S1 kapittel 3 Lineær optimering

Transkript

1 S kapittel 3 Lineær optimering Løsninger til oppgavene i boka 3. a b c d Aschehoug Side av 66

2 3. a b c d Aschehoug Side av 66

3 3.3 Løsninger til oppgavene i boka Ulikhetene i oppgave 3. og 3. skrives inn i inntastingsfeltet i GeoGebra. Ulikhetstegnene og finner du under til høyre i inntastingsfeltet. Grafområdene er gitt som løsning i oppgave 3. og a Hvis vi omformer likningen x 5y 0 b + = til formen y = ax + b, får vi 5y = x+ 0 y = x+ 5 Den rette linja som er tegnet inn på figuren, tilsvarer derfor den rette linja y = x+. Vi 5 ser at det skraverte området ligger over denne linja, og linja er inkludert i ulikheten fordi den er heltrukket. Vi får derfor ulikheten y x+, eller skrevet på den opprinnelige formen: 5 x+ 5y 0. Her ser vi at det skraverte området inkluderer alle x-verdier større enn. x = er ikke med i grafområdet, fordi linja er stiplet. Ulikheten blir derfor x >. 3.5 Vi finner først y-verdien når x = : y = 3=. Det betyr at den rette linja har y-verdi når x =. Punktet (, 5) skal ligge i grafområdet, og fordi y-verdien til dette punktet er større enn y-verdien til linja, må det aktuelle grafområdet ligge over linja. Ulikheten blir derfor y x+ 3. Når et område er begrenset av en linje, inkluderer vi linja i grafområdet. 3.6 a Uten hjelpemidler: Ulikheten x+ y 3 kan skrives som y = x+ 3. Vi tegner deretter linja, som skal være heltrukket fordi den er med i grafområdet. Deretter markerer vi grafområdet som ligger under linja. Med hjelpemidler skriver vi ulikheten x+ y 3 i inntastingsfeltet i GeoGebra. Aschehoug Side 3 av 66

4 b Uten hjelpemidler: Ulikheten 3x y 6 kan omformes: 3x y 6 3x+ 6 y y 3x+ 6 Vi tegner deretter linja y = 3x+ 6. Linja skal være heltrukket fordi den er med i grafområdet. Deretter markerer vi grafområdet som ligger under linja. Med hjelpemidler skriver vi ulikheten 3x y 6 i inntastingsfeltet i GeoGebra. c Uten hjelpemidler: Ulikheten 6 3y< x kan omformes: 6 3y< x 3y< x 6 3y x 6 < y > x+ 3 I nest siste linje deler vi på et negativt tall og snur derfor ulikhetstegnet. Vi tegner deretter linja y = x+. Linja skal være stiplet fordi den ikke er med i 3 grafområdet. Deretter markerer vi grafområdet som ligger over linja. Med hjelpemidler skriver vi ulikheten 6 3y< x i inntastingsfeltet i GeoGebra. Aschehoug Side 4 av 66

5 d Uten hjelpemidler: Ulikheten x+ 5y 5> 0 kan omformes: x+ 5y 5> 0 5y > x+ 5 y > x+ 5 Vi tegner deretter linja: y = x+. Linja skal være stiplet fordi den ikke er med i 5 grafområdet. Deretter markerer vi grafområdet som ligger over linja. Med hjelpemidler skriver vi ulikheten x+ 5y 5> 0 i inntastingsfeltet i GeoGebra. 3.7 a Uten hjelpemidler: Vi omformer de tre ulikhetene til rette linjer på formen y = ax + b og ser om områdene ligger under eller over linjene: () y+ x> gir området som ligger over den rette linja y = x+. () 3x+ y< 3 gir området som ligger under den rette linja y = 3x+ 3. (3) y 5 gir området som ligger under eller på linja y = 5. Vi markerer grafområdet som stemmer med betingelsene ovenfor: Med hjelpemidler: Ulikhetene skrives i inntastingsfeltet i GeoGebra: Tegnet finner du under til høyre i inntastingsfeltet. Grafområdet er vist ovenfor. Aschehoug Side 5 av 66

6 b Uten hjelpemidler: Vi omformer de tre ulikhetene til rette linjer på formen y = ax + b og ser om områdene ligger under eller over linjene: () y+ x 6< 0 gir området som ligger under den rette linja y = x+ 6, eller ved å dele på : y = x+ 3. () y+ x 4 0 gir området som ligger under eller på den rette linja y = x+ 4. (3) x 0 gir området til høyre for y-aksen, inkludert y-aksen. y 0 gir området over x-aksen, inkludert x-aksen. Vi markerer grafområdet som stemmer med betingelsene ovenfor: Med hjelpemidler: Ulikhetene skrives i inntastingsfeltet i GeoGebra: Tegnet finner du under til høyre i inntastingsfeltet. Grafområdet er vist ovenfor. c Uten hjelpemidler: Vi omformer de tre ulikhetene til rette linjer på formen y = ax + b og ser om områdene ligger under eller over linjene: () y+ 6x 5 < 0 gir området som ligger under den rette linja y = 6x+ 5, eller 5 ved å dele på : y = 3x+. () y+ x 5> 0 gir området som ligger over den rette linja y = x+ 5, eller ved å 5 dele på : y = x+. (3) x 0 inkluderer y-aksen og området til høyre for y-aksen. y 0 inkluderer x-aksen og området over x-aksen. Vi markerer grafområdet som stemmer med betingelsene ovenfor: Aschehoug Side 6 av 66

7 Med hjelpemidler: Ulikhetene skrives i inntastingsfeltet i GeoGebra: Løsninger til oppgavene i boka Tegnet finner du under til høyre i inntastingsfeltet. Grafområdet er vist ovenfor. 3.8 a b Når x er antall bordmodeller og y er antall veggmodeller, og varehuset maksimalt vil ha 0 fjernsynsapparater på lager, gir dette oss ulikheten x+ y 0. Minst 40 bordmodeller gir oss ulikheten x 40. Minst 30 veggmodeller gir oss ulikheten y 30. Vi skriver inn ulikhetene i inntastingsfeltet i GeoGebra: Tegnet finner du under til høyre i inntastingsfeltet. Vi får følgende grafområde: 3.9 a y < 3 : Vi stipler den rette linja y = 3 og markerer området som ligger under den stiplede linja. Linja er stiplet fordi den ikke tilhører grafområdet. Aschehoug Side 7 av 66

8 b x : Vi tegner den rette linja x = og markerer området som ligger til høyre for linja. Linja er heltrukket fordi den tilhører grafområdet. c y< x+ : Vi stipler den rette linja y = x+ og markerer området som ligger under den stiplede linja. Linja er stiplet fordi den ikke tilhører grafområdet. d y x+ 4: Vi tegner den rette linja y = x+ 4 og markerer området som ligger over linja. Linja er heltrukket fordi den tilhører grafområdet. Aschehoug Side 8 av 66

9 3.0 a Vi omformer ulikheten: y+ 4> x y > x 4 y > x Vi tegner den stiplede linja y = x og markerer grafområdet som ligger over linja. Linja er stiplet fordi den ikke er med i grafområdet: b Vi omformer ulikheten: y+ 4x< 6 y< 4x+ 6 y< x+ 3 Vi tegner den stiplede linja y = x+ 3 og markerer grafområdet som ligger under linja. Linja er stiplet fordi den ikke er med i grafområdet: c Vi omformer ulikheten: y+ 3x 6 y 3x+ 6 3 y x+ 3 3 Vi tegner linja y = x+ 3 og markerer grafområdet som ligger under linja. Linja er heltrukket fordi den er med i grafområdet: Aschehoug Side 9 av 66

10 3. a Vi skriver inn ulikheten 3x y grafområde: + < i inntastingsfeltet i GeoGebra og får følgende b Vi skriver inn ulikheten 6x y< 4 i inntastingsfeltet i GeoGebra og får følgende grafområde: c Vi skriver inn ulikheten x 5y 0 i inntastingsfeltet i GeoGebra og får følgende grafområde: Aschehoug Side 0 av 66

11 3. a Uten graftegner: x 0 : Dette er grafområdet til høyre for y-aksen, inkludert y-aksen. y 0 : Dette er grafområdet over x-aksen, inkludert x-aksen. y < : Dette er grafområdet under den rette linja y =, linja er stiplet fordi den ikke er med i grafområdet x < : Dette er grafområdet som ligger til venstre for den rette linja x =, linja er stiplet fordi den ikke er med i grafområdet. Vi markerer grafområdet som stemmer med betingelsene ovenfor: b Med graftegner: Ulikhetene skrives i inntastingsfeltet i GeoGebra: Tegnet finner du under til høyre i inntastingsfeltet. Grafområdet er vist ovenfor. Uten graftegner: x 0 : Dette er grafområdet til høyre for y-aksen, inkludert y-aksen. y 0 : Dette er grafområdet over x-aksen, inkludert x-aksen. y< x+ : Dette grafområdet ligger under den rette linja y = x+. Linja er stiplet fordi den ikke er med i grafområdet. Vi markerer grafområdet som stemmer med betingelsene ovenfor: Med graftegner: Ulikhetene skrives i inntastingsfeltet i GeoGebra:. Tegnet finner du under til høyre i inntastingsfeltet. Grafområdet er vist ovenfor. Aschehoug Side av 66

12 c Uten graftegner: x 0 : Dette er grafområdet til høyre for y-aksen, inkludert y-aksen. y < : Dette er grafområdet som ligger under linja y =. Linja er stiplet fordi den ikke er med i grafområdet. y > x+ : Dette er grafområdet som ligger over den rette linja y = x+. Linja er stiplet fordi den ikke er med i grafområdet. Vi markerer grafområdet som stemmer med betingelsene ovenfor: 3.3 a Med graftegner: Ulikhetene skrives i inntastingsfeltet i GeoGebra:. Tegnet finner du under til høyre i inntastingsfeltet. Grafområdet er vist ovenfor. Vi har 0 m silke. Det går med m silke per kjole og m silke per kåpe. Vi kan maksimalt bruke 0 m silke, slik at ulikheten for silke blir x+ y 0 når x er antall kjoler og y er antall kåper. Vi har 8,5 m bomull. Det går med,5 m bomull per kjole og 3 m bomull per kåpe. Vi kan maksimalt bruke 8,5 m bomull, slik at ulikheten for bomull blir,5x+ 3y 8,5 når x er antall kjoler og y er antall kåper. b I tillegg til ulikhetene i oppgave a skriver vi inn x 0 og y 0 fordi antall kjoler og kåper må være positive tall. Vi skriver i inntastingsfeltet i GeoGebra: Tegnet finner du under til høyre i inntastingsfeltet. Vi får følgende grafområde: c Nei. Det er ikke nok stoff til produksjon av 9 kjoler og 4 kåper. Dette kan vi se fordi punktet (9, 4) ligger utenfor grafområdet. Aschehoug Side av 66

13 3.4 a Uten hjelpemidler: x 0: Dette er grafområdet til høyre for y-aksen, inkludert y-aksen. y : Dette er grafområdet som ligger over den rette linja y =. Linja er heltrukket fordi den er med i grafområdet. Vi omformer ulikheten x+ y 6: x+ y 6 y x+ 6 y x+ 3 Dette er grafområdet som ligger under den rette linja y = x+ 3. Linja er heltrukket fordi den er med i grafområdet. Vi markerer grafområdet som stemmer med betingelsene ovenfor: b Med hjelpemidler: Ulikhetene skrives i inntastingsfeltet i GeoGebra:. Tegnet finner du under til høyre i inntastingsfeltet. Grafområdet er vist ovenfor. Uten hjelpemidler: x 0 : Dette er grafområdet til høyre for y-aksen, inkludert y-aksen. y 0 : Dette er grafområdet som ligger over x-aksen, inkludert x-aksen. Vi omformer ulikheten y x 4 til y x+ 4. Dette er grafområdet som ligger under den rette linja y = x+ 4. Linja er heltrukket fordi den er med i grafområdet. Vi omformer ulikheten 3x+ y : 3x+ y y 3x+ 3 y x+ 6 3 Dette er grafområdet som ligger under den rette linja y = x+ 6. Linja er heltrukket fordi den er med i grafområdet. Vi markerer grafområdet som stemmer med betingelsene ovenfor: Aschehoug Side 3 av 66

14 Med hjelpemidler: Ulikhetene skrives i inntastingsfeltet i GeoGebra: c Tegnet finner du under til høyre i inntastingsfeltet. Grafområdet er vist ovenfor. Uten hjelpemidler: x 0 : Dette er grafområdet til høyre for y-aksen, inkludert y-aksen. y 0 : Dette er grafområdet som ligger over x-aksen, inkludert x-aksen. Vi omformer ulikheten y+ x 5 til y x+ 5. Dette grafområdet ligger under den rette linja y = x+ 5. Vi omformer ulikheten x+ y 6: x+ y 6 y x+ 6 y x+ 3 Dette grafområdet ligger under den rette linja y = x+ 3. Linja er heltrukket fordi den er med i grafområdet. Vi markerer grafområdet som stemmer med betingelsene ovenfor: Med hjelpemidler: Ulikhetene skrives i inntastingsfeltet i GeoGebra:. Tegnet finner du under til høyre i inntastingsfeltet. Grafområdet er vist ovenfor. Aschehoug Side 4 av 66

15 3.5 a Vi har 0 kg = g mandler. Det går med 50 g mandler til én kransekake og 50 g mandler til én marsipangris. Hvis x er antall kransekaker og y er antall marsipangriser, og vi maksimalt kan bruke g mandler, blir ulikheten for mandler 50x+ 50y x 50y x+ 3y 00 Vi har kg = 000 g melis. Det går med 50 g melis til én kransekake og 00 g melis til én marsipangris. Hvis x er antall kransekaker og y er antall marsipangriser, og vi maksimalt kan bruke 000 g melis, blir ulikheten for melis: 50x+ 00y x 00y x+ 4y 40 b Vi skriver inn ulikhetene fra oppgave a sammen med ulikhetene x 0 og y 0 (fordi mandler og melis er positive størrelser) i inntastingsfeltet i GeoGebra:. Tegnet finner du under til høyre i inntastingsfeltet. Løsningene til ulikhetene er gitt ved følgende grafområde: Aschehoug Side 5 av 66

16 3.6 Vi omformer først y x 4 Løsninger til oppgavene i boka = til y = x 4 og tegner denne rette linja i et koordinatsystem. Deretter markerer vi de tre punktene (0, 5), ( 5, 0) og (6, 9) i koordinatsystemet: Ut fra dette kan vi bestemme grafområdet F til hvert av punktene: a (0, 5): Punktet ligger under linja. Ulikheten blir derfor y x 4 eller y x 4. b ( 5, 0): Punktet ligger over linja. Ulikheten blir derfor y x 4 eller y x 4. c (6, 9): Punktet ligger over linja. Ulikheten blir derfor y x 4 eller y x Vi omgjør linja x y = 3: x y = 3 y = x+ 3 3 y = x 3 Vi tegner linja y = x og linja x = 3 inn i et koordinatsystem. Linjene er heltrukne fordi de 5 er med i grafområdet. Deretter markerer vi punktet 4, i det samme koordinatsystemet og ser hvor punktet ligger i forhold til linjene: Aschehoug Side 6 av 66

17 5 Vi ser at punktet 4, ligger til høyre for linja x = 3. Det betyr at denne ulikheten blir x 3. Vi ser at punktet 5 3 4, ligger over linja y = x. Det betyr at denne ulikheten blir 3 y x, eller skrevet på den opprinnelige formen: x y 3. (Vi har delt på et negativt tall og har snudd ulikhetstegnet.) Grafområdet er markert nedenfor: 3.8 Vi ser på figuren at punktet (6, ) også er en positiv heltallig løsning. Vi kontrollerer løsningen: = a Når vi skal tegne linja m uten først å omgjøre linja til formen y ax b = +, finner vi to punkter på linja som ligger med litt avstand fra hverandre, og tegner deretter linja. Vi velger først x = 0 og finner tilhørende y-verdi: y = 4 y = Punktet (0, ) ligger på linja m. Deretter velger vi x = 4 og finner tilhørende y-verdi: y = 4 y = y = 6 Punktet (4, 6) ligger på linja m. Vi legger disse to punktene inn i et koordinatsystem og tegner linja m: Aschehoug Side 7 av 66

18 Vi ser at de positive heltallige punktene som ligger på linja m, er (, 9), (4, 6) og (6, 3). Disse punktene er merket av på figuren ovenfor. b Når vi skal tegne linja n uten først å omgjøre linja til formen y = ax + b, finner vi to punkter på linja som ligger med litt avstand fra hverandre, og tegner deretter linja. Vi velger først x = 0 og finner tilhørende y-verdi: y = y = = 5,5 Punktet (0, 5,5) ligger på linja n. Deretter velger vi x = 4 og finner tilhørende y-verdi: y = y = y = Punktet 4, ligger på linja n. Vi legger inn disse to punktene i et koordinatsystem og tegner linja n: Vi ser at de positive heltallige punktene som ligger på linja n, er (, 4) og (3, ). Disse punktene er merket av på figuren ovenfor. Aschehoug Side 8 av 66

19 3.0 a Vi skriver inn 30x 0y 300 Løsninger til oppgavene i boka + = i inntastingsfeltet i GeoGebra og får nivålinja for S = 300: b Vi markerer de heltallige punktene som er løsningen på likningen 30x+ 0y = 300. Dette er punktene (0, 5), (, ), (4, 9), (6, 6), (8, 3) og (0, 0). Når x er antall kartonger appelsinjuice og y er antall kartonger eplejuice, kan vi for 300 kr kjøpe: 0 kartonger appelsinjuice og 5 kartonger eplejuice, eller kartonger appelsinjuice og kartonger eplejuice, eller 4 kartonger appelsinjuice og 9 kartonger eplejuice, eller 6 kartonger appelsinjuice og 6 kartonger eplejuice, eller 8 kartonger appelsinjuice og 3 kartonger eplejuice, eller 0 kartonger appelsinjuice og 0 kartonger eplejuice. 3. Vi skriver inn nivålinjene 5x 0y 75 + = og 5x+ 0y = 50 i inntastingsfeltet i GeoGebra. Nivålinja for S = 50 ligger over nivålinja for S = 75, og denne retningen er vist med en pil på figuren: Aschehoug Side 9 av 66

20 3. a Kostnaden ved kjøp av x kg appelsiner til 0 kr per kg er gitt ved 0x. Kostnaden ved kjøp av y kg pærer til 5 kr per kg er 5y. Den samlede kostnaden S ved kjøp av både appelsiner og pærer blir S = 0x+ 5y. b Vi skriver inn 90 = 0x+ 5y i inntastingsfeltet i GeoGebra og får følgende nivålinje: c 3.3 a Vi ser at punktet (3, ) ligger på linja. (Vi kan vise dette ved å sette inn x = 3 og y = i likningen 0x+ 5y: = = 90.) Det sier oss at det koster 90 kr å kjøpe 3 kg appelsiner og kg pærer. Vi skriver S = 00 i inntastingfeltet i GeoGebra og klikker på ringen foran S i algebravinduet. Så høyreklikker vi på glideren og klikker på Egenskaper. Vi skriver inn som vist nedenfor: Vi skriver deretter inn S = 5x+ 5yi inntastingsfeltet. Nivålinjene for S = 50, S = 00, S = 50 og S = 00 vises når man drar i glideren. For å dra i glideren må «flytt-pila» være aktivert. Nedenfor er nivålinjene for S = 00 og S = 50 vist: Aschehoug Side 0 av 66

21 b Vi legger inn punktet (5, 3) i koordinatsystemet og drar glideren til nivålinja krysser punktet. Vi ser at nivålinja krysser punktet når S = 50: Det sier oss at når vi setter inn x = 5 og y = 3 inn i uttrykket S = 5x+ 5y, får vi S = 50: = = a Vi har systemet av ulikheter: () x+ 4y 5 () x 3 (3) y Uten hjelpemidler: For å tegne den rette linja x+ 4y = 5 til ulikhet () må vi først bestemme to punkter på linja: Vi velger først x = 0 og finner tilhørende y-verdi: 0 + 4y = 5 5 y = = 3, 75 4 Punktet (0, 3,75) ligger derfor på linja. Deretter velger vi x = 4 og finner tilhørende y-verdi: 4 + 4y = 5 4y = 5 4 y = =,75 4 Punktet (4,,75) ligger derfor på linja. Vi tegner linjene som hører til ulikhetene (), () og (3) i samme koordinatsystem, og markerer grafområdet som stemmer med ulikhetene: Vi finner koordinatene til hjørnepunktene: Hjørnet A er skjæringspunktet mellom linjene x = 3 og y =. Koordinatene til hjørnepunktet A er derfor (3, ). Hjørnet B er skjæringspunktet mellom linjene y = og x+ 4y = 5. y-koordinaten til hjørnepunktet B er derfor. Vi setter y = i likningen x+ 4y = 5: x + 4 = 5 x = 5 4 = Aschehoug Side av 66

22 b Koordinatene til hjørnepunktet B er (, ). Hjørnet C er skjæringspunktet mellom linjene x = 3 og x+ 4y = 5. x-koordinaten til hjørnepunktet er derfor 3. Vi setter x = 3 i likningen x+ 4y = 5: 3+ 4y = 5 4y = 5 3 4y = y = 3 Koordinatene til hjørnepunktet C er (3, 3). Med hjelpemidler: Vi skriver inn i inntastingsfeltet i GeoGebra og får opp grafområdet. Deretter skriver vi inn likningene som hører til ulikhetene, én og én: x+ 4y = 5 x = 3 y = Etter at linjene er tegnet, velger vi verktøyknappen Skjæring mellom to objekt, og koordinatene for hjørnepunktene dukker opp i algebrafeltet. Man kan velge å vise punktenes verdi på figuren ved å høyreklikke på punktet og velge Egenskaper, Vis navn, og deretter Navn og verdi. Av figuren ser vi at koordinatene for hjørnepunktene er A = (3, ), B = (, ) og C = (3, 3). Vi har systemet av ulikheter: () x+ 7y 8 () 3x+ 7 y 4 (3) x 4 Uten hjelpemidler: Ulikhet (): For å tegne den rette linja x+ 7 y = 8 må vi først bestemme to punkter på linja: Vi velger først x = 0 og finner tilhørende y-verdi: y = 8 y = 4 Punktet (0, 4) ligger derfor på linja. Deretter velger vi x = 4 og finner tilhørende y- verdi: y = 8 7 y = y = = 3, 43 7 Punktet (4, 3,43) ligger derfor på linja. Ulikhet (): For å tegne den rette linja 3x+ 7y = 4 må vi først bestemme to punkter på linja: Vi velger først x = 0 og finner tilhørende y-verdi: y = 4 y = 6 Punktet (0, 6) ligger derfor på linja. Deretter velger vi x = 4 og finner tilhørende y-verdi: Aschehoug Side av 66

23 y = 4 7y = 4 Løsninger til oppgavene i boka 30 y = = 4, 9 7 Punktet (4, 4,9) ligger derfor på linja. Vi tegner linjene som hører til ulikhetene (), () og (3) i samme koordinatsystem, og markerer grafområdet som stemmer med ulikhetene: Vi finner koordinatene til hjørnepunktene: Hjørnet A er skjæringspunktet mellom linjene x = 4 og x+ 7 y = 8. Koordinatene til A ble bestemt da vi fant to punkter på linja til ulikhet (). Koordinatene til hjørnepunktet A er (4, 3,43). Hjørnet B er skjæringspunktet mellom linjene () x+ 7y = 8 og () 3x+ 7 y = 4. Vi omgjør () til x= 7 y+ 8 og setter den inn i likning (): x= 7 y+ 8 3( 7 y+ 8) + 7 y = 4 y y = 4 4y = 4 4 y = 4 y = 3 Vi setter y = 3 inn i (): x = x = 7 Hjørnet B har derfor koordinatene (7, 3). Hjørnet C er skjæringspunktet mellom linjene x = 4 og 3x+ 7y = 4. Koordinatene til hjørnepunkt C ble bestemt da vi fant to punkter på linja til ulikhet (). Koordinatene til hjørnepunkt C er (4, 4,9). Med hjelpemidler: Vi skriver inn i inntastingsfeltet i GeoGebra og får opp grafområdet. Deretter skriver vi inn likningene som hører til ulikhetene, én og én: Aschehoug Side 3 av 66

24 x+ 7 y = 8 3x+ 7 y = 4 Løsninger til oppgavene i boka x = 4 Etter at linjene er tegnet, velger vi verktøyknappen Skjæring mellom to objekt, og koordinatene for hjørnepunktene dukker opp i algebrafeltet. Man kan velge å vise punktenes verdi på figuren ved å høyreklikke på punktet og velge Egenskaper, Vis navn og deretter Navn og verdi. Av figuren ser vi at koordinatene for hjørnepunktene er A = (4, 3,43), B = (7, 3) og C = (4, 4,9). c Vi har systemet av ulikheter: () 7x+ 8y 96 () 8y x 64 (3) 3x+ 8y 64 Uten hjelpemidler: Ulikhet (): For å tegne den rette linja 7x+ 8y = 96 må vi først bestemme to punkter på linja: Vi velger først x = 0 og finner tilhørende y-verdi: 0 + 8y = y = = 8 Punktet (0, ) ligger derfor på linja. Deretter velger vi x = 4 og finner tilhørende y-verdi: y = 96 8y = y = = 8,5 8 Punktet (4, 8,5) ligger derfor på linja. Ulikhet (): For å tegne den rette linja 8y x= 64 må vi først bestemme to punkter på linja: Vi velger først x = 0 og finner tilhørende y-verdi: 8y = 64 y = 8 Punktet (0, 8) ligger derfor på linja. Deretter velger vi x = 4 og finner tilhørende y-verdi: 8y 4 = 64 8y = y = = 8,5 8 Punktet (4, 8,5) ligger derfor på linja. Ulikhet (3): For å tegne den rette linja 3x+ 8y = 64 må vi først bestemme to punkter på linja: Vi velger først x = 0 og finner tilhørende y-verdi: 0 + 8y = 64 y = 8 Punktet (0, 8) ligger derfor på linja. Deretter velger vi x = 4 og finner tilhørende y-verdi: Aschehoug Side 4 av 66

25 y = 64 8y = 64 Løsninger til oppgavene i boka 5 y = = 6,5 8 Punktet (4, 6,5) ligger derfor på linja. Vi tegner linjene som hører til ulikhetene (), () og (3) i samme koordinatsystem, og markerer grafområdet som stemmer med ulikhetene: Vi finner koordinatene til hjørnepunktene: Hjørnet A er skjæringspunktet mellom linjene () 8y x= 64 og (3). Da vi satte inn x = 0 i de to likningene, fikk begge y-verdien 8. Hjørnepunktet A har koordinatene (0, 8). Hjørnet B er skjæringspunktet mellom linjene () 7x+ 8y = 96 og (3) 3x+ 8y = Vi omformer likning () til 8y = 96 7x og y = x+ 8, og setter den inn i (): 8 7 3x+ 8( x+ ) = x 7x+ 96 = 64 4x = 3 x = 8 Vi setter x = 8 inn i likning () 7 3x+ 8 x+ = x 7x+ 96 = 64 4x = 3 x = 8 78 y = + = 7 + = 5 8 Hjørnepunktet B har koordinatene (8, 5). Hjørnet C er skjæringspunktet mellom linjene () og (): Da vi satte inn x = 4 i de to likningene, fikk begge y-verdien 8,5. Hjørnepunktet C har koordinatene (4, 8,5). Aschehoug Side 5 av 66

26 Med hjelpemidler: Vi skriver inn i inntastingsfeltet i GeoGebra og får opp grafområdet. Deretter skriver vi inn likningene som hører til ulikhetene, én og én: 7x+ 8y = 96 8y x= 64 3x+ 8y = 64 Etter at linjene er tegnet, velger vi verktøyknappen Skjæring mellom to objekt, og koordinatene for hjørnepunktene dukker opp i algebrafeltet. Man kan velge å vise punktenes verdi på figuren ved å høyreklikke på punktet og velge Egenskaper, Vis navn og deretter Navn og verdi. Av figuren ser vi at koordinatene for hjørnepunktene er A = (0, 8), B = (8, 5) og C = (4, 8,5). 3.5 a S = 0: S = 0: S = 0: 0= 6x+ 4y 4y = 6x 0 = 6x+ 4y 4y = 6x 0 0 = 6x+ 4y 4y = 6x 0 6 4y 6 0 y = x = x y = x y = x Vi tegner linjene y = x, y = x+ og 4y 6 0 = x y = x+ 5 3 y = x+ 5 i samme koordinatsystem: Vi ser at nivålinjene er parallelle, stigningstallet er Nivålinja skjærer y-aksen høyere opp når S øker. 3 for alle linjene. Aschehoug Side 6 av 66

27 b Vi skriver S = 0 i inntastingsfeltet i GeoGebra og klikker på ringen foran S i algebravinduet. Så høyreklikker vi på glideren og klikker på Egenskaper. Vi skriver inn som vist nedenfor: Vi skriver deretter S = 6x+ 4y i inntastingsfeltet. Nivålinjene for S = 0, S = 0 og S = 0 vises når man drar i glideren. For å dra i glideren må «flytt-pila» Nedenfor er nivålinja for S = 0 vist: være aktivert. 3.6 a S = 0: S = 0: S = 30: 0 = x+ 5y 5y = x 0 0 = x+ 5y 5y = x 0 30 = x+ 5y 5y = x y = x y = x y = x y = x+ y = x+ 4 y = x Vi tegner linjene y = x+, y = x+ 4 og y = x+ 6 i samme koordinatsystem, og tegner en pil som viser hvilken retning vi må bevege oss i koordinatsystemet for at S skal øke: b Vi skriver S = 0 i inntastingsfeltet i GeoGebra og klikker på ringen foran S i algebravinduet. Så høyreklikker vi på glideren og klikker på Egenskaper. Vi skriver inn som vist nedenfor: Aschehoug Side 7 av 66

28 Vi skriver deretter S = x+ 5y i inntastingsfeltet. Nivålinjene for S = 0, S = 0 og S = 30 vises når man drar i glideren. For å dra i glideren må «flytt-pila» Nedenfor er nivålinja for S = 0 vist: være aktivert. 3.7 a Uten hjelpemidler: Ulikhet (): y+ x 8. Vi omformer linja y+ x= 8 til y = x+ 4, tegner linja og markerer grafområdet som ligger under linja. Ulikhet (): y x 0. Vi omformer linja y x= 0 til y = x, tegner linja og markerer grafområdet som ligger over linja. Ulikhet (3): x. Vi tegner linja x = og markerer grafområdet som ligger til høyre for linja. Vi får grafområdet som stemmer med ulikhetene ovenfor: b Med hjelpemidler: Ulikhetene skrives i inntastingsfeltet i GeoGebra:. Tegnet finner du under til høyre i inntastingsfeltet. Grafområdet er vist ovenfor. Uten hjelpemidler: Hjørnet A er skjæringspunktet mellom linjene x = og y = x. x-koordinaten til hjørnepunktet A er derfor, og y-koordinaten er y = =. Koordinatene til hjørnepunktet A er (, ). Hjørnet B er skjæringspunktet mellom linjene Aschehoug Side 8 av 66

29 y = x+ 4 og y = x. Vi setter y = x inn i (): y = x+ 4 x= x+ 4 x+ x= 4 x = 4 Når x = 4, blir y = 4 =. Koordinatene til hjørnepunkt B er (4, ). Hjørnepunkt C er skjæring mellom linjene x = og y = x+ 4. x-koordinaten til hjørnepunktet C er derfor. Vi setter x = inn i y = x+ 4 : y = + 4 y = 3 Hjørnepunktet C har koordinatene (, 3). Med hjelpemidler: Vi fortsetter i GeoGebra-bildet fra oppgave a. Vi skriver inn de tre linjene (én og én) i inntastingsfeltet i GeoGebra Deretter velger vi Skjæring mellom to objekt og klikker på de tre linjene. Hjørnepunktene A, B og C kommer da opp. Vi får fram verdien til punktet ved å høyreklikke på punktet og velge Egenskaper, Vis navn og Navn og verdi. 3.8 a Av figuren ser vi at koordinatene til hjørnepunktene er A = (, ), B = (4, ) og C = (, 3). Uten hjelpemidler: Ulikhet (): 4y+ x 4. Vi omformer linja 4y+ x= 4 til y = x+ 6, tegner linja 4 og markerer grafområdet som ligger under linja. Ulikhet (): y+ x 6 Vi omformer linja y+ x= 6 til y = x+ 8, tegner linja og markerer grafområdet som ligger under linja. Aschehoug Side 9 av 66

30 Ulikhet (3): x 4 Vi tegner linja x = 4 og markerer grafområdet som ligger til høyre for linja. Ulikhet (4): y Vi tegner linja y = og markerer grafområdet som ligger over linja. Vi får grafområdet som stemmer med ulikhetene ovenfor: Med hjelpemidler: Ulikhetene skrives i inntastingsfeltet i GeoGebra:. Tegnet finner du under til høyre i inntastingsfeltet. Grafområdet er vist ovenfor. b Uten hjelpemidler: Hjørnet A er skjæringspunktet mellom linjene x = 4 og y =. Koordinatene til hjørnepunktet A er (4, ). Hjørnet B er skjæringspunktet mellom linjene y = og y = x+ 8. Vi setter inn y = inn i y = x+ 8: = x + 8 x = 8 x = 6 x = Koordinatene til hjørnepunktet B er (, ). Hjørnet C er skjæringspunktet mellom linjene y = x+ 8 og y = x Vi setter y = x+ 8 lik y = x+ 6 : 4 x+ 8= x+ 6 4 x+ x= x+ x= 4 4 x = 4 x = 8 Aschehoug Side 30 av 66

31 Vi setter x = 8 inn i y = x+ 8: y = y = 4 Hjørnet C har koordinatene (8, 4). Hjørnet D er skjæringspunktet mellom linja x = 4 og y = x+ 6 : 4 y = x+ 6 4 y = y = 5 Hjørnet D har koordinatene (4, 5). y = x+ 6. Vi setter x = 4 inn i 4 Med hjelpemidler: Vi fortsetter i GeoGebra-bildet fra oppgave a. Vi skriver inn de tre linjene (én og én) i inntastingsfeltet i GeoGebra Deretter velger vi Skjæring mellom to objekt og klikker på de tre linjene. Hjørnepunktene A, B, C og D kommer da opp. Vi får fram verdien til punktet ved å høyreklikke på punktet og velge Egenskaper, Vis navn og Navn og verdi. Av figuren ser vi at koordinatene til hjørnepunktene er A = (4, ), B = (, ), C = (8, 4) og D = (4, 5). c S = 8: Vi setter S = 8 inn i uttrykket S = 3x+ 8y: 8= 3x+ 8y. Vi finner to punkter på linja før vi kan tegne den: Vi setter først inn x = 0 og finner tilhørende y-verdi: 8= y y = Punktet (0, ) ligger på linja 8= 3x+ 8y. Vi setter deretter inn i uttrykket og finner tilhørende y-verdi: 8= y 8y = 8 4 y = = 8 Aschehoug Side 3 av 66

32 Punktet 4, ligger på linja = x+ y. S = 4: Vi setter S = 4 inn i uttrykket S = 3x+ 8y: 4 = 3x+ 8y. Vi finner to punkter på linja før vi kan tegne den: Vi setter først inn x = 0: 4 = y y = 3 Punktet (0, 3) ligger på linja 4 = 3x+ 8y. Vi setter inn x = 4 i uttrykket: 4 = y 8y = 3 y = = 8 3 Punktet 4, ligger på linja = x+ y. Vi markerer de to punktene vi har per linje i koordinatsystemet med det aktuelle grafområdet, og tegner de to linjene 8= 3x+ 8y og 4 = 3x+ 8y: d Vi bruker GeoGebra-vinduet med det aktuelle grafområdet, skriver S = 8 i inntastingsfeltet og klikker på ringen foran S i algebravinduet. Så høyreklikker vi på glideren og klikker på Egenskaper. Vi skriver inn som vist nedenfor, og velger maks-verdien til 56 fordi denne skal brukes seinere i oppgaven: Vi skriver deretter S = 3x+ 8y i inntastingsfeltet. Nivålinjene fra og med S = 8 til og med S = 4 vises når man drar i glideren. For å dra i glideren må «flytt-pila» Nedenfor er nivålinja for S = 4 vist: være aktivert. Aschehoug Side 3 av 66

33 e Vi drar i glideren til nivålinja treffer hjørnepunktet (4, ). f S har da verdien 8, og nivålinja er 8 = 3x+ 8y. Vi markerer punktet (7, 3) i koordinatsystemet og drar i glideren til linja treffer punktet. S har da verdien 45, og nivålinja er 45 = 3x+ 8y. g Vi drar i glideren til S = 56. Ser da at nivålinja går gjennom punktet (8, 4): 3.9 a Vi setter inn punktet P(5, 4) i uttrykket S = x+ 3y: S = =. Nivålinja er da = x+ 3y. b Hvis punktet Q(a, 6) ligger på nivålinja = x+ 3y, er a den ukjente x-verdien: = x+ 3y = a = a a = Aschehoug Side 33 av 66

34 3.30 a Vi tegner av figuren gitt i oppgaven: b Vi regner ut S-verdien til alle hjørnepunktene: A(4, ): S A = = + 8 = 0 B(7, 4): S B = = + 6 = 37 C(4, 6): S C = = + 4 = 36 D(, 3): S D = = 6 + = 8 Vi ser at S har sin minste verdi i punkt D(, 3), da er S = 8. S har sin største verdi i punktet B(7, 4), da er S = 37. Vi bruker GeoGebra-vinduet med det aktuelle grafområdet og skriver S = 0 i inntastingsfeltet. Deretter klikker vi på ringen foran S i algebravinduet. Så høyreklikker vi på glideren, klikker på Egenskaper og skriver inn som vist nedenfor. Når vi ikke vet noe om aktuelle S-verdier fra før, kan vi prøve oss fram med min- og maks-verdier, helt til nivålinja treffer innenfor det aktuelle grafområdet. Vi skriver deretter S = 3x+ 4y i inntastingsfeltet. Nivålinjene fra og med S = 0 til og med S = 50 vises når man drar i glideren. For å dra i glideren må «flytt-pila» være aktivert. Vi drar i glideren og ser at S har sin minste verdi i hjørnepunktet D(, 3), da er S = 8: Aschehoug Side 34 av 66

35 Vi ser at S har sin største verdi i hjørnepunktet B(7, 4), da er S = 37: Løsninger til oppgavene i boka c Vi drar glideren til S = 34 og ser at nivålinja går gjennom punktet (6, 4). a har derfor verdien 4: Vi kan også bestemme a ved regning: S = 3x+ 4y 34 = 3a = 3a 8 a = = 6 3 d Et uttrykk Z er gitt ved Z = 5x+ 0y. Vi regner ut Z-verdien til alle hjørnepunktene: A(4, ): Z A = = = 40 B(7, 4): Z B = = = 75 C(4, 6): Z C = = = 80 D(, 3): Z D = = = 40 Vi ser at Z har sin minste verdi i punktene A(4, ) og D(, 3), da er Z = 40. Z har sin største verdi i punktet C(4, 6), da er Z = 80. e Vi bruker GeoGebra-vinduet med det aktuelle grafområdet og skriver Z = 0 i inntastingsfeltet. Deretter klikker vi på ringen foran Z i algebravinduet. Så høyreklikker vi på glideren, klikker på Egenskaper og skriver inn som vist nedenfor. Når vi ikke vet noe om aktuelle Z-verdier fra før, kan vi prøve oss frem med min- og maks-verdier, helt til nivålinja treffer innenfor grafområdet. Vi skriver deretter Z = 5x+ 0y i inntastingsfeltet. Nivålinjene fra og med Z = 0 til og med Z = 00 vises når man drar i glideren. For å dra i glideren må «flytt-pila» være aktivert. Vi drar i glideren og ser at Z har sin minste verdi i hjørnepunktene A(4, ) og Aschehoug Side 35 av 66

36 D(, 3), da er Z = 40. Det betyr at Z = 40 i alle punktene på linjestykket AD, se figuren nedenfor. Vi ser at Z har sin største verdi i hjørnepunktet C(4, 6), da er Z = 80, se figuren nedenfor. f Vi bruker GeoGebra-vinduet med det aktuelle grafområdet og skriver R = 0 i inntastingsfeltet. Deretter klikker vi på ringen foran R i algebravinduet. Så høyreklikker vi på glideren, klikker på Egenskaper og skriver inn som vist nedenfor. Når vi ikke vet noe om aktuelle R-verdier fra før, kan vi prøve oss fram med min- og maks-verdier, helt til nivålinja treffer innenfor grafområdet. Vi skriver deretter R= 8x+ y i inntastingsfeltet. Nivålinjene fra og med R = 0 til og med R = 0 vises når man drar i glideren. For å dra i glideren må «flytt-pila» være aktivert. Vi drar i glideren og ser at R har sin største verdi i hjørnepunktene B(7, 4) og C(4, 6). Da er Z = 04. Det betyr at Z = 04 i alle punktene som ligger på linjestykket BC. Aschehoug Side 36 av 66

37 3.3 a Skolen kan maksimalt bruke kr til innkjøpet. Når de skal kjøpe inn x skrivere av type A som koster kr, og y skrivere av type B som koster 5000 kr, får vi ulikheten 0 000x+ 5000y y x+ y 40 For at innkjøpet ikke skal overskride kr, må ulikheten x+ y 40 være oppfylt. b Minst 7 skrivere av type A gir ulikheten x 7, i tillegg til at ulikheten x+ y 35 skal være oppfylt. Det aktuelle grafområdet er derfor begrenset av de tre ulikhetene: x+ y 40 x+ y 35 x 7 Vi skriver inn de tre ulikhetene i inntastingsfeltet i GeoGebra og får denne figuren med det aktuelle grafområdet: c d Vi lar K(x, y) være skrivekapasiteten per time. Når skriver A har en kapasitet på 800 sider per time og skriver B har en kapasitet på 000 sider per time, og det kjøpes x skrivere av type A og y skrivere av type B, får vi følgende uttrykk for skrivekapasiteten per time: Kxy (, ) = 800x+ 000y. Vi fortsetter i GeoGebra-vinduet fra oppgave b og skriver inn de tre aktuelle linjene i inntastingsfeltet i GeoGebra (én og én): x+ y = 40 x+ y = 35 x = 7 Vi velger Skjæring mellom to objekt, og får opp hjørnepunktene med navn og verdi ved å høyreklikke på dem, velge Egenskaper, Navn og Navn og verdi. Nivålinjemetoden: Vi skriver inn K = 000 i inntastingsfeltet. Deretter klikker vi på ringen foran K i algebravinduet. Så høyreklikker vi på glideren, klikker på Egenskaper og skriver inn som vist nedenfor. Når vi ikke vet noe om aktuelle R-verdier fra før, kan vi prøve oss fram med min- og maks-verdier, helt til nivålinja treffer innenfor grafområdet. Aschehoug Side 37 av 66

38 Eksempler på min-, maks-verdier og animasjonstrinn er gitt i figuren nedenfor. Vi skriver deretter K( x, y) = 800x+ 000y i inntastingsfeltet. Nivålinjene fra og med R = 000 til og med R = vises når man drar i glideren. For å dra i glideren må «flytt-pila» være aktivert. Vi drar i glideren og ser at K har sin største verdi i punktet C(7, 6), se figuren nedenfor: Det betyr at skolen må kjøpe 7 skrivere av type A og 6 skrivere av type B for å oppnå størst mulig skrivekapasitet per time. Vi ser at K = Vi kan også regne ut verdien til K i dette punktet: K (7, 6) = = = Det betyr at den største skrivekapasiteten per time er sider. Innsettingsmetoden: Vi regner ut K(x, y) i de tre hjørnepunktene A, B, og C: K (7, 4) = = = K (5,0) = = = K (7, 6) = = = Vi ser at vi får det samme svaret med innsettingsmetoden: Skolen må kjøpe 7 skrivere av type A og 6 skrivere av type B for å oppnå størst mulig skrivekapasitet per time. Den største skrivekapasiteten er sider per time. 3.3 a Antall Go-plasser settes lik x og antall Pluss-plasser settes lik y. Vi har totalt 60 plasser i flyet som skal fordeles på Go-plasser og Pluss-plasser. Det gir oss ulikheten x+ y 60. Kravet om at det skal være minst 0 Pluss-plasser, gir ulikheten y 0. Vi kan ikke ha et negativt antall plasser: x 0 Aschehoug Side 38 av 66

39 b Vi skriver inn de fire ulikhetene i inntastingsfeltet i GeoGebra: Plussplasser: og får opp grafområdet for Go- og c d Når én Go-plass koster 000 kr og én Pluss-plass koster 500 kr, er billettinntekten, S, for én flyavgang gitt ved S = 000x+ 500y. Vi fortsetter i GeoGebra-vinduet fra oppgave b og skriver inn de tre aktuelle linjene i inntastingsfeltet i GeoGebra (én og én): x+ y = 60 y+ x= 80 3 y = 0 x = 0 Vi velger Skjæring mellom to objekt og får opp hjørnepunktene med navn og verdi ved å høyreklikke på dem, velge Egenskaper, Navn og Navn og verdi (se figuren nedenfor). Nivålinjemetoden: Vi lager glider for nivålinja S = 00x+ 500y. Framgangsmåten for dette er f.eks. gitt i oppgave 3.3d. (Et eks. er å velge min: 00, maks: og animasjonstrinn 00.) Vi drar i glideren og ser at S får sin største verdi i hjørnepunktet C(0, 40), se figuren nedenfor. Det betyr at det må selges 0 Go-plasser og 40 Pluss-plasser for at billettinntekten for flyselskapet skal bli høyest. Vi ser at S = Det betyr at den høyeste billettinntekten er kr. Vi kan også regne ut billettinntekten: S (0, 40) = = = Innsettingsmetoden: Vi regner ut S(x, y) i de to hjørnepunktene B(40, 0) og C(0, 40): S (40, 0) = = = S (0, 40) = = = Vi ser at vi får samme svar med innsettingsmetoden: Det må selges 0 Go-plasser og 40 Pluss-plasser for at billettinntekten for flyselskapet skal bli høyest. Da er billettinntekten Aschehoug Side 39 av 66

40 3.33 a I denne oppgaven er x er antall enheter som produserer per dag av produkt A, og y er antall enheter som produseres per dag av produkt B. Ved produksjonssted I skal både produkt x og y behandles i 0 min per dag. Den daglige produksjonskapasiteten ved produksjonssted I er 6 timer = 360 minutter. Vi får derfor ulikheten 0x+ 0y 360 x+ y 8 Ved produksjonssted II er kapasiteten 5 timer = 300 minutter. Her skal produkt x behandles i 0 min per dag og produkt y behandles i 0 min per dag. Vi får derfor ulikheten 0x+ 0y 300 x+ y 30 Ved produksjonssted III er kapasiteten timer = 0 minutter. Her skal ikke produkt x behandles, men produkt y skal behandles i 0 min per dag. Vi får derfor ulikheten 0y 0 y b I tillegg til ulikhetene i oppgave a har vi at x 0 og y 0. Vi skriver inn de fire ulikhetene i inntastingsfeltet i GeoGebra: og får opp grafområdet: Aschehoug Side 40 av 66

41 c Vi lar Sxy (, ) være den samlede fortjenesten for produkt A og B når x enheter av produkt A gir en fortjeneste på 600 kr per enhet, og y enheter av produkt B gir en fortjeneste på 500 kr per enhet: Sxy (, ) = 600x+ 500y. Vi fortsetter i GeoGebra-vinduet fra oppgave b og skriver inn de fire aktuelle linjene i inntastingsfeltet i GeoGebra (én og én): x+ y = 8 x+ y = 30 y = x = 0 y = 0 Vi velger Skjæring mellom to objekt og får opp hjørnepunktene med navn og verdi ved å høyreklikke på dem, velge Egenskaper, Navn og Navn og verdi (se figuren nedenfor). Nivålinjemetoden: Vi lager glider for nivålinja Sxy (, ) = 600x+ 500y. Framgangsmåten for dette er f.eks. gitt i oppgave 3.3d. (Et eks. er å velge min: 000, maks: og animasjonstrinn 00.) Vi drar i glideren og ser at S får sin største verdi i hjørnepunktet B(, 6), se figuren nedenfor. Det betyr at firmaet oppnår høyest fortjeneste når de produserer enheter av produkt A og 6 enheter av produkt B. Vi ser da at S = 0 00, og vi kan også regne ut fortjenesten: S (, 6) = = = 0 00 Fortjenesten er på 0 00 kr. Innsettingsmetoden: Vi regner ut S(x, y) i de fire hjørnepunktene B(5, 0), C(, 6), D(6, ) og E(0, ): S (5, 0) = = 9000 S (, 6) = = = 0 00 S (6, ) = = = 9600 S (0,) = = 6000 Vi ser at vi får samme svar med innsettingsmetoden: Firmaet oppnår høyest fortjeneste når de produserer enheter av produkt A og 6 enheter av produkt B. Da er fortjenesten på 0 00 kr. Aschehoug Side 4 av 66

42 d 3.34 a b Vi regner ut utnyttelse av produksjonskapasiteten ved de tre produksjonsstedene I, II og III når det produseres enheter av produkt A og 6 enheter av produkt B: I: Her skulle ulikheten 0x+ 0y 360 være oppfylt. Vi setter inn x = og y = = = 360. Vi ser dermed at produksjonssted I ikke har ledig kapasitet. II: Her skulle ulikheten 0x+ 0y 300 være oppfylt. Vi setter inn x = og y = 6: = = 300. Vi ser at produksjonssted II ikke har ledig kapasitet. III: Her skulle ulikheten 0y 0 være oppfylt. Vi setter inn y = 6 og får 0 6 = 60. Vi ser her at produksjonssted III har en ledig kapasitet per dag på 0 60 = 60 minutter = time. Det daglige behovet for næringsstoff I er på minst 6 enheter. I sekk A er det enheter av næringsstoff I, og i sekk B er det enhet av næringsstoff I. x er antall sekker av type A, og y er antall sekker av type B. Dette gir oss følgende ulikhet for næringsstoff I: x+ y 6 Det daglige behovet for næringsstoff II er på minst 4 enheter. Det er enhet av næringsstoff II i både sekk A og sekk B. Dette gir oss følgende ulikhet for næringsstoff II: x+ y 4 Det daglige behovet for næringsstoff III er på minst 0 enheter. I sekk A er det enhet av næringsstoff III, og i sekk B er det 3 enheter av næringsstoff III. Det gir oss følgende ulikhet for næringsstoff III: x+ 3y 0 Når type A koster 50 kr per sekk og type B koster 500 kr per sekk, blir uttrykket for kostnaden ved å kjøpe x sekker av type A og y sekker av type B: Sx (, y) = 50x+ 500y c I tillegg til ulikhetene i oppgave a tar vi også med ulikhetene x 0 og y 0 fordi det ikke er aktuelt med et negativt antall sekker. Vi skriver inn de fem ulikhetene i inntastingsfeltet i GeoGebra: Vi skriver inn de aktuelle linjene: x+ y = 6 x+ y = 4 x+ 3y = 0 x = 0 y = 0 Vi velger Skjæring mellom to objekt og får opp hjørnepunktene med navn og verdi ved å høyreklikke på dem, velge Egenskaper, Navn og Navn og verdi (se figuren nedenfor). Nivålinjemetoden: Vi lager glider for nivålinja Sxy (, ) = 50x+ 500y. Framgangsmåten for dette er f.eks. gitt i oppgave 3.3d. (Et eks. er å velge min: 00, maks: og animasjonstrinn 50.) Vi drar i glideren og ser at S får sin minste verdi i hjørnepunktet C(, 3), se figuren nedenfor. Aschehoug Side 4 av 66

43 Det betyr at oppdrettsanlegget må kjøpe sekker av type A og 3 sekker av type B for å dekke det daglige behovet på billigst mulig måte. Vi ser da at S = 450, og vi kan også regne ut denne kostnaden: S (, 3) = = = 450. Innsettingsmetoden: Vi regner ut S(x, y) i de fire hjørnepunktene A(0, 6), B(, ), C(, 3) og E(0, 0): S (0,6) = = 8000 S (, ) = = = 6500 S (, 3) = = = 450 S(0, 9) = = 5000 Vi ser at vi får samme svar med innsettingsmetoden: Oppdrettsanlegget må kjøpe sekker av type A og 3 sekker av type B for å dekke det daglige behovet på billigst mulig måte a Vi tegner de tre hjørnepunktene A(, ), B(3, 5), C(8, ) i et koordinatsystem og markerer grafområdet: b Vi regner ut Sxy (, ) = 30x+ 0yfor hvert av hjørnepunktene: (, ) = = = 70 S A S B (3, 5) = = = 90 S C (8,) = = = 60 Vi ser at S(x, y) har sin største verdi i punktet S (8,) = 60. c Vi ser fra utregningen i oppgave b at S(x, y) har sin minste verdi i punktet S (, ) = 70. C A Aschehoug Side 43 av 66

44 3.36 a Vi markerer punktene i et koordinatsystem med verdier: Vi regner deretter ut Sx (, y) = 4x+ y for alle punktene: S(30, 0) = = = 60 S(70, 30) = = = 340 S(60, 60) = = = 360 S(30, 80) = = = 80 S(0, 50) = = = 40 Vi ser at S(x, y) har sin største verdi i punktet S (60, 60) = 360. b I utregningen i oppgave a ser vi at S(x, y) har sin minste verdi i punktet S (0, 50) = a Vi setter inn de tre punktene P(3, ), Q(, 6) og R(7, ) i uttrykket for Sx (, y) = x+ 4y: S(3, ) = = = 4 S(, 6) = = = 8 S(7,) = = = 8 Vi ser at punktet Q(, 6) gir størst verdi for S(x, y). S (, 6) = 8. Vi ser at punktet P(3, ) gir minst verdi for S(x, y). S (3, ) = 4. b Vi setter inn de tre punktene P(3, ), Q(, 6) og R(7, ) i uttrykket for Sx (, y) = x 4y: S(3, ) = 3 4 = 6 8 = S(, 6) = 4 6 = 4 4 = 0 S(7,) = 7 4 = 4 4 = 0 Vi ser at punktet R(7, ) gir størst verdi for S(x, y). S (7, ) = 0. Vi ser at punktet Q(, 6) gir minst verdi for S(x, y). S (, 6) = a Vi regner ut verdien for S(x, y) i de tre punktene A(5, 5), B(, 8) og C(3, ) når Sx (, y) = x+ 4y: S(5, 5) = = 5 S(, 8) = = 33 S(3, ) = = b Punktet B(, 8) gir den største verdien for S(x, y). S (, 8) = 33. Aschehoug Side 44 av 66

45 c Punktet C(3, ) gir den minste verdien for S(x, y). S (3, ) = a Vi skriver inn settet med ulikheter i inntastingsfeltet i GeoGebra: og får opp grafområdet: b Vi skriver inn de aktuelle linjene: x = 0 x = 0 y = 0 y = 0 y = x+ 0 Vi velger Skjæring mellom to objekt og får opp hjørnepunktene med navn og verdi ved å høyreklikke på dem, velge Egenskaper, Vis navn og Verdi (se figuren nedenfor). Nivålinjemetoden: Vi lager glider for nivålinja S = 3x+ 4y. Framgangsmåten for dette er f.eks. gitt i oppgave 3.3d. (Et eks. er å velge min: 0, maks: 00 og animasjonstrinn.) Vi drar i glideren og ser at S får sin minste verdi i hjørnepunktet (0, ), se figuren nedenfor. Vi ser av figuren at S = 30. S (0, 0) = = 30 Aschehoug Side 45 av 66

46 Innsettingsmetoden: Vi regner ut Sxy (, ) = 3x+ 4yi de fem hjørnepunktene (0, 0), (0, 0), (0, 0), (0, 0) og (0, 0): S(0, 0) = = 30 S(0, 0) = = 60 S(0, 0) = = 40 S(0, 0) = = 80 S(0,0) = = 40 Vi ser at vi får samme svar med innsettingsmetoden: S(x, y) er minst i punktet (0, 0). S (0, 0) = a Vi skriver inn settet med ulikheter i inntastingsfeltet i GeoGebra: og får opp grafområdet: Vi skriver inn de aktuelle linjene: x = 0 y = 0 x+ 4y = 000 x+ y = 600 x+ y = 450 Vi velger Skjæring mellom to objekt og får opp hjørnepunktene med verdi ved å høyreklikke på dem, velge Egenskaper, Vis navn og Verdi (se figuren nedenfor). Nivålinjemetoden: Vi lager glider for nivålinja S = 3x+ y. Framgangsmåten for dette er f.eks. gitt i oppgave 3.3d. (Et eks. er å velge min: 0, maks: 000 og animasjonstrinn 0.) Vi drar i glideren og ser at S får sin største verdi i hjørnepunktet (50, 50), se figuren nedenfor. Vi ser av figuren at S = 750. Vi kan også finne S ved regning: S (50, 50) = = = 750. Aschehoug Side 46 av 66

47 Innsettingsmetoden: Vi regner ut Sx (, y) = 3x+ y i de fire hjørnepunktene: (5, 0), (50, 50), (00, 00) og (0, 50): S(5, 0) = = 675 S(50, 50) = = = 750 S(00, 00) = = = 700 S(0, 50) = = 500 Vi ser at vi får samme svar med innsettingsmetoden: S(x, y) er størst i punktet (50, 50). S (50, 50) = a b På trinn bruker varetype A 0 min, og varetype B bruker 30 min. Trinn har en produksjonstid på 5 timer = 300 minutter. Når verkstedet produserer x enheter av type A og y enheter av type B, gir dette oss ulikheten på trinn : 0x+ 30y 300 x+ 3y 30 På trinn bruker varetype A 60 min og varetype B bruker 30 min. Trinn har en produksjonstid på 0 timer = 600 minutter. Dette oss ulikheten på trinn : 60x+ 30y 600 x+ y 0 I tillegg har vi ulikhetene x 0 og y 0, da det ikke er aktuelt med et negativt antall varetyper. Vi skriver inn settet med ulikheter i inntastingsfeltet i GeoGebra: og får opp grafområdet (se nedenfor). Vi skriver inn de aktuelle linjene: x+ 3y = 30 x+ y = 0 x = 0 y = 0 Vi velger Skjæring mellom to objekt og får opp hjørnepunktene med verdi ved å høyreklikke på dem, velge Egenskaper, Vis navn og Verdi (se figuren nedenfor). Fortjenesten på 79 kr per enhet for varetype A og 056 kr per enhet for varetype B gir oss uttrykket for den totale fortjenesten S(x, y): Sx (, y) = 79x+ 056y Aschehoug Side 47 av 66

48 Nivålinjemetoden: Vi lager glider for nivålinja Sxy (, ) = 79x+ 056 y. Framgangsmåten for dette er f.eks. gitt i oppgave 3.3d. (Et eks. er å velge min: 00, maks: og animasjonstrinn 00.) Vi drar i glideren og ser at S får sin største verdi i hjørnepunktet (6, 8), se figuren nedenfor. Vi ser av figuren at S = Vi kan også finne S ved regning: S (6, 8) = = = Innsettingsmetoden: Vi regner ut Sxy (, ) = 79x+ 056y i de tre hjørnepunktene: (0, 0), (6, 8), og (0, 0): S(0, 0) = = 790 S(6, 8) = = = 3 00 Vi ser at vi får samme svar med innsettingsmetoden: S(x, y) er størst i punktet (6, 8). S (6, 8) = Det daglige behovet for næringsstoff I er minst 4 enheter. I sekk A er det enheter av næringsstoff I, og i sekk B er det enhet av næringsstoff I. x er antall sekker av type A, og y er antall sekker av type B. Dette gir oss følgende ulikhet for næringsstoff I: x+ y 4 Det daglige behovet for næringsstoff II er på minst enheter. Det er enhet av næringsstoff II i både sekk A og sekk B. Dette gir oss følgende ulikhet for næringsstoff II: x+ y Det daglige behovet for næringsstoff III er på minst 8 enheter. I sekk A er det enhet av næringsstoff III, og i sekk B er det 3 enheter av næringsstoff III. Det gir oss følgende ulikhet for næringsstoff III: x+ 3y 8 Når type A koster 75 kr per sekk og type B koster 50 kr per sekk, blir uttrykket S(x, y) for kostnaden ved å kjøpe x sekker av type A og y sekker av type B: S( x, y) = 75x+ 50y Vi har også ulikhetene x 0 og y 0 fordi det ikke er aktuelt med et negativt antall sekker. Aschehoug Side 48 av 66