Eksamen REA3028 S2, Høsten 2012

Transkript

1 Eksamen REA308 S, Høsten 01 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (6 poeng) Deriver funksjonene 3x x a) gx 3 3x x 3x x 3 x 3x 3x 3 x 9x 6x gx x x x x 6x 6x 1 x 6 1 x x x x b) hx lnx 3 x ln 3 3 h x x x u x x 1 h x u h u u u c) kx ln 3x 1 x 3 x 3 x x e 3 x 3 x k x x e x e x 3 x 3x e x e x x 4 x 3x e x e x x e 3 x Eksamen REA308 Matematikk S, Høsten 01 Side 1

2 Oppgave (3 poeng) a) Forklar hva vi mener med at en rekke er aritmetisk. En rekke er aritmetisk hvis hvert ledd i rekken er lik leddet foran addert med en konstant, dvs a a d n1 n b) I en aritmetisk rekke er a1 3 og a4 1 Bestem a n og S n. I en aritmetisk rekke er Det gir likningen 1 3 3d d 3 Det gir videre a a n d n 1 1 a1 an 3 3n 3n 3n an 3n13 33n 3 3n og Sn n n Oppgave 3 (3 poeng) Funksjonen P er gitt ved 3 P x x 6x 4 a) Forklar hvordan vi kan avgjøre om divisjonen Px: x 1 vil gå opp, uten å utføre divisjonen. Hvis x a, x b og x c er nullpunkter til polynomet Px, så kan Px faktoriseres til Px x ax bx c. Da vil divisjonene Px: x a, Px: x b og Px: x c opp. Vi kan altså undersøke om 0 P x : x 1 opp. b) Faktoriser Px i lineære faktorer (førstegradsfaktorer). Jeg undersøker om Px 0 for x 1. 3 P Jeg utfører divisjonen Px: x 1 P x for x 1. Hvis det er tilfelle, går divisjonen gå Eksamen REA308 Matematikk S, Høsten 01 Side

3 3 x 6x 4 : x 1 x x 4 3 x x x 6x4 x 4x 4 4x 4 0 Jeg løser likningen x x x4 0 x 14 x 4 4 x 3 x 4 Det betyr at Px x 1x 3x 4 Oppgave 4 (4 poeng) Lise investerte kroner i et aksjefond. Fondet brukte disse pengene til å kjøpe aksjer i selskapene A, B og C. Etter ett år var utbyttet av aksjene til sammen 900 kroner. Utbyttet fra selskap A, B og C var på henholdsvis 9 %, 1 % og 10 %. Fondet hadde brukt kroner mer på investeringene i selskap A enn i selskap B. a) Vis at opplysningene gir følgende likningssystem: x y z x y 10z xy 4000 Hvilke størrelser står x, y og z for? Jeg lar x være aksjeposten (investeringen) i selskap A, y aksjeposten i selskap B og z aksjeposten i selskap C. Siden samlet aksjepost var lik kroner, får jeg likningen x y z Eksamen REA308 Matematikk S, Høsten 01 Side 3

4 x 9 y1 z10 Utbytteopplysningene sier at samlet utbytte er Når jeg multipliserer med 100 på begge sider i likningen, får jeg likningen 9x y 10z Fondet hadde brukt 4000 kroner mer i selskap A enn i selskap B. Det gir likningen xy 4000 b) Hvor mye av Lises penger investerte fondet i hvert av de tre selskapene? Jeg løser likningssystemet x y z x y 10z xy 4000 x x 4000 z x z z x 9x x z x 10z x 10z y x x x x 0x x 4600 z y x Fondet investerte kroner i selskap A, 600 kroner i selskap B og kroner i selskap C. Eksamen REA308 Matematikk S, Høsten 01 Side 4

5 Oppgave 5 (4 poeng) Sannsynlighetsfordelingen for en stokastisk variabel X er gitt ved følgende tabell: t k P X t 0, 0,1 0,4 0, p a) Forklar hvorfor p må være lik 0,1. Samlet sannsynlighet er lik 1. Da er p 10, 0,1 0,4 0, 10,9 0,1 b) Hva må k være dersom vi vet at EX 0,3? t P X t E x 0, 1 0,1 00,4 0, k 0,1 0,3 0,4 0,1 0,4 k 0,1 0,3 c) Vi setter k 1. Bestem EX og Var X. 0 E x t P X t E x E x E x k 0,1 0,4 k 4 0, 1 0,1 00,4 0, 10,1 0,4 0,1 0,4 0,1 0,8 0,1 0,8 0,1 1,8 Var x t E x P X t Var x Var x Var x 0 0, 1 0 0, ,4 0 0, 1 0 0,1 Eksamen REA308 Matematikk S, Høsten 01 Side 5

6 Oppgave 6 (4 poeng) Grafen til tredjegradsfunksjonen f er tegnet nedenfor. Bestem i hvilke av punktene A, B, C, D, E, F og G begge disse betingelsene er oppfylt: f x 0 og fx 0 Begrunn svaret ditt. Punkt A : Grafen stiger og vender sin hule side ned. Da er fx 0 og f x 0 Punkt B : Grafen synker og vender sin hule side ned. Da er fx 0 og f x 0 Punkt C : Grafen synker og vender sin hule side ned. Da er fx 0 og f x 0 Punkt D : Grafen synker og har vendepunkt her. Da er fx 0 og f x 0 Punkt E : Grafen synker og vender sin hule side opp. Da er fx 0 og f x 0 Punkt F : Grafen har bunnpunkt og vender sin hule side opp. Da er fx f x Punkt G : Grafen stiger og vender sin hule side opp. Da er fx 0 og f x 0 0 og 0 Begge betingelsene er oppfylt i punktene B og C. Eksamen REA308 Matematikk S, Høsten 01 Side 6

7 Del Tid: 3 timer Hjelpemidler: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Oppgave 1 (6 poeng) En person setter hvert år inn 4000,00 kroner på en konto med fast årlig rente. Etter noen år står det 0983,3 kroner på kontoen like etter en innbetaling. Det følgende året, det vil si umiddelbart etter neste innbetaling, står det 5486,9 kroner på kontoen. a) Vis at den årlige renten er,4 %. Jeg løser følgende likning i GeoGebra Utregningen viser at den årlige renten var på,4 %. b) Regn ut hvor mye som står på kontoen like etter den 1. innbetalingen dersom renten har vært uendret i hele perioden , , , ,04 Kontobeholdningen er summen av en geometrisk rekke med a1 4000, k 1,04 og n 1. S S n k 1 a k 1 1 1, ,04 1 Eksamen REA308 Matematikk S, Høsten 01 Side 7

8 Jeg bruker GeoGebra og regner Kontobeholdningen er på ,3 kroner Etter den 1. innbetalingen settes det ikke inn mer på kontoen. Renten blir hevet, men er konstant i de neste åtte årene. c) Hva må renten være for at det skal stå 7000 kroner på kontoen åtte år etter siste innbetaling? Jeg løser følgende likning i GeoGebra Renten må være på 3,45 %. Eksamen REA308 Matematikk S, Høsten 01 Side 8

9 Oppgave (8 poeng) Det årlige antall villrein felt under jakt i årene etter 1980 kan beskrives ved funksjonen ,0 e 0,07 f x x Her er x antall år etter a) Hvor mange dyr ble felt i 010 ifølge denne modellen? År 010 er 30 år etter år Utregning i GeoGebra viser at det etter denne modellen ble felt 4987 dyr i 010. b) Bruk f x til å vise at det stadig felles færre dyr årlig. Jeg tegnet grafen til den deriverte i GeoGebra. Grafen til f ligger under x -aksen i det aktuelle tidsrommet. Den deriverte er negativ. Det betyr at grafen til f synker og at det for hvert år vil felles færre dyr ifølge denne modellen. Eksamen REA308 Matematikk S, Høsten 01 Side 9

10 c) Bestem eventuelle vendepunkter på grafen til f. Hva forteller resultatet oss? Jeg tegner grafen til f i GeoGebra og finner nullpunktet ved å bruke kommandoen Nullpunkt[f]. Nullpunktet er x 3. Av grafen ser jeg at den dobbeltderiverte også skifter fortegn i dette punktet. Det betyr at grafen til f har et vendepunkt for x 3. Da er nedgangen i årlig antall felte villrein størst. Året er 003, og utregninger i GeoGebra viser at det felles 6564 rein dette året, og den maksimale årlige reduksjonen er på 30. Etter år 003 avtar den årlige nedgangen. d) Tegn grafen til f. Hvor mange villrein ble felt totalt i årene fra og med 1980 til og med 010 ifølge denne modellen? Arealet under grafen til f,integralet av f fra 0 til 30, viser at det totalt ble felt villrein i 30-årsperioden fra 1980 til 010. Eksamen REA308 Matematikk S, Høsten 01 Side 10

11 Oppgave 3 (8 poeng) En bedrift produserer og selger en vare. Inntekten (i tusen kroner) ved produksjon og salg av x enheter er gitt ved funksjonen 110,, for 0, 35 I x x x x a) Hva er den største inntekten bedriften kan få? Hvor mange enheter må bedriften da produsere og selge? Jeg brukte kommandoen Ekstremalpunkt[I] i GeoGebra og fant toppunktet til innteksfunksjonen.den største inntekten bedriften kan få er kroner. Maksimal inntekt oppnås ved produksjon og salg av 5 enheter. Bedriften må fornye produksjonsutstyret og kan velge mellom to typer utstyr, A og B. Av erfaring vet bedriften at kostnaden (i tusen kroner) ved produksjon av x enheter med type A er gitt ved KA x 3,1x 86x 1110 Tilsvarende er kostnaden ved type B gitt ved KB x 1,9x 99x 1900 b) Bestem grensekostnaden for type A og for type B. Grensekostnadsfunksjonene blir K A x 6,x 86 K B x 3,8x 99 c) Hvilken av de to utstyrstypene vil kunne gi lavest kostnad? Eksamen REA308 Matematikk S, Høsten 01 Side 11

12 Jeg brukte kommandoen Ekstremalpunkt[] i GeoGebra og fant bunnpunktene til kostnadsfunksjonene. Utstyrstype A kan gi den laveste kostnaden på kroner når det produseres 14 enheter. d) Hvilken av de to utstyrstypene vil kunne gi det største overskuddet? Overskuddet O er forskjellen mellom inntekter og kostnader. A A O x I x K x O x I x K x B B Toppunktene på overskuddsfunksjonene i GeoGebra viser at det største overskuddet kan oppnås ved å bruke utstyrspakke B, og produsere 5 enheter. Da oppnås et overskudd på kroner. Eksamen REA308 Matematikk S, Høsten 01 Side 1

13 Oppgave 4 (7 poeng) En fabrikk fyller og pakker poser med kaffe. Fyllemaskinen er innstilt til å fylle posene med 505 g. Anta at vekten av posene er normalfordelt med forventningsverdi lik 505 g og med standardavvik på 5 g. a) Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig valgt pose inneholder mer enn 510 g. Ved å bruke sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra fant jeg at sannsynligheten for at en tilfeldig valgt pose inneholder mer enn 510 g er 0,1587 = 15,9 %. b) Hvor mange prosent av posene vil inneholde mellom 495 g og 515 g? Ved å bruke sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra fant jeg at 95,45 % av posene vil inneholde mellom 495 g og 515 g. Eksamen REA308 Matematikk S, Høsten 01 Side 13

14 I en kvalitetskontroll blir 10 tilfeldig valgte poser veid. Resultatet vises i tabellen nedenfor. Pose Vekt (i gram) Dette ga bedriften mistanke om at maskinen fyller for mye i hver pose. c) Gjennomfør en hypotesetest, og vurder om bedriften har grunn til sin mistanke. Vi setter opp nullhypotesen: H 0 : Posene veier 505 g Alternativ hypotese: H 1 : Posene veier mer enn 505 g Jeg velger et signifikansnivå på 10 %. For bedriften betyr det mye at det ikke fylles for mye i posene. Jeg regner ut gjennomsnittet av stikkprøven på 10 poser i GeoGebra Vekten av posene er normalfordelt med forventningsverdi lik 505 g og med standardavvik på 5 g. Da er gjennomsnittsvekten til en stikkprøve med 10 poser normalfordelt med forventningsverdi lik 505 g og med standardavvik på 5 1,5811g 10 Normalfordelingsfunksjonen gir P - verdien P Gjennomsnittsvekten 507,1 0,091 9,1%. En P - verdi på 9,1 % er mindre enn signifikansnivået og gir dermed grunnlag for å forkaste nullhypotesen. Bedriften har grunn for sin mistanke om at det fylles for mye i posene. Eksamen REA308 Matematikk S, Høsten 01 Side 14

15 Oppgave 5 (7 poeng) Trekanttall nummer n er gitt ved formelen T n a) Sett opp en tabell med de 1 første trekanttallene. nn1, n n nn Det finnes en sammenheng mellom T m n og,, T m T n m n b) Sett m og n 8 og bruk tabellen i oppgave a) til å regne ut T 8 T T8 og T 8 T T 8 Sett inn andre verdier for m og n og undersøk hva T m n T m T n Prøv å formulere en generell regel. T T T T T 8 T T T T T T T 35 T 3 T blir. Regel: Differansen mellom trekanttall nummer m n og summen av trekanttall nummer m og trekanttall nummer n er lik produktet av tallene m og n. c) Bruk formelen for Tn til å skrive uttrykket Eksamen REA308 Matematikk S, Høsten 01 Side 15

16 T m n T m T n så enkelt som mulig. m nm n 1 mm 1 nn 1 T m n T m T n m mn m nm n n m m n n mn nm mn Eksamen REA308 Matematikk S, Høsten 01 Side 16