Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet

Transkript

1

2 Innhold FUNKSJONSTEGNER... 3 Skjermbildet i GeoGebra... 3 Verktøylinja... 4 Verktøyet Flytt eller velg objekt... 4 Oppsett av skjermbildet... 5 Flytte tegneflaten, endre enheter på aksene... 5 Flytt inntastingsfeltet øverst... 6 Mer øving i bruk av verktøyene... 6 Større skrift og tykkere linjer... 6 FRA FUNKSJONSUTTRYKK TIL GRAF... 7 Lagre... 8 Slette og angre... 8 Endre egenskaper... 8 FRA GRAF TIL KOORDINATPAR OG TABELL Punkt på grafen Å finne funksjonsverdier grafisk når vi kjenner x-verdien Å skrive inn koordinatene til et punkt på grafen Å tegne en loddrett linje for å finne skjæringspunktet Å finne x-verdier grafisk når vi kjenner funksjonsverdien PRAKTISK SITUASJON SOM BESKRIVES VED HJELP AV EN FUNKSJON Å tegne grafen i et intervall Enheter og forklarende tekst på aksene LINEÆRE FUNKSJONER: STIGNINGSTALL OG KONSTANTLEDD Konstantledd Linje gjennom to punkt Stigningstall Å regne ut verdien av en variabel Variable koeffisienter, bruk av glider Lineær regresjon: Fra tabell til graf og funksjonsuttrykk ARBEID MED FLERE TYPER FUNKSJONER Brøkfunksjoner, asymptoter H. Aschehoug & Co. Side 1

3 Brøkfunksjoner: Fra tabell til graf og funksjonsuttrykk ved regresjon Polynomfunksjoner Ekstremalpunkt - største og minste verdi Nullpunkt og skjæringspunkt Eksponentialfunksjon Likninger og ulikheter Å løse likninger grafisk Grafisk løsning av likningssett Ulikheter EMPIRISKE DATA SOM IKKE PASSER TIL NOEN FUNKSJONSTYPE VI KJENNER EKSAMENSOPPGAVER, FØRING AV DIGITALE OPPGAVER H. Aschehoug & Co. Side 2

4 FUNKSJONSTEGNER GeoGebra er et program som har mange bruksområder innenfor matematikk. Her skal vi først og fremst fokusere på de mulighetene vi har til å jobbe grafisk med funksjoner og likninger. Ordet GeoGebra er sammensatt av to deler: Geo som kommer fra geometri og Gebra som kommer fra algebra. GeoGebra kan også brukes til arbeid med algebra og geometri. Nå er det imidlertid funksjoner som er i fokus. I opplæringen leser du beskrivelser av hvordan noe skal gjøres og løser en eller flere oppgaver for å øve selv. Skjermbildene som vises her er fra GeoGebra 5.0 eller senere. Du kan laste ned GeoGebra fra Programmet er gratis. Skjermbildet i GeoGebra Når du starter GeoGebra ser skjermbildet vanligvis slik ut: H. Aschehoug & Co. Side 3

5 Verktøylinja Matematikk for ungdomstrinnet Verktøylinja inneholder verktøyikoner utformet som knapper. Under hver knapp er det flere verktøy. Hvis vi klikker på den lille pilen i nederste høyre hjørne av en knapp, vises en liste med de verktøyene som fins under knappen. Vi kan da velge hvilket verktøy knappen skal representere. Legg også merke til at når du holder musepekeren over et verktøy, vises en forklaring på hvordan verktøyet brukes. Det kan være lurt å vise verktøytipsene til høyre på verktøylinja. Velg Innstillinger, Utforming, og huk av for Vis hjelp for verktøylinja Verktøyet Flytt eller velg objekt Med verktøyet Flytt eller velg objekt kan vi endre plasseringen av objekt i tegneflaten. Vi bruker også dette verktøyet for å velge hvilket objekt som skal være det aktive objektet. Det kan være smart å ha dette verktøyet som det valgte verktøyet når vi ikke er i ferd med å tegne noe. Å trykke på escapetasten (esc) er det samme som å velge dette verktøyet. H. Aschehoug & Co. Side 4

6 Oppsett av skjermbildet Matematikk for ungdomstrinnet Når vi bruker GeoGebra til arbeid med funksjoner, er det som oftest smart å velge oppsettet Algebra. Da har vi de funksjonene vi trenger lett tilgjengelig, nemlig verktøylinja, algebrafeltet, inntastingsfeltet og grafikkfeltet. Vinduet for valg av oppsett vises om du klikker på den lille pilen i høyre kant av grafikkfeltet. Du kan også, om du ønsker det, vise rutenettet. Velg verktøyet klikk på Rutenett., høyreklikk i grafikkfeltet og Flytte tegneflaten, endre enheter på aksene Når vi jobber med funksjoner og likninger har vi ofte behov for å flytte tegneflaten eller å endre enheten på aksene. Vi kan da bruke verktøyet Flytt grafikkfeltet. Når du har valgt verktøyet, kan du endre enhet på aksene ved å «dra» i aksene med musepekeren mens du holder venstre museknapp nede. Å holde nede shift-tasten (den tasten du holder nede for å få store bokstaver) har samme virkning som å velge verktøyet Flytt grafikkfeltet. Mens du holder shift-tasten nede kan du både flytte grafikkfeltet og endre enhet på aksene med musepekeren. Oppgave 1 Velg oppsett Algebra og vis rutenett. Plasser origo midt i grafikkfeltet. Vis enheter fra 15 til 15 på førsteaksen og enheter fra 100 til 100 på andreaksen. H. Aschehoug & Co. Side 5

7 Flytt inntastingsfeltet øverst Matematikk for ungdomstrinnet Når GeoGebra skal brukes på Smartboard eller prosjektør er det lurt å plassere inntastingsfeltet øverst i skjermbildet. Klikk på ikonet for Innstillinger, velg Utforming, og marker at du vil ha inntastingsfeltet øverst. Mer øving i bruk av verktøyene I verktøyopplæringen knyttet til geometri er det en del øving i bruk av de forskjellige verktøyene knyttet til å tegne geometriske figurer. Dersom du ikke har brukt GeoGebra før, kan det være en idé å gå gjennom starten av verktøyopplæringen i tilknytning til geometri for å bli bedre kjent med hvordan de forskjellige verktøyene fungerer. Større skrift og tykkere linjer Når grafer tegnet i GeoGebra skal limes inn i tekstdokument og skrives ut, blir ofte teksten vanskelig å lese. Det kan også være en fordel å øke skriftstørrelsen for at elevene skal se bedre når en viser bildet på skjerm eller Smartboard. Velg Innstillinger fra menylinja, deretter Skriftstørrelse. Du velger så hva skriftstørrelsen skal være, 18 punkt eller større er ofte passelig. Det kan være en god ide å lagre innstilinger. Klikk på Innstillinger i menylinja og velg Lagre innstillinger. Linjetykkelse kan du velge i stilmenyen i Grafikkfeltet når ei linje er markert. Du kan også velge tykkelse på linja ved å høyreklikke på den og velge Egenskaper. H. Aschehoug & Co. Side 6

8 FRA FUNKSJONSUTTRYKK TIL GRAF Vi kan skrive funksjonsuttrykket i inntastingsfeltet og GeoGebra vil tegne grafen til funksjonen i grafikkfeltet. Funksjonsuttrykket vises i algebrafeltet. Ofte bruker vi x som navn på variabelen i likninger og funksjoner. Det betyr at x vil svare til en verdi på førsteaksen. Verdiene på andreaksen vil svare til den verdien som regnes ut når vi setter inn verdier for x i likningen eller funksjonsuttrykket. GeoGebra gir funksjoner navn med små bokstaver og starter med bokstaven f. For å markere at f får verdi ved å regne ut funksjonsuttrykket med en verdi for x, skrives navnet til funksjonen slik: f(x). Du kan enten la GeoGebra gi funksjonene dine navn eller du kan selv velge navn ved å kalle funksjonene f(x), g(x), h(x), p(x), osv. Vi skal tegne grafen til f(x) = 2x + 1. Vi skriver i inntastingsfeltet: Du ser nå i algebrafeltet at funksjonen har fått navnet f(x) og i grafikkfeltet at grafen er en rett linje. Hvis variabelen skal hete noe annet enn x, eller vi ønsker å velge hvilken bokstav som skal brukes som navn på funksjonen, må vi skrive inn for eksempel slik: s(t)=60t Vær oppmerksom på at i GeoGebra bruker vi punktum som desimalskilletegn. Du må dermed skrive for eksempel k(x) = 0.2x + 4 Oppgave 2 Tegn grafene til disse tre funksjonene i samme koordinatsystem f(x) = x + 3 g(x) = 2x + 4 p(x) = x v(t) = 0,3t Oppgaver i Nummer , 3.15, 3.43 H. Aschehoug & Co. Side 7

9 Lagre Matematikk for ungdomstrinnet På filmenyen finner vi valget for å Lagre GeoGebra-filen vi har jobbet med. Den lagres med filtypen ggb, for eksempel oppgave2.ggb Slette og angre Når vi tar i bruk et nytt verktøy med mange muligheter må vi regne med at vi ikke alltid lykkes i første forsøk. Det er derfor viktig å kunne angre og slette når vi har gjort noe feil. I GeoGebra kan du angre med Ctrl + Z. Alternativt kan du bruke angreknappen. Den finner du helt til høyre på verktøylinja. For å slette et objekt velger du, klikker på objektet, og trykker Delete. Du kan også høyreklikke på objektet, og velge Slett. Når du sletter et objekt, vil eventuelle andre objekt som er avhengige av det objektet du sletter, også forsvinne. Endre egenskaper Det kan være flere grunner til at du vil endre egenskapene til en graf, for eksempel at du har skrevet feil eller at du vil endre navn, farge eller linjestil. Da høyreklikker du på funksjonen, enten i grafikkfeltet eller i algebrafeltet og velger Egenskaper. H. Aschehoug & Co. Side 8

10 I feltet Verdi kan du endre funksjonsuttrykket. På fanen Farge kan du velge hvilken farge grafen skal ha, og på fanen Stil kan du velge hva slags linje grafen skal tegnes med. Oppgave 3 Tegn de tre funksjonene i samme koordinatsystem. De tre grafene skal ha hver sin farge. Den siste skal være stiplet. k(x) = 0,2x + 4 p(x) = 4x s(x) = 5 Tips: Ved å vise stilmenyen øverst i grafikkfeltet kan du raskt skifte farge på grafene. Vis stilmenyen Velg, klikk deretter på den grafen du vil endre. Da vises relevante valg i stilmenyen. Oppgaver i Nummer , 3.31, 3.34, 3.50, 312, 317, 337 Oppgaver i Nummer H. Aschehoug & Co. Side 9

11 FRA GRAF TIL KOORDINATPAR OG TABELL Vi skal se på flere framgangsmåter vi kan bruke i ulike situasjoner når vi skal finne koordinater til punkt på grafen. I noen situasjoner bruker vi koordinatene til disse punktene når vi skal sette opp en verditabell. Punkt på grafen Ved å plassere punkt på grafen kan vi lese av x-verdien og funksjonsverdien f(x). Tegn grafen til den funksjonen du skal arbeide med. Velg verktøyet Punkt flere punkt på linja. og plasser ett eller I eksemplet har vi tegnet grafen til f(x) = 2x + 1 og plassert punktene A, B og C på linja. Legg merke til at når punktene er plassert på linja kan de flyttes med slik at de havner der vi vil ha dem. Vi ser punktenes koordinater i algebrafeltet, og disse endres når punktet flyttes. Vil du se koordinatene i grafikkfeltet, høyreklikk på punktet, enten i algebrafeltet eller i grafikkfeltet, velg Egenskaper og velg deretter Verdi eller Navn og Verdi fra nedtrekkslista ved Vis navn. Vi kan også vise navn og verdi ved å dra punktet fra algebrafeltet over i grafikkfeltet. Oppgave 4 Finn koordinatene til fire punkt som ligger på grafen til funksjonen: f(x) = 2,8x 5 H. Aschehoug & Co. Side 10

12 Oppgave 5 Finn koordinatene til følgende punkt som ligger på grafen til g(x) = 4 5x a Punktet der x-koordinaten = 0 b Punktet der y-koordinaten = 0 c Punktet der y-koordinaten = 20 d Punktet der x-koordinaten = 10 Oppgaver i Nummer , 317, 329 Å finne funksjonsverdier grafisk når vi kjenner x-verdien Vi har to metoder å velge mellom. Matematikk for ungdomstrinnet Å skrive inn koordinatene til et punkt på grafen Av og til kan det være vanskelig å plassere punkt på grafen nøyaktig nok. Da kan vi i stedet plassere punktene ved å skrive dem inn i inntastingsfeltet. Denne metoden kan vi bruke dersom vi kjenner x- koordinaten til punktet. Som du har sett, gir GeoGebra punkt navn med store bokstaver. Hvis vi har en funksjon som heter f og skal plassere punktet A på grafen til f slik at x-koordinaten er 8 skriver vi i inntastingsfeltet: A = (8,f(8)). EKSEMPEL Å finne funksjonsverdien når vi kjenner x Vi har funksjonen f(x) = 2,71x Vi tegner grafen til f(x). Vi skal bruke grafen til å f(2000). Skriv i inntastingsfeltet: Den verdien vi skal finne er andrekoordinaten til A. Du kan se den i algebrafeltet, eller du kan vise verdien til punktet A slik at koordinatene vises i grafikkfeltet. Å tegne en loddrett linje for å finne skjæringspunktet En alternativ måte er å tegne linja x = Deretter finner vi skjæringspunktet mellom linja x = 2000 og grafen. Skriv i inntastingsfeltet Marker skjæringspunktet mellom den loddrette linja og linja x = 2000 ved hjelp av koordinatene til punktet i grafikkfeltet ved å velge å vise Verdi i stedet for Navn.. Vis H. Aschehoug & Co. Side 11

13 Å finne x-verdier grafisk når vi kjenner funksjonsverdien Vi har funksjonen f(x) = 2x + 1. Vi skal finne hva x er når funksjonsverdien er 3,6. Da tegner vi linja g(x) = 3,6 Marker deretter skjæringspunktet mellom g(x) og f(x) ved hjelp av. Dra punktet over til grafikkfeltet fra algebrafeltet for å vise koordinatene. PRAKTISK SITUASJON SOM BESKRIVES VED HJELP AV EN FUNKSJON Funksjonen f(x) = 2,71x beskriver hvor mye det koster å lage x kopper kaffe med en bestemt kaffemaskin. Vi skal tegne grafen til funksjonen. Vi kan ikke bruke negative tall for x her da x betyr et antall kopper kaffe. Vi regner med at kaffemaskinen er utslitt etter å ha laget kopper kaffe. H. Aschehoug & Co. Side 12

14 Å tegne grafen i et intervall For å begrense grafen til de gyldige verdiene av x bruker vi kommandoen Dersom. Skriv følgende i inntastingsfeltet: Vi kan alternativt bruke kommandoen Funksjon slik: Etterpå må vi tilpasse aksene i grafikkfeltet slik at vi ser funksjonen. Vi kan vise navnet til funksjonen i grafikkfeltet ved å velge funksjonen i algebrafeltet og dra den over til grafikkfeltet. (Alternativ: høyreklikk på funksjonen, velg Egenskaper og Vis, Navn og verdi) Oppgave i Nummer Enheter og forklarende tekst på aksene Høyreklikk et sted du ikke har tegnet noe i grafikkfeltet. Velg Grafikkfelt. På fanen xakse skriver vi x (Antall kopper) i feltet Navn på aksen H. Aschehoug & Co. Side 13

15 På fanen yakse skriver vi som Navn på aksen K(x) (kr). H. Aschehoug & Co. Side 14

16 Som et alternativ kan du sette på navn på aksene ved å legge inn en tekst. Velg verktøyet Tekst, skriv inn den teksten du ønsker og plasser tekstboksen et passende sted ved siden av aksen. H. Aschehoug & Co. Side 15

17 Oppgaver i Nummer 9 326, 333, 334 Oppgaver i Nummer LINEÆRE FUNKSJONER: STIGNINGSTALL OG KONSTANTLEDD Oppgave 6 Tegn grafene til funksjonene a x b 2x c 10x d 3k Hva kan du si om grafene til disse funksjonene? Konstantledd Likningen for en rett linje kan skrives på formen y = ax + b. Vi kaller b konstantleddet, a kalles stigningstallet. Vi finner konstantleddet ved å finne det punktet der linja skjærer andreaksen (y-asken). Tegn grafen til f(x) = 0,5x + 3. Bruk verktøyet Skjæring mellom to objekt til å finne konstantleddet. Konstantleddet er andre-koordinaten til skjæringspunktet mellom grafen og andreaksen. Linje gjennom to punkt Vi kan tegne en linje som går gjennom to faste punkt ved først å avsette punktene og deretter bruke verktøyet Linje gjennom to punkt. Vi tegner linja gjennom ( 2, 1) og (4, 4). Nå må du legge merke til to ting. For det første så oppgir GeoGebra formelen som en likning, ikke som en funksjon. Likningen for en rett linje har formen y = ax + b. H. Aschehoug & Co. Side 16

18 Legg også merke til at GeoGebra ikke nødvendigvis ordner likningen i algebrafeltet på formen y = ax + b. For å vise likningen på denne formen høyreklikker du på linja i algebrafeltet eller i grafikkfeltet og klikker på Likning y = ax + b. Da får du y = 0.5x + 2 i algebravinduet. Oppgave 7 Tegn linjene gjennom de to punktene. Kan du ut fra grafen se hvordan likningen blir på formen y = ax + b? Hva bestemmer a? Hva bestemmer b? a (0, 4) og (6, 3) b (0, 0) og (4, 12) Stigningstall I GeoGebra kan vi tegne grafen til både likninger og funksjoner. Når vi jobber med funksjoner er det slik at for en bestemt verdi av x fins det bare en funksjonsverdi. Vi kan imidlertid ha flere y-verdier som løsninger til en likning. Det innebærer, for eksempel, at vi i GeoGebra kan skrive likningen for en sirkel, og få tegnet sirkelen, selv om dette ikke er en funksjon. Når det gjelder rette linjer, kan vi skrive disse enten som likning eller som funksjon. En rett linje kan skrives inn som en likning (y = ax + b), eller som en funksjon (f(x) = ax + b). Vi skriver inn likninger slik:. Vi kan finne stigningstallet med verktøyet Stigning. Vi kan dessuten alltid se stigningstallet som koeffisienten foran x i likningen eller funksjonsuttrykket. H. Aschehoug & Co. Side 17

19 Oppgave 8 Tegn grafen til a en lineær funksjon som går gjennom origo og som har stigningstall 1,5. b en lineær funksjon med stigningstall 2 og konstantledd 4. c en lineær funksjon som har graf som er parallell med grafen tegnet i b og som går gjennom (0, 2). Oppgave 9 Avsett to punkter i koordinatsystemet. Bruk verktøyknappen Linje gjennom to punkt til å tegne den rette linja. Bruk verktøyknappen Skjæring mellom to objekt til å finne skjæringspunktet med y-aksen og skjæringspunktet med x-aksen. Finn linjas stigningstall ved hjelp av verktøyet Stigning (Alternativ: Skriv i inntastingsfeltet med likningen for linja som du ser i algebravinduet. der f er linjas navn). Sjekk at verdien stemmer Oppgave 10 Tegn linja som går gjennom A( 2, 1) og B(4, 3). Vis konstantledd og stigningstall på grafen. Bruk og flytt på linja. Følg med på hvordan konstantleddet endrer seg. Plasser linja slik at konstantleddet er 1. Flytt deretter på A eller B og se hvordan stigningstallet endrer seg. a Beskriv linja når stigningstallet er et positivt tall. b Beskriv linja når stigningstallet er et negativt tall. c Hva er forskjellen på linja når stigningstallet er 1 og når det er 5? d Hva er forskjellen på linja når stigningstallet er 1 og når det er 5? e Beskriv linja når stigningstallet er 0. Oppgaver i Nummer og 3.29 Oppgaver i Nummer H. Aschehoug & Co. Side 18

20 Å regne ut verdien av en variabel Vi tegner grafen til f(x) = 4,5x og plasserer tre punkt på grafen ved hjelp av. x koordinat Vi skal nå få beregnet for disse tre punktene. Under ser du hvordan du oppgir x- og y- y koordinat koordinaten til punkt A. Svaret lagres i variabelen a. Divisjonstegnet er / og * brukes som multiplikasjonstegn i GeoGebra. Oppgave 11 Tegn grafen til f(x) = 3x Plasser tre punkt på grafen. Fyll ut tabellen: Punkt x f(x) f ( x ) A B C x H. Aschehoug & Co. Side 19

21 a b c f ( x ) Hvilke verdier får du for? x f ( x ) Hva skjer med dersom du flytter på ett eller flere av punktene? x Hva kaller vi en slik funksjon? Variable koeffisienter, bruk av glider Vi kan gjøre likninger og funksjoner dynamiske ved å bruke variabler som koeffisienter og variere disse ved hjelp av glidere. EKSEMPEL Bruk av glider Vi skal undersøke sammenhengen mellom funksjonsuttrykket til en lineær funksjon og grafen. 1 Start med å definere en variabel ved å skrive s=2 i inntastingsfeltet. 2 Skriv deretter inn likningen for linja f(x)=s*x+1 3 Gjør variabelen synlig som en glider ved å klikke på den lille sirkelen foran den i algebrafeltet. 4 Bruk og dra i glideren. Observer hva som skjer med linja og likningen. 5 Du kan endre største og minste verdi ved å høyreklikke på glideren og velge Egenskaper. Oppgave 12 Opprett en variabel, og bruk den til å utforske hva som skjer med en rett linje når du endrer konstantleddet. Oppgave 13 Opprett fire variabler ved å skrive i inntastingsfeltet: a = 1, b = 2, c = 1 og d = 1. Skriv deretter inn funksjonen f slik : f(x) = a x + b (du må ha enten mellomrom eller * mellom a og x). Gjør variablene synlige som glidere, enten ved å høyreklikke på dem i algebrafeltet og velge Vis objekt, eller ved å klikke på den lille sirkelen foran variabelen i algebrafeltet slik at den blir farget. H. Aschehoug & Co. Side 20

22 Skriv g(x) = c x + d Endre farge på grafene til f og g slik at de får hver sin farge. Bruk gliderne og finn ut: Når overlapper grafen til f grafen til g? Forklar. Når vil ikke grafene til f og g skjære hverandre? Forklar Lineær regresjon: Fra tabell til graf og funksjonsuttrykk I noen tilfeller har vi en tabell som inneholder koordinater til mer enn to punkt som vi regner med ligger på en rett linje. GeoGebra kan finne den linja som passer best til punktene slik: Start med å vise Regneark slik at vi kan skrive inn tabellen med punktenes koordinater. Skriv inn første-koordinaten i A-kolonnen og andre-koordinaten i B-kolonnen. Merk deretter området med tallene du har skrevet inn, høyreklikk i det merkede området og velg Lag, Liste med punkt. H. Aschehoug & Co. Side 21

23 Nå ser du punktene i grafikkfeltet og som Liste1 i algebrafeltet. Klikk i grafikkfeltet slik at de vanlige verktøyene dukker opp igjen, og velg verktøyet Beste tilpasset linje. Klikk på Liste1 i algebrafeltet. Da blir linjen tegnet og likningen vises i algebrafeltet. Oppgave 14 Finn likningen for linja som går gjennom punktene (0, 5), (10, 2), (20, 9) og (30, 16). H. Aschehoug & Co. Side 22

24 Oppgave 15 Matematikk for ungdomstrinnet Per, Pål og Espen har samme type mobilabonnement. En måned betaler Per 66 kr for 40 samtaleminutt, Pål 111 kr for 155 samtaleminutt og Espen 84,60 kr for 89 samtaleminutt. Finn en funksjon som beskriver hva dette telefonabonnementet koster. Oppgaver i Nummer , 324, 327, ARBEID MED FLERE TYPER FUNKSJONER Oppgave 16 Tegn funksjonene i figuren over i samme koordinatsystem. Marker grafene med hver sin farge. Hvis du vil skrive x 2 skriver du enten slik: x^2 eller du holder alt-tasten nede mens du skriver 2-tallet. Brøkstreken skrives med /. Oppgaver i Nummer , 2.109, 2.110, 2.111, 2.112, 2.113, Brøkfunksjoner, asymptoter Funksjoner som har x i nevner kalles brøkfunksjoner. Disse har asymptoter. Det er linjer som grafen aldri vil skjære. Vi finner likningen til asymptotene og får dem tegnet i grafikkfeltet ved å bruke kommandoen Asymptote. H. Aschehoug & Co. Side 23

25 EKSEMPEL Asymptote Tegn grafen til funksjonen 20 g( x ) 5. Skriv deretter i inntastingsfeltet: x Oppgave 17 Tegn grafen til u(x)= for x-verdier som er større enn 0. x Tegn asymptotene til funksjonen. Hva er f(x) når x = 8? Hva er x når f(x) = 50? Oppgave 18 a Tegn grafen til funksjonen f ( x ) 1 x. b Tegn asymptotene til grafen. c Plasser et punkt på den greina av grafen som er til høyre for y-aksen. d Regn ut første-koordinat andre-koordinat (husk at * brukes som multiplikasjonstegn). e Flytt punktet langs grafen. Hvordan går det med produktet av koordinatene? f Prøv å gjøre tilsvarende med g( x ) 3 x. e Hva kaller vi funksjoner som har denne egenskapen? H. Aschehoug & Co. Side 24

26 Oppgave 19 Lag en glider for variabelen v og bruk denne til å undersøke hvordan grafen til g( x ) v x endrer seg når v endres. Oppgave i Nummer Oppgaver i Nummer , 2.75, 2.76, 239 Brøkfunksjoner: Fra tabell til graf og funksjonsuttrykk ved regresjon Funksjonsuttrykket til brøkfunksjoner er gitt ved f ( x ) a x b. Vi starter nå med å velge to tall for a og b. Skriv i inntastingsfeltet a = 50 og b = 10. Skriv inn verditabellen i regnearket. Merk tabellen, høyreklikk i den og velg Lag, Liste med punkt. Skriv nå i inntastingsfeltet: funksjonen som passer best til punktene.. GeoGebra bruker regresjon til å finne den H. Aschehoug & Co. Side 25

27 Oppgaver i Nummer 9 322, 323 Polynomfunksjoner En polynomfunksjon har et funksjonsuttrykk som består av flere ledd. Lineære funksjoner og andregradsfunksjoner er eksempler på polynomfunksjoner. Vi skal her se på noen av de tingene det er aktuelt å gjøre i GeoGebra når vi jobber med polynomfunksjoner. Vær oppmerksom på at nullpunkt, skjæringspunkt og å løse likninger kan være aktuelt for alle de funksjonstypene vi jobber med på ungdomstrinnet. Ekstremalpunkt - største og minste verdi Noen funksjoner har en maksimalverdi og/eller en minimalverdi. Vi tegner først grafen til f(x) = 2x 2 2x + 1 Vi finner ekstremalpunkt ved å bruke kommandoen Ekstremalpunkt eller ved å bruke verktøyet Ekstremalpunkt. (funksjonen heter f i dette eksemplet). Vis koordinatene til bunnpunktet ved å vise verdien til bunnpunktet. Dersom du ikke finner verktøyet Ekstremalpunkt sammen med de andre punkt-verktøyene, prøv å velge oppsett Algebra, og se om verktøyet dukker opp da. H. Aschehoug & Co. Side 26

28 Oppgave 20 Overskuddet ved produksjon og salg av en vare er gitt ved funksjonen O(x) = 10x x der x er antall varer og overskuddet er en pengesum (kroner). Tegn grafen til O(x). Vi antar at x ikke kan være mer enn 150. Finn hvor mange enheter en må produsere for å få størst mulig overskudd og hvor stort dette overskuddet er. Nullpunkt og skjæringspunkt Vi er ofte interessert i å vite for hvilke x-verdier funksjonen skjærer x-aksen. Disse verdiene kalles funksjonens nullpunkt. Vi tegner funksjonene f(x) = 0,7x + 2 og g(x) = x 2 4 For å finne nullpunktene bruker vi verktøyet Nullpunkt eller kommandoen Nullpunkt. Skriv i inntastingsfeltet: og tilsvarende for g. Nullpunktet til f(x) er A og nullpunktene til g(x) er B og C. Vis verdiene i stedet for navnet til nullpunktene. Vi kan også få markert skjæringspunktene mellom de to grafene ved å bruke kommandoen Skjæring:. Skjæringspunktene er D og E. H. Aschehoug & Co. Side 27

29 Oppgave 21 Overskuddet ved produksjon og salg av en vare er gitt ved funksjonen O(x) = 10x x der x er antall varer og overskuddet er en pengesum (kroner). Vi går ut fra at vi ikke selger mer enn 150 stk. av denne varen. Tegn grafen til O(x). Hvilke verdier kan x ha? Finn hvor mange varer en må produsere og selge for at overskuddet skal være 0. Oppgave 22 Bruk variabelen k til å undersøke hvordan grafen til f(x)= kx 2 endrer seg når k endres. Oppgave 23 Du har fått deg jobb på en gård og skal lage en rektangulær innhegning ved å bruke 20 meter gjerde. Innhegningen skal ligge inntil en vegg, se figur nedenfor. Du lurer på hvordan innhegningen bør være for at arealet skal bli størst mulig. a La bredden av innhegningen være x og lengden y. Finn y uttrykt ved x, og finn A av innhegningen uttrykt ved x og y. b Finn arealet av innhegningen som en funksjon A(x) og skisser grafen til A(x). Hva må x være for at innhegningen skal gi størst mulig areal? Oppgaver i Nummer 9 335, 338, 339 H. Aschehoug & Co. Side 28

30 Oppgaver i Nummer , 2.120, 2.121, 242 Eksponentialfunksjon Når vi skal skrive inn eksponentialfunksjoner i inntastingsfeltet må vi bruke ^ for å markere eksponenten. Oppgaver i Nummer , Likninger og ulikheter Vi kan løse både likninger, likningssystem og ulikheter grafisk i GeoGebra. Å løse likninger grafisk Vi kan se på de to sidene i en likning som to funksjoner. Å løse likningen vil da si å finne den eller de verdiene for x som gjør at de to funksjonene har samme funksjonsverdi. Vi skal med andre ord finne x-koordinaten til skjæringspunktet mellom grafene til de to funksjonene. x Vi løser likningen 2 x 4 slik: 2 H. Aschehoug & Co. Side 29

31 Løsning: x = 2,67 Vi løser likningen x 2 4x = 4 slik: Løsning: x = 0,83 eller x = 4,83 Vi løser likningen x 2 4x = 0 slik: H. Aschehoug & Co. Side 30

32 Siden den ene siden i likningen er 0, kan vi her finne nullpunktene til uttrykket på venstre side i likningen. Vi bruker enten kommandoen Nullpunkt, verktøyet, eller vi finner skjæringspunktene mellom grafen og førsteaksen med. Oppgaver i Nummer , 2.154, 2.155, 264 Grafisk løsning av likningssett Skriv inn likningene, en av gangen, i inntastingsfeltet. Løsningen er punktet der grafene skjærer hverandre. Marker skjæringspunktet med Løsning: x = 1,33 og y = 1,67 Oppgaver i Nummer , 2.142, 2.144, 2.145, 2.146, 256 H. Aschehoug & Co. Side 31

33 Ulikheter Matematikk for ungdomstrinnet Skriv ulikheten 3x 6 < 5 i inntastingsfeltet. I dette eksemplet får den navnet a. For å finne nøyaktig for hvilken x ulikheten skifter fra å være sann til usann, skriv i inntastingsfeltet Svaret er de delene av x-aksen som er i det fargelagte feltet. Her er svaret x < 3,67. Oppgaver i Nummer , EMPIRISKE DATA SOM IKKE PASSER TIL NOEN FUNKSJONSTYPE VI KJENNER Når vi har empiriske data som ikke passer til noen graftype vi kjenner kan vi bruke verktøyet Polylinje til å tegne grafen. Skriv inn de målte dataene som koordinatene til punktene. Tegn deretter en polylinje gjennom punktene. Vi bruker dataene i denne tabellen som eksempel: Klokkeslett Temperatur, Skriv inn punktene slik: Når alle punktene er skrevet inn velger du. Klikk i punktene ett etter ett, start fra venstre. Etter at du har klikket i punktet som er lengst til høyre klikker du igjen i det punktet som er lengst til venstre. H. Aschehoug & Co. Side 32

34 Vi kan gjøre punktene usynlige og ikke vise navnet til polylinja til slutt. Ved å endre egenskapene til grafikkfeltet kan du for eksempel sette enheter på aksene. Oppgaver i Nummer 9 3.5, 300 H. Aschehoug & Co. Side 33

35 EKSAMENSOPPGAVER, FØRING AV DIGITALE OPPGAVER Vi viser her noen eksempler på hvordan oppgaver kan løses og føres ved hjelp av GeoGebra Oppgave 24 a En potetprodusent får 3,09 kr per kg han leverer til Gartnerhallen. Kall antall kg poteter produsenten selger for x. Sett opp et funksjonsuttrykk, i(x), som viser hva hun får betalt på salg av x kg poteter. b c d Tegn grafen til i(x). La x variere mellom 0 og kg. Hva får produsenten betalt hvis hun leverer 2800 kg? Hvor mange kilo må produsenten levere for å få betalt kr? Løsning a Vi finner hva bonden får betalt ved å multiplisere kiloprisen med antall kilo hun leverer. Da har vi i(x) = 3,09x To streker under svaret b Vi skriver i inntastingsfeltet: i(x)=dersom[0<x<10000,3.09x] Vi tilpasser grafikkfeltet slik at vi ser hele grafen. Vi setter navn på aksene, x på førsteaksen og i(x) på andreaksen. På førsteaksen kan vi sette på enheten kg og på andreaksen enheten kr. Se grafen under. c Vi markerer at hun har levert 2800 kg ved å avsette et punkt på grafen. Det gjør vi ved å skrive i inntastingsfeltet: (2800, i(2800)). Vi ser at punktet har koordinatene (2800, 8652). Hun får betalt 8652 kr når hun leverer 2800 kg. d For å finne hvor mye hun må levere for å få betalt kr tegner vi en horisontal linje som skjærer andreaksen i Vi skriver i inntastingsfeltet: y = og finner skjæringspunktet mellom den horisontale linja og grafen ved hjelp av verktøyet Skjæring mellom objekt. Skjæringspunktet har koordinatene ( , ). Hun må levere 6472 kg for å få betalt kr. H. Aschehoug & Co. Side 34

36 Oppgave 25 FRA EKSAMEN 2013 X-FIGHTERS Oppgave 6 I X-Fighters hopper motorsykkelen fra rampe 1 til rampe 2. En forenklet modell som beskriver et slikt hopp, er funksjonen gitt ved h(x) = 0,5x 2 + x + 2 Her viser h(x) hvor mange meter motorsykkelen er over bakken når den er x meter fra rampe 1, målt langs bakken. Se skissen av hoppet nedenfor. a Motorsykkelen er høyest over bakken 10 m fra rampe 1, altså når x = 10. Bruk funksjonsuttrykket, og vis ved regning at motorsykkelen da er 7 m over bakken. b Tegn grafen til h når 0 x 20 c Bestem grafisk hvor langt motorsykkelen har flyttet seg fra rampe 1, målt lang bakken, når motorsykkelen er 4 m over bakken. Løsningsforslag H. Aschehoug & Co. Side 35

37 Vi viser her et løsningsforslag der vi løser hele oppgaven grafisk. a Plasserer et punkt på kurven der x = 10 ved å skrive i inntastingsfeltet: A=(10,h(10)). Andrekoordinaten til A er 7. Sykkelen er 7 m over bakken når x = 10. b Skriver i inntastingsfeltet: y = 4. Finner skjæringspunktene mellom grafen til h(x) og y = 4 ved hjelp av verktøyet Skjæring mellom objekt. Motorsykkelen er 4 m over bakken etter 2,25 m og etter 17,75 m. c Oppgave 26 FRA EKSAMEN 2014 Svømmebassenget til Badeland på L skal tømmes for vann. Det tappes ut L per time. a Forklar at antall liter V(x) som er igjen i svømmebassenget etter x timer, kan beskrives av funksjonen V gitt ved V(x) = 18000x b Bestem ved regning når svømmebassenger er tomt for vann. c Tegn grafen til V. d Bestem grafisk når det er L igjen i svømmebassenget. Løsningsforslag a Vi løser her oppgave a med CAS-verktøyet. (Se verktøyopplæring CAS) H. Aschehoug & Co. Side 36

38 d Tegner linja a ved å skrive y=285000, og bruker verktøyet Skjæring mellom objekt til å finne skjæringspunktet mellom V(x) og linja a. Svar: Det er liter igjen etter 20 timer. Oppgave 27 FRA EKSAMEN 2015 Oppgave 4 (5 poeng) I oppgave 4b), c) og d) skal du bruke graftegner på datamaskin. En modell som kan vise hvordan vekten til et lam øker etter fødselen, er gitt ved funksjonen V(x) = 0,28x + 5 V(x)er vekten til et lam målt i kilogram dager etter fødselen. a Hvor mye veier et nyfødt lam? Hvor mye øker vekten til et lam per dag? b Bruk gjerne graftegner til å tegne grafen til V når 0 x 150. c Bestem grafisk hvor mye et lam veier når det er 75 dager gammelt. Et lam slaktes når det veier mer enn 45 kg. d Bestem grafisk hvor mange dager gammelt et lam minst må være når det slaktes. Løsningsforslag a Ved fødselen vil si at x = 0. Da har vi at V(x) = 5. Et nyfødt lam veier 5 kg. H. Aschehoug & Co. Side 37

39 b c Jeg skriver x=75 i inntastingsfeltet, og bruker verktøyet Skjæring til å markere punktet der x =75 skjærer grafen til V(x). Lammet veier 26 kg etter 75 dager. d H. Aschehoug & Co. Side 38

40 Jeg skriver y=45 i inntastingsfeltet, og bruker verktøyet Skjæring til å markere punktet der y = 45 skjærer grafen til V(x). Lammet er 143 dager, eller nesten 5 måneder gammelt når det er 45 kg. Oppgave 28 FRA EKSAMEN 2016 Oppgave 7 (4 poeng) GRAFTEGNER Galileo viste at kanonkuler går i en bane som vi kaller en parabel. Se skissen nedenfor. Banen til en kanonkule kan beskrives ved hjelp av funksjonen h gitt ved h(x) = 0,01x 2 + x + 20 a Bruk graftegner til å tegne grafen til h for x-verdier fra og med 0 til og med 120. b Bruk graftegner til å bestemme hvor høyt over havet kanonkulen er på sitt høyeste. Løsningsforslag a H. Aschehoug & Co. Side 39

41 b Jeg bruker verktøyet Ekstremalpunkt, og finner toppunktet. Kula er 45 m over havflaten på det høyeste. H. Aschehoug & Co. Side 40