Institutt for matematiske fag EKSAMEN i MA-132 Geometri Fredag 7. desember 2007 kl Løsningsforslag. Bokmål

Transkript

1 Institutt for matematiske fag EKSAMEN i MA-3 Geometri Fredag 7. desember 007 kl Løsningsforslag. Bokmål Oppgae Gitt et linjestykke. La a ære lengden a dette linjestykket. (Alternatit: Tegn ditt eget linjestykke, og la a ære lengden a det.) I oppgaen nedenfor skal alle lengder uttrykkes som eksakte uttrykk i a. Du skal altså ikke bruke tilnærminger med desimaltall. Vinkler kan du derimot beregne ed hjelp a kalkulatoren. I en trekant ABCD er det gitt at Lengden a AB er 4 a. ABC = 90. Lengden a BC er 3 a. a. Konstruer trekanten ABC, og beregn lengden a hypotenusen AC. D C E A B AC = AB + BC = 4a + 3a = 5a = 5a Pythagoras setning gir ( ) ( ) b. Finn sin A, sin C, A og C. Eksamen i MA-3 Geometri Side a 5

2 BC 3a 3 sin A = = =. Kalkulatoren gir AC 5 a 5 AB 4a 4 sin C = = =. Kalkulatoren gir AC 5 a 5 Alternatit: C = 80 A B = 53. A = sin 0.6 = 36.9 C = sin 0.8 = 53. c. Finn radien i den innskrene sirkelen og den omskrene sirkelen til trekanten ABC. Radien r i den innskrene sirkelen er bestemt ed at i beregner arealet på to måter: r AB + r BC + r AC = r AB + BC + AC = r 4a + 3a + 5a = 6r a = 4a 3a = 6a ( ) ( ) Hera r = a. Siden B = 90, er AC en diameter i den omskrene sirkelen, som derfor 5 må ha radius AC = a. På AC ligger et punkt E slik at AE 4 EC = 3. d. Horfor må E ligge på haleringslinja for B? Konstruer punktet E. Dette følger a setningen om at haleringslinja for en inkel deler den motstående sida i samme forhold som forholdet mellom de hosliggende sidene. Se figuren oenfor. e. Finn lengdene a AE, EC og EB Siden E deler AC i forholdet 4:3, må AE = AC = 5a = a og EC = AC = 5a = a Nå skal du utide trekanten ABC til en firkant ABCD slik at: Diagonalene AC og BD skjærer herandre i E. Firkanten ABCD er syklisk (ds. den kan innskries i en sirkel). f. Konstruer firkanten, og skri en kort forklaring. Se konstruksjonen under a. Siden B = 90, er AC en diameter i den omskrene sirkelen, så i finner sentrum i denne som midtpunktet a AC. Punktet D blir da skjæringspunktet mellom BE og sirkelen med AC som diameter. g. Ha blir CAD og ACD? Begrunn saret. Siden CAD og DBC = 90 = 45 er periferiinkler oer samme bue DC, er CAD = 45. Tilsarende blir også ACD = ABD = 45 som periferiinkler oer buen AD. h. Finn lengdene a AD, CD og ED. ACD er en likebeint, rettinklet trekant, og Pythagoras setning gir 5 AD + DC = AD = AC = 5 a, hera AD = CD = a. Sinussetningen på AED gir ED = AE = AE. Den siste likheten sin( CAD ) sin( ADE ) sin( ACB ) Eksamen i MA-3 Geometri Side a 5

3 skyldes at ADE og ACB begge er periferiinkler oer buen AB. Da må AE sin( CAD) 0 a 5 5 ED = = = a sin( ACB) Oppgae Gitt to ektorer a = [,,3] og = [,, ] b i rommet. a. Vis at de to ektorene står normalt på herandre. a b = = = 0. Da må a b. Vi finner skalarproduktet ( ) ( ) b. Regn ut kryssproduktet a b i j k ( ( ) ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ( )) a b = 3 = i 3 + j 3 + k = 8 i j + 4 k = 8,, 4 c. Skri opp parameterfremstillinger for to rette linjer l og l gjennom punktet A : (,, ). l skal ha retning langs a, og l skal ha retning langs b. [ ] = [ ] + [ ] [ ] = [ ] + [ ] l : x, y, z,, u,,3, l : x, y, z,,,, d. Finn ligningen for et plan π som (står normalt på, rettet under eksamen) er parallelt med de to linjene i oppgae c) og som går gjennom A. Normalen er kryssproduktet [-8,-,4], som er parallell med [-4,-,]. Planets ligning blir 4 x y + z = 0 eller 4x y + z + 3 = 0. da ( ) ( ) ( ) e. Finn en parameterfremstilling for skjæringslinja mellom planet π og yz-planet. yz-planet har ligningen x=0. Innsatt i ligningen for planet π får i y + z + 3 = 0, så y = z + 3. Et punkt på skjæringslinja må da ha koordinater på formen [ x, y, z] = [ 0, z + 3, z] = [ 0,3, 0] + z [ 0,,] f. Finn olumet a det tetraederet (den trekantede pyramiden) som utspennes a de tre ektorene a, b og c = [, 3,5]. Volumet beregnes ed hjelp a olumproduktet: 3 = ( 5 + ( ) + 3 ( ) ( 3) ( ) ( 3) ( ) 5 3 ) = ( ) = 3 Eksamen i MA-3 Geometri Side 3 a 5

4 Oppgae 3 Gitt følgende isometrier i planet: R er rotasjon 90 om origo. T er translasjon ektoren [0,]. U er sammensetningen RT, der T anendes først. V er sammensetningen TR, der R anendes først. a. His P er et ilkårlig punkt (x,y), ha blir da koordinatene til R(P), T(P), U(P) og V(P)? cos 90 sin 90 x 0 x y R x y sin 90 cos 90 y 0 y x T ( x, y) = ( x, y + ) (, ) = = = = ( y, x) U ( x, y) = RT ( x, y) = R( x, y + ) = ( y, x) V ( x, y) = T ( R( x, y)) = T ( y, x) = ( y, x + ) b. Gitt følgende punkter: A:(,0), B(0,), C(,), D(-,), E(-,-), F:(,-). Tegn en figur, der du merker a alle disse punktene. Finn bildene a dem ed U og V. Finn altså U(A), U(B), U(C), U(D), U(E),U(F) og V(A), V(B), V(C), V(D), V(E),V(F). Sett gjerne opp en tabell. D E B C A F ( x, y) A(,0) B(0,) C(,) D(-,) E(-,-) F(,-) U ( x, y) ( y, x) = (,) ( 3,0) ( 3, ) ( 3, ) (, ) = E ( ) = ( y x + ) ( 0,3 ) (, ) (,3) (,) = D (,) = C (,3 ) V ( x, y), c. Bruk resultatene a oppgae c) til å beise at U og V er rotasjoner. Finn rotasjonssentrene og rotasjonsinklene., = D Tabellen i oppgae c iser at E er fikspunkt for U. Siden U(F)=D, og FED = 90, er U rotasjon 90 om E. Tilsarende ser i at D er fikspunkt for V, og siden V(E)=C og EDC = 90, er V rotasjon 90 om D. d. Hordan ser matrisene til R, T, U og V ut i homogene koordinater? R = 0 0, T = 0, U = 0 0, V = e. Tegn en ilkårlig inkel, en ilkårlig ektor a og et punkt P som ikke ligger på ektoren. La R ære rotasjon inkel om P og T translasjon ektor a. Vis at Eksamen i MA-3 Geometri Side 4 a 5

5 isometriene RT (T først) og TR er rotasjoner. Konstruer fikspunktene, og finn rotasjonsinklene. T S Q / RTP / / TRP=TP P a Vi starter med å trekke en linje gjennom P normalt på ektoren a og to paralleller med denne linja i astanden hale lengden a ektor a. Vi trekker så to stråler gjennom P som danner inkelen / med den første normalen. Skjæringspunktene er Q og S, jfr. figuren. Det framgår a figuren at Q er fikspunkt for RT. Figuren iser også at rotasjonsinkelen er. Tilsarende ser i at S er fikspunkt for TR, og at rotasjonsinkelen og i det tilfellet er. Oppgae 4 a. Du skal tegne et rett prisme i perspekti på sarark basert på følgende opplysninger: Horisonten h er tegnet inn, og fluktpunktet F for ertikale retninger er merket a. Linjestykkene AB og AC er (perspektiprojeksjoner a) annrette linjer som ligger i horisontalplanet, og linjestykket AD er (perspektiprojeksjonen a) en loddrett kant. b. Gjenta konstruksjonen fra oppgae a) på sarark. Oppå prismet i oppgae a) skal det nå stå et nytt prisme, som er like høyt og like langt, men halt så breit. En a de loddrette kantene i det nye prismet skal ære i forlengelsen a AD. Tegn dette i perspekti. Gi en kort forklaring, Se edlagte Cabri-tegninger. Byrge Birkeland Hans Erik Borgersen Eksamen i MA-3 Geometri Side 5 a 5