 (40) x( x + 2) = 0 (41) (42) vi ser at vi får to løsninger, x = 0 og x = 2. Nullpunktene blir derfor (0, 0) og (2, 0) Vi ser at f (x) = 0 når x = 1. f(x) = x 2 + 2x (43) f (x) = 2x + 2 (44) Toppunkt når x = 1, med koordinatene (1, 1) Versjon:14. juni /15

6 c) d) e) f(x) = g(x) (45) x 2 + 2x = 2x 4 (46) x 2 + 2x 2x = 4 (47) x 2 = 4 (48) x = 2 eller x = 2 (49) Skjæringspunkt ( 2, 8) og (2, 0) Versjon:14. juni /15

7 Del 2 Oppgave 3 Her er det ett ønsket utfall og tre mulige utfall P (X = A) = 1 3 (50) I et binomisk forsøk gjør vi n uavhengige delforsøk, og ser hver gang om en hending A inntreffer eller ikke. I hvert forsøk er sannsynligheten for hendingen p. c) Sannsynligheten for at han tar merke A minst fire av fem ganger er 0, 0453 Wxmaxima (%i1) X: bin_dist(5, 1/3)$ P(X>=4); (%o2) eventuellt (%i1) X: bin_dist(5,.33)$ P(X=4); Versjon:14. juni /15

8 (%o2) (%i3) X: bin_dist(5,.33)$ P(X=5); (%o4) (%i5) %o4+%o2; (%o5) Oppgave 4 For at likningen skal kun ha en løsning, må det som står i rottegnet i formelen for løsning av andregradslikninger være lik null. Løst på Microsoft Mathemathics 4.0 med kommandoen solve(2x+y=22,x*y=60) Dette gir to løsninger Løsning 1 x = 6 og y = 10 Løsning 2 x = 5 og y = 12 Wxmaxima (%i3) solve([2*x+y=22,x*y=60],[x,y]); (%o3) [[x = 5, y = 12], [x = 6, y = 10]] b 2 4ac = 0 (51) b 2 = 4ac (52) b 2 = (53) b 2 = 100 (54) b = 10 eller b = 10 (55) Versjon:14. juni /15

9 Oppgave 5 ( ) a 3 lg(a + lg 3 lg( (56) b 4 lg( + lg( + lg(a 3 ) lg(b 4 ) 3 lg( (57) lg( + lg(a 3 ) + lg( lg(b 4 ) 3 lg( (58) lg( + 3 lg( + lg( 4 lg( 3 lg( (59) 4 lg( 6 lg( (60) lg(a 4 ) lg(b 6 ) (61) ( ) a 4 lg (62) b 6 c) 1) 2 7 x = 4 5 x (63) 7 x = 2 5 x (64) ln(7 x ) = ln(2 5 x ) (65) x ln(7) = ln(2) + x ln(5) (66) x(ln(7) ln(5)) = ln(2) (67) x = ln(2) ln(7) ln(5) (68) x = 2, 060 (69) Den første implikasjonen stemmer fordi at dersom x og y har de oppgitte verdiene vil summen av disse være 10 Den andre implikasjonen stemmer ikke fordi det er flere mulige svar enn x = 3 2) Den første vil ikke stemme om vi snur implikasjonspilen, fordi det er flere løsninger enn den som er oppgitt Den andre implikasjonen vil da stemme, fordi x = 3 er en løsning til likningen Versjon:14. juni /15

10 Oppgave 6 En modell for solgte enheter som funksjon av prisen kan være x = 40x , 57 Inntekten er gitt ved I(x) = x p Nå kan vi finne inntekten x = 40p (70) x 1600 = 40p (71) x 40 = p 40 (72) p = 0.025x + 40 (73) (74) I(x) = x p = 0.025x x (75) Versjon:14. juni /15

11 c) Det er ikke overskudd ved produksjon av 1000 enheter. I(1000) = (76) K(1000) = (77) d) e) Utregning O(x) = I(x) K(x) (78) O(x) = 0, 025x x (0, 002x x ) (79) O(x) = 0, 027x x 4000 (80) wxmaxima (%i1) *x^2+40*x-(0.002*x^2+10*x+4000); (%o1) x x 4000 f) Vi snur på x = 40p slik at vi får prisen utrykkt som en funksjon av antall enheter Finner toppunktet til O (x) p(x) = x + 40 (81) O(x) = 0, 027x x 4000 (82) O (x) = 0, 054x + 30 (83) Versjon:14. juni /15

12 Løser for når O (x) = 0 O (x) = 0, 054x + 30 = 0 (84) x = 30 = 555, , 054 (85) Antall produserte enheter setter vi inn i utrykket for prisen p = 0, 025 * 555, = 26, 13 (86) Versjon:14. juni /15

13 Oppgave 7 Koordinatene til B finner vi når x=0 Koordinatene til A finner vi når y=0 B(0, y(0) = B(0, 2 a ) (87) Koordinatene til A er da 0 = 1 s 2 x + 2 a 1 a 2 x = 2 a (88) (89) x = 2 a a2 1 (90) x = 2a (91) A = (2a, 0) (92) Areal av en trekant der sidene er h = 2 a og b = 2a l b A = 2 2 a = 2a 2 = 4 2 (93) (94) (95) = 2 (96) Arealet vil alltid være like stor og vi ser at A = 2 Oppgave 8 Vi kan sette opp likningene ut fra z = ax + by der x er antall stoler og y er antall bord x + 3y (97) x y 3 (98) y 50, x (99) Versjon:14. juni /15

14 480 2x + 8y (100) 480 2x y 8 (101) y 60 0, 25x (102) 810 4x + 10y (103) 810 4x y 10 (104) y 81 0, 4x (105) Versjon:14. juni /15

15 Vi kan nå beregne inntekten for de to optimale punktene A og C (regn ut for alle punktene på tilsvarende måte) Det lønner seg best med produksjon av 50 stoler og 47.5 bord c) I(A) = = (106) I(C) = = (107) Alt 1 Vi regner ut hvor mange minutter vi kan spare. Her er det ikke nødvendig å regne for de produksjonene som møtes i det optimale punktet. Vi bruker derfor likninge for pakkeavdelingen. De kan spare inn 135 minutter på pakkeavdelingen. d) 810 ( ) = 135 (108) Produksjonen som følger linjen i 0.25x + 60 vil gi samme inntekt. Denne linjen er grense til det optimale området mellom punktene A og B x y = (109) 0.25x + y = x (110) y = 0.25x + 60 (111) På figuren ser vi dette som det røde linjen Versjon:14. juni /15