INNHOLD SAMMENDRAG ALGEBRA OG FUNKSJONER

Transkript

1 INNHOLD ALGEBRA OG FUNKSJONER... PARENTESER... USYNLIGE PARENTESER... USYNLIGE MULTIPLIKASJONSTEGN... DE TI GRUNNLEGGENDE ALGEBRAISKE LOVENE... REGNEUTTRYKK INNSATT FOR VARIABLER... 3 SETTE OPP FORMLER... 3 POTENSUTTRYKK... 3 KVADRATRØTTER... 4 KVADRATSETNINGENE... 4 BRUK AV KVADRATSETNINGENE TIL FAKTORISERING... 4 FUNKSJONER... 5 LINEÆRE FUNKSJONER... 5 PROPORSJONALITET... 6 BRØKFUNKSJON... 6 OMVENDT PROPORSJONALITET... 7 ANDREGRADSFUNKSJON... 7 EKSPONENTIALFUNKSJON... 7 ULIKE REPRESENTASJONER AV FUNKSJONER... 8 LIKNINGER LØST VED «HOLD OVER» METODEN... 8 LIKNINGER LØST VED «GJETT OG SJEKK» METODEN... 8 LIKNINGER LØST VED ALGEBRAISK METODE... 8 SETTE PRØVE PÅ LIKNINGER... 9 ANDREGRADSLIKNINGER... 9 Å LØSE ET PROBLEM VED Å SETTE OPP LIKNING... 9 Å LØSE EN LIKNING MED HENSYN PÅ EN VARIABEL LIKNINGSSYSTEMER LØST VED INNSETTINGSMETODEN LIKNINGSSYSTEMER LØST VED ADDISJONSMETODEN LIKNINGSSYSTEMER LØST VED GRAFISK METODE ULIKHETER H. Aschehoug & Co. Side 1

2 ALGEBRA OG FUNKSJONER PARENTESER Matematikerne har funnet på at i regneuttrykk kan vi bruke parenteser for å markere hvilken regneoperasjon som skal gjøres først. USYNLIGE PARENTESER For å gjøre algebraiske uttrykk enklere å lese, har matematikerne funnet på reglene om regnerekkefølge: Potenser skal regnes ut først, så multiplikasjoner og divisjoner og til slutt addisjoner og subtraksjoner i regneuttrykk der bare disse regneartene forekommer. Dette betyr at det er usynlige parenteser rundt potenser, multiplikasjoner og divisjoner. USYNLIGE MULTIPLIKASJONSTEGN Hvis en bokstav eller en parentes skal multipliseres med et parentesuttrykk, en brøk eller et tall, kan du la være å skrive multiplikasjonstegnet. Det gjør formelen kortere. DE TI GRUNNLEGGENDE ALGEBRAISKE LOVENE Disse ti lovene er regler matematikerne har funnet ut at gjelder for regning med tall. Uansett hvilke tall a, b, c og d er, får du samme svar om du regner ut høyre side og venstre side i hver lov. Lov 1ab = ba Lov a(b + c) = ab + ac Lov 3 a(b c) = ab ac Lov 4 a(bc) = (ab)c Eksempel Lov 5 til lov 4 a (b + c) = a b c Lov 6 a (b c) = a b + c H. Aschehoug & Co. Side

3 REGNEUTTRYKK INNSATT FOR VARIABLER Bokstavene som inngår i algebraiske lover kalles variabler, fordi vi kan sette inn ulike tall for dem. Vi kan også sette inn regneuttrykk med en synlig eller usynlig parentes rundt for variablene. Disse regneuttrykkene kan inneholde tall, bokstaver eller begge deler. Hvis vi skal forenkle formelen kan vi bruke loven med, og til å få SETTE OPP FORMLER En formel uttrykker en sammenheng mellom størrelser.. Magdi kjøper et Toyotaklistremerke til kr 0 hver dag. Pengesummen Pn han har brukt på klistremerker etter n dager er da gitt ved formelen Pn = 0 n POTENSUTTRYKK Et potensuttrykk er på formen n a Tallet a kalles grunntallet, og tallet n kalles eksponenten. Definisjon: n a a a a a (n faktorer) Regler man kan bevise: Følgende definisjoner er valgt fordi de passer med reglene ovenfor: H. Aschehoug & Co. Side 3

4 KVADRATRØTTER Kvadratroten av tallet a skrives a Per definisjon skal a ikke være negativ, og vi skal ha ( a) ( a) a 16 4 fordi Regler man kan bevise: Hvis a er et naturlig tall og ikke er et helt tall, så er et irrasjonalt tall. Eksempler: og KVADRATSETNINGENE Første kvadratsetning: ( a b) a ab b Andre kvadratsetning: ( a b) a ab b Konjugatsetningen: ( a b)( a b) a b Første kvadratsetning er illustrert til høyre. BRUK AV KVADRATSETNINGENE TIL FAKTORISERING Bruk konjugatsetningen til å faktorisere uttrykket x 1 Bruk første kvadratsetning til å faktorisere uttrykket x xy y Bruk andre kvadratsetning til å faktorisere 9x 6x 1 H. Aschehoug & Co. Side 4

5 Her er et eksempel hvor konjugatsetningen brukes sammen med algebraisk lov 9. FUNKSJONER Når en størrelse x bestemmer en annen størrelse y entydig, sier vi at y er en funksjon av x og skriver y f() x LINEÆRE FUNKSJONER Lineære funksjoner er på formen f( x) ax b Stigningstall: a Skjæring med y-aksen: b Marie tar bussen til butikken for å kjøpe x kg epler. Bussen koster 30 kr tur retur, og eplene koster 15 kr per kg. Da er f(x) utgiftene hennes. f(x) = 15x + 30 H. Aschehoug & Co. Side 5

6 PROPORSJONALITET En proporsjonalitet er på formen f( x) ax Stigningstall: a Skjæring med y-aksen: b 0 Det koster kr per minutt å parkere i det nye flotte parkeringshuset i byen. Da er f( x) x prisen for å parkere x minutter. BRØKFUNKSJON a f( x) b x 000 fx ( ) 75 x 10. trinnselevene leier et lokale til avslutningen. Det koster 000 kr. I tillegg må elevene betale 75 kr hver for pizza. Da er f(x) prisen hver elev må betale. H. Aschehoug & Co. Side 6

7 OMVENDT PROPORSJONALITET a fx () x 8 fx () x Et rektangel har areal 8 cm, og bredde x. Da er f(x) lengden. ANDREGRADSFUNKSJON f(x) = ax + bx + c 100 x f( x) x x(50 x) x 50x Et rektangel har omkrets 100 cm, og bredde x. Da er f(x) arealet av rektangelet. EKSPONENTIALFUNKSJON f(x) = k a x f(x) = ,03 x Mons setter 5000 kr inn i banken. Renten er 3 %. Da er f(x) beløpet han har på konto etter x år. H. Aschehoug & Co. Side 7

8 ULIKE REPRESENTASJONER AV FUNKSJONER Funksjoner kan representeres på ulike måter. Vi har sett på fire slike måter. Overgangene mellom disse fire satte vi opp i en Janviertabell. LIKNINGER LØST VED «HOLD OVER» METODEN Denne metoden passer ofte når den ukjente x fins bare ett sted i likningen. Vi tenker at vi holder fingeren over et uttrykk der x er med. Her holder vi over x +, og ser at denne må være 5. Altså x = 3. LIKNINGER LØST VED «GJETT OG SJEKK» METODEN Denne metoden går ut på å gjette en verdi for x, sette inn i likningen, og se om den passer. Her passer LIKNINGER LØST VED ALGEBRAISK METODE Ved algebraisk løsningsmetode kan vi enten gjøre samme regneoperasjon på begge sider av likningen, eller vi kan bruke algebraiske lover til å skrive om uttrykket på den ene siden. H. Aschehoug & Co. Side 8

9 SETTE PRØVE PÅ LIKNINGER Når du skal sette prøve på en likning, setter du inn x-verdien du har funnet i likningen, og regner ut venstre og høyre side hver for seg. Vi setter prøve på likningen over. Venstre side (VS) Høyre side (HS) Vi ser at vi får samme svar på venstre og høyre side. Det betyr at vi har funnet riktig verdi for x. ANDREGRADSLIKNINGER En andregradslikning kan skrives på formen ax bx c 0 der x er den ukjente og a, b, c er gitte tall. Vi kan løse slike likninger f.eks. ved GeoGebra. Vi kan løse likningen i GeoGebra ved å bruke kommandoen Nullpunkt på andregradsfunksjonen f(x) = x 5x + 6 Å LØSE ET PROBLEM VED Å SETTE OPP LIKNING I en klasse har 1 3 av elevene valgt spansk, 1 av elevene har valgt fransk og 5 har valgt noe annet. Hvor mange elever er det i klassen? Den ukjente er antall elever i klassen. Dette antallet kaller vi x. Da er 1 1 x x 5 x 3 H. Aschehoug & Co. Side 9

10 Å LØSE EN LIKNING MED HENSYN PÅ EN VARIABEL Volumet V av en kjegle er gitt ved 1 V Gh 3 Vi skal finne h, altså løse likningen med hensyn på h: 3V Gh 3V h G LIKNINGSSYSTEMER LØST VED INNSETTINGSMETODEN I x y 5 II x y 1 Likning II gir x 1 y Innsatt i likning I gir dette (1 y) y 5 y y 5 3y 3 y 1 Likning II gir da x 1 1 LIKNINGSSYSTEMER LØST VED ADDISJONSMETODEN I x y 5 II x y 1 I + II: 3x 0y 6.Dette gir x =. Likning II gir da y 1, altså y = 1. H. Aschehoug & Co. Side 10

11 LIKNINGSSYSTEMER LØST VED GRAFISK METODE I x y 5 II x y 1 ULIKHETER Du kan løse ulikheter algebraisk på samme måte som du løser likninger, bortsett fra at du må snu ulikhetstegnet når du multipliserer eller dividerer begge sider med et negativt tall. Se eksempel. Vi skal løse ulikheten H. Aschehoug & Co. Side 11