Formler, likninger og ulikheter

Transkript

1 58 3

2 Formler, likninger og ulikheter Mål for opplæringen er at eleven skal kunne tolke, bearbeide og vurdere det matematiske innholdet i ulike tekster bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer fra ulike fag og samfunnsområder løse likninger, ulikheter og likningssystemer av første og andre grad og enkle likninger med eksponential- og logaritme funksjoner både ved regning og med digitale hjelpemidler omforme en praktisk problemstilling til en likning, en ulikhet eller et likningssystem, løse dette og vurdere gyldigheten av løsningen

3 3.1 Likninger På ungdomsskolen lærte vi å løse likninger. Vi bruker disse reglene: Vi kan trekke fra eller legge til det samme tallet på begge sidene av likhetstegnet. Vi kan multiplisere eller dividere med det samme tallet på begge sidene av likhetstegnet dersom tallet ikke er null. Vi kan flytte et ledd over på den andre siden av likhetstegnet hvis vi samtidig skifter fortegn på leddet. Når vi har løst en likning, kan vi sette prøve på svaret. Vi setter da inn løsningen i likningen og kontrollerer at begge sidene av likhetstegnet har samme verdi. EKSEMPEL Løs likningen og sett prøve på svaret. Løsning: = = = = = 14 7 = Vi kontrollerer løsningen ved å sette prøve. Venstre side: = 5 ( ) + 3 = = 7 Høyre side: 11 = ( ) 11 = 4 11 = 7 Venstre og høyre side er like. Løsningen er derfor riktig.? Oppgave 3.10 Løs likningene og sett prøve på svaret. a) + 1 = 5 b) 3 1 = + c) + = d) + = Sinus 1T > Formler, likninger og ulikheter

4 ? Oppgave 3.11 Løs likningene. a) 1 13 = 9 7 b) = 3 c) 0,0 + 0,7 = 0,03 + 0, Når vi skal løse en noe mer sammensatt likning, kan det ofte svare seg å bruke denne framgangsmåten: 1 Løs opp parenteser. Multipliser med fellesnevneren på begge sidene av likhetstegnet hvis det fins brøker. 3 Trekk sammen leddene på begge sidene av likhetstegnet. 4 Samle alle leddene med den ukjente på venstre side og alle andre ledd på høyre side. 5 Trekk sammen leddene på begge sidene av likhetstegnet. 6 Finn løsningen ved å dividere på begge sider av likhetstegnet med det tallet som står foran den ukjente. EKSEMPEL Løs likningen ( ) = Løsning: Tallene bak likningene viser til numrene i framgangsmåten ovenfor. ( ) = = ( 1 3 ) 6 = ( ) = = = = = 7 5 = 1 6 Fellesnevneren er 6. Vi dividerer med 7. 61

5 I noen likninger finner vi den ukjente i nevneren. I slike tilfeller bruker vi regnereglene slik vi har gjort foran, men da må vi alltid kontrollere den løsningen vi kommer fram til. Noen ganger kan den gi null i en nevner. Da kan vi ikke bruke løsningen. EKSEMPEL Løs likningene. a) = b) = Løsning: a) Vi multipliserer med på begge sidene av likhetstegnet = = = = 1 5 = 4 = = gir ikke null i noen nevner og er dermed en løsning på oppgaven. b) Fellesnevneren for, 6, 3 og 3 er 6. Vi multipliserer derfor med 6 på begge sidene av likhetstegnet. 1 ( = ) 6 = ( ) = ( 1) = = 3 = 3 = + = 0 = 0 gir null i tre av nevnerne i likningen i oppgaven. Da kan vi ikke sette inn = 0. Likningen har ingen løsning. 6 6 Sinus 1T > Formler, likninger og ulikheter

6 ? Oppgave 3.1 Løs likningene og sett prøve på svaret. a) = b) ( 1) = 1 ( 3) c) 3 d) = 3 5 = Oppgave 3.13 Løs likningene. a) + 3 = 0 b) 5 c) 1 + = 1 d) 3 = = 3 Oppgave 3.14 Løs disse oppgavene ved hjelp av likninger. a) Finn tre hele tall som følger etter hverandre og er slik at summen av tallene blir 13. b) Finn fem partall som følger etter hverandre og er slik at summen av tallene blir Formler Marit arbeider i en forretning som er åpen hver dag. Hun får 10 kr timen på hverdagene og 150 kr timen på søndagene. Hvis Marit ei uke arbeider timer på hverdagene og y timer på søndagen, blir lønna L i kroner L = y Dette er en formel for lønna L. Vi kan bruke denne formelen til å regne ut lønna når vi vet hvor mye hun har arbeidet på hverdager og på søndager. Hvis hun arbeider 10 timer på hverdagene og 4 timer på søndagen, blir lønna i kroner L = = 1800 Lønna blir 1800 kr. Her har vi satt = 10 og y = 4 inn i formelen for L. Lønna L har vi funnet ved å sette inn i formelen. 63

7 EKSEMPEL Mona Mo har nettopp fylt opp tanken på mopeden sin med bensin. Når hun har kjørt mil, er antallet liter bensin på tanken gitt ved formelen b = 6 0, a) Hvor mye bensin er det på tanken når hun har kjørt 15 mil? b) Hvor langt har hun kjørt når det er liter bensin igjen på tanken? c) Hvor langt kan hun kjøre før tanken er tom? Løsning: a) Når hun har kjørt 15 mil, er = 15. Antallet liter bensin er da b = 6 0, = 6 0, 15 = 6 3 = 3 Det er 3 liter bensin igjen på tanken. b) Når det er liter bensin igjen på tanken, er b =. Det gir denne likningen: b = 6 0, = 0, = 6 0, = 4 0, 0, = 4 0, 4 = 0, = 0 Hun har kjørt 0 mil. c) Tanken er tom når det er 0 liter bensin igjen. Det gir denne likningen: b = 0 6 0, = 0 0, = 0 6 0, = 6 0, 0, = 6 0, 6 = 0, = 30 Hun kan kjøre 30 mil Sinus 1T > Formler, likninger og ulikheter

8 EKSEMPEL I skihopping er det en fordel å være lett. I 005 ble det innført regler som skulle hindre at hoppere slanket seg for mye. Reglene bygger på kroppsmasseindeksen. Dette tallet blir ofte kalt BMI etter engelsk body mass inde. BMI-verdien regner vi ut slik: vekt BMI = høyde høyde der høyden er i meter. Vekten er i kilogram, og da er hopputstyret medregnet. For å få hoppe i konkurranser må hopperne ha en BMI-verdi over 0. a) Skriv formelen med vanlige matematiske symboler. b) Sverre Sletta er 178 cm høy og veier 64 kg medregnet hopp utstyret. Finn BMI-verdien hans. Får Sverre hoppe? c) Kåre Kulen er 175 cm høy. Hvor mye må Kåre minst veie medregnet hopputstyret om han skal få lov å hoppe? Løsning: a) Vi lar h være høyden i meter, v er vekten i kilogram, og BMIverdien kaller vi b. Da er v b = h h b = v h = b) Vi setter v = 64 og h = 1,78. BMI-verdien er da b = v h = 64 1,78 = 0, Ettersom BMI-verdien er over 0, får Sverre Sletta lov til å hoppe. c) Vi snur formelen og setter inn de størrelsene vi kjenner. v h = b v 1,75 = 0 v = 0 3,065 3,065 v 3,065 = 0 3,065 3,065 v = 0 3,065 = 61 Kåre Kulen må veie minst 61 kg. 65

9 ? Oppgave 3.0 Martin brukte mobiltelefonen og ringte hjem. For en samtale som varer i minutter, er prisen i kroner gitt ved formelen p = 0,89 + 0,54 a) Hvor mye koster en samtale som varer i 5 minutter? b) Hvor lenge varte samtalen når den kostet 6,77 kr? Oppgave 3.1 Mona Mo kjøper en moped som koster kr. Hun regner med at verdien minker med 300 kr per måned. a) Finn en formel for verdien V av mopeden om t måneder. b) Bruk formelen til å finne verdien om år. c) Hvor lang tid går det før verdien av mopeden er halvert? Oppgave 3. Mona har i alt 400 kr i faste utgifter til mopeden per år. I tillegg regner hun med at det går kr per mil til bensin. a) Finn en formel for utgiftene U kroner når hun kjører mil per år. b) Finn utgiftene når hun et år kjører 000 km. c) Hvor langt har hun kjørt når utgiftene er 4700 kr? Ved hjelp av en formel kan vi lage nye formler. Vi bruker da regnereglene for likninger. La U være salgsprisen uten merverdiavgift for en vare. Hvis merverdiavgiften er 5 %, er prisen P med merverdiavgift P = 1,5 U Vi skal finne en formel for prisen U uten merverdiavgift. Først lar vi de to sidene i formelen bytte plass. Deretter deler vi med 1,5 på begge sidene av likhetstegnet: 1,5 U = P 1,5 U = 1,5 U = P 1,5 P 1,5 Nå har vi funnet formelen. Hvis prisen med merverdiavgift er 106,50 kr, er prisen uten merverdiavgift 106,50 kr U = = 850 kr 1, Sinus 1T > Formler, likninger og ulikheter

10 EKSEMPEL Vetle har mobiltelefon. Hvis han en måned ringer i minutter, er utgiftene U i kroner gitt ved formelen U = 1, a) Finn en formel for ringetida. b) Hvor mange minutter kan Vetle ringe for 1000 kr? Løsning: a) Vi lar uttrykkene skifte side. 1, = U 1,39 = U 50 1,39 1,39 = U 50 1,39 = U 50 1,39 = b) Vi setter U = 1000 inn i formelen og får = U 50 1,39 = ,39 = 950 1,39 = 683 For 1000 kr kan Vetle ringe i 683 minutter.? Oppgave 3.3 Hvis Sara kjører mil med mopeden på ett år, er utgiftene i kroner gitt ved U = a) Finn en formel for uttrykt ved utgiftene U. b) Bruk formelen til å finne hvor mange mil hun kan kjøre for 5000 kr. Hva blir utgiftene per mil da? Oppgave 3.4 Med et abonnement er prisen P i kroner for tekstmeldinger P = 0, a) Finn en formel for uttrykt ved prisen P. b) Bruk formelen til å finne hvor mange tekstmeldinger vi kan sende for 50 kr. 67

11 ? Oppgave 3.5 BMI-verdien b til en person er gitt ved formelen b = v h der v er vekten i kilogram og h høyden i meter. a) Finn en formel for vekten v uttrykt ved høyden h og BMI-verdien b. b) Bruk formelen til å finne vekten til en person som er 183 cm høy når BMI-verdien er Rette linjer Fra ungdomsskolen vet vi at y = a + b er likningen for ei rett linje. Tallet b kaller vi konstantleddet. I likningen y = + 1 er konstantleddet lik 1. Når = 0, blir y = = 1 Vi ser at når = 0, er y lik konstantleddet 1. Linja må da gå gjennom punktet 1 på y-aksen. Det ser vi tydelig når vi lager tabell og tegner linja i et koordinatsystem. y 8 F 6 4 D 1 E 0 y 1 5 C A 1 B 4 Konstantleddet forteller oss hvor linja skjærer y-aksen. Vi tar nå utgangspunkt i skjæringspunktet A mellom linja og andreaksen. Hvis øker med en enhet fra 0 til 1, øker y fra 1 til 3. Økningen for y er derfor 3 1 =. Vi har nå vist at i ABC er BC = Sinus 1T > Formler, likninger og ulikheter

12 Så tar vi utgangspunkt i et annet punkt på grafen som vi kaller D. Vi øker med én enhet og ønsker å finne ut hvor mye y øker. ABC og DEF er formlike fordi vinklene er parvis like store. I tillegg er AB = DE = 1. Dermed er trekantene også like store. Vi sier at de er kongruente. Derfor er EF = BC =. Vi har vist at y øker med enheter når øker med 1 enhet. Tallet kaller vi stigningstallet for linja. Stigningstallet finner vi igjen foran i likningen y = + 1.! I matematikk er det vanlig å skrive linja y = + 1 når vi mener linja med likningen y = + 1. Det skal vi gjøre i denne boka også. Vi lager tabell og tegner linja y = + 3. y y 3 1 Hvis vi starter i et punkt på linja og flytter oss 1 enhet parallelt med -aksen, må vi enheter ned for å møte linja. y minker med to enheter når øker med én enhet. Vi sier at y øker med enheter. Tallet er stigningstallet for linja y = + 3. Også her står stigningstallet foran i likningen. Den rette linja y = a + b skjærer y-aksen i punktet y = b. Når øker med én enhet, øker y med a enheter. Tallet a kaller vi stigningstallet, og b kaller vi konstantleddet. y b 1 a Hvis stigningstallet a er et positivt tall, stiger linja mot høyre. Hvis stigningstallet a er et negativt tall, synker linja mot høyre. Hvis stigningstallet a = 0, blir linja horisontal. Linja y = 3 er ei slik linje, for vi kan skrive likningen som y =

13 Vi har tegnet linja y = 3 til venstre nedenfor. y 4 y Likningen = kan vi oppfatte som likningen for ei linje der alle punktene har førstekoordinat lik. Det blir ei linje som er parallell med y-aksen slik som vist til høyre ovenfor. Ei horisontal linje har likningen y = k. Linja går gjennom tallet k på andreaksen. Ei vertikal linje har likningen = k. Linja går gjennom tallet k på førsteaksen.? Oppgave 3.30 Lag tabell og tegn linjene i det samme koordinatsystemet. a) y = + b) y = + c) y = + d) y = + Hvilket punkt går alle linjene gjennom? Oppgave 3.31 Lag tabell og tegn linjene i det samme koordinatsystemet. a) y = + 3 b) y = + 1 c) y = 1 d) y = 3 Hvordan går linjene i forhold til hverandre? Oppgave 3.3 Avgjør hvilke linjer som er parallelle, uten å tegne linjene. a) y = b) y = + 1 c) y = + 3 d) y = 3 3 e) y = 1 f) y = 3 Oppgave 3.33 Tegn linjene. a) y = b) y = 3 + c) y = 1 d) = Sinus 1T > Formler, likninger og ulikheter

14 EKSEMPEL Bruk stigningstallet og konstantleddet til å tegne linjene. a) y = 3 + b) y = Løsning: a) I likningen y = 3 + er konstantleddet. Linja går derfor gjennom punktet y = på y-aksen. Linja har stigningstallet 3 = 1,5. Hver gang øker med en enhet, øker y med 3 enheter. Når vi skal tegne linja, markerer vi først punktet y = på y-aksen. Vi går så ut fra dette punktet og går en enhet til høyre parallelt med -aksen. Deretter går vi 3 = 1,5 enheter oppover for å finne det neste punktet på linja. Nå har vi to punkter på linja og kan tegne linja som vist nedenfor. y y , b) Linja y = går gjennom punktet y = 4 på andreaksen. Når vi går en enhet til høyre fra dette punktet, må vi gå tre enheter nedover for å finne et nytt punkt på grafen. Når vi har to punkter, trekker vi linja som vist til høyre ovenfor.? Oppgave 3.34 Utnytt konstantleddet og stigningstallet til å tegne linjene. a) y = 1 b) y = + c) y = d) y = + 1 Vi kan finne likningen for ei linje grafisk. Vi tegner da linja i et koordinatsystem og leser av stigningstallet og skjæringspunktet med andreaksen. 71

15 EKSEMPEL Ei linje går gjennom punktene (, 7) og (3, 9). Finn likningen for denne linja grafisk. Løsning: Vi markerer de to punktene i et koordinatsystem og trekker linja gjennom punktene. Skjæringspunktet med y-aksen gir konstantleddet b = 3. For å finne stigningstallet a starter vi i et punkt på linja og øker med 1 enhet. Vi må da gå enheter opp for å komme opp til linja. Det gir stigningstallet a =. Likningen for linja blir y = y 1 (, 7) (3, 9) 4? Oppgave 3.35 I dette koordinatsystemet har vi tegnet fire rette linjer. Finn likningene for linjene ved grafisk avlesing y Oppgave 3.36 Ei linje går gjennom punktene (1, 1) og (3, 3). Finn likningen for linja grafisk. 7 7 Sinus 1T > Formler, likninger og ulikheter

16 3.4 Rette linjer med digitale verktøy Vi kan bruke datamaskin eller grafisk lommeregner når vi skal tegne rette linjer. Hvis du bruker datamaskin, finner du framgangsmåten for mange verktøy på Sinus-sidene på Internett. Hvis du bruker grafisk lommeregner, finner du framgangsmåten bak i boka.? Oppgave 3.40 Tegn linjene digitalt når er et tall mellom 5 og 5. a) y = 3 b) y = c) y = 7, 8,4 d) y = 1,5 + 5 Oppgave 3.41 Kristian har mobiltelefon. Han betaler 50 kr per måned for abonnementet og 1,39 kr per minutt. Når han ringer i minutter per måned, betaler han y kroner, der y = 1, Tegn digitalt den linja som viser sammenhengen mellom ringetida og kostnaden når Kristian ringer i inntil 500 minutter per måned. Oppgave 3.4 For en familie er strømutgiftene i kroner per år gitt ved y = 0, der er tallet på kilowattimer. Tegn linja digitalt når er mellom 0 og Oppgave 3.43 Vi fyller varmt drikke med temperaturen 90 C på ei termosflaske. Temperaturen i flaska synker med 3 grader per time. a) Finn en formel for temperaturen y etter t timer. b) Tegn digitalt ei linje som viser sammenhengen mellom y og t når t er mellom 0 og

17 3.5 Grafisk avlesing Mari har et mobiltelefonabonnement der hun betaler 150 kr i fast avgift per måned og 0,89 kr per minutt når hun ringer. Hvis hun en måned ringer i minutter, blir utgiftene y kroner, der y = 0, Dette er likningen for ei rett linje med stigningstallet 0,89 og konstantleddet 150. Vi ser at stigningstallet er det samme som prisen per minutt. Konstantleddet er det samme som abonnementsprisen.! Slik vil det alltid være for denne typen kostnadsfunksjoner. Stigningstallet er prisen per enhet, og konstantleddet er den faste kostnaden. Vi tegner linja: kr 600 y minutter Mari vil bruke linja til å finne ut hvor mye hun må betale hvis hun ringer i 350 minutter. Hun tar da utgangspunkt i tallet 350 på -aksen, går opp til linja og leser av på y-aksen som vist ovenfor. Da kommer hun til tallet 460 på y-aksen. Hun må altså betale 460 kr hvis hun ringer i 350 minutter. Hvor lenge kan Mari ringe for 400 kr? Vi tar utgangspunkt i tallet 400 på y-aksen, går bort til linja og leser av på -aksen som vist på figuren ovenfor. Vi kommer fram til tallet 80 på -aksen. Hun kan ringe i 80 minutter for 400 kr Sinus 1T > Formler, likninger og ulikheter

18 Vi har nå løst oppgavene grafi sk. Slike grafiske løsninger gir vanligvis ikke eksakt riktige svar, men ofte kan en tilnærmet løsning være god nok. Noen ganger trenger vi ikke eksakt riktige løsninger. Andre ganger arbeider vi med matematiske modeller som bare gir en omtrent riktig beskrivelse av virkeligheten. Når vi arbeider med unøyaktige modeller, trenger vi ikke eksakte svar. EKSEMPEL Løs likningen grafisk og ved regning = 5 Løsning: Grafisk løsning: Vi tegner først linja y = y Deretter tar vi utgangspunkt i tallet 5 på y-aksen og leser av på -aksen som vist ovenfor. Vi ser at når y = 5, er = 3. Løsningen er = 3 Nå løser vi likningen ved regning = = = 10 3 = 9 = 3 75

19 ? Oppgave 3.50 Utklippet nedenfor er hentet fra Dagbladet 10. desember 005 og viser utviklingen av fedme blant norske kvinner og menn i perioden fra 1965 til 00. Grafen viser hvor mange prosent av befolkningen som har en BMI-verdi over 30. Beskriv utviklingen for kvinner og for menn med ord. Utvikling av fedme målt i BMI Kvinner Menn GRAFIKK h Kilde: Folkeinstituttet h h Oppgave 3.51 Løs likningene grafisk og ved regning. a) + 1 = 5 b) + 3 = 1 c) 1 1 = d) = 3 Oppgave 3.5 Når vi bruker drosje, begynner taksameteret på et fast beløp idet turen starter. Dette faste beløpet kaller vi påslaget. Vi setter det her til 40 kr. Under turen blir det med jevne mellomrom automatisk lagt til et beløp på taksameteret. Dette tillegget regner vi om til en kilometerpris. I denne oppgaven setter vi den til 15 kr. a) Hva må vi betale for en drosjetur på 1 km? b) Forklar at drosjeutgiftene U etter km kan skrives U = c) Tegn linja i oppgave b når er mellom 0 og 30. d) Finn av denne linja hva en drosjetur på 0 km koster. e) Hvor langt kan du kjøre drosje for 300 kr? Sinus 1T > Formler, likninger og ulikheter

20 ? Oppgave 3.53 Vi fyller varmt drikke med temperaturen 86 C på ei termosflaske. Termosflaska holder godt på varmen, og temperaturen synker bare,5 grader per time. a) Hva er temperaturen T etter t timer? b) Tegn ei linje som viser temperaturen når t er mellom 0 og 10. c) Finn av linja hvor mange timer det går før temperaturen er 71 C. Vi kan også løse likninger ved hjelp av grafer som vi har tegnet digitalt. Bak i boka finner du framgangsmåten for de grafiske lommeregnerne. Framgangsmåten når du bruker datamaskin, finner du på nettsidene.? Oppgave 3.54 Løs likningene digitalt. a) = 10 b) + 3 = 9 c) = 3 d) = 7 Oppgave 3.55 Mona har moped. Hun betaler 3500 kr i året i forsikring. Utgiftene til bensin, olje og vedlikehold setter hun til 0,50 kr per kilometer. a) Forklar at utgiftene i kroner per år er gitt ved U = 0, når hun kjører kilometer per år. b) Tegn linja i oppgave a digitalt når er mellom 0 og c) Bruk grafen til å finne ut hvor langt hun kan kjøre for 5000 kr. 3.6 Grafisk løsning av lineære likningssett Mari bruker mobiltelefonen mye. Hun betaler 150 kr i fast avgift per måned og 0,89 kr per minutt når hun ringer. Hvis hun en måned ringer i minutter, blir utgiftene y kroner, der y = 0, Mari syns at telefonregningen blir stor. Hun vurderer derfor et annet abonnement der hun betaler 50 kr per måned i fast avgift og 1,39 kr per minutt når hun ringer. Hvis hun en måned ringer i minutter, blir utgiftene y i kroner y = 1,

21 Hvor mye må hun ringe per måned for at det skal lønne seg å ha det første abonnementet? Vi tegner begge linjene i ett koordinatsystem. kr 600 y y = 1, y = 0, minutter Avlesingen viser at begge abonnementene koster like mye hvis Mari ringer i 00 minutter per måned. Hvis hun ringer mer enn 00 minutter, lønner det seg å ha abonnementet med høyest fast avgift. Dette kan vi også finne ut ved hjelp av digitale grafer. Bak i boka finner du framgangsmåten for grafiske lommeregnere. Datamaskinbrukere finner hjelp på nettsidene. Vi kan også finne ut ved regning hvor mye hun må ringe for at de to abonnementene skal koste like mye. Utgiftene y er like for de to abonnementene hvis 1, = 0, ,39 0,89 = ,50 = 100 = 100 0,50 = 00 De to abonnementene koster like mye hvis Mari ringer i 00 minutter per måned. Når vi skal finne utgiftene, setter vi inn i en av likningene. y = 1, = 38 Begge abonnementene koster da 38 kr Sinus 1T > Formler, likninger og ulikheter

22 ? Oppgave 3.60 Løs likningssettene grafisk og digitalt. a) y = + 1 b) y = + 4 y = + 4 y = c) y = 1 4 y = 3 Oppgave 3.61 Ved lønnsforhandlingene i et datafirma får en selger velge mellom to lønnstilbud: 1) En fast månedslønn på kr pluss 500 kr for hver datamaskin han selger. ) En fast månedslønn på kr pluss 50 kr for hver datamaskin han selger. a) Sett opp to formler for lønna når han selger datamaskiner per måned. b) Finn grafisk hvor mange maskiner han må selge for at de to tilbudene skal være like gode. Hva er månedslønna i dette tilfellet? Oppgave 3.6 Et firma skal produsere en bestemt vare. Kostnaden ved å produsere varen kan deles i to deler. Den faste kostnaden er på kr og er uavhengig av hvor mange enheter som blir produsert. Denne kostnaden dekker blant annet utgifter til produksjonsutstyr. Den variable kostnaden er knyttet direkte til produksjonen av en enhet. Utgiftene ved å produsere en enhet er her 50 kr. a) Hvor mye koster det i alt å produsere 150 enheter? b) Finn et uttrykk for totalkostnaden K i kroner når det blir produsert enheter. c) Framstill kostnaden K grafisk. Velg mellom 0 og 00. d) Firmaet selger denne varen for 400 kr per stk. Forklar at inntekten I er gitt ved I = 400 når det blir solgt enheter. Framstill I grafisk i det samme koordinatsystemet som K. e) Finn av kurvene hvor mange enheter firmaet må selge for at inntekten av salget skal dekke utgiftene. f) Bruk kurvene til å finne ut hvor stort overskudd firmaet hadde da det solgte 150 enheter. 79

23 Da vi på side 78 løste to likninger med to ukjente grafisk, var begge likningene ordnet slik at vi hadde y alene på venstre side av likhetstegnet. Noen ganger må vi sørge for å få y alene på venstre side før vi kan løse liknings settet grafisk. Vi skal løse likningssettet 5 y = 4 + y = 5! Å løse et likningssett med to ukjente er det samme som å finne verdier for og y som passer i begge likningene samtidig. Vi begynner med å finne et uttrykk for y fra den første likningen: 5 y = 4 y = y = y = 5 Den andre likningen gir + y = 5 y = + 5 Vi har nå omformet hver av de to likningene til en likning av typen y = a + b, som gir ei rett linje. Vi tegner de to linjene i ett koordinatsystem. 6 y y = 5 4 y = Vi skal finne det punktet som ligger på begge linjene. Skjæringspunktet gir løsningen. Løsningen er = og y = 3. Vi kan også løse likningssettet ved å tegne de to linjene digitalt og finne skjæringspunktet. Framgangsmåten finner du på nettsidene eller bak i boka Sinus 1T > Formler, likninger og ulikheter

24 ? Oppgave 3.63 Løs likningssettet grafisk. + y = 4 + y = 3 Oppgave 3.64 Løs likningssettene grafisk. a) + y = 5 b) 3 + 4y = 1 + y = 6 + y = 7 c) y = 4 d) + y = 3 y = y = Innsettingsmetoden I kapittel 3.6 løste vi likningssettet 5 y = 4 + y = 5 grafisk. Nå skal vi løse likningssettet ved regning. Da bruker vi en metode som vi kaller innsettingsmetoden. Først finner vi et uttrykk for enten eller y i en av likningene og setter dette uttrykket inn i den andre likningen. Her velger vi å finne et uttrykk for fra den andre likningen. + y = 5 = 5 y Deretter setter vi inn dette uttrykket for i den første likningen: 5 y = 4 5 (5 y) y = 4 5 5y y = 4 7y = 4 5 7y = 1 Vi dividerer med 7. y = 3 Til slutt finner vi ved å sette inn i uttrykket = 5 y. = 5 y = 5 3 = Løsningen blir = og y = 3. 81

25 EKSEMPEL Løs likningssettet y = y = 1 Løsning: Vi velger å finne et uttrykk for y fra den første likningen. y = 8 y = + 8 Multipliser alle leddene med 1. y = 8 Dette uttrykket for y setter vi inn i den andre likningen y = ( 8) = = 1 11 = 33 = 3 Vi finner y ved å sette = 3 inn i uttrykket for y. Løsningen er y = 8 = 3 8 = 6 8 = = 3 og y =? Oppgave 3.70 Løs likningssettet ved regning. + y = 4 + y = 3 Oppgave 3.71 Løs likningssettene ved regning. a) + y = 5 b) 3 + 4y = 1 + y = 6 + y = 7 c) y = 4 d) + y = 3 y = y = Sinus 1T > Formler, likninger og ulikheter

26 Vi kan også løse likningssett digitalt uten å tegne grafer. Framgangsmåten finner du bak i boka eller på nettsidene.? Oppgave 3.7 Løs likningssettene digitalt. a) + y = 1 b) + y = 1 y = 3 + y = c) + y = 7 d) 0,1 + y =,4 y = 5 0,4 + y = 3,4 3.8 Ulikheter I mange praktiske sammenhenger har vi bruk for å vite om en størrelse er større enn eller mindre enn en annen størrelse. I matematikken kaller vi slike problemer ulikheter. Vi har fire forskjellige ulikhetssymboler. Det er < (mindre enn), (mindre enn eller lik), > (større enn) og (større enn eller lik). Når vi skriver < 3, betyr det at er et tall som er mindre enn 3. Uttrykket 5 forteller at er et tall som er større enn eller lik 5. Vi legger merke til at åpningen i ulikhetstegnet alltid peker mot det største tallet. Ulikheter løser vi omtrent på samme måten som likninger. Vi har disse regnereglene: Vi kan legge til eller trekke fra det samme tallet på hver side av ulikhetstegnet. Vi kan flytte et ledd over på den andre siden av ulikhetstegnet hvis vi skifter fortegn på leddet. Vi kan multiplisere eller dividere med et tall som ikke er null, på begge sidene av ulikhetstegnet. Hvis tallet er negativt, må vi snu ulikhetstegnet. På slutten av kapittelet forklarer vi hvorfor vi må snu ulikhetstegnet når vi ganger med negative tall på begge sidene av ulikhetstegnet. 83

27 EKSEMPEL Løs ulikhetene. a) < + 8 b) (4 ) 5 + Løsning: a) Vi bruker reglene på forrige side < < 8 4 < 4 < 4 < b) (4 ) Nå dividerer vi med på begge sidene av ulikhetstegnet. Da må vi snu tegnet. 10 5? Oppgave 3.80 Løs ulikhetene. a) 3 + > 8 b) + 5 > 1 c) 3 < 3 1 d) ( 1) 3( 6) Oppgave 3.81 Løs ulikhetene. a) 5 > b) (3 ) < + 3( 1) c) + 3 6(1 ) > 0 d) 5 3 < e) 1 6 > Vi har til nå arbeidet med ferdig oppsatte ulikheter. I praktiske oppgaver må vi stille opp ulikhetene selv Sinus 1T > Formler, likninger og ulikheter

28 EKSEMPEL I Øverbygda er det 10 cm snø i påska. Etter påske minker snømengden med 4 cm per dag. Når er det mindre enn 40 cm snø i Øverbygda? Løsning: Etter dager er snømengden s målt i centimeter gitt ved formelen s = 10 4 Vi skal finne ut når snømengden er mindre enn 40 cm. Det er det samme som at s < 40. Ettersom s = 10 4, gir det ulikheten 10 4 < 40 4 < < > 80 4 > 0 Vi dividerer med 4. Da må vi snu ulikhetstegnet. Når det har gått mer enn 0 dager, er snømengden mindre enn 40 cm.? Oppgave 3.8 La være lengden av en drosjetur målt i kilometer. Prisen U i kroner er gitt ved U = 9, a) Hvor langt kan vi kjøre hvis prisen skal være mindre enn 55 kr? b) Hvor langt kan vi kjøre hvis prisen skal være større enn 30 kr? Oppgave 3.83 Temperaturen i ei bestemt termosflaske er 86 C og synker med,5 grader per time. a) Når er temperaturen over 61 C? b) Når er temperaturen under 71 C? 85

29 ? Oppgave 3.84 Anne og Einar er på tur. Anne har med seg 100 kr og bruker 60 kr per dag. Einar har med seg 1000 kr og bruker 40 kr per dag. Når har Einar mer penger enn Anne? Oppgave 3.85 Løs ulikhetene. a) 8 ( a 1 ) < 3 a 3 ( a 3 ) b) 6 4(t 8) + t > 34 6t s + 1 c) 4(s 1) < 1 Bevis for en regneregel for ulikheter Nå skal vi vise at vi kan multiplisere med et tall a på begge sidene av ulikheten > y. At > y, er det samme som at y > 0. Tallet y er dermed positivt. La nå a være et positivt tall. Hvis også ( y) er et positivt tall, får vi et positivt tall når vi ganger sammen tallene a og ( y). Det bruker vi i denne utledningen: > y y > 0 a ( y) > 0 a a y > 0 a > a y Vi ser at i ulikheten > y kan vi multiplisere med et positivt tall a på begge sidene av ulikhetstegnet. La nå a være et negativt tall. Hvis ( y) da er et positivt tall, er produktet av a og ( y) et negativt tall. Det gir > y y > 0 a ( y) < 0 a a y < 0 a < a y I ulikheten > y må vi snu ulikhetstegnet når vi multipliserer med et negativt tall på begge sidene av ulikhetstegnet. Det gjelder i alle ulikheter og for alle de fire ulikhetstegnene <,, > og Sinus 1T > Formler, likninger og ulikheter

30 SAMMENDRAG Regneregler for likninger Vi kan trekke fra eller legge til det samme tallet på begge sidene av likhetstegnet. Vi kan multiplisere eller dividere med det samme tallet på begge sidene av likhetstegnet dersom tallet ikke er null. Vi kan flytte et ledd over på den andre siden av likhetstegnet hvis vi samtidig skifter fortegn på leddet. Likningen for ei rett linje Den rette linja y = a + b skjærer y-aksen i punktet y = b. Når øker med én enhet, øker y med a enheter. Tallet a kaller vi stigningstallet, og b kaller vi konstant leddet. y b 1 a Grafisk løsning av likningssett Når vi skal løse et likningssett grafisk, finner vi y uttrykt ved i begge likningene. Dette gir likningene for to rette linjer. Vi tegner linjene i ett koordinatsystem. Løsningen finner vi ved å lese av koordinatene til skjæringspunktet. Innsettingsmetoden Når vi skal løse et likningssett ved regning, finner vi et uttrykk for eller y i en av likningene. Dette uttrykket setter vi inn i den andre likningen. Det gir oss en likning med én ukjent som vi løser. Regneregler for ulikheter Vi kan legge til og trekke fra det samme tallet på begge sidene av ulikhetstegnet. Vi kan flytte et ledd over på den andre siden av ulikhetstegnet hvis vi skifter fortegn på leddet. Vi kan multiplisere eller dividere med et tall som ikke er null, på begge sidene av ulikhetstegnet. Hvis tallet er negativt, må vi snu ulikhetstegnet. 87