Innlevering i FORK Matematikk forkurs OsloMet Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Onsdag 14.november 2018 kl. 10:30 Antall oppgaver: 13

Transkript

1 Innlevering i FORK00 - Matematikk forkurs OsloMet Obligatorisk innlevering Innleveringsfrist Onsdag 4.november 08 kl. 0:0 Antall oppgaver: Bestem vinkelen mellom vektorene u = [, 7] og v = [4, 5]. Hva er vinkelen mellom to linjer parallelle til vektorene? og LF: Vinkelen θ er gitt ved cos(θ = Vi har at absoluttverdiene til vektorene er u v u v u = + 7 = 5 v = 4 + ( 5 = 4 Skalarproduktet er u v = ( 5 = 7. Vinkelen mellom vektorene er dermed tilnærmet lik ( 7 arccos = Vinkelen mellom to linjer parallelle til vektorene er tilnærmet lik = Vi har gitt to vektorer a og b slik at a = 4 og b = 5 samt at vinkelen mellom a og b er 0 grader. Bestem lengden til følgende vektorer og bestem vinkelen mellom dem u = a + b og v = a + b LF: Vi kan uttrykke både absoluttverdien til vektorene u og v og skalarproduktet mellom vektorene ved hjelp av absoluttverdiene til vektorene a og b og skalarproduktet mellom dem. Vi har at a b = a b cos(0 = 4 5 ( / = 0 u = ( a + b ( a + b = a + b + ( a b = ( 0 = = 69

2 Derfor er u = 69 =. Tilsvarende er v = ( a + b ( a + b = ( a + b + ( a b Så v = 6. Skalarproduktet er gitt ved = ( 0 = = 6 u v = ( a + b ( a + b = ( a + b + ( + ( a b = ( 0 = = 5 Vi har at vinkelen mellom u og v er gitt ved ( u ( v 5 θ = arccos u = arccos v 6 = Vis at arealet til en trekant med sider av lengde a, b og c er gitt ved (a b + a c + b c (a 4 + b 4 + c 4 Hint: Se siste side i forelesningsnotatene fredag 9. oktober En alternativ formel til denne er S(S a(s b(s c hvor S = (a + b + c/. Denne formelen kalles Herons formel. Sjekk gjerne at de to er like for alle a, b og c. LF: Ved cosinussetningen så er cos( C = (c a b /(ab. Siden vinklene i en trekant er mellom 0 og 80 grader er alltid sinus av en slik vinkel ikke-negativ. Derfor er sin( C = cos ( C Arealet er lik A = ab sin( C/ = ab 4a b (c a b 4a b. Siden a og b er positive er dette lik 4a b (c 4 + a 4 + b 4 + (a c + b c a b Dette gir resultatet. Hvis vi faktoriserer uttrykket under rottegnet får vi 4 (a + b + c( a + b + c(a b + c(a + b c Formelen for arealet til en trekant med sider av lengde a, b og c er mest kjent som s(s a(s b(s c hvor s = (a + b + c/.

3 4 Gitt to ikkje-parallelle vektorer a og b. De utspenner en trekant ved å la ene hjørne være origo og de to andre hjørnene A og B være gitt ved OA = a og OB = b. La P være punktet midt mellom origo og A og la Q være punktet mellom A og B slik at AQ er halvparten så lang som QB. Vis at linjene mellom B og P treer linjen gjennom origo og Q i akkurat ett punkt S. Uttrykk vektoren OS ved hjelp av a og b. (Tegn gjerne en gur for typiske vektorer a og b. LF: Vi har at OP = OA = a Siden AQ er halvparten så lang som QB, så er AQ en tredel så lang som AB. Vi har derfor at AQ = AB = ( b a Derfor er OQ = OA + AQ = ( b a + a = b + a Vektoren fra P til B er P B = OB OP = b a. Linjen gjennom origo og Q er derfor parametrisert som s ( OQ = s b + a og linjen gjennom B og P er parametrisert som De to linjene møtes når s OB + t ( b P B = b + t a ( b + a = ( b b + t a Vi samler ledd med a og b sammen ( s ( b s t + + t a = 0 Siden de to vektorene er linært uavhengige så er dette mulig hvis og bare hvis kosientene til både a og b er null. Dette gir oss s t = 0 og s + t = 0 Den andre likningen gir at t = 4s/. Setter vi dette inn i den første likningen får vi s 4s = 0 som gir 5s = Derfor er s = /5 og OS = 5 ( b + a = 5 b + a 5

4 5 Finn volumet til tetraederet med hjørner O(0, 0, 0, P (,, 5, Q(, 0, 6 og R(4, 4,. LF: Volumet til tetraederet er lik en sjettedel av absoluttverdien til trippelproduktet av vektorene OP, OQ og OR. Trippelproduktet er lik = = 4( 6 ( ( = 4 =. Denne første likheten kommer av at trippelproduktet er lineært i hver vektor variabel. Vi konkluderer med at volumet til tetraederet er lik /6 =. 6 Et plan er gitt ved likningen x y + z = 4. a Gi en parametrisering av planet. b Finn punktet på planet som er nærmest punktet P (,, 4. Hva er avstanden melllom punktet P og planet? LF: a En normalvektor til planet er [,, ]. Vi nner to vektorer som er parallelle til planet (vinkelrett på normalvektoren og som er innbyrdes ikke-parallelle, samt et punkt i planet. Vektorene [,, 0] og [, 0, ] er parallelle til planet siden de står vinkelrett på normalvektoren. Punktet (4, 0, 0 ligger i planet siden det tilfredstiller likningen for planet. En parametrisering er derfor gitt ved x = 4 + t + s y = t z = s Dette kan også uttrykkes ved at x er en funksjon av y og z gitt ved x = 4 + y/ z. (Merk at det er ingen ting spesielt med denne parametriseringen. Vi får en parametrisering for hvert valg av vektorer parallelle til planet og punkt i planet. b Vi nner vektoren P Q fra P til punktet Q på planet nærmest P. Vektoren må være parallell til en normalvektor til planet. En normalvektor er [,, ]. Punkt på linjen gjennom P og parallell til [,, ] er parametrisert ved [x, y, z] = [,, 4] + t[,, ] 4

5 Vi setter dette inn i likningen for planet og bestemmer punktet Q hvor linjen treer planet ( + t ( t + (4 + t = 4 Dette gir 7 + 4t = 4, så t = /4. Vektoren P Q = (/4[,, ]. Lengden til denne vektoren er lik (/4 4 = / Vi nner punktet Q ved å benytte OQ = OP + P Q. OQ = [,, 4] (/4[,, ] = [ 7, 4, 47] 4 Koordinaten til punktet Q er derfor ( 7/4, 7/7, 47/4. 7 Vi har gitt tre punkt A, B og C i rommet med koordinater henholdsvis (, 0, 0, (0,, og (,,. a Finn vinkelen ABC b Finn en parametrisering av planet som inneholder de tre punktene A, B og C. c Finn en likning for planet i b og bestem arealet til trekanten ABC. LF: a Vi har at BA = [,, ] og BC = [, 0, 5]. Derfor er kvadratet av lengdene gitt ved BA = + ( + ( = 4 og BC = ( 5 = 6 Skalarproduktet mellom vektorene er BA BC = ( ( 5 = Vi nner vinkelen arccos ( BA BC BA BC = 4 6 = b Vi nner to lineært uavhengige vektorer i planet AB = [,, ] og AC = [0,, ]. En parametrisering er gitt ved for reelle tall s og t. x = s y = s + t z = s t 5

6 c Vektoren AB AC står vinkelrett på planet. Denne vektoren er lik [5,, ]. Vi velger normalvektoren [5,, ]. En likning for planet er derfor 5x + y + z = 5. Arealet til trekanten er ved arealsetningen lik AB AC [5,, ] 7 = = = 9 8 Parametriser linjen som er snittet (felles punkt av planet i oppgave 6 og planet oppgave 7. LF: De to plana vil snitte i en linje siden normalvektorene deres ikke er parallelle. Denne llinjen ligger i begge plana og er derfor vinkelrett på normalvektorene til dem begge. Snittlinjen må derfor være parallell til kryss-produktet mellom de to normalvektorene. Vi nner nå kryssproduktet av de to normalvektorene (velger en rekkefølge på dem i j k [,, ] [5,, ] = = [ 5, 4, ] 5 For å bestemme linjen vår trenger vi nå bare et punkt den går gjennom. Det er mange felles løsninger til x y + z = 4 og 5x + y + z = 5 For å avgrense valget kan vi prøve å nne punktet hvor linjen treer xy-planet. (Hvis den ikke gjødet må vi prøve noe annet. Vi setter da z = 0 og får de to likningene x y = 4 og 5x + y = 5 Legger vi til to kopier av den adre likningen til den første får vi x = 4. Dette gir x = 4/ og videre y = 5( x = 5/. Et punkt på linjen er derfor (4/, 5/, 0. En paametrisering av linjen er da gitt ved [x, y, z] = [4/, 5/, 0] + t[ 5, 4, ] 9 a Finn den korteste avstanden mellom linjene parametrisert ved for reelle t, og ved [,, ]t + [,, ] [4,, 5]s + [/, /, ] for reelle s. b Finn endepunktene til det korteste linjestykke mellom linjene (det er det samme som et punkt på hver linje slik at avstanden mellom dem er minst mulig. 6

7 LF: Avstanden er kortes når linjestykket mellom linjene står rett på begge linjene. La a = [,, ] og b = [4,, 5]. La C være et punkt på den første linjen og D være et punkt på den andre linjen. Vi har da at CD er kortest når vektoren CD er vinkelrett på både a og b. Vi har derfor at må være parallell til kryssproduktet CD n = a b = i j k 4 5 = [,, 6] Vi setter nå opp likningen vi får ved å gå fra et punkt fra den første linjen til den andre linjen via en skalar u ganget med n. [,, ]t + [,, ] + u[,, 6] = [4,, 5]s + [/, /, ] Dette gir likningssystemet t 4s u = / t s +u = 5/ t +5s 6u = 5 Løsningene er t.07, s = og u = Avstanden mellom linjene er lik u n Vektoren fra origo til punktet på den første linjen er [,, ](.07 + [,, ] = [.047, 0.047, 0.07] Vektoren fra origo til punktet på den andre linjen er [4,, 5]( [/, /, ] = [.044, 0.05, 0.069] En enklere måte å regne ut avstanden mellom linjene er å nne en felles normalvektor mellom dem og så ta absoluttverdien til komponenten til en vilkårlig vektor mellom punkt, ett på hver linje, langs denne normalvektoren. Hvis vi velger punktet P (,, på den første linjen og punktet Q(/, /, på den andre linjen så nner vi at avstanden er absoluttverdien til QP n / n = [,, 6] [ /, /, ( ]/ ( + + ( 6 = ( / =

8 0 a Finn summen av alle naturlige tall mindre enn eller lik 000. b Finn summen av alle positive partall (dvs. tall som er delelige med mindre enn eller lik 000. c Finn summen av alle naturlige tall som er delelige med 5 og mindre enn eller lik 000. d Finn summen av alle naturlige tall som er delelige med eller 5 (eller begge og mindre enn eller lik 000. LF: a = = b Finn summen av alle positive partall (dvs. tall som er delelige med mindre enn eller lik 000. Positive partallene mindre enn 000 er følgen a n = n for n mellom og 500. Summen av partala er lik ( = = c Finn summen av alle naturlige tall som er delelige med 5 og mindre enn eller lik 000. Dette er summen av tall a n = 5n for n mellom og 00. Summen er lik ( = 5 = = d Finn summen av alle naturlige tall som er delelige med eller 5 (eller begge og mindre enn eller lik 000. Dette er summen av alle tall mindre enn eller lik 000 som er positve partall og alle naturlige tall delelige med 5 hvor vi trekker fra alle tall delelige med 0 (siden de blir telt opp dobbelt. Tall som er delelig med både og 5 er tall som er delelige med 5 = 0. Summen av disse tallene opp til og med 000 er 0( = Summen blir derfor = Den. januar 00 setter Josef inn 000 kroner på en fastrentekonto med 0.05% årlige renter. Han fortsetter å sette inn 000 kr. januar hvert år frem til og med. januar 00. Hvor mye penger vil det være på kontoen ved utgangen av 0? LF: Vi regner dette ut med en rentesats r. Deretter setter vi inn både den oppgitte rentesatsen 0.05% og r = 0.05 = 5%. 8

9 La P 0 = 000kr være beløpet som settes inn årlig. Pengene som settes inn. januar 00 vil ha forrente seg år når de tas ut. Deres verdi er da økt til P 0 (+r. Pengene som ble satt inn. januar 009 vil ha forrenta seg til P 0 ( + r 4. Vi har tilsammen satt inn penger i 0 år. Vi får derfor at pengemengden ved utgangen av 0 er summen av den geometrisk rekken Summen er lik P 0 ( + r + P 0 ( + r P 0 ( + r. P 0 ( + r (( + r 0 /r Når r = 0.05% = får vi 008 kr. Når r = 5% = 0.05 får vi 4560 kr. Vis at summen av alle tall på formen n m hvor 0 n og 0 m 5, er lik (Det er 6 = 7 slike tall. Summen er lik Σ n=0 Σ 5 m=0 n m = Σ n=0 n Σ 5 m=0 m = Σ n=0 n 6 = ( 6 = Finn konvergensområde og summen til de to følgende geometriske rekkene t t4 + t x + 8x 5 + 6x 7 + LF: I det første tilfellet er kvotienten lik k = t4 / t = t Den uendelige geometrriske rekken konvergerer når absoluttverdient til kvotienten er ekte mindre enn. Det vil si t = t / <. Rekken konvergerer derfor for alle t i intervallet,. Summen til rekken er lik summen til rekken ( t t + t4 9 + Denne summen er lik t ( t / = t + t Den andre geometrisek rekken har kvotient lik x. Den konvergerer derfor for alle x ekte mellom / og /. Når rekken konvergerer er summen til rekken er lik 4x x = 4x x 9