Odd Heir John Engeseth Håvard Moe Ørnulf Borgan BOKMÅL. Matematikk 1P. forenklet

Transkript

1 Odd Heir John Engeseth Håvard Moe Ørnulf Borgan BOKMÅL Matematikk P forenklet

2 0 Funksjoner Funksjoner Koordinatsstemet Andreaksen (-aksen) På figuren til venstre ser du et vanlig koordinatsstem. Den vannrette aksen kaller vi førsteaksen. Førsteaksen blir ofte kalt -aksen. Origo Førsteaksen (-aksen) Den loddrette aksen kaller vi andreaksen. Andreaksen blir ofte kalt -aksen. Skjæringspunktet mellom aksene kaller vi origo. EKSEMPEL Gjør slik: 6 6 P P Hva er koordinatene til punktet P? Vi finner førstekoordinaten til P ved å gå fra punktet og rett ned på -aksen. Førstekoordinaten er. Vi finner andrekoordinaten ved å gå fra punktet og rett inn på -aksen. Andrekoordinaten er. Punktet P har koordinatene (, ). Vi sier ofte at P er punktet (, ).

3 Funksjoner 0 A B C Se på figuren til venstre og fll ut. a Førstekoordinaten til A er. b Andrekoordinaten til A er. c A har koordinatene. d A er punktet. e Førstekoordinaten til B er. f Andrekoordinaten til B er. g B har koordinatene. h B er punktet. i C er punktet. 0 D A Se på figuren til venstre og fll ut. a B er punktet. b C er punktet. B c Hvilke av punktene har samme andrekoordinat? C d Hvilke av punktene har negativ førstekoordinat? EKSEMPEL Gjør slik: A A er punktet (, ). Merk av punktet A i koordinatsstemet. Vi skal merke av punktet (, ). Førstekoordinaten er og andrekoordinaten er. Da starter vi på på førsteaksen og går enheter oppover.

4 Funksjoner 0 6 Merk av punktene i koordinatsstemet til venstre. a (, ) b (, 0) c (, ) d (, ) a Merk av disse punktene i koordinatsstemet til venstre: (0, ), (0, ), (0, ) b Hvor ligger alle punktene som har null som førstekoordinat? Svar: c Merk av disse punktene i koordinatsstemet: (, 0), (0, 0), (, 0), (, 0) 6 d Hvor ligger alle punktene som har null som andrekoordinat? Svar:

5 Funksjoner Funksjonsbegrepet Vi har en tank med vann. Vi åpner en kran slik at det hvert minutt renner 0 liter vann inn i tanken. På figuren nedenfor står for antall minutter det har rent vann inn i tanken, og står for antall liter vann i tanken. 80 i liter grafen til 0 0 i minutter Av figuren ser vi at det etter fire minutter er 0 liter vann i tanken. 0 Bruk figuren ovenfor når du svarer på spørsmålene. a Hvor me vann er det i tanken etter 8 minutter? b Hvor lang tid tar det før det er 80 liter vann i tanken? c Hvor me vann var det i tanken da krana ble åpnet? Svar: Svar: Svar: Hvor me vann det er i tanken, er altså avhengig av hvor lenge det har rent vann inn i tanken. Vi sier at (hvor me vann det er i tanken) er en funksjon av (hvor lenge det har rent vann inn i tanken). NB! Når hver verdi av gir én bestemt verdi for, sier vi at er en funksjon av. Den rette linja på figuren viser sammenhengen mellom antall minutter det har rent vann inn i tanken, og vannmengden i tanken. Vi sier at den rette linja er grafen til funksjonen.

6 Funksjoner 06 I en vanntank er det 00 liter vann. Det begnner å renne vann ut av tanken. På figuren står for antall minutter det har rent vann ut av tanken, og V() for antall liter vann det er igjen i tanken etter minutter V() i liter i minutter Av figuren ser vi at det etter seks minutter er igjen 0 liter vann. Det kan vi skrive slik: V(6) = 0 Fll ut. a Etter åtte minutter er det igjen liter vann. Det kan vi skrive slik: b V(0) = c V(6) = d V(0) = EKSEMPEL C C 8 A D Figuren viser hvordan temperaturen varierte et vårdøgn. a Hva er toppunktet på grafen? b Hva er bunnpunktet på grafen? c Hva er nullpunktene? 6 B 0 Klokkeslett Gjør slik: a Toppunktet er det høeste punktet på grafen. Toppunktet er B. Koordinatene til toppunktet er (6, ). Temperaturen var høest kl. 6. Da var temperaturen C. b Bunnpunktet er det laveste punktet på grafen. Bunnpunktet er A. Koordinatene til bunnpunktet er (,,). Temperaturen var lavest kl.. Da var temperaturen, C. c Grafen skjærer førsteaksen to steder, i punktene C og D. Nullpunktene er og 0. Et nullpunkt er førstekoordinaten til skjæringspunktet mellom grafen og førsteaksen.

7 Funksjoner 07 C 6 Klokkeslett Figuren viser hvordan temperaturen varierte fra midnatt til klokka 9 en dag i mars. a Hva var temperaturen klokka? b Når var temperaturen høest? c Hva var den høeste temperaturen i dette tidsrommet? d Hva var den laveste temperaturen i dette tidsrommet? e Når var temperaturen høere enn C? Svar: Svar: Svar: Svar: Svar: f Sett en ring rundt nullpunktene til funksjonen.

8 6 Funksjoner Lineære funksjoner Grafen til en lineær funksjon er en rett linje. = + og = er to eksempler på lineære funksjoner. Grafene er rette linjer. EKSEMPEL Tegn grafen til = +. Gjør slik: Vi velger noen verdier for og regner ut -verdiene. Det er nok å velge to verdier for, men vi velger tre. Da vil det tredje punktet fungere som en «kontroll». Vi velger -verdiene, 0 og. = + = gir = ( ) + = + = = 0 gir = 0 + = 0 + = = gir = + = + = Dette gir verditabellen: 0 Verditabellen gir oss punktene (, ), (0, ) og (, ). Vi merker av punktene i et koordinatsstem, og trekker linja. (, ) (0, ) (, ) På figuren ovenfor har vi skrevet koordinatene ved siden av punktene. Du trenger ikke gjøre det når du tegner. 08 Tegn linja = +. 6 Velg -verdiene, 0 og. = + = gir: = + = + = = 0 gir: = gir: = + = + = = + = + = Fll ut de tomme rutene i verditabellen. 6 Verditabellen gir punktene:, og Merk av punktene i koordinatsstemet til høre, og tegn linja.

9 Funksjoner 7 09 Vi har gitt linja =. a Fll ut verditabellen. 0 Regn her: = gir = = = = 0 gir = = = = gir: b Verditabellen gir oss tre punkter:, og c Tegn linja. 6 6 Stigningstall og konstantledd NB! Alle lineære funksjoner kan skrives på formen = a + b der a er stigningstallet og b er konstantleddet. Grafen blir alltid en rett linje. Stigningstallet a viser hvor me øker når øker med. Konstantleddet b viser hvor linja skjærer andreaksen. b = a + b a

10 8 Funksjoner EKSEMPEL Gjør slik: a Finn stigningstallet og konstantleddet til den rette linja. a Stigningstallet viser hvor me øker når øker med. Velg et punkt på linja. Du kan for eksempel velge punktet (, ). Gå én mot høre. Da må du gå to oppover (i positiv retning) for å komme til linja igjen. Stigningstallet er. Du kan altså velge hvilket punkt du vil på linja. Stigningstallet er alltid det samme. Velger du punktet (, ), og går én mot høre må du gå to oppover for å komme til linja igjen. Stigningstallet er. Konstantleddet viser hvor linja skjærer andreaksen. Konstantleddet er. b Finn likningen for linja b Alle rette linjer kan skrives på formen = a + b a er stigningstallet, a =. b er konstantleddet, b =. =

11 Funksjoner 0 a Se på figuren til venstre og fll ut. Stigningstallet er. a = Konstantleddet er. = a + b = + b = Likningen for linja er. b Se på figuren til venstre og fll ut. Stigningstallet er. Konstantleddet er. Likningen for linja er. 9

12 60 Funksjoner a Tegn linja som har konstantledd og nullpunkt. b Tegn linja som har konstantledd og nullpunkt. 6 6 Stigningstallet kan være positivt, negativt eller null. Legg merke til at vi kaller det stigningstall selv om det er negativt. NB! a > 0 a = 0 a < 0 Når stigningstallet er positivt, stiger linja mot høre. Når stigningstallet er negativt, snker linja mot høre. Når stigningstallet er null, går linja parallelt med -aksen. Tegn disse linjene i koordinatsstemet til høre. a En linje med konstantledd og stigningstall 0. Kall linja for l. b En linje med konstantledd og negativt stigningstall. Kall linja for m. 6 6

13 Funksjoner 6 Du skal finne stigningstallet, konstantleddet, nullpunktet og likningen for hver av linjene nedenfor. Husk at nullpunktet er førstekoordinaten til skjæringspunktet mellom linja og førsteaksen (-aksen). a Stigningstallet er: a = Konstantleddet er: b = Nullpunktet er: = a + b Likningen for linja er: b Stigningstallet er: Konstantleddet er: Nullpunktet er: Likningen for linja er: f(), g(), V(t) hva betr disse skrivemåtene? Vi har til nå skrevet rette linjer på formen = a + b. = + kjenner du nå igjen som en rett linje. Vi kunne også ha skrevet den samme linja slik: f() = +. f() leser vi som: f av. f er navnet på funksjonen (navnet på linja). f() betr at f er en funksjon av, er den variable. f() = + Navnet på den variable Navnet på funksjonen f() = + = + = g() betr at funksjonen heter g og at den variable heter. V(t) betr at funksjonen heter V og at den variable heter t. Vi kan altså bruke forskjellige bokstaver (forskjellige navn) på funksjonen, og vi kan bruke forskjellige bokstaver for den variable ikke bare.

14 6 Funksjoner Rette linjer med digitalt verktø I denne boka bruker vi GeoGebra som digitalt verktø. I tabellen nedenfor finner du viktige kommandoer i GeoGebra. Kommando (verktøknapp) Innstillinger og Avrunding Vis og Utforming Her kan du velge hvor mange desimaler du vil ha. Her finner du blant annet muligheten til å endre navn på aksene. Bak denne knappen finner du verktø til blant annet å fltte, forstørre og forminske grafikkfeltet. Et nttig knep: Klikk på knappen, nå får du en hånd i grafikkfeltet. Fltt hånda bort til en av aksene. Når hånda blir til en dobbeltpil, holder du venstre mustast nede. Du kan nå dra i aksene. Prøv dette! Denne finner du bak knapp nummer to fra venstre. Finner skjæringspunktet mellom to linjer. Klikk én gang på hver linje, eller i nærheten av skjæringspunktet. Med denne kan du legge inn tekst i grafikkbildet. Klikk på knappen og deretter i grafikkbildet. Skriv inn teksten du vil ha. Avslutt med OK. Du kan nå dra teksten dit du vil. I eksemplene nedenfor viser vi hvordan du bruker noen kommandoer i GeoGebra. Øv deg på å bruke GeoGebra, det vil du ha stor ntte av! Husk at du må bruke desimalpunktum, ikke desimalkomma. EKSEMPEL 6 Tegn linja f() =, med GeoGebra. Gjør slik: Vi skriver: og trkker Enter. Husk desimalpunktum.

15 Funksjoner 6 Gjør det samme som i eksempel 6. Du gir andreaksen navnet f() slik: Klikk på Vis og velg Utforming. Klikk på knapp nummer to fra venstre. Klikk på Akse, da får du disse mulighetene: Her kan du skrive inn navn på -aksen, og eventuell enhet. Klikker du på Akse, får du de samme mulighetene for -aksen. Du kan også høre klikke i grafikkfeltet for å få fram hurtigmenen. Da må du først passe på at ikke noe er merket i algebrafeltet. Bruk digitalt verktø til å tegne grafene til disse funksjonene. Pass på at du gir aksene riktig navn. a f() =, + b g() = +, c K() =, + 7,8

16 6 Funksjoner EKSEMPEL 7 a Tegn linja f() = + for. Gjør slik: a betr at linja f skal tegnes for -verdier fra og med til og med. Det gjør vi ved å bruke kommandoen Funksjon [<Funksjon>,<Start>,<Slutt>] Vi skriver: Enter. og trkker b Finn f(,) b f(,) betr at vi skal finne f() når =,. Vi skriver:, og trkker Enter. Svaret står i algebrafeltet: f(,) = 6,6 6 a Tegn linja f() = + for. b Bruk knappen til å fltte grafikkfeltet opp i øverste høre hjørne, og juster aksene slik at figuren din blir lik figuren i eksemplet. c Klikk på, klikk i grafikkfeltet og skriv inn: f() = +. Huk av for LaTeX-formel, og trkk OK. Dra teksten bort til linja. Du kan også dra teksten direkte fra algebrafeltet, og dit du ønsker. Prøv begge metodene! 7 a Tegn grafen til f() = +, 6. Finn f(,). b Tegn grafen til g() = + 0, 0 0. Finn g(,7). c Tegn grafen til h() =, + 6,, 0. Finn h(8,7).

17 Funksjoner 6 EKSEMPEL 8 Finn skjæringspunktet mellom linjene f() = og g() = + med digitalt verktø. Gjør slik: Vi tegner begge linjene i samme koordinatsstem. Vi finner skjæringspunktet mellom linjene ved å bruke verktøknappen «Skjæring mellom to objekt»: Klikk en gang på hver linje (eller i nærheten av skjæringspunktet). I algebrafeltet ser vi koordinatene til skjæringspunktet. Høreklikk på punktet, og velg Egenskaper. Til høre for Vis navn klikker vi på den lille pila nedover, og velger Verdi. Da ser det slik ut: Skjæringspunktet er (, ). 8 a Tegn grafene til f() = 0, + og g() = 8, i samme koordinatsstem. b Finn skjæringspunktet mellom linjene. c Høreklikk på skjæringspunktet, og velg Egenskaper. Så forandrer du navnet på punktet til Skjæringspunkt. I menen til høre for Vis navn velger du: Navn og verdi. d Finn f( 7,). 9 a Tegn grafene til f() = + 8, og g() = 8, + 0 i samme koordinatsstem. Linja g skal tegnes for, og den skal være rød. (Tips: Høreklikk på g og velg Egenskaper.) b Finn skjæringspunktet mellom linjene. Skjæringspunktet skal være blått, og vi skal se koordinatene til skjæringspunktet. c Finn g(,).

18 66 Funksjoner Lineær vekst NB! Når noe vokser (eller minker) like me per km, per time, per år eller liknende, er det en lineær vekst. En lineær vekst kan alltid beskrives med en lineær funksjon, det vil si en funksjon på formen f() = a + b. EKSEMPEL 9 Hos et drosjeselskap er startprisen 0 kr. Deretter koster det kr per kilometer. a Hvor me koster en drosjetur på 8 kilometer? b La P() være prisen i kroner for en drosjetur på kilometer. Finn en formel for P(). c Tegn grafen til P for 0 0. Gjør slik: a Pris for 8 km: 0 kr + kr 8 = 0 kr + 00 kr = 0 kr b P() = startprisen + antall kjørte kilometer P() = 0 + c I GeoGebra skriver vi:. d Hvor langt kan vi kjøre for 0 kr? d Vi legger inn linja = 0 og bruker verktøet «Skjæring mellom to objekt»: til å finne skjæringspunktet mellom linja og linja P. Skjæringspunktet er (7,, 0). Det betr at vi kan kjøre 7, km for 0 kr.

19 Funksjoner 67 0 Når Kjell har flt «full tank», har han 60 liter bensin på tanken. Bilen til Kjell bruker 0,8 liter bensin per mil. Kjell starter med full tank. a Hvor mange liter bensin har han igjen på tanken etter 0 mil? b Etter at Kjell har kjørt mil, har han igjen V() liter bensin, V() er gitt ved V() = 60 0,8. Forklar hvordan vi kommer fram til denne formelen. c Tegn grafen til V. d Hvor langt har Kjell kjørt når han har igjen 0 liter bensin? e Bruk grafen til å finne hvor langt Kjell kan kjøre før tanken er tom. a Har igjen: 60 = 60 = Han har igjen liter bensin. Skriv her: Trude jobber som selger. Hun får en fast lønn på 00 kr per dag pluss kr for hvert salg hun har. a En dag har hun hatt 0 salg. Hvor me har hun tjent denne dagen? b La I() kr stå for inntekten en dag hun har hatt salg. Finn et uttrkk for I(). c Tegn grafen til I. d Hvor mange salg må Trude ha for å tjene mer enn 000 kr? a Hun har tjent: kr b d Hun må ha hatt minst salg.

20 68 Funksjoner Proporsjonalitet NB! Når to størrelser og øker i samme i takt, kan vi skrive = k, der k er et fast tall. Tallet k kaller vi proporsjonalitetskonstanten. EKSEMPEL 0 Elin tjener 0 kr per time. Vi lar kr være lønna når hun jobber timer. Er og proporsjonale størrelser? Gjør slik: Sammenhengen mellom og kan vi skrive slik: = 0 og er derfor proporsjonale størrelser. Proporsjonalitetskonstanten er 0. Parth tjener 0 kr per time. a Skriv sammenhengen mellom lønna kr og antall timer han jobber. b Er lønna kr og antall timer han jobber, proporsjonale størrelser? c Hva er proporsjonalitetskonstanten? Svar: Svar: Svar: I en butikk koster laksekaker 0 kr per kg. a Er prisen kr proporsjonal med vekten kg vi kjøper? b Hva er proporsjonalitetskonstanten? Svar: Svar: Vi setter kursen for euro lik 7,0. Sammenhengen mellom euro og norske kroner er da = 7,0. a Hva koster 0 euro? Regn her: b Er norske kroner og euro proporsjonale størrelser? c Hva er proporsjonalitetskonstanten? Svar: Svar:

21 ig _ Maria tjener 0 kr per time. Formelen for lønna til Maria er =0. Vi tegner grafen til formelen for lønna. Funksjoner 69 kr = timer Bruk figuren til å finne når =. Regn ut. Gjør slik: Av figuren ser vi at = 600 når =. 600 = = 0 a Bruk figuren til å finne når =. Regn ut. Regn her: = når = = = b Bruk figuren til å finne når =. Regn ut. Regn her: = når = = = I oppgave er forholdet lik timelønna til Maria, som altså er 0 kr. NB! Når og er slik at er en konstant, er og proporsjonale størrelser. En graf som viser sammenhengen mellom to proporsjonale størrelser, vil alltid være en rett linje som går gjennom origo.

22 70 Funksjoner EKSEMPEL I en kjøttdisk ligger det forskjellige pakker med karbonadedeig. Tabellen viser vekten m i kg og prisen P i kroner for pakkene. m (kg) 0, 0,6 0,7 P (kr),00 66,00 8,0 Er prisen og vekten proporsjonale størrelser? Hva er proporsjonalitetskonstanten? Gjør slik: P,00 = =0 m 0, P 66,00 = =0 m 0,6 P m = 8, 0 07 = 0, P er konstant. m Prisen og vekten er proporsjonale størrelser. Proporsjonalitetskonstanten er 0. Prisen per kilogram er 0 kr. 6 Vaskepulveret Superrent selges i pakninger på 0, kg, 0,8 kg og, kg. Vekt m i kg 0, 0,8, Pris P i kr 0,00,00 8,00 a Er prisen og vekten proporsjonale størrelser? Regn her: P m = = P m = = P m = = b Hva er prisen per kilogram? Svar:

23 Funksjoner 7 Omvendt proporsjonalitet NB! Når to størrelser endrer seg slik at en dobling av den ene fører til en halvering av den andre, sier vi at de er omvendt proporsjonale. EKSEMPEL Det koster 9000 kr per uke å leie en htte. Noen venner blir enige om å leie htta. a Hva blir prisen per person dersom de blir tre stkker? b Hva blir prisen per person dersom de blir seks stkker? Gjør slik: a Pris per person = 9000 kr = 000 kr b Pris per person = kr = 00 kr Når antall personer dobles fra tre til seks, blir prisen per person halvert. Dette er altså et eksempel på omvendt proporsjonalitet. 7 Et 0-dagers periodekort på bussen koster 00 kr. a Hva blir prisen per reise dersom du reiser 0 ganger per måned? b Hva blir prisen per reise dersom du reiser 0 ganger per måned? c Forklar at dette er et eksempel på omvendt proporsjonalitet. Svar her:

24 7 Funksjoner 8 Kristine trener på treningsstudioet Ursus. Hun betaler en fast medlemskontingent per måned, og kan da trene så ofte hun vil. Figuren viser sammenhengen mellom antall treninger per måned og prisen per trening Kr Antall treninger per måned a Bruk figuren til å flle ut tabellen. Antall treninger per måned () 6 Pris per trening ( kr) b Vi utvider tabellen med en rad der vi regner ut. Fll ut tabellen. Antall treninger per måned () 6 Pris per trening ( kr) NB! Når to størrelser og varierer slik at produktet holder seg konstant, er og omvendt proporsjonale. 9 Campingplassen Elvero leier ut htter med åtte sengeplasser. Tabellen viser hvordan prisen per person varierer med antall personer i htta. Prisene gjelder for én uke. Antall personer,. 6 8 Pris per person, kr a Er prisen per person og antall personer omvendt proporsjonale størrelser? Svar: b Hvor me koster det å leie htta per uke? Svar:

25 Funksjoner 7 Polnomfunksjoner f() = + + er eksempel på en polnomfunksjon av andre grad. g() = + + er eksempel på en polnomfunksjon av tredje grad. EKSEMPEL Paulsen&Hosar selger voksls. De har funnet ut at inntekten f() kr per uke er gitt ved f() = der er prisen per voksls. a Tegn grafen til f for 0. Gjør slik: a Vi bruker kommandoen Funksjon [<Funksjon>,<Start>,<Slutt>], og skriver inn: Legg merke til at funksjonen automatisk får navnet f. b Finn den største inntekten de kan få. Hva er prisen per voksls da? b Vi finner toppunktet med kommandoen Ekstremalpunkt[f]: Toppunktet er (0,, 0). Den største inntekten er 0 kr per uke. Den får de når prisen per voksls er 0,0 kr. c Hva må prisen per voksls være for at inntekten skal bli 9000 kr? c Vi tegner linja = 9000, og finner skjæringspunktene mellom og grafen til f med verktøet «Skjæring mellom to objekt»:. Skjæringspunktene er (6, 9000) og (, 9000). Hvis prisen er enten 6 kr eller kr, blir inntekten 9000 kr per uke.

26 7 Funksjoner 0 På et cruiseskip brter det ut en influensaepidemi. dager etter at epidemien har brutt ut er antall ske gitt ved f() = + 0. a Tegn grafen til f for 0 0. b Når er det flest ske? Hvor mange ske er det da? c Finn f(). Hva forteller dette deg? d Hvor mange dager går det fra epidemien brter ut til alle er friske igjen? En drestamme blir satt ut på en ø. De første 8 årene er antall dr i bestanden gitt ved modellen N() = 0,8,0 0, Her står N for antall dr, og for antall år etter at drebestanden ble satt ut. a Tegn grafen til N for 0 8. Tips: Hvis du vil at funksjonen skal hete N, bruker du kommandoen: N() = Funksjon [<Funksjon>,<Start>,<Slutt>]. b Hvor mange dr var det i bestanden etter tre år? c Når var det færrest dr i bestanden og hvor mange var det da? d Når var det 8 dr i bestanden? Høden i centimeter til en busk er de første ukene tilnærmet gitt ved h ( ) = 0, , 070 +, 0 + 0, der er antall uker etter at den ble plantet. Dette er en god modell for de 0 første ukene. a Tegn grafen til h. b Hvor hø var busken da den ble plantet? c Hvor mange uker tar det før høden passerer 0 cm? Svar her:

27 Funksjoner 7 Eksamensoppgaver Uten hjelpemidler (Våren 0) I en tank er det 60 L vann. Hver dag tapper vi,0 L vann fra tanken. Hvor me vann er det igjen i tanken etter åtte dager? Hvor mange dager går det før tanken er tom? Regn her: (Våren 0) Hårspraen «Hard Head» selges i tre ulike størrelser. Se figuren til høre. En spraboks med 00 ml hårspra koster 0 kroner. Hva skulle «Biggie» og «Mini» ha kostet dersom pris og millimeter hadde vært proporsjonale størrelser? Regn her: Hair spra Hair spra Hair sp Biggie 600 ml Normal 00 ml Mini 00 ml

28 76 Funksjoner Med hjelpemidler (Våren 0) Funksjonen h gitt ved h(t) =,t 0t + 70t var en god modell for hjortebestanden i en kommune i perioden Ifølge modellen var det h(t) hjort i kommunen t år etter. januar 990. a Tegn grafen til h for 0 t 0. b Når var hjortebestanden størst, og hvor mange hjort var det i kommunen da? Svar her: 6 (Våren 0) Funksjonen f gitt ved f() = 0,0 +,60 + 0,0 viser sammenhengen mellom alder og vekt for en tpe griser. Her er f() vekten til en gris målt i kilogram når grisen er måneder gammel. Tegn grafen til f for 0. Hvor me veier en gris ved fødselen? Svar her: 7 (Våren 0) Antall gram CO en bil slipper ut per kilometer er gitt ved f() = 0,06 6, der er farten til bilen målt i km/h. a Tegn grafen til f i et koordinatsstem for -verdier fra 0 til 00. b Hvor mange gram CO slipper bilen ut per kilometer, dersom den holder en fart på 60 km/h? Svar her:

29 6 Fasit 7 a 0,0 b 0, c 0, d 0,0 8 a c = % b = % 0 00 = 0 % 9 a 0 % b 0 % c % d % e 0 % f % 60 a % b % c 8 % d % e % 6 a 80 % b 70 % c 8 % d % 6 a % b 7 % 6 60 % 6 a 0 b 600 c 8 6 8,88 kr 66 a 700 kr b 00 kr 67 a 80 kr b 00 kr 68 a 7,0 kr b 7,0 kr 69 a kr b kr 70 a 0 kr b 00 kr 7 a 0 % b 0 % c 7 % 7 a 0 % b 60 % 7 a, % b 7, % 7 a 8 % b, % c % 7 a % b 0 % 76 a prosentpoeng b, % 77 a,6 prosentpoeng b 8,0 % 78 a, prosentpoeng b, % 79 a, prosentpoeng b 6, % 80 a Ca. 0 minutter b Ca. 0 minutter 8 a Oppland b Oslo c Hedmark, Oppland, Vestfold, Telemark, Sogn og Fjordane, Møre og Romsdal, Sør-Trøndelag, Nord-Trøndelag, Nordland, Troms, Finnmark 8 Ca. 0 kr 8 Ca. kr 8 80 % 8 60 % 86 a Bensin (9) Algebra 0 a 9 b c 0 a b 8 c 0 a b c 0 a 9 b c 0 a + 9 b + c + 06 a + 8 b c 07 a = b = c = 08 a = b = 9 c = 09 a = 7 b = c = 9 0 a = b = c = 9 a = b = 6 c = a = b = 6 c = 6 = 7 a = b = c = a = b = c = 6 a = 6 b = c = 6 7 a = 6 b = c = 7, 8 =,68 9 a = 6 b = c = 0, 0 a = 6 b = c = d = 0 a = eller = b =, eller =, c = 0 eller = 0 d =,6 eller =,6 a = b =, c = d =,6 a b 6 0 dl iskrem, g mørk sjokolade og, ss smør 7 a 0 km/h b 6 km/h 8 a 7 kwh b 0 kwh 9 a 00 slag per minutt b 98 slag per minutt 0 a 0 C b 6 C c 0 C a dr b 00 dr 98 slag/min dl ris, 0 dl vann og, L melk 7, g karbohdrater, L vann 6 6, NOK Funksjoner 0 a b c (, ) d (, ) e f g (, ) h (, ) i (, ) 0 a (, ) b (, ) c A og D d C og D 0 b På -aksen d På -aksen 0 a 60 liter b minutter c 0 liter 06 a 0 V(8) = 0 b 0 c 0 d 0 07 a C b :0 c,8 C d,7 C e mellom 9 og 6 08 (, ), (0, ), (, ) 09 b (, ), (0, ) og (, ) 0 a a = og b =, = b a = og b =, = + a a =, b =. Nullpunktet er. = + b a =, b =. Nullpunktet er,. = + 7 a f(,) = 9, b f(,7) = 8, c f(8,7) = 9, 8 b (0,6,,7) d f ( 7, ) = = 76, 0

30 Fasit 7 9 b (6,, 9,7) c 689 g(,) = = 68, a liter d 0 mil e 7 mil a 90 kroner b I() = d salg a = 0 b ja, siden = k c 0 a ja, = 0 b 0 a 7 kr b ja, = k c 7,0 a = 0 når = 6 a b = 00 når = 0 = = 0 00 = = 0 0, 00, 00 8, 00 = = = = 0 0, 08,, Ja, prisen og vekten er proporsjonale størrelser. b 0 kroner per kilogram 7 a 0 kroner b kroner c Vi har at en dobling av antall reiser halverer pris per reise. 8 Antall treninger 6 per måned () Pris per trening () Antall 6 personer () Pris per person () a ja b 000 kroner 0 b Etter 0 dager, da er det 00 ske c f() =. Antall ske dag er. c 0 dager b 76 dr c Etter ca., år, da var det ca. 70 dr d Etter ca. 7 år b 0 cm c 6, uker dager Biggie må koste 0 kroner og Mini må koste kroner Februar 99, det var da ca. 870 dr 6 0,0 kg 7 9,6 gram Lengder og vinkler 0 80 dm 0 dm 0 60 cm 0 7, cm 0 0 mm m m cm cm mm 0 mm m meter desimeter centimeter millimeter , , ,6, ,07 0, ,07 0,7 7, 7 0,009 0,09 0,9 9,6 cm 0,8 cm 6 6,9 dm 7 0,6 m 8, mil 9 0,8 dm 0 0,69 m 0,067 m 0,0 mil mil km m cm , , ,, ,8, ,07 0, ,0 0, , ,08 m, cm, mm, cm, dm a = b < c > d > e = f < g > h < i > j = 6 a 7, m b, m c 9 mm 7 a km b 7 km