R1 - Funksjoner 2. Løsningsskisser. Alle oppgaver skal gjøres ved regning! Oppgave 1. Oppgave 2. Kapittel

Transkript

1 R1 - Funksjoner Alle oppgaver skal gjøres ved regning! Løsningsskisser Oppgave 1 Løs ligningene: a) 3 x 5 b) ln 2x 1 ln x 3 0 c) ln 3e x 2 2x a) ln 3 x ln 5 x ln 3 ln 5 x ln 5 ln b) Betingelser: 2x 1 0 x 3 0 x 1 x 3 x 3 2 ln 2x 1 ln x 3 2x 1 x 3 x 4 (Forkastes, pga. betingelse!) ): Ingen løsning c) ln 3e x 2 2x, 3e x 2 e ln 3ex 2 e 2x 3e x 2 e x 2 e x 2 3 e x 2 0 u 2 3u 2 0, u e x u 1 u 2 e x 1 e x 2 x 0 x ln (Begge oppfyller betingelsen) Oppgave 2 Deriver funksjonene: a) f x e 3x 1 x b) g x ln x 3 x 2 a) e 3x e u, u 3x Kjerneregel: e 3x e u u e 3x 3 3e 3x f x e 3x x 1 f x 3e 3x x 1 1 3e 3x x 2 3e 3x 1 x 2 b) g x ln x 3 x 2 ln u, u x 3 x 2 Kjerneregel: g x 1 u 3x 2 2x 3x2 2x x 3 x 2 x 3x 2 x 2 x 1 3x 2 x x 1 H-P Ulven av 7 r1_040214_ls.tex

2 Oppgave 3 Gitt funksjonen f x x x ln x, x 0, a) Finn nullpunktene til f x ved regning. b) Finn eventuelle ekstremalpunkter til f x ved regning. a) Nullpunkt: f x 0 x x ln x 0 x 1 ln x 0 x 0 1 ln x 0 x 0 ln x 1 x 0 (Forkastes, utenfor definisjonsområde.) x e ): e, , 0 b) Produktregel på andre ledd gir: f x 1 1 ln x x 1 x 1 ln x 1 ln x f x 1 x (Alltid negativ i D f, så hul side ned.) Ekstremalpunkt: f x 0 ln x 0 ln x 0 x e 0 1 ): Toppunkt: 1, f 1 1, 1 ln 1 1, 1 Kontroll med GeoGebra: Kommandoene: f(x) x-x*ln(x) NP Nullpunkt[f,2,3] TP Ekstremalpunkt[f,0.5,2] gir følgende bilde: (Ikke start søket på 0 som er udefinert!) Oppgave 4 Råneren Ola kjører gjennom en sving med sin Opel Ascona og følger en kurve beskrevet av parameterfremstillingen H-P Ulven av 7 r1_040214_ls.tex

3 x 30t 50 y t 2 20 [meter], t 0, 10 [sekunder] Dådyret Bambi løper over veien og følger en kurve beskrevet av parameterfremstillingen x 30 10t y t [meter], t 0, 10 [sekunder] 7 7 (Tiden t er den samme i begge parameterfremstillingene.) a) Når kolliderer Olas Opel med Bambi og hvor skjer kollisjonen? b) Hva er banefarten til Olas bil idet den kolliderer med Bambi? a) Bilens kurve som vektorfunksjon: r t 30t 50, t 2 20 Kollisjonssted og tidspunkt gitt av: 30t t t t t 80 7t 2 44t t 4 x 4 x 72 7 t 4 t 4 gir: r , , 4 ): Ola kolliderer med Bambi etter 4 sekunder i punktet 70, 4 meter. b) Olas hastighet: v t r t 30, 2t I kollisjonsøyeblikket: v 4 30, , 8 [m/s] Banefart i kollisjonsøyeblikket: v [m/s] (Eller: km time km/t 112 km/t ) Kontroll med GeoGebra: Kommandoene: o Kurve[30*t-50,t ^2-20,t,0,10] b Kurve[30 10*t,148/7-44*t/7,t,0,10] S Skjæring[o,b,0,10] Glider t med minimum 0 og maksimum 10 Ola o(t) Bambi b(t) v o (t) Hastighet som vektor V Derivert[o] Hastighet som kurve hast_4 V(4) Hastighet når t 4 banefart Lengde[hast_4] gir følgende bilde, der vi kan justere tiden t med glideren: H-P Ulven av 7 r1_040214_ls.tex

4 Oppgave 5 En kurve er gitt ved parameterfremstillingen t 3, 8 a) Finn skjæringspunktene med y-aksen. b) Vis at punktet P 7, 15 ligger på kurven. x 8t 2 t 3 y 12 4t t 2 der c) Finn ligningen for tangenten til kurven med P som tangeringspunkt. d) Finn eventuelle punkt på kurven der grafen er parallell med x-aksen. e) Kurven skjærer seg selv i et punkt S, det vil si at punktet svarer til to verdier av t. Den ene verdien er Finn koordinatene til S. Hva er den andre t-verdien? a) Som vektorfunksjon: r t 8t 2 t 3, 12 4t t 2, t 3, 8 Skjæring med Y-aksen: x t 0 : 8t 2 t 3 0 t 2 8 t 0 t 0 t 8 t 0 : S 1 0, 12 (Tangeringspunkt.) t 8 : S , , 20 (Endepunkt.) b) Krav: 8t 2 t t t t 2 t 3 7 t 2 4t 3 0 Enklest å løse andregradsligning først: t 2 4t 3 0 t 1 t 3 Og kontrollere i tredjegradsligningen: t 1 : VS H-P Ulven av 7 r1_040214_ls.tex

5 HS 7 t 3 : VS HS 7 OK Selvmotsigende ): Punktet P 7, 15 ligger på kurven for t 1 c) Tangentvektor til kurven gitt av: v t r t 16t 3t 2, 4 2t Tangentvektor når t 1: v , 4 2 1, 2 Dette gir stigningstall: ST 2 Ett-punktsformelen y y 1 ST x x 1 gir tangentligning: T : y 15 2 x 7 y 2 (eller: y x. 9 ) x 181 d) Graf parallell X-akse: v t x-akse y t 0 4 2t 0 t 2 Punkt: Q , , 16 e) S , , ( Kan regne eksakt :-) som gir: S , , , 4 ) t-verdiene i punktet S gitt av ligningssystemet: 8t 2 t t t 2 4 Andregradsligning gir: t 2 4t 16 0 x t ): Den andre verdien er x Som bør kontrolleres i tredjegradsligningen t 2 8 t 64 i x-komponenten: VS HS OK med 3 siffers nøyaktighet (Eksakt: VS H-P Ulven av 7 r1_040214_ls.tex

6 ) HS 64 OK Kommentar: Hvis ikke den ene t-verdien var oppgitt, kunne man finne S ved hjelp av kravene i ligningene: (Må være på samme sted på to tidspunkter a og b.) 8a 2 a 3 8b 2 b a a b b 2 8a 2 a 3 8b 2 b 3 b 2 4b 4a a 2 0 Løser andregradsligningen: b a a a 4a a a a a b 4 a b a (Forkastes, a og b må være forskjellige tidspunkter.) b 4 a innsatt i tredjegradsligning: 8a 2 a a 2 4 a 3 8a 2 a 3 a 3 4a 2 16a 64 2a 3 12a 2 16a 64 0 a 3 6a 2 8a 32 0 Med litt prøving og feiling ser vi at a 2 er en løsning og polynomdivisjon gir da: a 2 a 2 4a 16 0 a 2 a a a 2 må forkastes da det gir b og kravet er at a og b må være forskjellige, så vi står igjen med de to riktige verdiene a a Geogebra: Kommandoene: r Kurve[8*t ^2-t ^3,12 4*t-t ^2,t,-3,8] Lag glider t med område [-3,8] R r(t) Gir punkt vi kan bevege. S_1 r(0) Sjekker t-verdier i oppgave a S_2 r(8) P (7,15) Punkt i oppgave c) T Tangent[P,r] Tangenten gjennom P Tangent[R,r] Tangent som følger bevegelig punkt R TP r(2) Sjekk av toppunkt for t 2 S r(2 2*sqrt(5)) Test av t SS r(2-2*sqrt(5)) H-P Ulven av 7 r1_040214_ls.tex

7 H-P Ulven av 7 r1_040214_ls.tex