HELDAGSPRØVE. Fredag 9 Mai Løsningsskisse (versjon )

Transkript

1 HELDAGSPRØVE Oppgave Fredag 9 Mai 4 Løsningsskisse (versjon 4.5.8) a) Deriver funksjonen fx cosx Kjerneregel: fu cosu, u x f x sinu x x sinx b) Bestem integralet x lnx dx Delvis integrasjon: u x u x 4 v lnx v x x x 4 lnx dx x 4 x lnx C x 8 8 x lnx 4 x dx x lnx C c) Bestem integralet sinx cos x dx 4 lnx 4 xdx Substitusjon/variabelskifte: u cosx du sin x dx du dx sinx sinx dx sinx dx cos x usinx u du lnu C ln cosx C d) Gitt funksjonen fx x sin x, x, y x Finn koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til f. f x cosx Ekstremalpunkt: f x cosx x k x l 3 3 Side av 8

2 x k x 4 l 3 3 I definisjonsmengde: x x Fra graf, eller forståelsen av at dette er en rett linje med overlagret sinus-funksjon: Bunnpunkt: 4,f 4 4, 3 4.9,, Toppunkt:,f, 3.9, Legg merke til at topp og bunnpunkt ikke skjer når sin(x), slik som ved absin(x) der a er konstant! e) En kuleflate er gitt ved ligningen x y z 4x y z 9 ) Finn sentrum S og radius r i kulen. ) Vis at punktet A,,4 ligger på kuleflaten. 3) Finn ligningen for et plan som går gjennom A og tangerer kuleflaten. ) Lager fullstendige kvadrater: x 4x y y z z 9 x y z 5 S,, r 5 ) VS: HS: 5 5 ): A på 3) Vektor fra S til A er normalvektor til tangeringsplanet: n SA,,4,,5 Px, y,z i planet gitt av: n AP,,5x, y,z 4 5z Planet har ligning: z 4 f) ) Vis at 3...n nn ) Bruk dette til å vise at 4... n nn ) Aritmetisk med a ogd : S n a a n n n n nn ) VS 3... n 34...n nn QED Oppgave II En gruppe elever ønsket å finne ut hvor stor del av bilistene i Norge som bryter fartsgrensene i Side av 8

3 tettbygd strøk. De stilte seg opp ved en vei og registrerte hvor stor andel av bilistene som kjørte over 5 km/t. Vi definerer den stokastiske variabelen: X : Antall bilister som bryter fartsgrensen i det tidsrommet som ble undersøkt a) Forklar hvorfor det er rimelig å anta at X er binomisk fordelt. Elevene registrerte at 6 av de 437 som passerte brøt fartsgrensen. b) La p være andelen av bilister i Norge som bryter fartsgrenser. Finn et estimat for p og bestem standardfeilen til estimatet. c) Finn et 95% konfidensintervall for andelen av bilister som bryter fartsgrensene basert på tallene i denne undersøkelsen. d) Vi antar at bilistenes hastighet i denne undersøkelsen var normalfordelt med gjennomsnittshastighet 45 km/t. Hva må standardavviket være hvis denne normalfordelingen skal stemme med resultatet av denne undersøkelsen? a) Rimelig hvis vi antar at bilistenes tilbøyelighet til å bryte fartsgrenser er uavhengig fra person til person. (Ser bort fra feks. to rånere som er ute og kjører og antagelig er tilbøyelige til å påvirke hverandre...) Dessuten er det kun to utfall i enkelteksperimentet og vi teller antallet "suksess"-utfall. (Egentlig forutsetter binomisk fordeling at det også er med tilbakelegging, dvs. at samme bilist kan passere flere ganger, men antallet ser såpass stort at dette ikke spiller noen vesentlig rolle.) b) Estimatet forutsetter at bilistene som blir målt av elevene er representative for alle bilister i Norge, hvilket antagelig er litt tvilsomt, da lokale forhold, tidspunkt på dagen etc. har en viss innflytelse, men vi ser bort fra dette her. Estimat: p x Standardfeil: S p x x n c) Stikkprøveandelen er tilnærmet normalfordelt etter Sentralgrenseteoremet: X er altså tilnærmet n.4,.66 og vi får: x x x x n KI.95 x.96 n, x , ,.7 d) Hastighet V fordelt n45, For å stemme med undersøkelsen må: Pv 5.4 : P v Side 3 av 8

4 Pz 5.4 Pz ( Normalfordelingstabell eller InvNorm(.86) ) [km/t].8 Oppgave III Olsen har en spare-konto i en bank. Han setter inn kroner i begynnelsen av året i år. Vi regner med at innskuddsrenten er.4% per år i hele spareperioden. a) Hvor mye står på kontoen ett år etter at det siste beløpet er satt inn? Olsen låner kroner. Vi regner med at lånerenten er 5% per år i hele låneperioden. Avtalen er at lånet skal tilbakebetales med 5 like store årlige beløp, første gang ett år etter låneopptaket. b) Hvor store blir de årlige innbetalingene etter denne avtalen? Olsen ønsker ikke å betale mer enn 75 kroner i året og forhandler frem en avtale med banken med lengre nedbetalingstid. c) Hvor lang blir denne nedbetalingstiden? a) Geometrisk rekke: med a.4, k.4 og n : S a k n k [kr] b) Nåverdien av de 5 beløpene, X, må bli kroner: X X... X VS er geometrisk rekke med k,såvifår:.5 S 5 X X X [kr] c) Tilsvarende b) gir ligning: 75.5 n n n. n ln. 33 [år] ln.5 Oppgave IV Du skal enten svare på alternativ I eller alternativ II. De to alternativene er likeverdige ved vurderingen. Side 4 av 8

5 Alternativ I En kurve er i polarkoordinater gitt ved: r cos,, a) Tegn kurven. Denne kurven kalles Pascals Limacon. b) Finn ved regning skjæringspunktene mellom kurven og de kartesiske koordinataksene. c) Finn ved regning arealet som ligger innenfor den ytterste sløyfen til kurven. d) Det finnes en formel for utregning av buelengde i polarkoordinater som ser slik ut: s r r d Vis at den totale buelengden til kurven blir: s 5 4cos d og regn ut denne med lommeregneren. e) Vis at kurven kan fremstilles som vektorfunksjonen: r t cost cos t,sint sint cost, t, a) y x b) Skjæring med x og y akser når,,, 3,,... : r 3 ): 3, : r ):, : r ):, 3 : r 3 ):, I tillegg: r når cos cos 4 (Se Id) 3 3 Dette gir skjæringspunkt i origo;, -.5 c) Arealformelen gir A 3 cos d (Symmetrisk, tar øverste halvdel og multipliserer med ) 3 4cos 4cos d Side 5 av 8

6 3 4cos 4 cos d 3 3 4cos cosd 3 3 4sin sin 3 4sin sin (Eventuelt: fnint(34cos(x)cos(x),x,,*/3)) d) r sin r r cos sin 4cos 4cos 4sin 4cos 4cos sin (Husk at cos x sin x, ofte brukt!) 4cos 4 5 4cos som gir: s r r d 5 4cos d Lommeregner: fnint( (54cos(X)),X,,) gir: s 3.4 e) x koordinat: x rcos cos cos y koordinat: y rsin cos sin Setter vi t får vi: r t cost cos t,sint sint cost, t, Alternativ II I denne oppgaven skal vi studere funksjoner gitt på formen fx sinmx cosnx, der m og n er naturlige tall a) Bruk formlene: sinu v sin ucosv cosusin v sinu v sin ucosv cosusin v til å vise at sinu cosv sinu v sinu v b) Bruk resultatet i a) til å regne ut integralet: sin5x cosxdx c) Finn en generell formel for integralet: sinmx cosnxdx når m n. d) Vis ved regning at sinmx cosnxdx for alle naturlige m og n. a) Vi legger sammen: Side 6 av 8

7 sinu v sin ucosv cosusin v sinu v sin ucosv cosusin v sinu v sinu v sinucosv som gir: sinucosv sinu v sinu v b) Bruker formel i a) med u 5x og v x : sin 5x cosx sin5x x sin5x x sin 6x sin 4x sin 5x cosxdx sin 6x sin 4xdx C cos6x cos4x 8 cos 6x 6 cos 4x 4 C c) Bruker formel i a) med u mx og v nx : sin mx cosnx sinmx nx sinmx nx sin mx cosnxdx cosmnx mn C cosmnx mn d) m n : cosmnx mn cosmnx mn sinm nx sinm nxdx C sinmx cosnxdx cosmnx mn mn mn mn mn m n : sinnx cosnxdx n n cosmnx mn sinnxdx Bruker: sinx sinx cosx sin x cosx Oppgave V cosnx n sin x Funksjonen ft er temperaturen målt i grader Celcius t timer etter midnatt et spesielt døgn i fjor. Gjennomsnittstemperaturen dette døgnet var 4 grader Celcius. Maksimaltemperaturen dette døgnet var 9 grader Celcius og den laveste temperaturen var 3 timer etter midnatt. Vi forutsetter at ft kan skrives på formen a bsinct d, t,4 a) Finn funksjonsuttrykket for ft. b) Når på døgnet var temperaturen høyest? c) Når på døgnet var temperaturen 3 grader? a) Likevektslinje: a 4 Amplitude: f max a Periode: T 4 c T 4 Side 7 av 8

8 Faseforskyvning gitt av: 6 timer mellom minimum, gjennomsnitt, maximum, gjennomsnitt... Første passering av likevektslinjen blir da 3 6 timer etter midnatt, slik at 9 ft 4 5sin x 9 4 5sin x 3 4 b) Fra figur/graf: Høyest timer etter midnatt, altså t 5 [timer] Ved regning: Når sin er, altså når x 3 k 4 x 3 4 k x 5 k4 Altså t 5 c) ft 3 4 5sin x 3 3 sin x x 3.4 k x 3.4 k 4 4 x.4 3 k x.4 3 k 4 4 x.4 3 k 4 x.4 3 k 4 x 8.3 k4 x.8 k4 ): Klokken 8:4 og :48 Side 8 av 8