R2 - Kapittel 1: Vektorer

Transkript

1 R2 - Kapittel : Vektorer Kompetanseniåer: L(at), M(iddels), H(øyt) Vanlige feil og tips: I (L) Løsningsskisser Korrekt og konsekent arunding: Teoretiske oppgaer: Eksakte tall eller 3 gjeldende siffer. Praktiske oppgaer: Samme antall gjeldende siffer som i oppgaeteksten. Tren på å regne eksakt så lenge som mulig, iktig å regne fort og riktig! Også iktig for å få øye på forenklinger og snareier! Tenk hele tiden! Løpende urdering og kontroll a sar til slutt! Forståelse, oersikt og algebraferdigheter er det som gir resultater! Fokuser på å huske figurer, poenger og sammenhenger, ikke bare formler. (Formler erdiløse his man ikke forstår hordan de skal brukes, og ha som skal settes inn i dem...) Gitt ektorene u,,3, 2,3,2 og w 7,5,6 Regn ut: a) u b) u u d) Projeksjonen a på u. e) Arealet a parallellogrammet utspent a u og. f) Volumet a parallellepipedet utspent a u, og w. g) Enhetsektor parallell med u. a) u,,3 2,3,2,2, b) u,,3 2,3, u,,3 2,3,2 e x e y e z ,4, d) u u u e) A u 7,4, (Eentuelt: u u 2 2 u ) f) V u w 7,4, 7,5, g) e u u,,3,, ,0.302,0.905 Ulen a 5 r2_0800_ls.tex

2 II (LM) Gitt punktene A0,0,0, B6,2,3,C4,4,2 og D,2,0. a) Finn ligningen for et plan gjennom A,B og C. b) Finn en parameterfremstilling for planet. Ha er inkelen mellom en linje l gjennom A og D og planet? d) Ha er astanden fra punktet D til planet? e) Ha er astanden mellom linjen l og en linje m gjennom B og C? a) AB 6,2,3, AC 4,4,2 Normalektor til : AB AC 6,2,3 4,4,2 8, 0,6 8,0, 2 Velger: n,0, 2 : x 0, y 0, z 0,0,2 0 x 2z 0 b) En mulighet: x,y,z OA sab tac x,y,z 0,0,0 s6,2,3 t4,4,2 : x 6s 4t y 2s 4t z 3s 2t Men som alltid, REMA 000 anbefalingen er å foretrekke: Bruker ligningen: x 2z 0 og elger: y s (Ligningen iser at y kan ariere fritt!) z t (Ligningen gir da x 2z 2t!) og får: : x 2t y s z t (Et eksempel til: Har i ligningen til et plan som 2x y 3z 5 0, kan i elge to a ariablene som parametere, eksempelis: x s y 5 2s 3t z t ) Retningsektor for linjen l: r l AD,2,0 Normalinkel planet : n,0, 2 cos ADn,2,0,0,2 9 AD n Vinkelen i ønsker: d) Astand: a ADn n,2,0,0, e) Vindskjee linjer: Ulen a 5 r2_0800_ls.tex

3 Retningsektorer: r l AD,2,0 r m BC 2,2, Normalektor på begge linjene: n r l r m,2,0 2,2, 22,9,6 Vektor fra et punkt på l til punkt på m: AB 6,2,3 Astand som projeksjon: b ABn n 6,2,322,9, III (M) En kuleflate har ligningen x 2 6x y 2 z 2 0. a) Finn sentrum S og radien R i kulenflaten. b) Finn skjæringspunktene A og B mellom kuleflaten og linjen gitt ed parameterfremstillingen l : x 3 t y 2t z 2t Finn ligningene for planene som tangerer kuleflaten i punktene A og B. d) Ha er radien r i skjæringssirkelen mellom kuleflaten og et plan som har astanden fra S? a) Omformer: x 2 6x 3 2 y 2 z x 3 2 y 2 z ): Radius: R 3 Sentrum: S 3,0,0 b) Må oppfylle alle ligninger: 3 t 3 2 2t 2 2t t 2 4t 2 4t t 2 9 t t : A 3,2,2 2,2,2 t : B 3,2,2 4,2,2 Vi ser at parameterfremstillingen kan skries: x,y,z 3,0,0 t,2,2 Vi ser at både A og B ligger i astanden 3 fra S, altså er AB diameter i kuleflaten! De parallelle tangentplanene har derfor begge n,2,2 som normalektor. (His i ikke ser dette, oppdager i det når i lager ektorene SA,2,2 og SB,2,2 som normalektorer til hert a de to tangentplanene!) Plan gjennom A : x 2, y 2, z 2,2,2 0 x 2y 2z 6 0 Plan gjennom B : x 4, y 2, z 2,2,2 0 x 2y 2z 2 0 d) Figur iser at i kan bruke Phytagoras: r 2 2 R 2 r R IV (MH) Ulen a 5 r2_0800_ls.tex

4 a) Forklar hordan du kan agjøre om tre punkter A, B og C ligger på linje. Tre plan har normalektorene n, n, og n. b) Forklar hordan du kan agjøre om planene er parallelle. Forklar hordan du kan agjøre om planene har et felles skjæringspunkt. d) Forklar hordan du kan agjøre om fire punkter A, B, C og D ligger i samme plan. a) Lager AB og AC (eksempelis), og sjekker om AB AC 0 AB AC b) His planene er parallelle, må også normalektorene ære det: n n n. Sjekker om dette er tilfelle med: n n 0 n n 0 To a planene må ha en skjæringslinje l med retningsektor r l n n. Det tredje planet må skjære l og ikke inneholde l, så det tredje planet kan ikke stå normalt på r l : r l n 0 n n n 0 d) His de ikke ligger i samme plan il AB, AC og AD spenne ut et parallellepiped med olum: V AB AC AD His de ligger i samme plan il parallellepipedet klappe sammen og olumet blir 0, så punktene ligger i samme plan his AB AC AD 0 V(H) Vi har gitt to ektorer u,2,2 og 2,3,4. a) Finn ektoren w u u. b) Vis at w halerer inkelen mellom u og. Beis at w u u alltid halerer inkelen mellom u og. (Tips: Diagonalene i en rombe halerer inklene i hjørnene de går igjennom.) a) u w u u,2,2 3 2,3,4 6,2 9, ,3.67,4.23 b) w cosu, w u, w 8.83 cosw, u, w 8.83 uw w w,2,2 6, ,2 9 29, , ,3, Ulen a 5 r2_0800_ls.tex

5 Strengt tatt har i ikke ist at den halerer nøyaktig, men det blir mye tidsbruk på algebra his i skal ise at cosinus-erdiene blir eksakt like... Dessuten iser i det jo generelt i :-) Vi kunne ha gjort: cosu, w cosw, uw w w uu u u u w u 2 u u u u 2 w u u w u u w cosu, w cosw,, så u, w w,, QED Dette er da også en løsning a, da i ikke har forutsatt noe om u og! Men, legg merke til hor mye enklere beiset i går med enhetsektorer: Spenner ut romben med u og en ektor med samme lengde som u, parallell med : u e u Da blir diagonalen i romben summen: w u u Da diagonalene i romben halerer hjørnene de går gjennom har i beist at w halerer u,. Ulen a 5 r2_0800_ls.tex