Geometri R2, Prøve 2 løsning

Transkript

1 Geometri R, Prøve løsning Del 1 Tid: 60 min Hjelpemidler: Skrivesaker Oppgave 1 Gitt punktene P 1, 1,5 og Q 1,4,0 a) Bestem avstanden mellom punktene Avstanden mellom punktene er lengden av PQ PQ 1 1,4 1,0 5 0,5, 5 PQ P og Qligger på en kuleflate som har sentrum i S 1, 1,0 b) Bestem likningen for kuleflata Radius i kula er avstanden fra sentrum i kuleflata til et punkt på kuleflata Vi bestemmer SQ : SQ 1 1,4 1,0 0 0,5,0 SQ Likningen for kuleflata: x 1 y 1 z 5 c) Bestem PSQ Alternativ 1 Vi bruker skalarproduktet Vi har SQ 0,5,0 og finner SP 1 1, 1 1,5 0 0,0,5 SP SQ 0,5,0 0,0,5 0 Når skalarproduktet er 0, vet vi at vinkelen mellom vektorene er 90 Alternativ S og Phar samme x og y-koordinat Da vet vi at SP er parallell med z -aksen S og Q har samme x og z-koordinat Da vet vi at SQ er parallell med y -aksen Og da vet vi at vinkelen mellom vektorene er 90 1

2 Oppgave Gitt to tredimensjonale vektorer u og v Du får oppgitt at uv 9, u = og v a) Vis at v u u 0 v u u v u u u 9 0 b) Bestem v u v u v u v v u u 9 c) Bruk resultatene fra a) og b) og tegn trekanten utspent av u og v Resultatet fra a) viser at trekanten er rettvinklet Resultatet fra b) viser at trekanten er likebeint Oppgave Gitt punktene A(1,1,0), B (7,,0) og C(,6,0) a) Vis at arealet til trekanten ABC er 1 Arealet til trekanten er 1 AB AC 7 1, 1, 0 6,, 0 1,6 1, 0, 5, 0 AB AC 1 1 Arealet AB AC 0,0,6 1 A, B, C og D er hjørner i en pyramide BAD CAD 90 og volumet til pyramiden er 9 b) Bestem koordinatene til D Siden A, B og C ligger i xy -planet og BAD CAD 90, må AD være parallell med z -aksen og D må ha samme x og ykoordinater som A Hvis vi ser på trekanten ABC som grunnflate i pyramiden, blir z -koordinaten til D høyde og vi får likningen z 9 z 1 9 D 1,1,9 D 1,1,9

3 Del Tid: 60 min Hjelpemidler: Alle, unntatt kommunikasjon Oppgave 4 Et plan er gitt ved parameterfremstillingen x t s y 4t s z 1 t s a) Bestem en likningsfremstilling for planet Vi vet at punktet,,1 ligger i planet En normalvektor for planet er 1,4, 1,,1 dette kryssproduktet i CAS i GeoGebra: Vi finner Likningen for planet er x y z x y z 0 b) Undersøk om P 4,10, ligger i planet Alternativ 1 Bruker parameterfremstillingen: Vi løser likningssettet vi får ved å sette inn x og y-koordinaten fra punktet i parameterfremstillingen: Så setter vi disse verdiene inn i z -koordinaten: z Punktet ligger ikke i planet Alternativ Bruker likningsfremstillingen fra a): Vs : Hs : 0 Punktet ligger ikke i planet

4 Linja m er gitt ved parameterfremstillingen x 1 r y r z 1 r c) Vis at skjæringspunktet, S, mellom denne linja og planet har koordinatene,7, Alternativ 1 bruker parameterfremstillingen for planet og linja: x 1 r y r z 1 r x t s y 4t s z 1 t s Vi setter de ulike koordinatene for planet og linja lik hverandre og løser et likningssett med tre ukjente i CAS i GeoGebra: Vi setter verdien for r inn i parameterfremstillingen for linja: x 1 y 7 z 1 Koordinatene til skjæringspunktet er S,7, Alternativ, bruker likningen fra b): Setter inn koordinatene fra parameterfremstillingen for linja i likningen for planet og bestemmer parameterverdien: r r r 1 1 r r r 1 r r Vi setter verdien fort inn i parameterfremstillingen for linja: x 1 y 7 z 1 Koordinatene til skjæringspunktet er S,7, d) Bestem vinkelen mellom linja m og planet Vi finner vinkelen mellom retningsvektoren (se b)) ved å bruke skalarprodukt Regner i CAS: 1,,1 til linja og normalvektoren,1, 1 for Siden denne vinkelen er større enn 90, vet vi at vinkelen mellom linja og planet er 4

5 Vinkelen mellom linja og planet er 9,59 Punktet Q 1,,1 ligger på m og er sentrum i en kuleflate som går gjennom punktet S (se c)) e) Bestem likningen for kuleflata Radius i kuleflata er QS 1,7, Likningen for kuleflata: x y z