Innlevering i FO929A - Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering 1 Innleveringsfrist Fredag 19. september 2014 kl. 14:00 Antall oppgaver: 18

Transkript

1 Innlevering i FO99A - Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering Innleveringsfrist Fredag 9. september 04 kl. 4:00 Antall oppgaver: 8 Løsningsforslag Skriv som en brøk (eller et heltall) + 3/4 + + (3/4) + ( + 3)/4 + ( + 3)/(4 + ) + 3/(4 + ). /4, /4,, 4/5, 8/5. Skriv som en brøk /(/3) (/)/3 (3/4) 3/4 ( 3 4 ) /, /6, 9/6, 3/6, 9/6, 9/4. 3 Finn heltallene lik 9 5, 9( 5), 9 (5), 9 ( 5), 9( 5), , 45, 4, 4, 45, 4. 4 Finn heltallene lik ( ) ( 3) 3 ( 3) ( 3) 4. 4, 7,, 79, 83.

2 5 Finn de naturlige tallene lik 3 3 ( 3) ( 3 ) 3. 3 = (3) = (0 + 3) = = = 59, 8, 36, 6 = 64, 9 = 5. 6 Løs følgende likninger ved regning, og oppgi svarene eksakt.. x + 5 = 0. x 3( x) = 5 ( x ) = 3 5 ( 4. ( x) 3x ) = 0 5. x x + =. x + 5 = 0 gir x = 5 og dermed x = 5.. x 3( x) = 5 gir x 3 + 3x = 5 etter opplï¾ sning av parenteser. Dermed er 4x = 8, og x =. 3. x ( 6 + ) = 3 gir x ( ) = 30 etter multiplikasjon med fellesnevner Dermed er x = 4, og x =. 4. ( x) ( 3x)+ = 0 gir 5 5x (30 9x)+5 = 0 etter multiplikasjon med 5 3 fellesnevner 5. Dermed er 6x 0 = 0, som gir 6x = 0, og x = 0 = x x+ = gir x = (x + ) = x etter multiplikasjon med x + (under forutsetting at x /). Dermed er 3x =, og x = 3.

3 7 Løs ulikhetene, og oppgi svarene eksakt.. 4x/ x. 3. x + 3 x x + < 4x + 5x 3. Ulikheten 4x/5+ 3 4x er ekvivalent til 4x+4x/5 3. Siden 4x+4x/5 er lik 4x(+/5) = 4x(6/5) = (4/5)x er likningen ekvivalent til x 5/4 = 5/. Løsningen er x 5/.. Ulikheten x + 3 er ekvivalent til x = 4 8. Løsningen er x Ulikheten + / er ekvivalen til = 4. Ved å gange med på x 3 x 3 3 begge sider er dette ekvivalent til 8. Dette har ingen positive løsninger for x 3 x. Vi kan derfor avgrense oss til x < 0. Ved å gange med x 8 (som er positiv) på 3 begge sider vil fortegnet være uendra og vi får 3 x (for negative x). Løsningen 8 er derfor 3 x < Den doble ulikheten er ekvivalent til de to ulikhetene a) x + < 4x + og b) 4x + 5x 3 kombinert. Ulikhet a) er ekvivalent til < 4x x, som igjen er ekvivalent til / < x. Ulikhet b) er ekvivalent til + 3 5x 4x, som er 5 x. Den felles løsningen til disse to ulikhetene er 5 x. Løsningen er derfor x 5. 8 Løs følgende likningene ved regning, og oppgi svarene eksakt.. x x + 0 = 0. (x 4)x = 5 + 6x 3. (x )(x ) = 4. x + x + = 0 5. x = 6 x. x x + 0 = 0 gir x = ± 40 = ±9, og vi ser at x = eller x = 0. 3

4 . (x 4)x = 5 + 6x gir x 4x = 5 + 6x, eller x 0x + 5 = 0. Dermed er x = 0± = 0 = 5, er x = 5 eneste løsning av likningen. 3. (x )(x ) = gir x 3x + =, eller x 3x = x(x 3) = 0. Dermed er x = 0 eller x = x + x + = 0 gir x + + x = 0 etter multiplikasjon med nevneren x. Dermed er x + x + = 0. Siden 4 = 4 = 3 < 0, har likningen ingen løsning. 5. = 6 gir x x = 6, eller x x 6 = 0. Dermed er x = ± +4 x x og vi ser at x = eller x = 3. = ±5, 9 Løs følgende likninger ved regning, og oppgi svarene eksakt.. x 3 3x + x = 0. x 5 3x x = 0 3. x 7 = 8 4. x 4 = x 3 3x + x = 0 gir x(x 3x + ) = 0, og dermed x 3x + = 0 eller x = 0. Den første likningen har løsninger x = 3± 9 8 = 3±. Vi får dermed løsningene x = 0, x = og x =.. x 5 3x 3 +36x = 0 gir x(x 4 3x +36) = 0, og dermed x = 0 eller x 4 3x +36 = 0. For å løse den siste likningen, setter vi u = x, som gir u 3u + 36 = 0. Dermed er u = 3± = 3±5, og u = 9 eller u = 4. Vi ser dermed at x = 9 eller x = 4, det vil si x = ±3 eller x = ±. Vi får dermed løsninger x = 0, ±, ±3. 3. x 7 = 8 gir eksakt en løsning x = 7 8 = siden 7 er odde. Dermed er x =. 4. x 4 = 56 8 gir to løsninger x = ± 4 56 = ± = ± 4 56 siden > 0 og 4 er jevn. 3 8 Dermed er x = 4 3 eller x = Løs følgende likninger ved regning, og oppgi svarene eksakt.. 5 x = x +. 4 x = x 4

5 3. 3x = 3 x. 5 x = x + impliserer 5 x = (x + ) = x + x + etter kvadrering, eller x + 3x 4 = 0. Dette gir x = eller x = 4. Vi setter x = og x = 4 inn i opprinnelig likning 5 x = x +, og ser at x = gir løsning, mens x = 4 ikke gir løsning. Dermed er x =.. 4 x = x impliserer 4 x = ( x) = 4 4 x + x etter kvadrering, og dermed x = 4 x. Kvadrering av denne likningen gir 4x = 6x, eller 4x 6x = 4x(x 4) = 0, og dermed x = 0 eller x = 4. Vi setter x = 0 og x = 4 inn i opprinnelig likning 4 x = x, og ser at x = 0 og x = 4 begge gir løsning. Dermed er x = 0 eller x = x = 3 x impliserer ( 3x) 6 = ( 3 x) 6 (ved å opphøye begge sider av likningen i 6 = 3), eller (3x) 3 = x. Dermed er (3x) 3 x = 7x 3 x = x (7x ) = 0, så x = 0 eller x =. Vi setter x = 0 og x = 7 7 inn i opprinnelig likning 3x = 3 x, og ser at x = 0 og x = begge er løsninger. Dermed er x = 0 eller x = 7 7. Utfør polynomdivisjonen. Finn kvotient og rest.. x : (x ). (x 3 + x + ) : (x ) 3. (x 4 + ) : (x x). Vi utfører polynomdivsjonen x : (x ), som gir følgende resultat: x : (x ) = x + (x x ) = (x ) (x ) = () () Vi ser at vi får kvotient x + og rest.. Vi utfører polynomdivsjonen (x 3 4x+) : (x x+), som gir følgende resultat: (x 3 x +) : (x ) = x + (x 3 x ) = (x +x +) (x ) = (+x +3) () Vi ser at vi får kvotient x + og rest x

6 3. Vi utfører polynomdivsjonen (x 4 + ) : (x x), som girfølgende resultat: (x 4 +) : (x x) = x + x + (x 4 x 3 ) = (x 3 +) (x 3 x ) = (x +) (x x ) = (x +) (3) Vi ser at vi får kvotient x + x + og rest x +. Faktoriser følgende uttrykk mest mulig.. x 3 x + x. x 6x x 5 x + 4. x x 3 6x + x 6. Vi har at x 3 x + x = x(x x + ) = x(x ). Siden alle faktorene er førstegradsuttrykk, blir faktoriseringen x 3 x + x = x(x ).. Likningen x 6x + 35 = 0 4 gir x = 6± = 6±, og dermed x = 5 eller x = 7. Siden x 6x har ledende term x, blir faktoriseringen x 6x + 35 ( 4 = x 5 ) ( x 7 ). 3. Likningen x 5 x + = 0 har ikke noen løsninger, og x 5 x + kan derfor ikke faktoriseres i førstegradsfaktorer. Faktoriseringen blir dermed x 5 x Likningen x = 0 har en løsning x = 3 8 =. Dermed vet vi at (x + ) deler x For å nne kvotienten, utfører vi polynomdivisjonen x 3 +8 : x+. Vi får at (x 3 + 8) : (x + ) = x x + 4, og dermed er x = (x + )(x x + 4). For å sjekke om den siste faktoren kan faktoriseres i førstegradsfaktorer, løser vi likningen x x + 4 = 0, og ser at en ikke har noen løsninger. Faktoriseringen blir dermed x = (x + )(x x + 4). 5. Vi forsøker å nne en løsning av likningen x 3 6x +x 6 = 0. Mulige heltallige løsninger er ±, ±, ±3, ±6, og vi ser at x = er en løsning ved innsetting. Polynomdivisjon gir (x 3 6x + x 6) : (x ) = x 5x + 6, og videre er løsningene av x 5x+6 = 0 gitt ved x = eller x = 3. Dermed blir x 5x+6 = (x )(x 3), og faktoriseringen blir x 3 6x + x 6 = (x )(x )(x 3). 6

7 3 Sett opp fortegnsskjema for følgende uttrykk.. x 3 x + x. x 6x x 4. x 3 6x + x 6 5. x 3 x + x x 5x + 6. Vi bruker faktoriseringen x 3 x + x = x(x ), og nner følgende fortegnsskjema: 0 x x x x 3 x + x Vi bruker faktoriseringen x 6x + 35 = (x 5)(x 7 ), og nner følgende 4 fortegnsskjema: 5/ 7/ x 5/ x 7/ x 6x + 35/ Vi bruker at x = x x, og nner følgende fortegnsskjema: 0 x x x Vi bruker faktoriseringen x 3 6x + x 6 = (x )(x 5x + 6) = (x )(x )(x 3) og nner følgende fortegnsskjema: 3 x x x x 3 6x + x

8 5. Vi bruker faktoriseringen x 3 x + x x 5x + 6 = x(x ) (x )(x 3) og nner følgende fortegnsskjema: 0 3 x x x x x x 3 x +x x 5x X - X + 4 Løs følgende ulikheter ved regning, og oppgi svarene eksakt.. x 3x <. x x > + (x 0) x. Ulikheten x 3x < gir x 3x+ < 0, og fra fortegnsskjemaet for x 3x+ = (x )(x ) ser vi at x 3x + < 0 når < x <, det vil si når x (, ).. Ulikheten x gir x , og fra fortegnsskjemaet for x = (x + 3)(x 3x + 9) ser vi at x når x 3, det vil si når x [ 3, ). 3. Ulikheten > + x x er ekvivalent til + +x x > 0, det vil si > 0. x x x Siden x > 0 når x 0, gir dette + x x > 0, eller x x < 0. Fra fortegnsskjemaet for x x = (x )(x + ) ser vi at x x < 0 når < x < og x 0, det vil si når x (, 0) (0, ). 5 a) Peter er år og Hanne er 6 år. Når er Hanne tre ganger så gammel som Peter? b) Jens er to år eldre enn Erna. Om ett år de tilsammen 0 år. Hvor gamle er Erna og Jens nå? c) Ane, Bente og Casper har til sammen 0 kroner. Ane har 0 kroner mer enn Bente, og Ane og Bente har tilsammen dobbelt så mye penger som Casper. Hvor mye penger har Ane, Bente og Casper? 8

9 a) Peter er år og Hanne er 6 år. Når er Hanne tre ganger så gammel som Peter? Om x år er Peter x + år og Hanne er 6 + x år. Hanne er tre ganger så gammel som Peter når 3(x + ) = 6 + x. Vi løser likningen. Likningen er ekvivalent til 3x x = 6 6, så x = 0/ = 5. Vi ser at Hanne er tre ganger så gammel som Peter om 5 år. De er da henholdsvis 7 og (= 3 7) år gamle. b) Jens er to år eldre enn Erna. Om ett år de tilsammen 0 år. Hvor gamle er Erna og Jens nå? La alderen til Jens være J, og alderen til Erna være E. Informasjonen vi er gitt kan da uttrykkes som J = E + og J + + E + = 0. Vi løser dette lineære likningssystemet med to ukjente og to variabler. Innsettingsmetoden gir J + E = (E + ) + E = 0 = 08. Derfor er E = 06/ = 53, og derfor J = E + = 55. Erna er 53 år og Jens er 55 år. c) Ane, Bente og Casper har til sammen 0 kroner. Ane har 0 kroner mer enn Bente, og Ane og Bente har tilsammen dobbelt så mye penger som Casper. Hvor mye penger har Ane, Bente og Casper? La pengemengden til de tre være gitt ved forbokstaven i navnene deres. Informasjon som er oppgitt kan da uttrykkes som A + B + C = 0, A = B + 0, A + B = C. Dette er et lineært likningssytem med tre ukjente og tre likninger. Setter vi inn A + B = C i den første likningen får vi 3C = 0. Derfor er C = 0/3 = 34. Ved å sette inn A = B + 0 i den tredje likningen får vi B = C 0 = 58, og B = 9. Derfor er A = B + 0 = 39. Ane har 39 kroner, Bente har 9 kroner, og Casper har 34 kroner. 6 Mål lengden på sidene til et A4 ark. Bekreft at de er.0 og 9.7 cm. Forholdet mellom den lange og den korte siden er da.4. Et A4 ark kan deles i to (midt på den lange siden) slik at vi får to like store A5 ark. De har praktisk talt samme forhold mellom lang og kort side som A4 arket. Vis (ved å sette opp likninger og løse dem) at et rektangulert ark, og de to arkene som fremkommer ved å dele arket i to like rektangulere ark (langs den lengste siden) vil ha sammme forhold mellom den lange og den korte siden hvis og bare hvis dette forholdet er lik = Velg lengden på den korte siden i rektangelet til å være, og la x betegne lengden på den lengste siden. Forholdet er da x. På arkene som fremkommer etter bretting har den lengste siden lengde og den korteste siden har lengde x/. Forholdet mellom den lange og den korte siden er derfor /(x/) = /x. Dette forholdet er lik x hvis /x = x, som er ekvivalent til = x. Dette skjer bare hvis x = (forholdet må være positivt). 9

10 7 Vise følgende resultat: Hvis a og b er reelle tall slik at a + b er positiv, da er a < b hvis og bare hvis a < b. (Hint: Du kan for eksempel benytte konjugatsetningen.) Konjugatsetningen (b a)(b + a) = b a og vår antakelse at a + b > 0 gir at b a og b a har samme fortegn. Resultatet følger fordi b > a hvis og bare hvis b a er positiv og b > a hvis og bare hvis b a er positiv. 8 Vi har at + = =.4... < = = 3 < + 5 = Vis hvorfor x + y < x + y for alle positive reelle tall x og y. Resultatet ovenfor gir at x + y < x + y er ekvivalent til ( x + y) < ( x + y). Ulikheten er x + y < x + y + xy. Dette er ekvivalent til 0 < xy, som er sant for alle positive x og y. Utsagnet x + y < x + y er derfor sant for alle positive x og y. 0