Lineære funksjoner. Skjermbildet
|
|
- Lisa Ervik
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Lineære funksjoner I dette opplæringsløpet lærer du å tegne funksjoner i GeoGebra samt å bruke verktøy til å løse oppgaver som dreier seg om funksjoner. Alle oppgavene handler om lineære funksjoner. I opplæringen leser du beskrivelser av hvordan noe skal gjøres, og løser en eller flere GeoGebraoppgaver for å øve selv. For å gjøre oppgavene, trenger du GeoGebra 4.0 eller nyere. Du kan laste ned programmet fra Skjermbildet Menylinje Angre Valgt verktøy Verktøylinje Forklaring til valgt verktøy Inntastingsfelt Når vi skal arbeide med funksjoner i GeoGebra, er det greit å velge Oppsett, Algebra og grafikk (dette vil som oftest være standardoppsettet når vi starter GeoGebra). Vi kan også merke av for Vis, Rutenett. Aschehoug 1
2 Å flytte tegneflaten, å endre enheter på aksene Når vi arbeider med funksjoner, har vi ofte behov for å flytte tegneflaten eller endre enheten på aksene. Vi kan da bruke verktøyet Flytt grafikkfelt. Mens dette verktøyet er valgt, kan vi endre enheten på aksene ved å «dra» i aksene med musepekeren mens venstre museknapp holdes nede. Å holde nede Shift-tasten (den tasten vi holder nede for å få store bokstaver) har samme virkning som å velge verktøyet Flytt grafikkfeltet. Mens vi holder Shift-tasten nede, kan vi både flytte grafikkfeltet og endre enheten på aksene med musepekeren. Oppgave 1 Velg Oppsett, Algebra og grafikk og Vis, Rutenett. Plasser origo midt i grafikkfeltet. Vis enheter fra 15 til 15 på førsteaksen, enheter fra 100 til 100 på andreaksen. Aschehoug 2
3 Å tegne grafen til en funksjon når vi kjenner funksjonsuttrykket Vi kan skrive funksjonsuttrykket i inntastingsfeltet, og GeoGebra vil tegne grafen til funksjonen. Vi må alltid bruke x som navn på variabelen. Det betyr at x alltid vil svare til en verdi på førsteaksen. Verdiene på andreaksen vil svare til den verdien som regnes ut når vi setter inn x i funksjonsuttrykket. GeoGebra gir funksjoner navn med små bokstaver og starter med bokstaven f. For å markere at f får en verdi ved at vi setter inn en verdi for x, skrives navnet til funksjonen slik: f(x). Vi kan enten la GeoGebra gi funksjonene navn eller selv velge navn ved å kalle funksjonene f(x), g(x), h(x), p(x) osv. Vi skal tegne grafen til f(x) = 2x + 1 Vis skriver i inntastingsfeltet: I algebrafeltet ser vi nå at funksjonen har fått navnet f(x), og i grafikkfeltet ser vi at grafen er en rett linje. Oppgave 2 a) Tegn grafen til disse tre funksjonene i samme koordinatsystem: f(x) = x + 3 g(x) = 2x + 4 p(x) = 10x + 50 b) Du må endre enheten på andreaksen for å se grafen til p(x). Følg med på hvordan grafen til f(x) og g(x) endrer seg når du endrer enheten på andreaksen. Aschehoug 3
4 Å endre grafens egenskaper Det kan være flere grunner til at vi vil endre egenskapene til en graf, for eksempel at vi har skrevet feil, eller at vi vil endre navn, farge eller linjestil. Da høyreklikker vi på funksjonen, enten i grafikkfeltet eller i algebrafeltet, og velger Egenskaper. I feltet Verdi kan vi endre funksjonsuttrykket og i feltet Navn kan vi endre funksjonsnavnet. Under fanen Farge kan vi velge hvilken farge grafen skal ha, og under fanen Stil kan vi velge hva slags linje grafen skal tegnes med. Aschehoug 4
5 Vær oppmerksom på at i GeoGebra bruker vi punktum som desimaltegn. Vi må dermed skrive k(x)=0.2x+4. Tips: Ved å vise hurtigmenyen øverst i grafikkfeltet kan vi raskt skifte farge på grafene. Velg farge. Vis hurtigmenyen. Oppgave 3 Tegn de tre funksjonene i samme koordinatsystem. De tre grafene skal ha hver sin farge. Den siste skal være stiplet. k(x) = 0,2x + 4 p(x) = 4x s(x) = 5 Husk at punktum er desimaltegn. Når funksjonsuttrykket ikke inneholder x må vi skrive inn navnet på funksjonen sammen med uttrykket. Du må altså skrive s(x) = 5 i inntastingsfeltet. Aschehoug 5
6 Å finne koordinater til punkter på grafen Ved å plassere punkt på linjen kan vi lese av x-verdier og funksjonsverdiene som hører til. Vi starter med å tegne grafen til den funksjonen vi skal arbeide med. Deretter velger vi verktøyet Punkt og plasser noen punkter på grafen ved å klikke på linja. Vi ser punktets koordinater i algebrafeltet. I eksemplet har vi tegnet grafen til f(x) = 2x + 1 og plassert punktene A, B og C på grafen. Legg merke til at når punktene er plassert på linja, kan de flyttes med slik at de havner der vi vil ha dem. Oppgave 4 Tegn grafen til f(x) = 2,8x 5 (Husk at desimaltegnet er punktum). Plasser et punkt på grafen. Flytt på punktet og se i algebrafeltet hvordan punktets koordinater endrer seg Aschehoug 6
7 Å vise koordinatene til punkter i grafikkfeltet Når vi vil se koordinatene til et punkt i stedet for navnet, høyreklikker vi på punktet, velger Egenskaper og velger deretter Vis verdi fra nedtrekkslista ved Vis navn. Et annet alternativ er å bruke menylinja øverst i grafikkfeltet. Vi kan sette opp funksjonsverdiene i en tabell: x f(x) 1 3 0,29 1, Oppgave 5 Sett opp en tabell med følgende fire punkt som ligger på grafen til g(x) = 3x + 6. a) Punktet der førstekoordinaten = 0 b) Punktet der andrekoordinaten = 0 c) Punktet der andrekoordinaten = 3 d) Punktet der førstekoordinaten = 1 Aschehoug 7
8 Å finne funksjonsverdien grafisk når x er kjent Av og til kan det være vanskelig å plassere punkt på grafen nøyaktig nok ved hjelp av verktøyet Punkt. Da kan vi i stedet plassere punktene ved å skrive dem inn i inntastingsfeltet. Denne metoden kan vi bruke dersom vi kjenner x-koordinaten til punktet. GeoGebra navngir punkt med store bokstaver. Hvis vi har en funksjon som heter f og skal plassere punktet A på grafen til f slik at x-koordinaten er 2000, skriver vi i inntastingsfeltet: A=(2000,f(2000)) Eksempel: Vis skal se på funksjonen f(x) = 2,71x Vi tegner grafen til f(x) ved å skrive inn 2.71x+1500 i inntastingsfeltet. Vi skal bruke grafen til å finne hva f(x) er når x = Inntastingsfeltet: Den verdien vi skal finne, er andrekoordinaten til A. Vi kan se den i algebrafeltet, eller vi kan vise verdien til punktet A slik at koordinatene vises i grafikkfeltet. Oppgave 6 Tegn grafen til f(x) = ,8x. Finn deretter hva f(x) er når x = 500, når x = 124 og når x = 0. Oppgave 7 Marianne har fylt på verdikortet hun bruker når hun reiser med bussen. Det er 300 kr på kortet. Hver gang hun reiser minker verdien på kortet med 15 kr. a) Vi lar x stå for antall ganger Marianne har reist med bussen. Funksjonen v(x) beskriver hvor mange kroner som er igjen på kortet. Sett opp et funksjonsuttrykk for v(x). b) Tegn grafen til v(x). c) Bruk grafen og finn ut hvor mye penger er igjen på verdikortet når Marianne har tatt 6 bussturer. Aschehoug 8
9 Å finne x når funksjonsverdien er kjent Vi bruker funksjonen f(x) = 2,71x Vi tegner først grafen til f(x). Vi skal finne hva x er når f(x) = Da tegner vi linja g(x) = Marker deretter skjæringspunktet mellom g(x) og f(x) ved hjelp av. Vis koordinatene til skjæringspunktet i grafikkfeltet ved å vise Verdi i stedet for Navn. Oppgave 8 Tegn grafen til f(x) = 17x Finn deretter hva x er når f(x) = 200, f(x) = 38 og f(x) = 0. Oppgave 9 Marianne har fylt på verdikortet hun bruker når hun reiser med bussen. Det er 300 kr på kortet. Hver gang hun reiser minker verdien på kortet med 15 kr. a) Funksjonen v(x) beskriver hvor mange kroner som er igjen på kortet. Sett opp et funksjonsuttrykk for v(x). b) Tegn grafen til v(x). c) Bruk grafen og finn ut hvor mange ganger Marianne har reist når det er 120 kr igjen på kortet. d) Hvor mange ganger kan Marianne reise før kortet er tomt for penger? Aschehoug 9
10 En lineær funksjon kan beskrive en praktisk situasjon Funksjonen f(x) = 2,71x beskriver hvor mye det koster å lage x kopper kaffe med en bestemt kaffemaskin. Vi skal tegne grafen til funksjonen. Vi kan ikke bruke negative tall for x her, ettersom x står for et antall kopper kaffe. Vi regner med at kaffemaskinen er utslitt etter å ha laget kopper kaffe. For å begrense grafen til de gyldige verdiene av x skriver vi følgende i inntastingsfeltet: største x funksjonsuttrykk minste x Nå må vi tilpasse aksene i grafikkfeltet slik at vi ser funksjonen. Oppgave 10 Månedsprisen for et mobilabonnement er gitt ved funksjonen s(x) = 0.99x + 49, der x er antall ringeminutter. a) Tegn grafen til s(x). Vi snakker ikke mer enn 200 minutter noen måned. b) Bruk grafen til å finne ut hvor mange minutt en kan ringe for 200 kr. c) Bruk grafen til å finne ut hva det koster å ringe 70 minutt. Aschehoug 10
11 Å sette navn og enhet på aksene Vi kan vise navnet til funksjonen i grafikkfeltet ved å velge funksjonen i algebrafeltet og dra den over til grafikkfeltet. (Alternativ: Høyreklikk på funksjonen, velg Egenskaper og Vis, Navn og verdi.) Vi setter enheter og forklarende tekst på aksene slik: Høyreklikk et sted der du ikke har tegnet noe i grafikkfeltet. Velg Grafikkfelt 1. På fanen xakse skriver vi x (antall kopper) i feltet Navn på aksen. På fanen yakse skriver vi f(x),kostnad som Navn på aksen og kr som Enhet. Aschehoug 11
12 Vi klikker på Lukk for å avslutte. Oppgave 11 Månedsprisen for et mobilabonnement er gitt ved funksjonen s(x) = 0.99x + 49, der x er antall ringeminutter. a) Tegn grafen til s(x). Vi snakker ikke mer enn 200 minutter noen måned. b) Vis funksjonsuttrukket i grafikkfeltet c) Sett på navn på begge aksene og enhet på andreaksen. Aschehoug 12
13 Lineær funksjon som går gjennom to kjente punkt Vi kan tegne en linje som går gjennom to faste punkt ved å bruke verktøyet Linje gjennom to punkt. Plasser A ( 2, 1) og B (4, 4) i grafikkfeltet og tegn linja gjennom dem. Legg merke til at GeoGebra ikke skriver funksjonsuttrykket i algebrafeltet slik du er vant til. For å vise funksjonsuttrykket mer likt det vi er vant med, høyreklikker vi i linja i algebrafeltet eller i grafikkfeltet og klikker på Likning y = ax + b. Da blir funksjonsuttrykket slik vi ønsker det, men funksjonen får ikke navn slik vi er vant med. Det blir i stedet en linje som heter a, og den har likningen y = 0,5x + 2. Funksjonen er f(x) = 0,5x + 2. Oppgave 12 Tegn linja gjennom de to punktene. Kan du ut fra grafen se hva funksjonsuttrykket blir? Sjekk svaret ved å velge Likning y = ax + b. a) (0, 4) og (6, 3) b) (0, 0) og (4, 12) Aschehoug 13
14 Konstantledd og stigningstall Grafen til en lineær funksjon er en rett linje, og funksjonen kan skrives på formen f(x) = ax + b der a og b er tall. Vi kaller b konstantleddet, og a stigningstallet. Vi kan lese av konstantleddet grafisk ved å finne det punktet der grafen skjærer andreaksen. Bruk verktøyet til å markere skjæringspunktet. Konstantleddet er andrekoordinaten til skjæringspunktet. Det er lurt å vise koordinatene til skjæringspunktet i grafikkfeltet. Konstantledd Vi har et eget verktøy som kan brukes til å finne stigningstallet dersom grafen er tegnet som en linje gjennom to punkt. Velg verktøyet Stigning og klikk på grafen. Stigningstall Oppgave 13 Tegn grafen til f(x) = 1,5x + 2. Vis konstantleddet på grafen. Bruk grafikkfeltet på hvordan konstantleddet endrer seg. og flytt på linja. Følg med i Når er konstantleddet positivt? Når er konstantleddet negativt? Hvilken sammenheng ser du mellom konstantleddet og grafen? Aschehoug 14
15 Oppgave 14 a) Tegn en rett linje gjennom to punkter. Marker skjæringspunktet med andreaksen og stigningstallet. b) Flytt på punktene til du har grafen til en lineær funksjon med konstantledd lik -4 og stigningstall lik 2. c) Hvordan kan du flytte linja uten at stigningstallet til funksjonsuttrykket endres? d) Hvordan kan du flytte linja uten at konstantleddet til funksjonsuttrykket endres? Aschehoug 15
GeoGebra. Menylinje Angreknapp. Verktøylinje. Aktivt verktøy med mørkeblå kant. Innstillinger. Algebrafelt. Velge oppsett.
GeoGebra Menylinje Angreknapp Verktøylinje Aktivt verktøy med mørkeblå kant Innstillinger Algebrafelt Grafikkfelt Inntastingsfelt Velge oppsett GEOGEBRA SOM FUNKSJONSTEGNER OPPSETT FLYTTE TEGNE- FLATEN,
DetaljerInnhold. Matematikk for ungdomstrinnet
Innhold FUNKSJONSTEGNER... 3 Skjermbildet i GeoGebra... 3 Verktøylinja... 4 Verktøyet Flytt eller velg objekt... 4 Oppsett av skjermbildet... 5 Flytte tegneflaten, endre enheter på aksene... 5 Mer øving
DetaljerFunksjoner med GeoGebra
Funksjoner med GeoGebra Wallace Anne Karin 2015 G e o G e b r a 5. 0 Innhold Oppsett for arbeid med funksjoner... 2 Flytte tegneflaten, endre enheter på aksene... 4 Flytt inntastingsfeltet øverst... 4
DetaljerInnhold. Matematikk for ungdomstrinnet
Innhold Funksjonstegner... 3 Skjermbildet i GeoGebra... 3 Verktøylinja... 3 Verktøyet Flytt eller velg objekt... 4 Oppsett av skjermbildet... 4 Flytte tegneflaten, endre enheter på aksene... 5 Mer øving
DetaljerInnhold. Matematikk for ungdomstrinnet
Innhold FUNKSJONSTEGNER... 3 Skjermbildet i GeoGebra... 3 Verktøylinja... 4 Verktøyet Flytt eller velg objekt... 4 Oppsett av skjermbildet... 5 Flytte tegneflaten, endre enheter på aksene... 5 Mer øving
DetaljerInnhold. Matematikk for ungdomstrinnet
Innhold FUNKSJONSTEGNER... 3 Skjermbildet i GeoGebra... 3 Verktøylinja... 4 Verktøyet Flytt eller velg objekt... 4 Oppsett av skjermbildet... 5 Flytte tegneflaten, endre enheter på aksene... 5 Flytt inntastingsfeltet
DetaljerUndervisningsopplegg. Kapittel 2. Bokmål
Undervisningsopplegg 9 Kapittel 2 Bokmål 1 av 10 Bruk av GeoGebra i eksamensoppgaver I dette undervisningsopplegget skal vi se nærmere på hvordan vi kan bruke GeoGebra som en graftegner i eksamensoppgaver
DetaljerGeoGebra-opplæring i Matematikk 2P
GeoGebra-opplæring i Matematikk 2P Emne Underkapittel Graftegning 2.1 Linje gjennom to punkter 2.1 Å finne y- og x-verdier 2.1 Lineær regresjon 2.3 Andregradsfunksjoner 2.4 Polynomregresjon 2.4 Eksponential-
DetaljerS1 kapittel 5 Funksjoner Løsninger til oppgavene i boka
S1 kapittel 5 Funksjoner Løsninger til oppgavene i boka 5.1 a f( x) = 4x+ 0 I GeoGebra skriver vi f(x)=funksjon[-4x+0,-5,5]. Grafen viser at [ 0, 40] V =. f b gx ( ) =,5x+ 10 I GeoGebra skriver vi f(x)=funksjon[,5x+10,-10,4].
DetaljerGeometri med GeoGebra
Geometri med GeoGebra Del 1 Bli kjent med GeoGebra GeoGebra er et dynamisk geometriprogram. Det vil si at vi kan gjøre en del endringer på figurene vi tegner, uten å måtte tegne dem på nytt, figuren endres
DetaljerGeoGebra 4.2 for Sinus 1P. av Sigbjørn Hals
GeoGebra 4.2 for Sinus 1P av Sigbjørn Hals Innhold Litt om GeoGebra... 3 GeoGebra som kalkulator. Eksempel side 55... 3 Omforming av formler. Side 82 i læreboka... 4 Rette linjer. Side 89 i læreboka...
DetaljerGeoGebra 4.2 for Sinus 2P. av Sigbjørn Hals
GeoGebra 4.2 for Sinus 2P av Sigbjørn Hals Innhold Litt om GeoGebra... 3 Linjediagram. Side 46 i læreboka... 3 Søylediagram. Side 57 i Læreboka... 5 Histogram. Side 81 i læreboka... 6 Lineær regresjon.
DetaljerGeoGebra i 1T. Grafer. Å tegne grafen til en funksjon. GeoGebra tegner grafen til f(x) = 0,5x 2 for 0 x 10.
2 Grafer Å tegne grafen til en funksjon Akser Rutenett Avrunding GeoGebra tegner grafen til f(x) = 0,5x 2 for 0 x 10. Funksjonen får automatisk navnet f. Hvis grafen ikke vises, kan du høyreklikke i grafikkfeltet
DetaljerMenylinje og de vanligste funksjonene. Her gjør du de tilpasningene du trenger.
GeoGebra GeoGebra 1 GeoGebra er et dynamisk geometriprogram. Ved hjelp av dette programmet kan du framstille forskjellige geometriske figurer, forskjellige likninger (likningssett) og ulike funksjonsuttrykk,
DetaljerFunksjoner 1T Quiz. Test, 4 Funksjoner
Test, 4 Funksjoner Innhold 4.1 Funksjonsbegrepet... 4. Lineære funksjoner... 6 4.3 Andre funksjonstyper... 14 4.4 Vekstfart og derivasjon... 0 4.5 Drøfting av funksjoner på grunnlag av egenskaper hos den
DetaljerSigbjørn Hals, Cappelen Damm Undervisning. Sinus 1P. Digitale løsninger av oppgaver og eksempler med noen utvalgte matematikkverktøy
Sinus 1P Digitale løsninger av oppgaver og eksempler med noen utvalgte matematikkverktøy GeoGebra 4.0 og 4.2 wxmaxima Microsoft Mathematics WordMat TI-Nspire CAS 1 Innhold Litt om programmene... 4 GeoGebra
DetaljerGeoGebra-opplæring i Matematikk S1
GeoGebra-opplæring i Matematikk S1 Emne Underkapittel Utregning av algebraiske uttrykk 1.4 Forenkle uttrykk 1.5 Faktorisering 1.5 Kvadratsetningene 1.6 Grafisk løsning av eksponentiallikninger 1.8 Grafisk
DetaljerSkolelaboratoriet for matematikk, naturfag og teknologi. Kurshefte i GeoGebra. Ungdomstrinnet
Skolelaboratoriet for matematikk, naturfag og teknologi Kurshefte i GeoGebra Ungdomstrinnet Astrid Johansen - NTNU Skolelaboratoriet - 29.10.2013 GeoGebra Geometri og algebra Dynamisk geometriverktøy Algebraisk
DetaljerGeoGebra-opplæring i Matematikk 1P
GeoGebra-opplæring i Matematikk 1P Emne Underkapittel Perspektivtegning I 3.8 Perspektivtegning II 3.8 Terningkast 4.1 Valgtre I 4.3 Valgtre II 4.7 Graftegning 5.2 Linje gjennom to punkter 5.2 Nullpunkter
DetaljerKurs. Kapittel 2. Bokmål
Kurs 9 Kapittel 2 Bokmål 1 av 9 Kurs i GeoGebra Funksjoner og grafer I dette kurset skal vi se nærmere på hvordan vi kan bruke GeoGebra som en graftegner. Grunnleggende innstillinger Når vi skal bruke
DetaljerSIGBJØRN HALS TORE OLDERVOLL. GeoGebra 6 for Sinus 2P
SIGBJØRN HALS TORE OLDERVOLL GeoGebra 6 for Sinus 2P Sinus 2P ble skrevet med utgangspunkt i GeoGebra 5. I boka er det også lagt opp til at elevene har en enkel lommeregner i tillegg til datamaskin. I
DetaljerLær å bruke GeoGebra 4.0
Lær å bruke GeoGebra 4.0 av Sigbjørn Hals Innhold: Generelt om GeoGebra... 2 Innstillinger... 2 Likninger og ulikheter... 5 Implisitte likninger... 5 Ulikheter... 9 Statistikkberegninger i regnearket...
DetaljerSigbjørn Hals. Øving i bruk av GeoGebra på eksamensoppgaver for 10. Klasse. Eksamensoppgave, Utdanningsdirektoratet V-2011
Øving i bruk av GeoGebra på eksamensoppgaver for 10. Klasse Eksamensoppgave, Utdanningsdirektoratet V-2011 1 Framgangsmåten med GeoGebra Vi vil her bare se på løsningen av oppgavene c og d. Åpne GeoGebra.
DetaljerPlotting av grafer og funksjonsanalyse
Opplæringshefte i GeoGebra Innholdsfortegnelse: Plotting av grafer og funksjonsanalyse... 2 Oppgave 1... 2 Oppgave 2... 4 Oppgave 3... 8 Å plassere et bilde i GeoGebra... 8 Oppgave 4... 8 Vektorregning
DetaljerDel 1. Generelle tips
Innhold Del 1. Generelle tips... 2 Bruk en "offline installer"... 2 Øk skriftstørrelsen... 3 Sett navn på koordinataksene... 3 Vis koordinater til skjæringspunkt, ekstremalpunkt m.m.... 4 Svar på spørsmålene
DetaljerGeoGebra 4.2 for Sinus 1T. av Sigbjørn Hals
GeoGebra 4.2 for Sinus 1T av Sigbjørn Hals Innhold Litt om GeoGebra... 3 Faktorisering. Side 55 i læreboka... 3 Rette linjer. Side 73 i læreboka... 3 Digital løsning av likninger. Side 77 i læreboka...
Detaljer03.10.2013 Manual til. GeoGebra. Ungdomstrinnet. Ressurs til. Grunntall 8 10. Bjørn Bakke og Inger Nygjelten Bakke ELEKTRONISK UNDERVISNINGSFORLAG AS
03.10.2013 Manual til GeoGebra Ungdomstrinnet Ressurs til Grunntall 8 10 Bjørn Bakke og Inger Nygjelten Bakke ELEKTRONISK UNDERVISNINGSFORLAG AS Innhold Verktøy... 4 Hva vinduet i GeoGebra består av...
DetaljerGeoGebra-opplæring i Matematikk 2T
GeoGebra-opplæring i Matematikk 2T Emne Underkapittel Vektorer 1.4 Lengden av vektorer 1.5 Skalarprodukt. Vinkel mellom to vektorer 1.6 Parameterframstilling 1.8 Binomialkoeffisient I 2.7 Binomialkoeffisient
DetaljerGeoGebra-opplæring i Matematikk 1P
GeoGebra-opplæring i Matematikk 1P Emne Underkapittel Perspektivtegning I 3.8 Perspektivtegning II 3.8 Regulære mangekanter 3.9 Flislegging I 3.9 Flislegging II 3.9 Flislegging III 3.9 Terningkast 4.1
DetaljerH. Aschehoug & Co www.lokus.no Side 1
1 Bli kjent med GeoGebra GeoGebra er et dynamisk geometriprogram. Det vil si at vi kan gjøre en del endringer på figurene vi tegner, uten å måtte tegne dem på nytt, figuren endres dynamisk. Dette gir oss
DetaljerFunksjoner, likningssett og regning i CAS
Funksjoner, likningssett og regning i CAS MKH, TUS 2014, GeoGebra 4.4 Innholdsfortegnelse Funksjoner og likningssett i GeoGebra... 2 Introduksjon til lineære funksjoner... 2 Oppgave om mobilabonnement...
DetaljerGeoGebra. brukt på eksamensoppgaver i 10. kl. Sigbjørn Hals
GeoGebra brukt på eksamensoppgaver i 10. kl. Sigbjørn Hals Innhold Hva er GeoGebra?... 2 Hvilken nytte har elevene av å bruke GeoGebra?... 2 Hvor finner vi GeoGebra?... 2 Oppbyggingen av programmet...
DetaljerGeoGebra 6 for Sinus 1P
SIGBJØRN HALS TORE OLDERVOLL GeoGebra 6 for Sinus 1P SINUS 1P ble skrevet med utgangspunkt i GeoGebra 5. I boka er det også lagt opp til at elevene har en enkel lommeregner i tillegg til datamaskin. I
DetaljerGEOGEBRA (Versjon 5.0.150.12.september 2015)
1 INNFØRING GEOGEBRA (Versjon 5.0.150.12.september 2015) Østerås 12. september 2015 Odd Heir 2 Innhold Side 3-10 Innføring i GeoGebra 10-12 Utskrift 12-13 Overføring til Word 13-15 Nyttige tips 15-16 Stolpediagram
Detaljer1.7 Digitale hjelpemidler i geometri
1.7 Digitale hjelpemidler i geometri Geometri handler om egenskapene til punkter, linjer og figurer i planet og i rommet. I alle tider har blyant og papir samt passer og linjal vært de viktigst hjelpemidlene
DetaljerGeoGebra-opplæring i Matematikk S2
GeoGebra-opplæring i Matematikk S Emne Underkapittel Faktorisering.1 Grafisk løsning av likningssett I.3 Størst mulig overskudd 3. Vendepunkter 3.4 Den naturlige eksponentialfunksjonen 3.5 3.6 Den naturlige
Detaljer1 Introduksjon GeoGebra 2 Speiling, rotasjon og parallellforskyvning 3 Perspektivtegning 4 Symmetriakser
1 Geometri i kunsten: 1 Introduksjon GeoGebra 2 Speiling, rotasjon og parallellforskyvning 3 Perspektivtegning 4 Symmetriakser MKH GeoGebra - Geometri i kunsten Innhold 1 Introduksjon GeoGebra... 1 1.1
DetaljerGeoGebra-opplæring i Matematikk 1T
GeoGebra-opplæring i Matematikk 1T Emne Underkapittel Rettvinklede trekanter 2.4 Ikke-rettvinklede trekanter I 2.6 Ikke-rettvinklede trekanter II 2.7 Graftegning 3.2 Graftegning med definisjonsmengde 3.2
DetaljerStigningstall og konstantledd, løsningsforslag
Stigningstall og konstantledd, løsningsforslag Oppgave: Løsningsforslag Listen [1] Oppgave Oppgave 1 a) Skriv ned stigningstallet og konstantleddet i de tre funksjonene under. 1. f(x) = x + Stigningstall
DetaljerFunksjoner med og uten hjelpemidler
Funksjoner med og uten hjelpemidler Plan for dagen Del 1: 09:00-11:45 Lunsj: 11:45-12:15 Del 2: 12:15-14:30 Eksamensinformasjon: 14:30-15:00 Plan for tiden før lunsj Økt 1: 09:00-09:45 Økt 2: 10:00-10:45
DetaljerGeoGebra-opplæring i 2P-Y
GeoGebra-opplæring i 2P-Y Emne Underkapittel Terningkast 2.1 Valgtre I 2.3 Valgtre II 2.7 Graftegning 3.2 Nullpunkter 3.3 Å finne y- og x-verdier 3.4 Andregradsfunksjoner 3.5 Grafisk løsning 3.5 Tredjegradsfunksjoner
DetaljerSIGBJØRN HALS TORE OLDERVOLL. GeoGebra 6 for Sinus 2PY
SIGBJØRN HALS TORE OLDERVOLL GeoGebra 6 for Sinus 2PY Sinus 2PY ble skrevet med utgangspunkt i GeoGebra 5. I boka er det også lagt opp til at elevene har en enkel lommeregner i tillegg til datamaskin.
DetaljerHurtigstart. Hva er GeoGebra? Noen fakta
Hurtigstart Hva er GeoGebra? En dynamisk matematisk programvare som er lett å ta i bruk Er egnet til læring og undervisning på alle utdanningsnivå Binder interaktivt sammen geometri, algebra, tabeller,
DetaljerS1 kapittel 3 Lineær optimering
S kapittel 3 Lineær optimering Løsninger til oppgavene i boka 3. a b c d Aschehoug www.lokus.no Side av 66 3. a b c d Aschehoug www.lokus.no Side av 66 3.3 Løsninger til oppgavene i boka Ulikhetene i oppgave
DetaljerFunksjoner med og uten hjelpemidler
Funksjoner med og uten hjelpemidler Plan for i dag og i morgen Dag 1: 09.00-11.45 Del 1: teori. 11.45-12.30 Lunsj 12.30-13.15 Del 2: bruk av GeoGebra. 13.15-15.15 Oppgaveregning, del 1. Dag 2: 09.00-10.45
DetaljerGeometri med GeoGebra
Geometri med GeoGebra GeoGebra er et dynamisk geometriprogram. Det vil si at vi kan gjøre en del endringer på figurene vi tegner uten å måtte tegne dem på nytt. Dette gir oss mange muligheter til å utforske
DetaljerSpørsmål og svar om GeoGebra, versjon 2.7 bokmål
Spørsmål og svar om GeoGebra, versjon 2.7 bokmål Jeg har lastet ned en installasjonsfil fra www.geogebra.org og installert programmet, men får det ikke til å fungere. Hva kan dette skyldes? Den vanligste
DetaljerGrafisk løsning av ligninger i GeoGebra
Grafisk løsning av ligninger i GeoGebra Arbeidskrav 2 Læring med digitale medier 2013 Magne Svendsen, Universitetet i Nordland Innholdsfortegnelse INNLEDNING... 3 GRAFISK LØSNING AV LIGNINGER I GEOGEBRA...
DetaljerInnføring i GeoGebra (2 uv-timer)
09/29/19 1/6 Innføring i GeoGebra (2 uv-timer) Innføring i GeoGebra (2 uv-timer) GeoGebra er et dynamisk matematikkprogram for skolebruk som forener geometri, algebra og funksjonslære. Programmet er utviklet
DetaljerFunksjoner med og uten hjelpemidler
Funksjoner med og uten hjelpemidler Plan for i dag og i morgen Dag 1: 09.00-11.45 Del 1: teori med oppgaver. 11.45-12.30 Lunsj 12.30-13.15 Del 2: bruk av GeoGebra. 13.15-15.15 Oppgaveregning. Dag 2: 09.00-11.45
DetaljerGeoGebra 4.2 for Sinus Påbyggingsboka P. av Sigbjørn Hals
GeoGebra 4.2 for Sinus Påbyggingsboka P av Sigbjørn Hals Innhold Litt om GeoGebra... 3 Eksponentiell vekst. Side 45 i læreboka... 3 Søylediagram. Side 50-52 i læreboka... 4 Kurvediagram. Side 55-56 i læreboka...
DetaljerGeoGebra for Sinus 2T
GeoGebra for Sinus 2T Innhold Vektorer med GeoGebra Skalarproduktet med GeoGebra Parameterframstilling med GeoGebra Ordnede utvalg eksempelet på side 89 med GeoGebra Uordnede utvalg eksempelet på side
Detaljer3 GeoGebra 1. Fartsdiagrammer 2. Likningsett 3. Funksjoner Maks og min punkter
3 GeoGebra 1. Fartsdiagrammer 2. Likningsett 3. Funksjoner Maks og min punkter MKH Innholdsfortegnelse 1. Graftegner - GeoGebra... 2 1.1 Introduksjon GeoGebra... 2 1.2 Endre innstillinger på aksene...
DetaljerSigbjørn Hals, Cappelen Damm Undervisning. Sinus 2P. Digitale løsninger av oppgaver og eksempler med noen utvalgte matematikkverktøy
Sinus 2P Digitale løsninger av oppgaver og eksempler med noen utvalgte matematikkverktøy GeoGebra 4.0 og 4.2 wxmaxima Microsoft Mathematics WordMat TI-Nspire CAS 1 Innhold Litt om programmene... 4 GeoGebra
DetaljerGeoGebra er et dynamisk matematikkprogram som kan lastes ned fra
GeoGebra er et dynamisk matematikkprogram som kan lastes ned fra http://www.geogebra.no/ eller http://www.geogebra.org/ Du kan velge å kjøre GeoGebra som en applikasjon i nettleseren, men jeg anbefaler
DetaljerØgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P. Geogebra
Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Geogebra Innhold 1 Om Geogebra 4 1.1 Innstillinger................................... 5 2 Regning 5 2.1 Tallregning...................................
DetaljerFunksjoner og andregradsuttrykk
88 4 Funksjoner og andregradsuttrykk Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer fra ulike fag og samfunnsområder løse likninger, ulikheter
Detaljer5 Matematiske modeller
Løsning til KONTROLLOPPGAVER 5 Matematiske modeller OPPGAVE 1 a) Endringen i lengden på lyset i løpet av de 100 minuttene er 12 cm 27 cm = 15 cm Endringen per minutt blir da 15 cm 0,15cm/ min 100 min Når
DetaljerSigbjørn Hals. Nedenfor har vi tegnet noen grafer til likningen y = C, der C varierer fra -2 til 3, med en økning på 1.
Retningsdiagrammer og integralkurver Eksempel 1 Den enkleste av alle differensiallikninger er nok y' = 0. Denne har løsningen y = C fordi den deriverte av en konstant er 0. Løsningen vil altså bli flere
DetaljerI dette gode grepet får elevene øvd seg på å hente ut informasjon i en tekst en viktig kompetanse for å løse flere av dagens eksamensoppgaver.
er en del av læreverket Nummer 8 10, k for 8. 10. årstrinn. består av følgende komponenter: evressurs s bok s digitalbok inneholder et mangfold av oppgaver r de grunnleggende ferdighetene, og edning til
DetaljerKurs. Kapittel 2. Bokmål
Kurs 8 Kapittel 2 Bokmål D.8.2.1 1 av 4 Introduksjon til dynamisk geometri med GeoGebra Med et dynamisk geometriprogram kan du tegne og konstruere figurer som du kan trekke og dra i. I noen slike programmer
DetaljerGeoGebra 6. GeoGebra 6 kan lastes ned fra:
GeoGebra 6 Den vanlige GeoGebra brukeren må bruke litt tid til å sette seg inn i GeoGebra 6. Noen viktige endringer blir vist i dette dokumentet. Tema er valgt spesielt med tanke på arbeid med elever.
DetaljerVelg mellom disse kommandoene: Dersom[<Vilkår>, <Så>, <Ellers>] Funksjon[<Funksjon>, <Start>, <Slutt>]
442 Grafer Å tegne grafen til en funksjon Nullpunkter Velg mellom disse kommandoene: Dersom[, , ] Funksjon[, , ] GeoGebra finner nullpunktene til en innlagt
DetaljerP(x, y) ) x. Dette er sirkellikningen. Et punkt P(x, y) ligger på denne sirkelen hvis og bare hvis koordinatene passer i likningen.
5.9 Sirkellikningen Fra kapittel 4.3 vet vi at sirkelen er det geometriske stedet for de punktene som har en bestemt avstand r fra et fast punkt S. Avstanden r kaller vi radien, og punktet S kaller vi
DetaljerMATEMATISK MODELLERING Modellering med pendel
MATEMATISK MODELLERING Modellering med pendel Utstyr: Mynter, hyssing, tape, stoppeklokke Mål: 1. Hva påvirker svingtiden til en pendel? Lag hypoteser a. Lengden på hyssingen? b. Antall mynter (vekt)?
DetaljerUndervisningsopplegg for ungdomstrinnet om koordinatsystemer og rette linjer
Undervisningsopplegg for ungdomstrinnet om koordinatsystemer og rette linjer Kilde: www.clipart.com 1 Funksjoner. Lærerens ark Hva sier læreplanen? Funksjoner Mål for opplæringen er at eleven skal kunne
DetaljerLøsninger. Innhold. Funksjoner Vg1P
Løsninger Innhold Innhold... 1 Modul 1. Funksjonsbegrepet... Modul. Lineære funksjoner... 9 Modul 3. Mer om lineær vekst... 16 Modul 4. Andregradsfunksjoner... 5 Modul 5. Andre funksjoner... 30 Polynomfunksjoner...
DetaljerGEOGEBRA (Versjon 5.0.233.0 6. mai 2016)
1 KURSHEFTE INNFØRING GEOGEBRA (Versjon 5.0.233.0 6. mai 2016) Østerås 8. mai 2016 Odd Heir 2 Innhold Side 3-13 Innføring i GeoGebra 13-14 Funksjonsanalyse 14-16 Utskrift 17-18 Overføring til Word 18-20
DetaljerGeoGebra 6 for Sinus 1T
SIGBJØRN HALS TORE OLDERVOLL GeoGebra 6 for Sinus 1T Sinus 1T ble skrevet med utgangspunkt i GeoGebra 5. I boka er det også lagt opp til at elevene har en enkel lommeregner i tillegg til datamaskin. I
Detaljer2.1 Regnerekkefølge. 2.4 Brøkregning. 3.6 Rette linjer 2(3 + 1) (6+ 2):4+ 42
Dette dokumentet oversetter kapittelet Lommeregnerstoff i Sinus 1P boka til Cappelen Damm til Excel- og GeoGebrastoff. Se brukerveiledningen i Lokus for perspektivtegning med GeoGebra..1 Regnerekkefølge
DetaljerOppgave 1 a) Tegn grafene til de tre funksjonene nedenfor i samme koordinatsystem i GeoGebra
kompetansemålet: Funksjoner - undersøkje funksjonar som beskriv praktiske situasjonar, ved å fastsetje nullpunkt, ekstremalpunkt og skjeringspunkt og tolke den praktiske verdien av resultata. Oppgave 1
DetaljerGeometri Verktøylinja i GeoGebra Konstruksjon / tegning Konstruksjonsforklaring Normaler, paralleller og vinkler Mangekant, areal og omkrets
2 Geometri Verktøylinja i GeoGebra Konstruksjon / tegning Konstruksjonsforklaring Normaler, paralleller og vinkler Mangekant, areal og omkrets Eksamensoppgaver 0 Innholdsfortegnelse INTRODUKSJON GEOGEBRA...
Detaljera) Tegn grafen til T b) Når på dagen var temperaturen 0 o C c) Når på dagen var temperaturen høyest? Hva var temperaturen da?
Oppgaver 1 Geogebra med fasit Oppgave 1 Funksjonen f er gitt ved: f(x) = x 2 2x 3 a) Tegn grafen digitalt b) Finn bunnpunktet til f Oppgave 2 En modell for temperaturen i celsiusgrader x timer etter midnatt
DetaljerSandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P. Geogebra
Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Geogebra Geogebra for Sigma matematikk 1P Innledning Denne bruksanvisningen er ment som en beskrivelse av dataprogrammet
Detaljer2P kapittel 2 Modellering Utvalgte løsninger oppgavesamlingen
P kapittel Modellering Utvalgte løsninger oppgavesamlingen 01 a Av tabellen ser vi at y minker like mye hver gang x øker med 1. Tallene passer derfor med en lineær funksjon. b Hver gang x øker med 1, minker
DetaljerGeoGebra 4.2 for Sinus Påbyggingsboka T. av Sigbjørn Hals
GeoGebra 4.2 for Sinus Påbyggingsboka T av Sigbjørn Hals Innhold Litt om GeoGebra... 3 Nullpunkt. Side 11 i læreboka... 3 Andregradslikninger. Side 18 i læreboka... 3 Momentan vekstfart. Side 47 i læreboka...
DetaljerModul nr. 1649 Funksjoner med GeoGebra
Modul nr. 1649 Funksjoner med Tilknyttet rom: Newton ENGIA - Statoil energirom - Ofoten 1649 Newton håndbok - Funksjoner med Side 2 Kort om denne modulen Denne modulen handler om matematiske funksjoner
DetaljerTexas. Så trykker vi på zoom og velger 0:ZoomFit. Vi får fram det valget enten ved å trykke på tasten 0 eller ved å trykke på tasten noen ganger.
ON Lommeregnerstoff Texas 4.1 Rette linjer Her viser vi hvordan vi går fram for å få tegnet linja med likningen y = 2x 3 Vi trykker på Y= og legger inn likningen som vist nedenfor. Nå må vi velge vindu.
DetaljerOppsummering om hva som kreves ved bruk av digitale verktøy
1 Oppsummering om hva som kreves ved bruk av digitale verktøy Graftegner Det skal gå klart fram av den grafiske framstillingen hvilken skala og hvilken enhet som er brukt, på hver av aksene. Det er en
DetaljerFunksjonsregler.notebook. January 04, jun 7-12:55 jun 7-12:57. jun 7-12:58 jun 7-13:00
3. februar 2018 FUNKSJONER Samledokument med materiell brukt i undervisningen i 10A Vormedal ungdomsskole januar 2018 www.solanum-kompetanse.no/10a ALF HARRY ØYGARDEN SOLANUM KOMPETANSE Funksjonsregler.notebook
DetaljerOppgaver om derivasjon
Oppgaver om derivasjon Oppgave 1 Gitt funksjonen g(x) = x 3 6x 48x + 13 a) Finn g (x). b) Bruk den deriverte til å finne x-koordinaten til topp/bunn-punktene til grafen. Finn også de tilhørende y-koordinatene,
DetaljerKapittel 5. Lineære funksjoner
Kapittel 5. Lineære funksjoner Funksjon er et av de viktigste begrepene i matematikken. Funksjoner handler om sammenhengen mellom to størrelser. I dette kapitlet repeterer vi stoffet om lineære funksjoner
DetaljerTest, 5 Funksjoner (1P)
Test, 5 Funksjoner (1P) 5.1 Funksjonsbegrepet 1) f ( x) = 16x + 0 f (0) = 0 16 0 ) f ( x) = 4x 6 f ( ) = 14 6 3) f er en funksjon av x dersom hver verdi av x gir nøyaktig en verdi av f. Riktig Galt 4)
DetaljerFasit. Funksjoner Vg1T. Innhold
Fasit Innhold 4.1 Funksjonsbegrepet... 4. Lineære funksjoner... 6 4.3 Andre funksjoner... 15 Andregradsfunksjoner... 15 Polynomfunksjoner... 18 Rasjonale funksjoner... 19 Potensfunksjoner og eksponentialfunksjoner...
DetaljerCAS GeoGebra. Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet
CAS GeoGebra Innhold CAS GeoGebra... 1 REGNING MED CAS-VERKTØYET... 2 Rette opp feil, slette linjer... 3 Regneuttrykk... 4 FAKTORISERE TALL... 4 BRØK... 4 Blandet tall... 5 Regneuttrykk med brøk... 5 POTENSER...
DetaljerS1 eksamen våren 2017 løsningsforslag
S1 eksamen våren 017 løsningsforslag Tid: 3 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (5 poeng) Løs likningene a) x 5x 0 xx ( 5) 0 x 0 x 5 0
DetaljerTall i arbeid Påbygging kapittel 3 Funksjoner Løsninger til innlæringsoppgavene
Tall i arbeid Påbygging kapittel 3 Funksjoner Løsninger til innlæringsoppgavene 3.1 a Origo er skjæringspunktet mellom x-aksen og y-aksen. Koordinatene til origo er altså. (0, 0) b Førstekoordinaten til
DetaljerØgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. Geogebra
Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Geogebra Innhold 1 Om Geogebra 4 1.1 Menyer..................................... 4 2 Regning 5 2.1 Tallregning...................................
DetaljerKapittel 7. Funksjoner
Kapittel 7. Funksjoner Mål for kapittel 7, funksjoner. Kompetansemål Mål for opplæringen er at eleven skal kunne redegjøre for begrepet lineær vekst, vise gangen i slik vekst og bruke dette i praktiske
DetaljerRette linjer og lineære funksjoner
Rette linjer og lineære funksjoner 3.1 Læreplanmål 1 4.1 Rette linjer 2 4.2 Digital graftegning 6 4.3 Konstantledd og stigningstall 13 4.4 Grafisk avlesning 19 4.5 Digital løsning av likninger 26 4.6 Funksjonsbegrepet
DetaljerKORT INNFØRING I GEOGEBRA
Innhold INNLEDNING... 3 KORT INNFØRING I GEOGEBRA... 4 ØVELSE 1. TEGNE GRAFER... 9 ØVELSE 2. TEGNE GRAFER TIL RASJONALE FUNKSJONER... 11 ØVELSE 3. LIKNINGSLØSNING... 15 ØVELSE 4. TANGENTER OG MAKS OG MIN
DetaljerKurvetilpasning (regresjon) med GeoGebra 4.0
Kurvetilpasning (regresjon) med GeoGebra 4.0 av Sigbjørn Hals Innhold Liste over kommandoene... 2 Lineær regresjon... 3 Potensregresjon... 5 Eksponentiell regresjon... 5 Logaritmisk regresjon... 6 Logistisk
DetaljerLøsning eksamen S1 våren 2008
Løsning eksamen S1 våren 008 Del. Oppgaver løst med pc og enkel lommeregner. Noen gode grunner til å lære å utnytte pc-en effektivt på eksamen: I eksamensinformasjonen står det: Der oppgaveteksten ikke
DetaljerGeoGebra 3.2. for. ungdomstrinnet
GeoGebra 3.2 for ungdomstrinnet av Sigbjørn Hals 1 Innhold: Hva er GeoGebra?... 3 Hvor kan jeg få tak i dette programmet?... 3 Hvordan kommer jeg i gang med å bruke programmet?... 4 Å hente og legge til
Detaljer13.03.2013 Manual til Excel. For ungdomstrinnet ELEKTRONISK UNDERVISNINGSFORLAG AS
13.03.2013 Manual til Excel 2010 For ungdomstrinnet ELEKTRONISK UNDERVISNINGSFORLAG AS Innholdsfortegnelse Huskeliste... 3 Lage en formel... 3 Når du får noe uønsket som f.eks. en dato i en celle... 3
DetaljerBreddegradene er linjene som gôr parallelt med ekvator. Lengdegradene er linjene som gôr fra pol til pol. Den vannrette aksen, ogsô kalt försteaksen
Breddegrader Lengdegrader Koordinatsystem Breddegradene er linjene som gôr parallelt med ekvator. Lengdegradene er linjene som gôr fra pol til pol. Et koordinatsystem bestôr av to akser. Aksene er tallinjer
Detaljer2P kapittel 2 Modellering Løsninger til innlæringsoppgavene
P kapittel Modellering Løsninger til innlæringsoppgavene.1 a c d e y = 4x+ 1 Stigningstallet er 4. Konstantleddet er 1. Linja skjærer altså y-aksen i punktet (0,1). y = 3x 4 Stigningstallet er 3. Konstantleddet
DetaljerGrafer og funksjoner
Grafer og funksjoner Fredrik Meyer Sammendrag Vi går raskt igjennom definisjonen på hva en funksjon er. Vi innfører også begrepet førstegradsfunksjon. Det forutsettes at du husker hva et koordinatsystem
DetaljerOppgaver i funksjonsdrøfting
Oppgaver i funksjonsdrøfting To av oppgavene er merket med *. Det betyr at de er ekstra interessante. Oppgave 1 Gitt funksjonen f(x) = x + 4. a) Finn nullpunktene til funksjonen. b) Bruk definisjonen på
Detaljer